與中值定理相關(guān)的輔助函數(shù)的一個(gè)構(gòu)造法5200字

與中值定理相關(guān)的輔助函數(shù)的一個(gè)構(gòu)造法摘要：構(gòu)造法就是根據(jù)條件或者結(jié)論所具有的特征和性質(zhì)，構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)模型，借助于該數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題的方法.構(gòu)造法的特點(diǎn)是化復(fù)雜為簡單、化抽象為直觀，它的核心思想是根據(jù)題設(shè)條件的特征恰當(dāng)構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題.而構(gòu)造輔助函數(shù)就是其中最常用的一種方法，在中學(xué)和高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中都經(jīng)常可以用到這種方法；微分中值定理是微分學(xué)中一塊重要內(nèi)容，在解決有關(guān)微分中值定理相關(guān)問題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)用到構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，輔助函數(shù)的構(gòu)造也是解決這一類問題的難點(diǎn)，本文總結(jié)研究了微分中值定理應(yīng)用中構(gòu)造輔助函數(shù)的幾種方法. 2.1原函數(shù)法5 1 42.3常數(shù)k值法—一適用于常數(shù)已分離出的命題17 52.4積分法[6 82.5待定因子法 2.6構(gòu)造微分方程法[10 參考文獻(xiàn) 1所謂構(gòu)造法，就是數(shù)學(xué)中的概念和方法按固定方以轉(zhuǎn)換角度，根據(jù)題目中所給的條件構(gòu)造建立出一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型，以便于解決要求解的問題.數(shù)學(xué)構(gòu)造法是一種比較常用的數(shù)學(xué)方法，具有試探性、不規(guī)則性、創(chuàng)造性、直觀性、能行性和靈活性的特點(diǎn)(2.數(shù)學(xué)發(fā)展史上的許多難題最終都是通過采用構(gòu)造法攻克的，如：著名的拉格朗日中值定理、柯西中值定理、以及《幾何原本》中歐幾里得證明“素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無限的”等等(林子杰，高雪琳，2022).數(shù)學(xué)構(gòu)造法為整個(gè)學(xué)科的發(fā)展做出了無可代替的貢獻(xiàn)，并且至今仍在數(shù)學(xué)解題、數(shù)學(xué)教學(xué)、甚至科學(xué)研究中起著相當(dāng)重要的作用{3.數(shù)學(xué)構(gòu)造法在中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展中也起著十分重要的作用，主要代表巨作為《九章算術(shù)》.例如，本書在求兩數(shù)方法也是較為多樣，對(duì)于學(xué)生而言，根據(jù)具體問題采用相應(yīng)構(gòu)造法是比較困難的，這時(shí)候就要注重方法的總結(jié)，針對(duì)同一類型的問題，我們可以總結(jié)出解決這一類問法都有著非常廣泛的應(yīng)用.構(gòu)造輔助函數(shù)解決數(shù)學(xué)問題就是其中最常用的方法，在諸多問題解決中都需要構(gòu)造輔助函數(shù)來解決.在高等數(shù)學(xué)中，構(gòu)造輔助函數(shù)的方法就非常常見，其中微分中值定理證明中，許多題目的證明都需借助構(gòu)造輔助函數(shù)，然后讓輔助函數(shù)符合中值定理的條件(李思遠(yuǎn)，劉瑾萱，2022),從而證明要證結(jié)論.本文總結(jié)了微分中值定理證明中幾種常用的輔助函數(shù)構(gòu)造的方法，掌握這幾種方法，分中值定理中的一類問題.2.1原函數(shù)法5]在微分中值定理中原函數(shù)法構(gòu)造函數(shù)是很常用的一類方法，具體步驟如下：(2)利用恒等變換，將結(jié)論向易積分的形式轉(zhuǎn)化；(3)用觀察法或者湊微分法，求出原函數(shù)，如果題目需要(4)移項(xiàng)，讓等式一邊值為零，如此一來，非零一邊的等式就是所要構(gòu)造的輔助函2例1求證：若f(x)在[0,1]可導(dǎo)，并且f(1)=2f(0),則存在ξ∈(0,1),使分析由得將ξ換成x得證明構(gòu)造輔助函數(shù)即(ξ+1)f'(ξ)-f(ξ)=0,(ξ+1)f'(ξ)=f(ξ).3即又即又(f(x)-x)=0.證明構(gòu)造輔助函數(shù)F(0)=f(0)=0,F(1)=f(則f(n)=η,由羅爾定理可得3ξ∈(0,η)=(0,1),使得即f'(ξ)=1.