貴州省安順市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

全市普通高中2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)考試高一數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.3.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡相應(yīng)位置作答，在試卷上作答無(wú)效.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合B，結(jié)合韋恩圖求出即可得解.【詳解】由，得或，則，，由韋恩圖知，陰影部分對(duì)應(yīng)的集合表示為.故選：A2.已知角的終邊上有一點(diǎn)，，則的值是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦函數(shù)的定義求解即得.【詳解】依題意，.故選：C.3.“”是“函數(shù)存在零點(diǎn)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)判斷即可.【詳解】函數(shù)存在零點(diǎn)等價(jià)于方程有解，等價(jià)于有解，而，因此，反之當(dāng)時(shí)，有解，所以“”是“函數(shù)存在零點(diǎn)”的充分必要條件.故選：C4.下列命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】A【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)A和B，結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)的條件，利用作差法，即可求解；對(duì)于選項(xiàng)C和D，通過(guò)取特殊，即可求解.【詳解】對(duì)于A，由，又，，則，得到，即，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，又，，則，故，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：A.5.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用基本函數(shù)的單調(diào)性，得到，，即可求解.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以，又易知是減函數(shù)，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，且，則，故選：A.6.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期是B.的定義域是C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.不等式的解集是，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正切函數(shù)圖象、性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，所以函數(shù)定義域?yàn)?，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)意義，又，則在上不單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，不等式，則，解得，所以不等式的解集是，D正確.故選：D7.已知為正實(shí)數(shù)且，則的最小值為（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】由題知，再結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】解：因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)且，所以，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；故選：D8.某同學(xué)在研究高一數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，給出下列四個(gè)問(wèn)題：（1）對(duì)于，都有在區(qū)間上恒成立，則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則；（3）從午夜零時(shí)算起，時(shí)鐘的時(shí)針和分針一天內(nèi)會(huì)重復(fù)的次數(shù)是次；（4）函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減.你認(rèn)為正確的個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)（1），根據(jù)條件可得在上恒成立，即可求解；對(duì)（2），構(gòu)造函數(shù)，可得是奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；對(duì)（3），設(shè)經(jīng)過(guò)分鐘，分針與時(shí)針重合，兩針重合的次數(shù)為，根據(jù)題意有，進(jìn)而可得，即可求解；對(duì)于（4），利用奇偶函數(shù)的判斷方法及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可求解.【詳解】對(duì)于（1），因?yàn)閷?duì)于，都有在區(qū)間上恒成立，則，根據(jù)單調(diào)性的定義，若時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故（1）正確，對(duì)于（2），由，得到，令，因?yàn)?，所以的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以為奇函數(shù)，又函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，所以在區(qū)間上，，又，得到，所以（2）正確，對(duì)于（3），設(shè)經(jīng)過(guò)分鐘，分針與時(shí)針重合，兩針重合的次數(shù)為，因?yàn)榉轴樏糠昼娦D(zhuǎn)的角度為，時(shí)針每分鐘旋轉(zhuǎn)的角度為，所以，得到，又時(shí)針旋轉(zhuǎn)一天所需的時(shí)間為，所以，得到，故（3）錯(cuò)誤，對(duì)于（4），易知的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以是偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故（4）正確，故選：C.【點(diǎn)晴】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴，本題的關(guān)鍵在于第（2）和第（4），對(duì)于第（2），通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性求解；對(duì)于第（4），將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)處理，再利用三函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有錯(cuò)選的得0分.9.下列命題是真命題的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.函數(shù)與函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)C.若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則D.函數(shù)的零點(diǎn)是【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A，直接寫出命題“，”的否定，即可求解；對(duì)于B，利用相同函數(shù)的判斷方法，即可求解；對(duì)于C，利用冪函數(shù)的定義及性質(zhì)，即可求解；對(duì)于D，利用函數(shù)零點(diǎn)的定義，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)槊}“，”的否定是“，”，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以與定義域相同，表達(dá)式相同，故函數(shù)與函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，得到，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，令，得到，所以函數(shù)的零點(diǎn)是，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：BC.10.下列選項(xiàng)正確的是（）A.函數(shù)是偶函數(shù)B.函數(shù)的值域?yàn)镃.若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍D.若，，則【答案】ABC【解析】【分析】利用余弦函數(shù)的奇偶性判定A；利用同角三角函數(shù)關(guān)系和配方法求值域判定B；利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合一次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)求實(shí)數(shù)a函的范圍，判定C;利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)整理已知等式，結(jié)合給定范圍先求得的值，再利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)變化，進(jìn)而利用特殊角的三角函數(shù)求值，即可判定D.【詳解】對(duì)于A：，定義域，滿足偶函數(shù)的定義，故A正確.對(duì)于B：，由于的值域?yàn)?所以原函數(shù)的值域?yàn)?