高考備考資料之?dāng)?shù)學(xué)人教A版全國(guó)用課件第十二章概率隨機(jī)變量及其分布124

§12.4離散型隨機(jī)變量及其分布列第十二章

概率、隨機(jī)變量及其分布基礎(chǔ)知識(shí)

自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.離散型隨機(jī)變量的分布列(1)隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而

叫做隨機(jī)變量.所有取值可以_____

的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.知識(shí)梳理變化的變量一一列出Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(2)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X的

，簡(jiǎn)稱為X的分布列，具有如下性質(zhì)：①

；②

.離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的

.概率分布列pi≥0，i＝1,2，…，np1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1概率之和2.兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X的分布列為X01P1－pp其中0<p<1，則稱離散型隨機(jī)變量X服從

.其中p＝P(X＝1)稱為成功概率.兩點(diǎn)分布其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.3.超幾何分布一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品.從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么即題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量.(

)(2)離散型隨機(jī)變量的分布列描述了由這個(gè)隨機(jī)變量所刻畫的隨機(jī)現(xiàn)象.(

)(3)某人射擊時(shí)命中的概率為0.5，此人射擊三次命中的次數(shù)X服從兩點(diǎn)分布.(

)基礎(chǔ)自測(cè)123456√√×7(4)從4名男演員和3名女演員中選出4名，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.(

)(5)離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.(

)(6)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的.(

)√×√1234567題組二教材改編2.[P77T1]設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：答案解析√則p為12345673.[P49T1]有一批產(chǎn)品共12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取到合格品之前取出的次品數(shù)X的所有可能取值是_______.答案解析0,1,2,3解析因?yàn)榇纹饭灿?件，所以在取到合格品之前取到次品數(shù)為0,1,2,3.1234567P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)解析答案4.[P49A組T5]設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為則P(|X－3|＝1)＝_____.1234567題組三易錯(cuò)自糾5.袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是

A.至少取到1個(gè)白球B.至多取到1個(gè)白球C.取到白球的個(gè)數(shù)D.取到的球的個(gè)數(shù)解析答案√解析選項(xiàng)A，B表述的都是隨機(jī)事件；選項(xiàng)D是確定的值2，并不隨機(jī)；選項(xiàng)C是隨機(jī)變量，可能取值為0,1,2.12345676.隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，則n＝____.解析答案解析由P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)得n＝10.1012345677.一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的、3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，則P(X＝4)的值為______.解析由題意知取出的3個(gè)球必為2個(gè)舊球、1個(gè)新球，解析答案1234567題型分類深度剖析解析答案題型一離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)自主演練√解答2.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求2X＋1的分布列.解由分布列的性質(zhì)知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表為X012342X＋113579從而2X＋1的分布列為2X＋113579P0.20.10.10.30.31.若題2中條件不變，求隨機(jī)變量η＝|X－1|的分布列.引申探究解由題2知m＝0.3，列表為X01234|X－1|10123∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的分布列為η0123P0.10.30.30.3解答2.若題2中條件不變，求隨機(jī)變量η＝X2的分布列.解答解依題意知η的值為0,1,4,9,16.列表為X01234X2014916從而η＝X2的分布列為η014916P0.20.10.10.30.3(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù).(2)求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率時(shí)，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)各隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式.思維升華命題點(diǎn)1與排列、組合有關(guān)的分布列的求法典例(2017·山東改編)在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；題型二離散型隨機(jī)變量的分布列的求法多維探究解答(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列.解答解由題意知，X可取的值為0,1,2,3,4，則因此X的分布列為X01234P命題點(diǎn)2與互斥事件有關(guān)的分布列的求法典例

已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；解答(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列.解答解X的可能取值為200,300,400.故X的分布列為X200300400P命題點(diǎn)3與獨(dú)立事件(或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))有關(guān)的分布列的求法典例

設(shè)某人有5發(fā)子彈，他向某一目標(biāo)射擊時(shí)，每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率為

