第三章 函數(shù) 第2節(jié) 一次函數(shù)及其應(yīng)用 學(xué)案（含答案）2025年中考數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)

第2節(jié)一次函數(shù)及其應(yīng)用

回歸教材·過基礎(chǔ)

【知識(shí)體系】

【考點(diǎn)清單】

知識(shí)點(diǎn)1一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念

定義形如y=kx+b(k,b是常數(shù),k≠0)的式子,稱y是x的一次函數(shù)

一次函數(shù)

結(jié)構(gòu)特征k≠0,x的次數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)b可為任意實(shí)數(shù)

定義形如y=kx(常數(shù)k≠0)的式子,叫作正比例函數(shù)

正比例函數(shù)

結(jié)構(gòu)特征k≠0,x的次數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)為0

聯(lián)系正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊形式

知識(shí)點(diǎn)2一次函數(shù)y=kx+b的圖象與性質(zhì)

k決定傾斜方

k>0(y隨x的增大而①)k<0(y隨x的增大而②)

向和增減性

圖象

b決定圖象與

b>0b③0b<0b④0b=0b⑤0

y軸的交點(diǎn)

第一、二、三第⑥第一、二、四第二、三、

經(jīng)過的象限第一、三象限第二、四象限

象限象限象限四象限

與坐標(biāo)軸的交當(dāng)x=0時(shí),y=b,即一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為⑦;

點(diǎn)特征當(dāng)y=0時(shí),x=-,即一次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為⑧

b

k

（續(xù)表）

一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象平移得到,若b>0,

圖象關(guān)系則向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度;若b<0,則向下平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度

拓展兩直線l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,則有

k1=k2?l1∥l2,

知識(shí)點(diǎn)3用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式k1·k2=?1?l1⊥l2

步驟

1.設(shè):設(shè)解析式為y=kx+b(k≠0).

2.代:把已知坐標(biāo)代入解析式得關(guān)于待定系數(shù)的方程組.

3.解:解方程組,求出待定系數(shù)k,b.

4.寫:將k,b代入所設(shè)解析式.

知識(shí)點(diǎn)4一次函數(shù)與方程(組)、不等式的關(guān)系

1.關(guān)于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解是直線y=kx+b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

2.關(guān)于x,y的二元一次方程組的解是直線y=k1x+b1和y=k2x+b2的交點(diǎn)坐標(biāo).

k1x+b1=y,

3.關(guān)于x的一元一次不等式kx+kb2>x0+(<b02)的=解y集是以直線y=kx+b和x軸的交點(diǎn)為分界點(diǎn),x軸上(下)

方的圖象所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.

知識(shí)點(diǎn)5一次函數(shù)的應(yīng)用

利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題的主要類型

(1)利用一次函數(shù)的性質(zhì),如增減性,來解決生活中的優(yōu)化問題等;

(2)利用一次函數(shù)的圖象尋求實(shí)際問題的變化規(guī)律以解題;

(3)利用兩個(gè)一次函數(shù)的圖象來解決方案選擇問題,也可以把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成不等式或方程問題加

以解決;

(4)與方程或不等式組結(jié)合解決實(shí)際問題.

【基礎(chǔ)演練】

1.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中.

(1)畫出函數(shù)y=3x-3的圖象.

(2)(1)中圖象與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為,與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為,則S△AOB為.

(3)若點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2)在函數(shù)y=3x-3的圖象上,且y1<y2,則x1x2.(填“>”“<”或“=”)

(4)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出直線y=x,M是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作MN⊥x軸交直線

y=3x-3于點(diǎn)N,當(dāng)MN=2時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

2.已知一次函數(shù)的圖象與x軸,y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0),(0,4),則這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為.

3.直線y=x+1向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線y=x+5.

