第1節(jié)　任意角、弧度制和三角函數(shù)的概念

考試要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.【知識梳理】1.角的概念的推廣(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.(2)分類eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角Ｗ.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定義和公式(1)定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1rad.(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式弧長l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函數(shù)(1)定義前提如圖，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)定義正弦y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)余弦x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即cosα＝x正切eq\f(y,x)叫做α的正切函數(shù)，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)三角函數(shù)正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)(2)定義的推廣設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離為r(r>0)，那么sinα＝eq\f(y,r)；cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制與弧度制可利用180°＝πrad進(jìn)行互化，半徑為R，圓心角為n°的扇形的弧長公式和面積公式分別為l＝eq\f(nπR,180)，S＝eq\f(nπR2,360).3.象限角4.軸線角【診斷自測】1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)小于90°的角是銳角.()(2)銳角是第一象限角，第一象限角也都是銳角.()(3)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān).()(4)若α為第一象限角，則sinα＋cosα>1.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析(1)銳角的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(2)第一象限角不一定是銳角.2.(必修一P176T7(2))已知α是第一象限角，那么eq\f(α,2)是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或二象限角 D.第一或三象限角答案D解析易知2kπ＜α＜eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，故kπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z，所以eq\f(α,2)是第一或第三象限角.3.(必修一P180T3改編)已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－12，5)，則sinθ＋cosθ＝________.答案－eq\f(7,13)解析由三角函數(shù)的定義可得sinθ＋cosθ＝eq\f(5,\r(（－12）2＋52))＋eq\f(－12,\r(（－12）2＋52))＝eq\f(5,13)－eq\f(12,13)＝－eq\f(7,13).4.已知扇形的圓心角為30°，其弧長為2π，則此扇形的面積為________.答案12π解析∵α＝30°＝eq\f(π,6)，l＝αr，∴r＝eq\f(2π,\f(π,6))＝12，∴扇形面積S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×2π×12＝12π.考點(diǎn)一象限角及終邊相同的角例1(1)(多選)下列命題正確的是()A.終邊落在x軸的非負(fù)半軸的角的集合為{α|α＝2kπ，k∈Z}B.終邊落在y軸上的角的集合為{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}C.第三象限角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|π＋2kπ≤α≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))D.在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°角終邊相同的角為－675°和－315°答案AD解析A項(xiàng)顯然正確；B中，終邊落在y軸上的角的集合為{α|α＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}，角度與弧度不能混用，故錯誤；C中，第三象限角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|π＋2kπ＜α＜\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))，故錯誤；D中，所有與45°角終邊相同的角可表示為β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°＜0°(k∈Z)，解得－eq\f(17,8)≤k＜－eq\f(1,8)(k∈Z)，從而當(dāng)k＝－2時，β＝－675°；當(dāng)k＝－1時，β＝－315°，故正確.(2)已知角θ在第二象限，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)))＝－sineq\f(θ,2)，則角eq\f(θ,2)在()A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案C解析∵角θ是第二象限角，∴θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋π))，k∈Z，∴eq\f(θ,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z，∴角eq\f(θ,2)在第一或第三象限.又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)))＝－sineq\f(θ,2)，∴sineq\f(θ,2)＜0，∴角eq\f(θ,2)在第三象限.