.若他連續(xù)兩發(fā)命中或連續(xù)兩發(fā)不中則停止射擊，否則將子彈打完.(1)求他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率；解答方法一他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為(2)求他所耗用的子彈數(shù)X的分布列.解答解X的所有可能值為2,3,4,5.故X的分布列為X2345P求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；(2)求X取每個(gè)值的概率；(3)寫出X的分布列.求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率，在求解時(shí)，要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(shí).思維升華解設(shè)“連續(xù)拋擲3次骰子，和為6”為事件A，則它包含事件A1，A2，A3，其中A1：三次恰好均為2；A2：三次中恰好為1,2,3各一次；A3：三次中有兩次均為1，一次為4.A1，A2，A3為互斥事件，則跟蹤訓(xùn)練

(2017·湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第i次得到的點(diǎn)數(shù)為ai，若存在正整數(shù)k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，則稱k為你的幸運(yùn)數(shù)字.(1)求你的幸運(yùn)數(shù)字為3的概率；解答解由已知得ξ的可能取值為6,4,2,0，(2)若k＝1，則你的得分為6分；若k＝2，則你的得分為4分；若k＝3，則你的得分為2分；若拋擲三次還沒找到你的幸運(yùn)數(shù)字，則記0分，求得分ξ的分布列.解答故ξ的分布列為ξ6420P題型三超幾何分布師生共研典例

(2018·濟(jì)南模擬)某外語學(xué)校的一個(gè)社團(tuán)中有7名同學(xué)，其中2人只會(huì)法語，2人只會(huì)英語，3人既會(huì)法語又會(huì)英語，現(xiàn)選派3人到法國(guó)的學(xué)校交流訪問.求：(1)在選派的3人中恰有2人會(huì)法語的概率；解設(shè)事件A：選派的3人中恰有2人會(huì)法語，解答(2)在選派的3人中既會(huì)法語又會(huì)英語的人數(shù)X的分布列.解依題意知，X服從超幾何分布，X的可能取值為0,1,2,3，解答∴X的分布列為X0123P(1)超幾何分布的兩個(gè)特點(diǎn)①超幾何分布是不放回抽樣問題；②隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).(2)超幾何分布的應(yīng)用條件①兩類不同的物品(或人、事)；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體.思維升華跟蹤訓(xùn)練

PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物.根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).從某自然保護(hù)區(qū)2017年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]頻數(shù)311113(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；解記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件A，解答(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列.解答解依據(jù)條件知，ξ服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3.故ξ的分布列為ξ0123P典例

某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中的概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)ξ的分布列.離散型隨機(jī)變量的分布列現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)糾錯(cuò)心得現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)錯(cuò)解展示錯(cuò)解展示：現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)解由題意知ξ的取值為1,2,3,4,5，P(ξ＝1)＝0.9，P(ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09，P(ξ＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009，P(ξ＝4)＝0.13×0.9＝0.0009，P(ξ＝5)＝0.14＝0.0001.∴ξ的分布列為ξ12345P0.90.090.0090.00090.0001糾錯(cuò)心得

(1)隨機(jī)變量的分布列，要弄清變量的取值，還要清楚變量的每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的事件及其概率.(2)驗(yàn)證隨機(jī)變量的概率和是否為1.課時(shí)作業(yè)1.(2017·武漢江夏區(qū)模擬)若隨機(jī)變量η的分布列如下：基礎(chǔ)保分練解析答案12345678910111213141516η－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(η<x)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是

A.x≤2 B.1≤x≤2C.1<x≤2 D.1<x<2√解析由離散型隨機(jī)變量的分布列知P(η<－1)＝0.1，P(η<0)＝0.3，P(η<1)＝0.5，P(η<2)＝0.8，則當(dāng)P(η<x)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是1<x≤2.2.(2017·邯鄲模擬)從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量ξ表示所選3人中女生的人數(shù)，則P(ξ≤1)等于

