安徽省阜陽市臨泉縣2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

2024/2025（上）九年級數(shù)學(xué)期末檢測試卷溫馨提示：試卷滿分150分，考試時間為120分鐘．一、精心選一選（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.2024年5月，財政部下達1582億元資金，支持地方進一步鞏固和完善城鄉(xiāng)統(tǒng)一、重在農(nóng)村的義務(wù)教育經(jīng)費保障機制．將“1582億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.2.下列計算正確的是（）A B. C. D.3.如圖，直線，等邊三角形的兩個頂點B，C分別落在直線l，m上，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.4.將拋物線向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為（）A. B. C. D.5.第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會會標如圖1所示，會標中心的圖案來源于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖2所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的大正方形．若，則（）A. B. C. D.6.如圖，在中，，，則的長是（）A.3 B.6 C.8 D.97.若點都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.8.如圖，在中，對角線，相交于點O，點E為的中點，交于點F．若，則的長為（）A. B.1 C. D.29.關(guān)于的二次函數(shù)的圖象可能是（）A. B. C. D.10.如圖，在菱形中，，，動點，同時從點出發(fā)，點以每秒個單位長度沿折線向終點運動；點以每秒個單位長度沿線段向終點運動，當(dāng)其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動．設(shè)運動時間為秒，的面積為個平方單位，則下列正確表示與函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A. B. C. D.二、細心填一填（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.已知在中，點D是邊的中點，，，那么的長是_________12.如圖，壯壯同學(xué)投擲實心球，出手（點P處）的高度是，出手后實心球沿一段拋物線運行，到達最高點時，水平距離是，高度是．若實心球落地點為M，則______．13.在“綜合與實踐”活動課上，活動小組測量一棵楊樹的高度．如圖，，，在同一平面內(nèi)，點，在同一水平線上．從點測得楊樹底端點的仰角是，長6米，在距離點4米處的點測得楊樹頂端點的仰角為，則楊樹的高度為___________米．14.在數(shù)學(xué)探究活動中，小明進行了如下操作：如圖，在矩形紙片中，點為的中點，將沿直線折疊得到，點在矩形的內(nèi)部，延長交于點．請完成下列探究：(1)若，則值為________；(2)若點恰好為的中點，則的值為________．三、耐心做一做（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.先化簡，再求值：，其中16.解不等式組：，并把解集在數(shù)軸上表示出來．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，點，分別在正方形的邊，上，，，．求證：．18.觀察下面的等式：（1）寫出結(jié)果．（2）按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）（3）請運用有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，格點（網(wǎng)格線的交點）A、B，C、D的坐標分別為，，，．（1）以點D為旋轉(zhuǎn)中心，將旋轉(zhuǎn)得到，畫出；（2）直接寫出以B，，，C為頂點的四邊形的面積；（3）在所給的網(wǎng)格圖中確定一個格點E，使得射線平分，寫出點E的坐標．20.綜合與實踐：小星學(xué)習(xí)解直角三角形知識后，結(jié)合光的折射規(guī)律進行了如下綜合性學(xué)習(xí)．【實驗操作】第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽內(nèi)壁的夾角為；第二步：向水槽注水，水面上升到的中點E處時，停止注水．（直線為法線，為入射光線，為折射光線．）測量數(shù)據(jù)】如圖，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，O，N，在同一平面內(nèi)，測得，，折射角．【問題解決】根據(jù)以上實驗操作和測量的數(shù)據(jù)，解答下列問題：（1）求的長；（2）求B，D之間的距離（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：，，）六、（本題滿分12分）21.從地面豎直向上發(fā)射的物體離地面的高度滿足關(guān)系式，其中是物體運動的時間，是物體被發(fā)射時的速度．社團活動時，科學(xué)小組在實驗樓前從地面豎直向上發(fā)射小球．（1）小球被發(fā)射后_________時離地面的高度最大（用含的式子表示）．（2）若小球離地面最大高度為，求小球被發(fā)射時的速度．（3）按（2）中的速度發(fā)射小球，小球離地面的高度有兩次與實驗樓的高度相同．小明說：“這兩次間隔的時間為．”