感悟提升1.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來求得所需的角.2.確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先寫出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在的位置.訓(xùn)練1(1)集合{α|kπ＋eq\f(π,4)≤α≤kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}中的角所表示的范圍(陰影部分)是()答案C解析當(dāng)k取偶數(shù)時，比如k＝0，此時eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)，故角的終邊在第一象限或y軸正半軸；當(dāng)k取奇數(shù)時，比如k＝1，此時eq\f(5π,4)≤α≤eq\f(3π,2)，故角的終邊在第三象限或y軸的負(fù)半軸.綜上，角的終邊在第一象限或第三象限或y軸上.(2)終邊在直線y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)內(nèi)的角α的集合為________________.答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)π，－\f(2,3)π，\f(π,3)，\f(4,3)π))解析在坐標(biāo)系中畫出直線y＝eq\r(3)x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角為eq\f(π,3)，在[0，2π)內(nèi)，終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角有eq\f(π,3)和eq\f(4,3)π；在[－2π，0)內(nèi)滿足條件的角有－eq\f(2,3)π和－eq\f(5,3)π，故滿足條件的角α構(gòu)成的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)π，－\f(2,3)π，\f(π,3)，\f(4,3)π)).考點(diǎn)二弧度制及其應(yīng)用例2已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l(α>0).(1)已知扇形的周長為10cm，面積是4cm2，求扇形的圓心角；(2)若扇形的周長為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？解(1)由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2R＋Rα＝10，,\f(1,2)α·R2＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R＝1，,α＝8))(舍去)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R＝4，,α＝\f(1,2).))故扇形的圓心角為eq\f(1,2).(2)由已知，得l＋2R＝20.所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以當(dāng)R＝5cm時，S取得最大值25cm2，此時l＝10cm，α＝2.感悟提升應(yīng)用弧度制解決問題時應(yīng)注意：(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.訓(xùn)練2(1)(2024·貴港模擬)圖①是杭州第19屆亞運(yùn)會會徽，名為“潮涌”，圖②是會徽的幾何圖形，設(shè)弧AD的長度是l1，弧BC的長度是l2，扇環(huán)ABCD的面積為S1，扇形BOC的面積為S2.若eq\f(l1,l2)＝3，則eq\f(S1,S2)＝()A.3 B.4 C.6 D.8答案D解析因?yàn)閑q\f(l1,l2)＝3，所以eq\f(|OA|,|OB|)＝3，又因?yàn)镾扇形AOD＝eq\f(1,2)l1·|OA|，S扇形BOC＝eq\f(1,2)l2·|OB|，所以eq\f(S扇形AOD,S扇形BOC)＝eq\f(l1·|OA|,l2·|OB|)＝9，所以eq\f(S扇環(huán)ABCD,S扇形BOC)＝8，即eq\f(S1,S2)＝8.(2)數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法：先畫等邊△ABC，再分別以A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形(如圖所示).若萊洛三角形的周長為2π，則其面積是________.答案2π－2eq\r(3)解析由條件可知，弧長eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\f(2π,3)，等邊三角形的邊長AB＝BC＝AC＝eq\f(\f(2π,3),\f(π,3))＝2，則以點(diǎn)A，B，C為圓心，圓弧AB，BC，AC所對的扇形面積為eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×2＝eq\f(2π,3)，中間等邊△ABC的面積S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).所以萊洛三角形的面積是3×eq\f(2π,3)－2eq\r(3)＝2π－2eq\r(3).考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用角度1三角函數(shù)的定義例3(1)(2024·湖北新高考協(xié)作體考試)已知角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.若Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)，1))是角α終邊上一點(diǎn)，則sinα＝()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(\r(3),2) C.eq\f(1,2) D.eq\f(2\r(5),5)答案D解析依題意，點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，則|OP|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋12)＝eq\f(\r(5),2)，∴sinα＝eq\f(1,\f(\r(5),2))＝eq\f(2\r(5),5).(2)(2024·豫北名校聯(lián)考)已知角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－4m，3m)(m≠0)，則2sinα＋cosα的值為________.