解析答案12345678910111213141516√解析答案12345678910111213141516√3.設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X－101P2－3qq24.一只袋內(nèi)裝有m個(gè)白球，n－m個(gè)黑球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球?yàn)橹?，設(shè)此時(shí)取出了X個(gè)白球，下列概率等于

的是

解析答案12345678910111213141516A.P(X＝3) B.P(X≥2)C.P(X≤3) D.P(X＝2)√解析答案12345678910111213141516√5.從裝有3個(gè)白球、4個(gè)紅球的箱子中，隨機(jī)取出了3個(gè)球，恰好是2個(gè)白球、1個(gè)紅球的概率是

解析答案123456789101112131415166.某班級(jí)在2017年國(guó)慶節(jié)晚會(huì)上安排了迎國(guó)慶演講節(jié)目，共有6名選手依次演講，則選手甲不在第一個(gè)也不在最后一個(gè)演講的概率為

√解析答案答案123456789101112131415167.口袋中有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5，從中任取3只球，以X表示取出的球的最大號(hào)碼，則X的分布列為_____.X345P0.10.30.612345678910111213141516解析X的取值為3,4,5.所以X的分布列為X345P0.10.30.68.袋中有4只紅球，3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量ξ，則P(ξ≤6)＝_____.解析答案12345678910111213141516解析

P(ξ≤6)＝P(取到3只紅球1只黑球)＋P(取到4只紅球)＝9.隨機(jī)變量X的分布列如下：解析答案12345678910111213141516X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝___，公差d的取值范圍是________.解析∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.12345678910111213141516解析答案1234567891011121314151610.在一個(gè)口袋中裝有黑、白兩個(gè)球，從中隨機(jī)取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，則這兩次取出白球數(shù)η的分布列為_______.答案η012P12345678910111213141516解析∵η的所有可能值為0,1,2.∴η的分布列為η012P11.為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件A發(fā)生的概率；12345678910111213141516解答(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列.解答解隨機(jī)變量X服從超幾何分布，X的所有可能取值為1,2,3,4.所以，隨機(jī)變量X的分布列為X1234P1234567891011121314151612.(2017·成都診斷)某高校一專業(yè)在一次自主招生中，對(duì)20名已經(jīng)選拔入圍的學(xué)生進(jìn)行語言表達(dá)能力和邏輯思維能力測(cè)試，結(jié)果如下表：12345678910111213141516由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這20名參加測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，抽到語言表達(dá)能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為語言表達(dá)能力人數(shù)邏輯思維能力一般良好優(yōu)秀一般221良好4m1優(yōu)秀13n(1)從參加測(cè)試的語言表達(dá)能力良好的學(xué)生中任意抽取2名，求其中至少有一名邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率；解答12345678910111213141516解用A表示“從這20名參加測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，抽到語言表達(dá)能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生”，(2)從參加測(cè)試的20名學(xué)生中任意抽取2名，設(shè)語言表達(dá)能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.解答1234567891011121314151612345678910111213141516解隨機(jī)變量X服從超幾何分布，X的可能取值為0,1,2.∵在20名學(xué)生中，語言表達(dá)能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生共有8名，∴X的分布列為X012P13.(2017·石家莊調(diào)研)為檢測(cè)某產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)抽取5件產(chǎn)品，測(cè)量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量(單位：毫克)，測(cè)量數(shù)據(jù)如下：技能提升練解析答案12345678910111213141516編號(hào)12345x169178166175180y7580777081如果產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足x≥175且y≥75時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品.現(xiàn)從上述5件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，則抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)X的分布列為____________.答案12345678910111213141516X012P0.30.60.1解析5件抽測(cè)品中有2件優(yōu)等品，則X的可能取值為0,1,2.12345678910111213141516∴優(yōu)等品數(shù)X的分布列為X012P0.30.60.112345678910111213141516解答14.(2017·長(zhǎng)春模擬)某校校慶，各屆校友紛至沓來，某班共來了n位校友(n>8，且n∈N*)，其