11

22

真題精粹·重變式

考向1一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

熱點(diǎn)訓(xùn)練

1.若直線y=kx+k+1經(jīng)過點(diǎn)(m,n+3)和(m+1,2n-1),且0<k<2,則n的值可以是()

A.3B.4C.5D.6

2.點(diǎn)(3,-5)在正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象上,則k的值為()

A.-15B.15

C.-D.-

35

53

3.若一次函數(shù)y=2x+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-3,y1),(4,y2),則y1與y2的大小關(guān)系是()

A.y1<y2B.y1>y2

C.y1≤y2D.y1≥y2

4.在平面直角坐標(biāo)系中,將函數(shù)y=3x+2的圖象向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象的函數(shù)解析式是

()

A.y=3x+5B.y=3x-5

C.y=3x+1D.y=3x-1

核心方法

一次函數(shù)圖象平移的規(guī)律

上加下減,左加右減.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象向上或向下平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后的解

析式為y=kx+(b±m(xù));向左或向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為y=k(x±m(xù))+b.

熱點(diǎn)訓(xùn)練

5.若一次函數(shù)y=x+b(b是常數(shù))的圖象經(jīng)過第一、第二、第三象限,則b的值可以是(寫出一

個(gè)即可).

考向2一次函數(shù)與方程(組)、一元一次不等式6．年．1．考．

6.(2021·福建)如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k>0)的圖象過點(diǎn)(-1,0),則不等式k(x-1)+b>0的解集是

()

A.x>-2

B.x>-1

C.x>0

D.x>1

熱點(diǎn)訓(xùn)練

7.在同一平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-x+4與y=2x+m相交于點(diǎn)P(3,n),則關(guān)于x,y的方程

組的解為()

x+y?4=0,

A.2x?y+mB=.0

x=?1,x=3,

C.y=5D.y=1

x=1,x=9,

y=3y=?5

8.在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y1=ax+b(a≠0)與y2=mx+n(m≠0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論錯(cuò)誤

的是()

A.y1隨x的增大而減小

B.b<n

C.當(dāng)x<2時(shí),y1>y2

D.關(guān)于x,y的方程組的解為

ax?y=?b,x=2,

mx?y=?ny核=心3方法

一次函數(shù)圖象的兩個(gè)特點(diǎn)

1.一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線,它經(jīng)過點(diǎn)(0,b),-,0,由k,b的符號(hào)可確定直線所經(jīng)過

b

的象限.k

2.求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即求這兩個(gè)解析式組成的二元一次方程組的解.

考向3一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用6．年．3．考．

9.(2022·福建)某學(xué)校在開展以“勞動(dòng)創(chuàng)造美好生活”為主題的系列活動(dòng)中,八年級(jí)(1)班負(fù)責(zé)校園

某綠化角的設(shè)計(jì)、種植與養(yǎng)護(hù).同學(xué)們約定每人養(yǎng)護(hù)一盆綠植,計(jì)劃購(gòu)買綠蘿和吊蘭兩種綠植

共46盆,且綠蘿盆數(shù)不少于吊蘭盆數(shù)的2倍.已知綠蘿每盆9元,吊蘭每盆6元.

(1)采購(gòu)組計(jì)劃將預(yù)算經(jīng)費(fèi)390元全部用于購(gòu)買綠蘿和吊蘭,問可購(gòu)買綠蘿和吊蘭各多少盆?

(2)規(guī)劃組認(rèn)為有比390元更省錢的購(gòu)買方案,請(qǐng)求出購(gòu)買兩種綠植總費(fèi)用的最小值.

10.(2021·福建)某公司經(jīng)營(yíng)某種農(nóng)產(chǎn)品,零售一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)是70元,批發(fā)一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利

潤(rùn)是40元.

(1)已知該公司某月賣出100箱這種農(nóng)產(chǎn)品,共獲利潤(rùn)4600元,問該公司當(dāng)月零售、批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)

品的箱數(shù)分別是多少?

(2)經(jīng)營(yíng)性質(zhì)規(guī)定,該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%.現(xiàn)該公司要經(jīng)營(yíng)1000箱這種農(nóng)產(chǎn)品,

問應(yīng)如何規(guī)劃零售和批發(fā)的數(shù)量,才能使總利潤(rùn)最大?最大總利潤(rùn)是多少?