答案eq\f(2,5)或－eq\f(2,5)解析由題意得，點(diǎn)P與原點(diǎn)間的距離r＝eq\r(（－4m）2＋（3m）2)＝5|m|，所以sinα＝eq\f(3m,5|m|)，cosα＝eq\f(－4m,5|m|)，當(dāng)m>0時，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，故2sinα＋cosα＝eq\f(2,5)；當(dāng)m<0時，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，故2sinα＋cosα＝－eq\f(2,5).角度2三角函數(shù)值符號的判定例4(1)(2024·成都石室中學(xué)模擬)若α是第三象限角，則下列各式中成立的是()A.tanα－sinα>0 B.sinα＋cosα>0C.cosα－tanα>0 D.tanαsinα>0答案A解析因?yàn)棣潦堑谌笙藿牵詓inα<0，cosα<0，tanα>0，對于A，tanα－sinα>0，故A正確；對于B，sinα＋cosα<0，故B錯誤；對于C，cosα－tanα<0，故C錯誤；對于D，tanαsinα<0，故D錯誤.(2)(多選)(2024·衢州質(zhì)檢)若sinxcosx>0，sinx＋cosx>0，則eq\f(x,2)可以是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案AC解析因?yàn)閟inxcosx>0，sinx＋cosx>0，所以sinx>0，cosx>0，故x是第一象限角，由2kπ<x<2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ<eq\f(x,2)<kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，當(dāng)k為偶數(shù)時，eq\f(x,2)是第一象限角，當(dāng)x為奇數(shù)時，eq\f(x,2)是第三象限角，故選AC.感悟提升1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，確定這個角的三角函數(shù)值.(2)已知角的某一個三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.2.要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號.如果不能確定角所在象限，那就要進(jìn)行分類討論求解.訓(xùn)練3(1)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若點(diǎn)P(sinα，tanα)在第四象限，則角α的終邊在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析∵點(diǎn)P(sinα，tanα)在第四象限，∴sinα>0，tanα<0，∴角α的終邊在第二象限.(2)(多選)(2024·青島調(diào)研)已知角α的始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊在直線y＝4x上，則eq\f(sinα－2cosα,tanα)的值可能是()A.eq\f(7\r(17),68) B.eq\f(\r(17),34)C.－eq\f(7\r(17),68) D.－eq\f(\r(17),34)答案BD解析由題意，若角α的終邊位于第一象限，令x＝1，則y＝4，故cosα＝eq\f(1,\r(12＋42))＝eq\f(1,\r(17))，sinα＝eq\f(4,\r(12＋42))＝eq\f(4,\r(17))，tanα＝4，則eq\f(sinα－2cosα,tanα)＝eq\f(\r(17),34)；若角α的終邊位于第三象限，令x＝－1，則y＝－4，故cosα＝－eq\f(1,\r(（－1）2＋（－4）2))＝－eq\f(1,\r(17))，sinα＝－eq\f(4,\r(（－1）2＋（－4）2))＝－eq\f(4,\r(17))，tanα＝4，則eq\f(sinα－2cosα,tanα)＝－eq\f(\r(17),34).【A級基礎(chǔ)鞏固】1.下列與角eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)答案C解析與角eq\f(9π,4)的終邊相同的角可以寫成2kπ＋eq\f(9π,4)(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，排除A，B，易知D錯誤，C正確.2.若sinθ·cosθ<0，eq\f(tanθ,sinθ)>0，則角θ是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案D解析由eq\f(tanθ,sinθ)>0，得eq\f(1,cosθ)>0，所以cosθ>0.又sinθ·cosθ<0，所以sinθ<0，所以θ為第四象限角.3.(2024·南通質(zhì)檢)已知點(diǎn)P(1，t)在角θ的終邊上，且sinθ＝－eq\f(\r(6),3)，則cosθ的值為()A.eq\f(\r(3),3) B.±eq\f(\r(3),3) C.±eq\f(1,3) D.eq\f(1,3)答案A解析由點(diǎn)P(1，t)在角θ的終邊上，知sinθ＝－eq\f(\r(6),3)＝eq\f(t,\r(t2＋1))，得t＝－eq\r(2)，可得角θ為第四象限角，∴cosθ＝eq\f(1,\r(t2＋1))＝eq\f(\r(3),3).4.在平面直角坐標(biāo)系中，角α的終邊過點(diǎn)(－1，0)，將α的終邊繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°與角β的終邊重合，則cosβ＝()A.eq\f(1,2) B.－eq\f(1,2) C.eq\f(\r(3),2) D.－eq\f(\r(3),2)答案A解析由題意知α＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝eq\f(5π,3)＋2kπ，k∈Z，故cosβ＝coseq\f(5π,3)＝eq\f(1,2).5.(2024·廣州調(diào)研)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A(1，m)，B(m，4)，則cosα＝()A.±eq\f(\r(5),5) B.eq\f(\r(5),5) C.±eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(2\r(5),5)答案B解析記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由題意可知O(0，0)，A(1，m)，B(m，4)三點(diǎn)共線，則m≠0，所以eq\f(m,1)＝eq\f(4,m)，解得m＝±2，又A，B兩點(diǎn)位于同一象限，所以m＝2，則A(1，2)，所以cosα＝eq\f(1,\r(12＋22))＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).6.