廣東省高州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

廣東省高州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓(xùn)、管理三項(xiàng)不同的工作，則選派方案共有（）A．60種 B．80種 C．100種 D．120種2．下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費(fèi)站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)ξ；②一個(gè)沿x軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在x軸上的位置η；③某派出所一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)X；④某同學(xué)上學(xué)路上離開(kāi)家的距離Y．其中是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．43．函數(shù)f(x)A．y=2x?3 B．y=x?2 C．y=?x D．y=?2x+14．若隨機(jī)變量的分布列如表，則P(|X1234P11a1A．512 B．12 C．7125．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)f(x)=ex?A．[0,2π3C．(π2,6．(x?1)2A．?3 B．?1 C．5 D．77．已知函數(shù)f(x)=xlnx?2x+aA．[?1,2] B．[0,1] C．8．已知函數(shù)f(x)滿足f'(x)lnx+1xfA．6a<46<3c B．6a<3c<4b C．46<6a<3c D．4b<3c<6a二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．對(duì)于(x?1A．展開(kāi)式共有8項(xiàng)B．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是70C．展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為0D．展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為6410．如圖是導(dǎo)函數(shù)y=fA．函數(shù)y=f(x)B．函數(shù)y=f(x)C．函數(shù)y=f(x)D．函數(shù)y=f(x)11．袋中裝有6個(gè)相同的小球，分別編號(hào)為1，2，3，4，5，6．從中不放回的隨機(jī)抽取兩個(gè)球，A表示事件“取出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)球的編號(hào)為奇數(shù)”，B表示事件“取出的兩個(gè)球的編號(hào)之和為偶數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（）A．事件A與事件B不相互獨(dú)立B．事件A與事件B互斥C．在事件A發(fā)生的前提下，事件B發(fā)生的概率為1D．在事件B發(fā)生的前提下，事件A發(fā)生的概率為1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．從甲地去乙地有4班火車(chē)，從乙地去丙地有3班輪船，若從甲地去丙地必須經(jīng)過(guò)乙地中轉(zhuǎn)，則從甲地去丙地可選擇的出行方式有種．13．有3臺(tái)車(chē)床加工同一類(lèi)型的零件，第1臺(tái)加工的次品率為4%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來(lái)的零件混放在一起，已知第1，2，3臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的20%，30%，50%，現(xiàn)從加工出來(lái)的零件中任取一個(gè)零件，則取到的零件是次品，且是第2臺(tái)車(chē)床加工的概率為．14．已知函數(shù)f(x)=ex?四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15．甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)分別為7，8，9，10，且甲射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為2a，0.2，a，0.2，乙射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為0.3，0.3，b，b，求ξ，η的分布列．16．某市移動(dòng)公司為了提高服務(wù)質(zhì)量，決定對(duì)使用A，B兩種套餐的集團(tuán)用戶(hù)進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從本市n(n∈N?)（1）在取出的2個(gè)集團(tuán)是同一類(lèi)集團(tuán)的情況下，求全為小集團(tuán)的概率；（2）若一次抽取3個(gè)集團(tuán)，假設(shè)取出大集團(tuán)的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列．17．已知函數(shù)f(（1）若a=1，求f(（2）討論函數(shù)f(18．已知函數(shù)f(（1）若a=1，證明：f(（2）若?x1∈(0,+∞19．已知函數(shù)f(（1）求函數(shù)f(（2）若函數(shù)g(x)=x?f(①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②若x1∈[1e,1)（

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：從6個(gè)人選出3人在安排在三種不同類(lèi)型工作中共有A6故答案為：D．【分析】理解題意，根據(jù)排列數(shù)計(jì)算即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：①中，經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)可以一一列舉出來(lái)，是離散型隨機(jī)變量；②中，質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置不能一一列舉出來(lái)，不是離散型隨機(jī)變量；③中，報(bào)警電話次數(shù)可以一一列舉出來(lái)，是離散型隨機(jī)變量；④中，離開(kāi)家的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來(lái)，不是離散型隨機(jī)變量，所以給定的隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的有①③．故答案為：B．【分析】根據(jù)定義理解離散型隨機(jī)變量直接判斷即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)閒'(x)=3x所以切線的斜率為f所以切線的方程為y+1=2(x?1)?y=2x?3，故答案為：A．【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何和直線的點(diǎn)斜式方程，從而求解.4．【答案】A【解析】【解答】解：根據(jù)概率之和為1得a=1?1P(|X?2|=1)=P(X=1)+P(X=3)=故答案為：A．【分析】根據(jù)概率之和為1求得a，代入計(jì)算即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：由已知可得：f'(x)=∵設(shè)點(diǎn)P處切線的傾斜角為α，∴tanα>?3．∵α∈[0所以α∈[0,故答案為：B．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和傾斜角的關(guān)系，即可求得取值范圍.6．【答案】C【解析】【解答】解：由已知(x?1展開(kāi)式中x2的系數(shù)為C取x=0，得常數(shù)項(xiàng)為2，故x2的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之差為7?2=5故答案為：C．【分析】利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)結(jié)合賦值法計(jì)算即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)閒'(x)=lnx?1，令f'令f'(x)<0，解得1≤x<e．所以f(x)在[1,又f(x)≤0在x∈[1,e2]上恒成立，所以故答案為：B．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于a的不等式，即可求得范圍.8．【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)閒'(x)lnx+1xf(x)<0則g'(x)<0在(0,+∞)上恒成立，故所以g(e12故12a<1故答案為：A．【分析】利用已知條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用不等式的性質(zhì)即可求解.9．【答案】B,C【解析】【解答】解：對(duì)于A：由二項(xiàng)式定理可知(x?1對(duì)于B：常數(shù)項(xiàng)為C8對(duì)于C：令x=1，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為(1?1對(duì)于D：展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為28=256，故D錯(cuò)誤．【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理內(nèi)容和性質(zhì)直接判斷即可.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：對(duì)于A．因?yàn)樵?1,3)上f'(x)<0成立，所以B．因?yàn)楫?dāng)?2<x<0時(shí)，f'(x)>0，當(dāng)x<?2時(shí)，f'(x)<0，所以C．因?yàn)楫?dāng)?2<x<1時(shí)，f'(x)>0，當(dāng)1<x<3時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)D．因?yàn)楫?dāng)x<?2時(shí)，f'(x)<0，當(dāng)?2<x<1時(shí)，f'(x)>0，所以函數(shù)故答案為：ACD．【分析】利用已知導(dǎo)函數(shù)圖象函數(shù)值正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A選項(xiàng)：因?yàn)镻(A)=1?P(A)，故事件B的概率P(B)=C32+C因?yàn)镻(AB)≠P(A)?P(B)，所以事件A與事件B不相互獨(dú)立，選項(xiàng)A正確；B選項(xiàng)：“取出的兩個(gè)球的編號(hào)均為奇數(shù)”既在事件A中，也在事件B中，故事件A與事件B不互斥，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：P(B|D選項(xiàng)：P(A|故答案為：ACD．【分析】利用條件概率和古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)而分析選項(xiàng)即可判斷.12．【答案】12【解析】【解答】解：由已知甲地去丙地共有3×4=12（種）．