11.(2020·福建)某公司經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種特產(chǎn),其中甲特產(chǎn)每噸成本價(jià)為10萬(wàn)元,銷售價(jià)為10.5萬(wàn)元;

乙特產(chǎn)每噸成本價(jià)為1萬(wàn)元,銷售價(jià)為1.2萬(wàn)元.由于受有關(guān)條件限制,該公司每月這兩種特產(chǎn)的銷

售量之和都是100噸,且甲特產(chǎn)的銷售量都不超過20噸.

(1)若該公司某月銷售甲、乙兩種特產(chǎn)的總成本為235萬(wàn)元,問這個(gè)月該公司分別銷售甲、乙兩種

特產(chǎn)各多少噸?

(2)求該公司一個(gè)月銷售這兩種特產(chǎn)所能獲得的最大總利潤(rùn).

熱點(diǎn)訓(xùn)練

12.一個(gè)裝有進(jìn)水管和出水管的容器,開始時(shí),先打開進(jìn)水管注水,3分鐘時(shí),再打開出水管排水,8分

鐘時(shí),關(guān)閉進(jìn)水管,直至容器中的水全部排完.在整個(gè)過程中,容器中的水量y(單位:升)與時(shí)間x(單

位:分)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,則圖中a的值為.

核心突破·拓思維

考點(diǎn)1一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

(原創(chuàng))已知關(guān)于x的函數(shù)y=mx+3-m.

(1)若函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn),則m的值是.

(2)若函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),則m的值是.

(3)若函數(shù)圖象平行于直線y=3x-3,則m的值是.

(4)若函數(shù)y隨著x的增大而減小,則m的取值范圍是.

(5)若函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限,則m的取值范圍是.

(6)若函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積為2,則m的值是.

(7)若直線y=-x+2與直線y=mx+3-m的交點(diǎn)在第一象限,則m的取值范圍是.

(8)對(duì)于函數(shù)y=2x+1,若當(dāng)x<0時(shí),總有mx+3-m>2x+1,則m的取值范圍是.

(9)已知平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)A(1,3),B(0,2),C(-2,6),若直線y=mx+3-m將△ABC分成面積相等的

兩部分,則m的值是.

(10)若直線y=-2x與直線y=mx+3-m關(guān)于直線y=n對(duì)稱,求m,n的值.

考點(diǎn)2一次函數(shù)的應(yīng)用

某學(xué)校、某電影院、市體育館依次在一條東西向的路上.某日,甲同學(xué)在距離學(xué)校200m的

電影院看電影,在電影院內(nèi)停留60min后,以70m/min的速度步行10min后到達(dá)市體育館.甲同學(xué)

和學(xué)校的距離s(單位:m)與時(shí)間t(單位:min)的關(guān)系如圖所示.

(1)求甲同學(xué)與學(xué)校的距離s關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式.

(2)乙同學(xué)在甲到達(dá)電影院53min后從學(xué)校出發(fā),以50m/min的速度步行去市體育館,他們會(huì)在路

上相遇嗎?請(qǐng)說明理由.

核心方法

用一次函數(shù)解決實(shí)際問題的方法

1.在幾何問題、實(shí)際問題中建立一次函數(shù)模型,并結(jié)合方程、不等式的有關(guān)知識(shí)求解,要特別

注意確定一次函數(shù)的解析式.

2.在求一次函數(shù)的解析式時(shí),要注意自變量的取值范圍應(yīng)受實(shí)際條件的制約.

鞋業(yè)是福建省莆田市的支柱產(chǎn)業(yè)、當(dāng)家產(chǎn)業(yè),歷經(jīng)30多年的發(fā)展,莆田已經(jīng)成為世界知

名運(yùn)動(dòng)鞋制造基地.某鞋廠準(zhǔn)備生產(chǎn)A,B兩種品牌運(yùn)動(dòng)鞋共100萬(wàn)雙,已知生產(chǎn)1雙A種品牌和1

雙B種品牌運(yùn)動(dòng)鞋共需成本185元,且每雙B種品牌運(yùn)動(dòng)鞋成本比A種高15元.