已知實驗樓高，請判斷他的說法是否正確，并說明理由．七、（本題滿分12分）22.如圖，矩形中，點E在上，，與相交于點O．與相交于點F．（1）若平分，求證：；（2）找出圖中與相似的三角形，并說明理由;（3）若，，求的長度．八、（本題滿分14分）23.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點和點．經(jīng)過點的直線與該二次函數(shù)圖象交于點，與軸交于點．（1）求二次函數(shù)的解析式及點的坐標；（2）點是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)點在直線上方時，過點作軸于點，與直線交于點，設(shè)點的橫坐標為．①為何值時線段的長度最大，并求出最大值；②是否存在點，使得與相似．若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由．

2024/2025（上）九年級數(shù)學(xué)期末檢測試卷溫馨提示：試卷滿分150分，考試時間為120分鐘．一、精心選一選（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.2024年5月，財政部下達1582億元資金，支持地方進一步鞏固和完善城鄉(xiāng)統(tǒng)一、重在農(nóng)村的義務(wù)教育經(jīng)費保障機制．將“1582億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，是負數(shù)．【詳解】解：1582億．故選：C．2.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了合并同類項、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運算法則是解答的關(guān)鍵．利用合并同類項法則、冪的乘方運算法則、同底數(shù)冪的除法運算法則、積的乘方運算法則進行運算，并逐項判斷即可．【詳解】解：A、，選項計算錯誤，不符合題意；B、，選項計算錯誤，不符合題意；C、，選項計算錯誤，不符合題意；D、，選項計算正確，符合題意；故選：D．3.如圖，直線，等邊三角形的兩個頂點B，C分別落在直線l，m上，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，即，∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，故選：B．4.將拋物線向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的平移以及頂點式，根據(jù)平移的規(guī)律“上加下減．左加右減”可得出平移后的拋物線為，再把化為頂點式即可．【詳解】解：拋物線向下平移2個單位后，則拋物線變?yōu)椋嗷身旤c式則為，故選：A．5.第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會會標如圖1所示，會標中心的圖案來源于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖2所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的大正方形．若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、正弦的定義，設(shè)，則，由全等三角形的性質(zhì)結(jié)合正方形的性質(zhì)可得，，從而可得，由勾股定理可得，再由正弦的定義計算即可得解．【詳解】解：∵，∴設(shè)，則，∵，四邊形為正方形，∴，，∴，即，∴，∵，∴，∴，故選：C．6.如圖，在中，，，則的長是（）A.3 B.6 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理．正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．過點A作于點D．由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出．根據(jù)，可求出，最后根據(jù)勾股定理可求出，即得出．【詳解】解：如圖，過點A作于點D．∵，∴．在中，，∴，∴，∴．故選B．7.若點都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了比較反比例函數(shù)值大小，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)即可判斷．【詳解】解：，反比例函數(shù)的圖象分布在第一、三象限，在每一象限隨的增大而減小，點，都在反比例函數(shù)的圖象上，，．∵，在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴.故選：B．8.如圖，在中，對角線，相交于點O，點E為的中點，交于點F．若，則的長為（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，利用平行四邊形的性質(zhì)、線段中點定義可得出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解∶∵四邊形是平行四邊形，∴，∵點E為的中點，∴，∵，∴，∴，即，∴，故選：B．9.關(guān)于的二次函數(shù)的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行判斷即可，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴拋物線頂點坐標為，與軸交點為，∵，∴，∴頂點坐標在第四象限，與軸交點在軸正半軸上，∴選項圖象符合題意，故選：．10.