故答案為：12.【分析】根據(jù)分步乘法直接計(jì)算即可.13．【答案】5【解析】【解答】解：零件為第i(i=1,2,3)臺(tái)車(chē)床加工記為為事件Ai由已知P(A1)=0.2由全概率公式可知所以P(B)=P(A所以P(A2|B)=P(A2)P(B|【分析】利用全概率公式和貝葉斯公式即可求得結(jié)果.14．【答案】(【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽．且f(?x)=e所以f(x)是奇函數(shù)．又因?yàn)閒(x)所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，f(t2+t)+f(3t)<0所以?3t>t2+t，∴所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為(?4,0)．【分析】根據(jù)題意，得到函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式即可得答案.15．【答案】解：由題意得0.2+2a+a+0.0.3+0.所以ξ的分布列為ξ10987P0.40.20.20.2η的分布列為η10987P0.30.30.20.2【解析】【分析】(1)根據(jù)ξ、η的可能取值，分別求出每個(gè)取值的概率，即可得到分布列.(2)利用(1)所得的分布列，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式，通過(guò)運(yùn)算即可求解.16．【答案】（1）解：由題意知共有n+3個(gè)集團(tuán)，取出2個(gè)集團(tuán)的方法總數(shù)是Cn+32，其中全是大集團(tuán)的情況有Cn整理得到3n2?13n?10=0若2個(gè)全是大集團(tuán)，共有C5若2個(gè)全是小集團(tuán)，共有C3故在取出的2個(gè)集團(tuán)是同一類(lèi)集團(tuán)的情況下，全為小集團(tuán)的概率為310+3（2）解：由題意知，隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，P(X=0)=C50P(X=2)=C52故X的分布列為X0123P115155【解析】【分析】(1)利用古典概型的概率計(jì)算方法即可求得概率；

(2)由題意知算出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望.17．【答案】（1）解：若a=1，f(x)令f'(x)=0，解得x=1，所以f(x)在(0,又f(1)=12，所以f(x)在(0,（2）解：f'當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)>0，解得x>1a，令f'(x)<0，解得0<x<1a，當(dāng)a<0時(shí)，令f'(x)>0，解得0<x<?1a，令f'(x)<0，解得x>?1a，【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)值的正負(fù)即可判斷原函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的定義可得極值.(2)分類(lèi)討論a<0和a>0的情況，再利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷函數(shù)單調(diào)性.18．【答案】（1）證明：若a=1，f(x)=ex?1?x，f'(x)=ex?1，令所以f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在所以f(x)（2）解：不妨設(shè)0<x1<x2所以y=f(x)?12x令g(x)=f(x)?12x2，令h(x)=g'(x)當(dāng)a<0時(shí)，h'(x)<0在(0,當(dāng)0<a<1時(shí)，令h'(x)>0，解得x>ln1a，令所以h(x)在(0,ln1所以h(x)當(dāng)a≥1時(shí)，∵h(yuǎn)'(x)=aex?1>e∴h(x)=g'(x)≥0綜上所述a的取值范圍為[1,【解析】【分析】(1)依據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求得最值后即可證明不等式，(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)?119．【答案】（1）解：由題知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)任意的x>0，f'(x)≤0且f'(x)不恒為零，故當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0，解得所以當(dāng)x∈(0,1a)時(shí)，f'此時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1a綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1a（2）解：①由題知，g(x)=x?f(x)=x?1函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)任意的x>0，g'(x)≥0且g'(x)不恒為零，故當(dāng)0<a≤2時(shí)，Δ=a2?4≤0，g'(x)≥0且g當(dāng)a>2時(shí)，令g'(x)=0，解得x2=a+當(dāng)