，故B正確.對(duì)于C：若函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的值域包含所有正數(shù).當(dāng)時(shí)滿足題意；當(dāng)時(shí)，有，解得，綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故C正確.對(duì)于D:因?yàn)?若，則，與矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11.若函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)為偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.的一條對(duì)稱軸為 D.【答案】ACD【解析】【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)fx?1的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，求出是周期為4函數(shù)，利用賦值法、周期性逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，故，所以是圖象的一條對(duì)稱軸，所以，又函數(shù)fx?1的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)fx?1的圖象是由函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位得到，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)2,3成中心對(duì)稱，故，所以，故且，所以，所以，所以，故，所以為周期函數(shù)，且周期為4，對(duì)于A，由、得，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以的一條對(duì)稱軸為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，所以，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是利用已知條件判斷出是周期為4的函數(shù).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.“數(shù)折聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋代朱翌描寫折扇的詩(shī)句，折扇出入懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號(hào).如圖，這是折扇的示意圖，已知D為的中點(diǎn)，，，則此扇面（扇環(huán)）的面積是_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用扇形面積公式計(jì)算得解.【詳解】依題意，此扇面面積為.故答案為：13.若，則________.【答案】【解析】【分析】通過(guò)令，得，再結(jié)合條件，即可求解.【詳解】令，則，所以，得到，故答案為：.14.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則_______，函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_______.【答案】①.1②.【解析】【分析】結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)分段代入計(jì)算得解；按分段求出方程的解，進(jìn)而求出所有根的和.【詳解】依題意，，因此；，當(dāng)時(shí)，，則，解得或；當(dāng)時(shí)，若，則，，由，得，解得；若，則，，由，得，解得或，所以函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為.故答案為：1；【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：①直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．②零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．③利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.求值：（1）；（2）已知，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用指、對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可求解；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得，再利用特殊角的三角函數(shù)值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椤拘?wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所?16.已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，函?shù)的定義域?yàn)榧?（1）若，求函數(shù)的定義域及實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義列出不等式求出集合A，進(jìn)而求出的定義域；解含參的不等式求出集合B，再利用集合的包含關(guān)系求出范圍.（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用集合的包含關(guān)系求出范圍.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)中，，解得或，因此，函數(shù)中，，即，解得，因此，由或，解得或，所以函數(shù)定義域?yàn)椋挥?，得，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，依題意，，則且，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若時(shí)，的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件得到，再利用的單調(diào)區(qū)間，即可求解；（2）令，得到，利用的性質(zhì)，求出的取值范圍，結(jié)合條件，即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由，得到，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，令，則，因?yàn)椋瑒t，所以，則，又因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以，得?18.正值安順市創(chuàng)建全國(guó)文明城市之際，某單位積極倡導(dǎo)“環(huán)保生活，低碳出行”，其中電動(dòng)汽車正成為人們購(gòu)車的熱門選擇.某型號(hào)電動(dòng)汽車，在一段平坦的國(guó)道進(jìn)行測(cè)試，國(guó)道限速.經(jīng)多次測(cè)試得到該汽車每小時(shí)耗電量（單位：）與速度（單位：）的數(shù)據(jù)如表所示：為了描述國(guó)道上該汽車每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，.（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)選出你認(rèn)為最符合表格所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）現(xiàn)有一輛該型號(hào)汽車從地駛到地，前一段是的國(guó)道，后一段是的高速路，若已知高速路上該汽車每小時(shí)耗電量（單位：）與速度（單位：）的關(guān)系是：，則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少?【答案】（1）選擇，（2）當(dāng)這輛車在國(guó)道上的行駛速度為，在高速路上的行駛速度為時(shí)，該車從地到地的總耗電量最少，最少為【解析】【分析】（1）根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)選出符合的函數(shù)模型，并利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式；（2）先求得耗電量的表達(dá)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【小問(wèn)1詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，它無(wú)意義，所以不合題意，對(duì)于，易知是減函數(shù)，由圖表知，隨著的增大而增大，所以不合題意，所以選，由表中數(shù)據(jù)可得，解得，，所以當(dāng)時(shí)，.【小問(wèn)2詳解】國(guó)道路段長(zhǎng)為，所用時(shí)間為，所耗電量為，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；高速路段長(zhǎng)為，所用時(shí)間為，所耗電量為，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.所以：故當(dāng)這輛車在國(guó)道上的行駛速度為，在高速路上的行駛速度為時(shí)，該車從地到地的總耗電量最少，最少為.19.已知定義在上的函數(shù)（且）.（1）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（2）若，函數(shù)，，求函數(shù)的值域；（3）若，，對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性定義判斷并證明.（2）求出值，判斷的單調(diào)性，并求出時(shí)的范圍，再變形并借助二次函數(shù)求出值域.（3）化簡(jiǎn)函數(shù)并探討其性質(zhì)，進(jìn)而脫去函數(shù)不等