如圖，在菱形中，，，動點，同時從點出發(fā)，點以每秒個單位長度沿折線向終點運動；點以每秒個單位長度沿線段向終點運動，當(dāng)其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動．設(shè)運動時間為秒，的面積為個平方單位，則下列正確表示與函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接，過點作于點，根據(jù)已知條件得出是等邊三角形，進而證明得出，當(dāng)時，在上，當(dāng)時，在上，根據(jù)三角形的面積公式得到函數(shù)關(guān)系式，【詳解】解：如圖所示，連接，過點作于點，當(dāng)時，在上，菱形中，，，∴，則是等邊三角形，∴，∵，∴，又∴∴∴，∴當(dāng)時，在上，∴，綜上所述，時的函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一部分，當(dāng)時，函數(shù)圖象是直線的一部分，故選：A．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．二、細心填一填（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.已知在中，點D是邊的中點，，，那么的長是_________【答案】【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明出是解題的關(guān)鍵．證明，利用對應(yīng)邊成比例即可求解．【詳解】解：如圖，∵點D是邊的中點，，∴，∵，，∴，∴，∴，解得：（舍負），故答案為：．12.如圖，壯壯同學(xué)投擲實心球，出手（點P處）的高度是，出手后實心球沿一段拋物線運行，到達最高點時，水平距離是，高度是．若實心球落地點為M，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查的是二次函數(shù)的實際應(yīng)用，設(shè)拋物線為，把點，代入即可求出解析式；當(dāng)時，求得x的值，即為實心球被推出的水平距離．【詳解】解：以點O為坐標原點，射線方向為x軸正半軸，射線方向為y軸正半軸，建立平面直角坐標系，∵出手后實心球沿一段拋物線運行，到達最高點時，水平距離是，高度是．設(shè)拋物線解析式為：，把點代入得：，解得：，∴拋物線解析式為：；當(dāng)時，，解得，（舍去），，即此次實心球被推出的水平距離為．故答案為：13.在“綜合與實踐”活動課上，活動小組測量一棵楊樹的高度．如圖，，，在同一平面內(nèi)，點，在同一水平線上．從點測得楊樹底端點的仰角是，長6米，在距離點4米處的點測得楊樹頂端點的仰角為，則楊樹的高度為___________米．【答案】##【解析】【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，延長交于，則，由直角三角形的性質(zhì)可得米，由勾股定理可得米，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得米，即可得解．【詳解】解：如圖，延長交于，，則，∵，米，∴米，米，∵，∴米，∴米，故答案為：．14.在數(shù)學(xué)探究活動中，小明進行了如下操作：如圖，在矩形紙片中，點為的中點，將沿直線折疊得到，點在矩形的內(nèi)部，延長交于點．請完成下列探究：(1)若，則值為________；(2)若點恰好為的中點，則的值為________．【答案】①.##0.5②.【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊可得，由已知可得，進而可得，證，，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．（2）連接，證，可設(shè)，；進而可用表示出、的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)知，即可得到的表達式，由可知，那么，由此可求出的表達式，進而可在中，根據(jù)勾股定理求出、的比例關(guān)系，即可得到的值．【詳解】解：（1）連接根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得，，，，，∴，∵折疊，∴又，∴∴，∴∴，在中，∴∴∴即，故答案為：．（2）連接根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得，，，，，，設(shè)，，則有，，，，，在中，，即，.故答案為：．【點睛】本題考查的是矩形的折疊，翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識．三、耐心做一做（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.先化簡，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運算的運算順序和運算法則是解題關(guān)鍵．原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把a的值代入計算即可求出值．【詳解】解：===，當(dāng)時，原式=．16.解不等式組：，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】，數(shù)軸見解析【解析】【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，再表示在數(shù)軸上即可．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為：，將解集表示在數(shù)軸上如圖：．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，點，分別在正方形的邊，上，，，．