高考備考資料之?dāng)?shù)學(xué)人教A版全國用課件63等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

§6.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和第六章數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)

自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列__________________________________________________________________________________________________________________________________________，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的

，通常用字母

表示(q≠0).2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an＝______________________________________________________________.知識(shí)梳理從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)公比qa1·qn－1(a1≠0，q≠0)3.等比中項(xiàng)如果在a與b中插入一個(gè)數(shù)G，使得a，G，b成等比數(shù)列，那么根據(jù)等比數(shù)列的定義，

，

，G＝

，稱G為a，b的等比中項(xiàng).G2＝ab4.等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·

(n，m∈N*).(2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則

.(3)若{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，

，{an·bn}，

仍是等比數(shù)列.qn－mak·al＝am·an5.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；6.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為

.qn等比數(shù)列{an}的單調(diào)性【知識(shí)拓展】(4)當(dāng)q<0時(shí)，{an}為擺動(dòng)數(shù)列.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列.(

)(2)G為a，b的等比中項(xiàng)?G2＝ab.(

)(3)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列.(

)基礎(chǔ)自測(cè)123456×××(4)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列.(

)(5)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝an，則其前n項(xiàng)和為Sn＝

.(

)(6)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列.(

)123456×××題組二教材改編2.[P51例3]已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝

，則公比q＝______.答案解析1234563.[P54A組T8]在9與243中間插入兩個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)為________.答案123456解析設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的兩個(gè)數(shù)分別為9×3＝27,27×3＝81.解析27,81題組三易錯(cuò)自糾4.若1，a1，a2,4成等差數(shù)列，1，b1，b2，b3,4成等比數(shù)列，則

的值為________.答案123456解析解析∵1，a1，a2,4成等差數(shù)列，∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.又∵1，b1，b2，b3,4成等比數(shù)列，5.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則

＝________.解析答案123456解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，－116.一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存1KB，然后每3分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機(jī)________分鐘，該病毒占據(jù)內(nèi)存64MB(1MB＝210KB).解析答案123456解析由題意可知，病毒每復(fù)制一次所占內(nèi)存的大小構(gòu)成一等比數(shù)列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，則2n＝64×210＝216，∴n＝16.即病毒共復(fù)制了16次.∴所需時(shí)間為16×3＝48(分鐘).48題型分類深度剖析解析答案題型一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算自主演練解得a4＝2.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，√解析答案2n－1等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解.思維升華典例(2018·濰坊質(zhì)檢)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；題型二等比數(shù)列的判定與證明師生共研證明證明

由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2).∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，故{bn}是首項(xiàng)b1＝3，公比為2的等比數(shù)列.解答(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解

由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，故an＝(3n－1)·2n－2.若將本例中“Sn＋1＝4an＋2”改為“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不變，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.引申探究解答解

由已知得n≥2時(shí)，Sn＝2Sn－1＋n.∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，∴an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，n≥2，

(*)又a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，即a2＋1＝2(a1＋1)，∴當(dāng)n＝1時(shí)(*)式也成立，故{an＋1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.(1)證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.(2)利用遞推關(guān)系時(shí)要注意對(duì)n＝1時(shí)的情況進(jìn)行驗(yàn)證.思維升華跟蹤訓(xùn)練

(2016·全國Ⅲ)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；證明證明

由題意得a1＝S1＝1＋λa1，由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0，解答解得λ＝－1.1.(2017·鄭州三模)已知等比數(shù)列{an}，且a6＋a8＝4，則a8(a4＋2a6＋a8)的值為A.2 B.4C.8 D.16題型三等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用自主演練解析答案√2.(2017·云南省十一校跨區(qū)調(diào)研)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，則S12等于A.40 B.60C.32 D.50解析由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4,8，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60，故選B.解析答案√思維升華等比數(shù)列常見性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為三類：(1)通項(xiàng)公式的變形.(2)等比中項(xiàng)的變形.(3)前n項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.典例(12分)已知首項(xiàng)為