(多選)下列說法正確的有()A.角eq\f(π,3)與角－eq\f(5,3)π終邊相同B.終邊在直線y＝－x上的角α的取值集合可表示為{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}C.若角α的終邊在直線y＝－3x上，則cosα的取值為eq\f(\r(10),10)D.67°30′化成弧度是eq\f(3π,8)答案AD解析角eq\f(π,3)與角－eq\f(5,3)π相差2π，終邊相同，故A正確；終邊在直線y＝－x上的角α的取值集合可表示為{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B錯誤；若角α的終邊在直線y＝－3x上，則cosα的取值為±eq\f(\r(10),10)，故C錯誤；67°30′化成弧度是eq\f(3π,8)，故D正確.7.(2023·西安二模)扇面是中國書畫作品的一種重要表現(xiàn)形式(如圖1)，圖2為其結(jié)構(gòu)簡化圖.設(shè)扇面A，B間的圓弧長為l，A，B間的弦長為d，圓弧所對的圓心角為θ，則l，d和θ所滿足的關(guān)系為()A.eq\f(2sin\f(θ,2),θ)＝eq\f(d,l) B.eq\f(sin\f(θ,2),θ)＝eq\f(d,l)C.eq\f(2cos\f(θ,2),θ)＝eq\f(d,l) D.eq\f(cos\f(θ,2),θ)＝eq\f(d,l)答案A解析如圖，連接AB，取AB的中點(diǎn)為D，連接OD，由題意可得AD＝eq\f(1,2)d，∠DOA＝eq\f(θ,2)，OD⊥AB，設(shè)OA＝r，在Rt△ADO中，sineq\f(θ,2)＝eq\f(\f(1,2)d,r)，①又l＝rθ，②所以由①②可得eq\f(l,θ)＝eq\f(\f(1,2)d,sin\f(θ,2))，即eq\f(2sin\f(θ,2),θ)＝eq\f(d,l).8.(多選)已知點(diǎn)P(sinx－cosx，－3)在第三象限，則x可能位于的區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(9π,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))答案AD解析由點(diǎn)P(sinx－cosx，－3)在第三象限，可得sinx－cosx<0，即sinx<cosx，所以－eq\f(3π,4)＋2kπ<x<eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z.當(dāng)k＝0時，x所在的一個區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))，當(dāng)k＝1時，x所在的一個區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(9π,4))).9.若α＝1560°，角θ與α終邊相同，且－360°＜θ＜360°，則θ＝________.答案120°或－240°解析因?yàn)棣粒?560°＝4×360°＋120°，所以與α終邊相同的角為360°×k＋120°，k∈Z，令k＝－1或k＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°.10.已知扇形的圓心角為120°，弧長為2π，則扇形面積為________.答案3π解析∵120°＝eq\f(2π,3)，l＝αr，∴r＝eq\f(l,α)＝eq\f(2π,\f(2π,3))＝3，∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×2π×3＝3π.11.(2021·北京卷)若P(cosθ，sinθ)與Qeq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))，eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))關(guān)于y軸對稱，寫出一個符合題意的θ值為________.答案eq\f(5π,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＝\f(5π,12)＋kπ，k∈Z，答案不唯一))解析由題意知，點(diǎn)P，Q都在單位圓上，且θ＋θ＋eq\f(π,6)＝π＋2kπ，k∈Z，所以θ＝eq\f(5π,12)＋kπ，k∈Z.12.如圖，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O(shè)為圓心、OB為半徑作圓弧交OP于點(diǎn)A.若圓弧AB等分△POB的面積，且∠AOB＝α，則eq\f(α,tanα)＝______.答案eq\f(1,2)解析設(shè)扇形的半徑為r，則扇形的面積為eq\f(1,2)αr2.在Rt△PBO中，PB＝rtanα，所以△POB的面積為eq\f(1,2)r·rtanα.由題意得eq\f(1,2)r2tanα＝2×eq\f(1,2)αr2，所以tanα＝2α，所以eq\f(α,tanα)＝eq\f(1,2).【B級能力提升】13.(多選)(2024·南開中學(xué)質(zhì)檢)已知角α是第二象限角，則下列不等式一定成立的是()A.sineq\f(α,2)<0 B.taneq\f(α,2)>0C.sineq\f(α,2)>coseq\f(α,2) D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))答案BD解析由題設(shè)，2kπ＋eq\f(π,2)<α<2kπ＋π，k∈Z，故kπ＋eq\f(π,4)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，當(dāng)k＝2n，n∈Z時，2nπ＋eq\f(π,4)<eq\f(α,2)<2nπ＋eq\f(π,2)，n∈Z，則角eq\f(α,2)的終邊在第一象限左上部分(不含邊界)；當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時，2nπ＋eq\f(5π,4)<eq\f(α,2)<2nπ＋eq\f(3π,2)，n∈Z，則角eq\f(α,2)的終邊在第三象限右下部分(不含邊界)；所以角eq\f(α,2)的終邊在第一象限左上部分或第三象限右下部分(不含邊界)；故sineq\f(α,2)符號不確定，且與coseq\f(α,2)大小關(guān)系不確定，taneq\f(α,2)>0，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))).B，D正確.14.(2024·綿陽模擬)月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉徹”，因其形酷似一彎新月而得名.如圖所示，某月牙泉模型的邊緣都可以看作是圓弧，兩段圓弧