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，，進而得出，根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可證明．【詳解】解：，，，四邊形是正方形，，，，，又，．18.觀察下面的等式：（1）寫出的結(jié)果．（2）按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）（3）請運用有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的．【答案】（1）（2）（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題干的規(guī)律求解即可；（2）根據(jù)題干的規(guī)律求解即可；（3）將因式分解，展開化簡求解即可．【小問1詳解】；【小問2詳解】；【小問3詳解】．【點睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，因式分解，整式乘法的混合運算，解題關(guān)鍵是通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，格點（網(wǎng)格線的交點）A、B，C、D的坐標分別為，，，．（1）以點D為旋轉(zhuǎn)中心，將旋轉(zhuǎn)得到，畫出；（2）直接寫出以B，，，C為頂點的四邊形的面積；（3）在所給的網(wǎng)格圖中確定一個格點E，使得射線平分，寫出點E的坐標．【答案】（1）見詳解（2）40（3）(答案不唯一)【解析】【分析】本題主要考查了畫旋轉(zhuǎn)圖形，平行四邊形的判定以及性質(zhì)，等腰三角形的判定以及性質(zhì)等知識，結(jié)合網(wǎng)格解題是解題的關(guān)鍵．（1）將點A，B，C分別繞點D旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)點，即可得出．（2）連接，，證明四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)以及網(wǎng)格求出面積即可．（3）根據(jù)網(wǎng)格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根據(jù)三線合一的性質(zhì)即可求出點E的坐標．【小問1詳解】解：如下圖所示：【小問2詳解】連接，，∵點B與，點C與分別關(guān)于點D成中心對稱，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴．【小問3詳解】∵根據(jù)網(wǎng)格信息可得出，，∴是等腰三角形，∴也是線段的垂直平分線，∵B，C的坐標分別為，，∴點，即．（答案不唯一）20.綜合與實踐：小星學(xué)習(xí)解直角三角形知識后，結(jié)合光的折射規(guī)律進行了如下綜合性學(xué)習(xí)．【實驗操作】第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽內(nèi)壁的夾角為；第二步：向水槽注水，水面上升到的中點E處時，停止注水．（直線為法線，為入射光線，為折射光線．）【測量數(shù)據(jù)】如圖，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，O，N，在同一平面內(nèi)，測得，，折射角．【問題解決】根據(jù)以上實驗操作和測量的數(shù)據(jù)，解答下列問題：（1）求的長；（2）求B，D之間的距離（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算出的值；（2）利用銳角三角函數(shù)求出長，然后根據(jù)計算即可．【小問1詳解】解：在中，，∴，∴，【小問2詳解】解：由題可知，∴，又∵，∴，∴．六、（本題滿分12分）21.從地面豎直向上發(fā)射的物體離地面的高度滿足關(guān)系式，其中是物體運動的時間，是物體被發(fā)射時的速度．社團活動時，科學(xué)小組在實驗樓前從地面豎直向上發(fā)射小球．（1）小球被發(fā)射后_________時離地面的高度最大（用含的式子表示）．（2）若小球離地面的最大高度為，求小球被發(fā)射時的速度．（3）按（2）中的速度發(fā)射小球，小球離地面的高度有兩次與實驗樓的高度相同．小明說：“這兩次間隔的時間為．”已知實驗樓高，請判斷他的說法是否正確，并說明理由．【答案】（1）（2）（3）小明的說法不正確，理由見解析【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）把函數(shù)解析式化成頂點式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）把，代入求解即可；（3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判斷.【小問1詳解】解：，∴當(dāng)時，h最大，故答案：；【小問2詳解】解：根據(jù)題意，得當(dāng)時，，∴，∴（負值舍去）；【小問3詳解】解：小明的說法不正確．理由如下：由（2），得，當(dāng)時，，解方程，得，，∴兩次間隔的時間為，∴小明的說法不正確．七、（本題滿分12分）22.如圖，矩形中，點E在上，，與相交于點O．與相交于點F．（1）若平分，求證：；（2）找出圖中與相似的三角形，并說明理由;（3）若，，求的長度．【答案】（1）證明見解析（2），與相似，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線的定義即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)判定兩個三角形相似的判定定理，找到相應(yīng)的角度相等即可得出；（3）根據(jù)得出，根據(jù)得出，聯(lián)立