(1)分別求A,B兩種品牌運(yùn)動(dòng)鞋每雙的成本.

(2)該鞋廠主動(dòng)扛起對(duì)口幫扶某鄉(xiāng)村振興的歷史使命,每售出1雙A種品牌運(yùn)動(dòng)鞋就捐出a元.根據(jù)

市場(chǎng)供需情況,計(jì)劃生產(chǎn)A種品牌運(yùn)動(dòng)鞋至少60萬(wàn)雙,B種品牌運(yùn)動(dòng)鞋至少20萬(wàn)雙.已知A,B兩種

品牌的運(yùn)動(dòng)鞋每雙售價(jià)分別為115元,125元,該鞋廠如何安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤(rùn)?

世界讀書日來臨之際,育知書店決定用不多于23000元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種圖書共1000本

進(jìn)行銷售.甲、乙兩種圖書的進(jìn)價(jià)分別為每本25元、20元,甲種圖書每本的售價(jià)是乙種圖書每本

售價(jià)的1.4倍.若用2800元在育知書店購(gòu)買甲種圖書的本數(shù)比用1750元購(gòu)買乙種圖書的本數(shù)多

10本.

(1)甲、乙兩種圖書的售價(jià)分別為每本多少元?

(2)育知書店為了讓利給讀者,決定將甲種圖書售價(jià)每本降低3元,乙種圖書售價(jià)每本降低1元,那么,

育知書店銷售完購(gòu)進(jìn)的這兩種圖書后,所獲利潤(rùn)能否達(dá)到5830元?

參考答案

回歸教材·過基礎(chǔ)

考點(diǎn)清單

①增大②減?、?④>⑤<⑥一、三、四

⑦(0,b)⑧-,0

b

基礎(chǔ)演練k

1.解析:(1)函數(shù)y=3x-3的圖象如圖1所示.

(2)(1,0)(0,-3)(3)<

3

2

(4),或,

5511

2222

提示:如圖2,設(shè)M(m,m),則N(m,3m-3),MN=|3m-3-m|=2,解得m1=,m2=,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為,

5155

2222

或,.

11

22

2.y=2x+43.4

真題精粹·重變式

1.C2.D3.A4.D5.1(答案不唯一,滿足b>0即可)6.C7.B8.B

9.解析:(1)設(shè)購(gòu)買綠蘿x盆,吊蘭y盆,

依題意得

x+y=46,

解得9x+6y=390,

x=38,

∵8×2y=1=6,81.6<38,

∴符合題意.

x=38,

答:購(gòu)y=買8綠蘿38盆,吊蘭8盆.

(2)設(shè)購(gòu)買綠蘿m盆,則購(gòu)買吊蘭(46-m)盆,

依題意得m≥2(46-m),

解得m≥.

92

3

設(shè)購(gòu)買兩種綠植的總費(fèi)用為w元,則w=9m+6(46-m)=3m+276,

∵3>0,

∴w隨m的增大而增大.

又∵m≥,且m為整數(shù),

92

3

∴當(dāng)m=31時(shí),w取得最小值,最小值為3×31+276=369.

答:購(gòu)買兩種綠植總費(fèi)用的最小值為369元.

10.解析:(1)設(shè)該公司當(dāng)月零售這種農(nóng)產(chǎn)品x箱,則批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品(100-x)箱,

依題意得70x+40(100-x)=4600,

解得x=20,

100-20=80(箱).

答:該公司當(dāng)月零售這種農(nóng)產(chǎn)品20箱,批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品80箱.

(2)設(shè)該公司零售這種農(nóng)產(chǎn)品m箱,則批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品(1000-m)箱,

依題意得m≤1000×30%,

解得m≤300.

設(shè)該公司獲得的總利潤(rùn)為y元,

依題意得y=70m+40(1000-m),

即y=30m+40000,

∵30>0,y隨著m的增大而增大,

∴當(dāng)m=300時(shí),y取最大值,此時(shí)y=30×300+40000=49000(元),

∴批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量為1000-m=700(箱).