結(jié)論原函數(shù)法構(gòu)造函數(shù)在函數(shù)構(gòu)造中非常常見，適用于觀察就容易看出原函數(shù)的一類題目.4令令則2.2幾何直觀法[8]分析拉格朗日定理的幾何意義是在滿足定理的曲線上至少存在一點(diǎn)ξ,使曲線所以可以通過選取曲線的縱坐標(biāo)與弦AB的縱坐標(biāo)之差構(gòu)造輔助函53ξ∈(a,b),使得F'(ξ)=0,即證得結(jié)論幾何直觀法用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，在一些容易用圖像表示出代數(shù)式幾何意義的題目中，在這種環(huán)境下就可以運(yùn)用幾何直觀法構(gòu)造輔助函數(shù)解題.2.3常數(shù)k值法一一適用于常數(shù)已分離出的命題17.將a改為x,這在一定程度上預(yù)示了即得到所要構(gòu)造的F(x).整理得f(b)-kb=f(a)-ka,構(gòu)造輔助函數(shù)6F(x)滿足羅爾定理，則3ξ,使F'(ξ)=0,即例5證明柯西中值定理：設(shè)函數(shù)f和8滿足(ii)在(a,b)上都可導(dǎo)；(iii)f'(x)和g'(x)不同時(shí)為零；整理得f(b)-kg(b)=f(a)-kg(a),構(gòu)造輔助函數(shù)7整理得整理得構(gòu)造輔助函數(shù)則即結(jié)論在所解題目中分離出了一部分較為復(fù)雜的常數(shù)時(shí)，就可以運(yùn)用常數(shù)k值法，8對(duì)稱式或者輪換式時(shí)，就很容易可以構(gòu)造出輔助函數(shù)，解決問題(蘇俊杰，何思妍，2020).2.4積分法[6]分析將欲證等式中的ξ換成x,然后對(duì)該等式變形得則令證明這在一定范圍內(nèi)顯示了構(gòu)造輔助函數(shù)F(a)=[f(a)-f(a)(b-a)=0,則9例8設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在[a,b]上存在二階導(dǎo)數(shù)，且8"試證明在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使分析將結(jié)論中的ξ換成x后，可得對(duì)等式左端求積分可得則則令可得F(x)=f(x)g'(x)-g(x)f'(x).由于f(x)和8(x)在[a,b]上存在二階導(dǎo)數(shù)，則f(x)、g(x)在[a,b]上可導(dǎo)且連續(xù)，所F'(ξ)=f(ξ)?”(ξ)-8(ξ即從而構(gòu)造輔助函數(shù)解決原問題.輔助函數(shù)F(x),然后根據(jù)其他已知條件求出待定因子P(x),這樣就得到了符合要分析通過積分我們可以注意到(f(x)+(x-1)f'(x))=2f'(點(diǎn)或者重新構(gòu)造一個(gè)F(x),通過上文的分析可以鞏固前文的理論討論，特別是對(duì)解釋和預(yù)測(cè)所研究現(xiàn)象的行為模式，為理解復(fù)雜問題提供了寶貴的視角。使則令令則所以則F(x)=(x-1)f'(x).即,ξ∈(0,1).分析(1)用連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理，證明起來比較直觀.得F'(x)=P(x)(f(x)-x)+P(x(f(x)-x)=(f(x)-x)-a(f則F(x)=e-a(f(x)-x).令令則,F(1)=-1<0,桐，2022)即,所以存在,使得(周思涵，楊雨F(n)=f(n)-η=0,f(n)=η.(2)令則有即有即f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.2.6構(gòu)造微分方程法[10]分析整理得將ξ換為x,f(x)換為y可得F(a)=f(a)e2=0,即分析整理得即可得要構(gòu)造的輔助函數(shù)為F(a)=F(b)=0,因此由F'(ξ)=0推出即y=C(x)eoles,代入原方程中得到,于是得到方程的通解的一般形式：,最終解出我們要求的輔助函數(shù)：證明按照以上步驟可構(gòu)造輔助函數(shù)即變形后可得在高等數(shù)學(xué)中，通過輔助函數(shù)來解決問題的效果非常理想.維方式?jīng)]有充分掌握，那么可以基于對(duì)拉格朗日定理的證明的即得如此，得到以下證明.證明根據(jù)拉格朗日定理，可得在(a,b)中，有ξ得然后以柯西中值定理為依據(jù)，得出有η∈(a,b),得進(jìn)而有本文總結(jié)歸納了微分中值定理中輔助函數(shù)構(gòu)造的多種方法與一般規(guī)律，但構(gòu)造輔助函數(shù)沒有什么萬能的方法，它是一種創(chuàng)造性的思維過程，具有較大的靈活性運(yùn)用基本的數(shù)學(xué)思想，經(jīng)過認(rèn)真觀察，深入思考，構(gòu)造出輔助函數(shù)是解題的關(guān)鍵.[1]林子睿，韓夢(mèng)潔.數(shù)學(xué)方法論選論[M].重慶：重慶學(xué)2008.[6]