的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；分類討論思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用思想方法思想方法指導(dǎo)思想方法指導(dǎo)(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列的公比，寫出通項(xiàng)公式；(2)求出前n項(xiàng)和，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明.規(guī)范解答規(guī)范解答(1)解

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)椋?S2，S3,4S4成等差數(shù)列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，課時(shí)作業(yè)1.(2017·福建漳州八校聯(lián)考)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝2，S6＝18，則

等于A.－3 B.5C.－31 D.33基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516答案解析√解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由已知得q≠1.2.(2017·武漢市武昌區(qū)調(diào)研)設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則a1等于解析答案12345678910111213141516√12345678910111213141516解析由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，得a3＋a4＝3a4－3a2，解得a1＝－1，故選B.3.(2017·張掖市一診)已知等比數(shù)列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，則

的值為A.2 B.4C.8 D.16√解析答案12345678910111213141516解析答案123456789101112131415164.(2017·山西太原三模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn＋3)(n∈N*)在函數(shù)y＝3×2x的圖象上，等比數(shù)列{bn}滿足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n項(xiàng)和為Tn，則下列結(jié)論正確的是A.Sn＝2Tn

B.Tn＝2bn＋1C.Tn>an

D.Tn<bn＋1√12345678910111213141516解析由題意可得Sn＋3＝3×2n，Sn＝3×2n－3，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的特點(diǎn)可得數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝3×2n－1，設(shè)bn＝b1qn－1，則b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1，當(dāng)n＝1時(shí)，b1＋b1q＝3，當(dāng)n＝2時(shí)，b1q＋b1q2＝6，解得b1＝1，q＝2，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn＝2n－1，由等比數(shù)列求和公式有：Tn＝2n－1，觀察所給的選項(xiàng)：Sn＝3Tn，Tn＝2bn－1，Tn<an，Tn<bn＋1.5.(2017·廣元模擬)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a5a6＋a4a7＝18，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于A.5 B.9C.log345 D.10解析答案12345678910111213141516√解析由等比數(shù)列的性質(zhì)知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，則原式＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝10.6.(2018·長(zhǎng)春質(zhì)檢)中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問第二天走了A.192里

B.96里

C.48里

D.24里√解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516即第二天走了96里，故選B.解析答案123456789101112131415167.已知{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且S2＝3，S4＝15，則a3＝_____.4解析S4－S2＝a3＋a4＝12，S2＝a1＋a2＝3，∴a3＋a4＝a3(1＋q)＝3a3＝12，a3＝4.解析答案123456789101112131415168.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，則a6的值是________.4解析因?yàn)閍8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4，得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到關(guān)于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，q2＝－1(舍去)，a6＝a2q4＝1×22＝4.解析答案123456789101112131415169.已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為________.2n－11234567891011121314151610.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋Sn＝1(n∈N*)，則通項(xiàng)an＝________.解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析∵an＋Sn＝1，

①∴an－1＋Sn－1＝1(n≥2)，

②解答1234567891011121314151611.(2016·全國Ⅲ)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，

(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；解答12345678910111213141516(2)求{an}的通項(xiàng)公式.2an＋1(an＋1)＝an(an＋1).因?yàn)閧an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以an＋1≠0，12.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝

，記T2n為{an}的前2n項(xiàng)的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.(1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并求出bn；解答1234567891011121314151612345678910111213141516∵bn＝a2n＋a2n－1，12345678910111213141516解答12345678910111213141516(2)求T2n.∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)13.(2017·新鄉(xiāng)三模)若數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，則an＝_____________.技能提升練解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴q＝3，答案解析1234567891011121314151614.(2018·徐州質(zhì)檢)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，an＋an＋1＝

(n＝1,2,3，…)，則S2n＋3＝____________.解析由題意，得S2n＋3＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…