答:當(dāng)該公司零售、批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的箱數(shù)分別是300和700時(shí),獲得最大總利潤(rùn),最大總利潤(rùn)

為49000元.

11.解析:(1)設(shè)銷售甲種特產(chǎn)x噸,則銷售乙種特產(chǎn)(100-x)噸,

10x+(100-x)×1=235,

解得x=15,

∴100-x=85.

答:這個(gè)月該公司分別銷售甲、乙兩種特產(chǎn)15噸、85噸.

(2)設(shè)總利潤(rùn)為w元,銷售甲種特產(chǎn)a噸,

w=(10.5-10)a+(1.2-1)×(100-a)=0.3a+20,

∵0≤a≤20,

∴當(dāng)a=20時(shí),w取得最大值,此時(shí)w=26.

答:該公司一個(gè)月銷售這兩種特產(chǎn)所能獲得的最大總利潤(rùn)是26萬(wàn)元.

12.

29

3

核心突破·拓思維

例1解析:(1)3.(2)5.(3)3.(4)m<0.(5)m≥3.

(6)1或9.

提示:設(shè)直線y=mx+3-m與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,

把x=0代入y=mx+3-m,得y=3-m,把y=0代入y=mx+3-m,得x=,

m?3

m

則A,0,B(0,3-m),即OA=,OB=|3-m|,∴OA·OB=|3-m|·=2,

m?3m?311m?3

∴(m-3)m2=4|m|,即m2-6m+9=4m或mm2-6m+9=-4m(該2方程無解2,舍去),m

解得m1=1,m2=9.

(7)m>1或m<-3.

圖1

提示:如圖1,由函數(shù)y=mx+3-m=m(x-1)+3可得,不論m取何值,圖象過定點(diǎn)P(1,3).

∵直線y=-x+2與x軸,y軸的交點(diǎn)分別為N(2,0),M(0,2),

∴直線PM,PN的解析式分別為

PM:y=x+2,PN:y=-3x+6,

∴結(jié)合圖象可得m>1或m<-3.

(8)m<2.

提示:當(dāng)x<0時(shí),總有mx+3-m>2x+1,即當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)y=mx+3-m的圖象在函數(shù)y=2x+1的圖

象上方.∵y=2x+1的圖象與y軸的交點(diǎn)為(0,1),y=mx+3-m的圖象與y軸的交點(diǎn)為(0,3-m),即

3-m>1,解得m<2.

(9)-.

1

2

提示:如圖2,由函數(shù)y=mx+3-m可得,不論m取何值,圖象過定點(diǎn)(1,3).直線y=mx+3-m將△ABC

分成面積相等的兩部分,即直線y=mx+3-m必經(jīng)過線段BC的中點(diǎn),由中點(diǎn)公式可求得BC中

點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,4),把點(diǎn)(-1,4)的坐標(biāo)代入y=mx+3-m,得m=-.

1

2

圖2

(10)如圖3,由函數(shù)y=mx+3-m可得,不論m取何值,圖象過定點(diǎn)P(1,3).在y=-2x中,當(dāng)x=1時(shí),y=-2,

令Q(1,-2).∵兩直線關(guān)于直線y=n對(duì)稱,即點(diǎn)P,Q關(guān)于直線y=n對(duì)稱,又PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為

1,,∴n=.設(shè)直線y=-2x與直線y=mx+3-m的交點(diǎn)為H,∵y=-2x,當(dāng)y=時(shí),x=-,∴H-,,

111111

222442

即函數(shù)y=mx+3-m的圖象經(jīng)過點(diǎn)H-,,代入可得m=2.

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圖3

例2解析:(1)由題可設(shè)lAB的解析式為s=kt+b(k≠0).

依題意,體育館與學(xué)校的距離為70×10+200=900m,所以B(70,900).

把點(diǎn)A(60,200),B(70,900)的坐標(biāo)分別代入s=kt+b,得

解得

60k+b=200,b=?4000,

所70以k+lABb的=解9析00式,為s=k7=0t-7400.00(60≤t≤70).

所以甲同學(xué)與學(xué)校的距離s關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式為

s=

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