2025年高考數(shù)學專題復習講義：專題一：三角與向量的交匯題型分析及解題策略

2025年高考數(shù)學專題復習講義：專題一：三角與向量的交匯題型分析及解題策略【命題趨向】三角函數(shù)與平面的向量的綜合主要體現(xiàn)為交匯型，在高考中，主要出現(xiàn)在解答題的第一個試題位置上，其難度中等偏下，分值一般為12分，交匯性主要體現(xiàn)在：三角函數(shù)恒等變換公式、性質與圖象與平面的向量的數(shù)量積及平面向量的平行、垂直、夾角及模之間都有著不同程度的交匯，在高考中是一個熱點.如08年安徽理科第5題(5分)，考查三角函數(shù)的對稱性與向量平移、08年山東文第8題理第15題(5分)考查兩角和與差與向量垂直、08福建文理第17題(12分)考查三角函數(shù)的求值與向量積、07的天津文理第15題(4分)考查正余弦定理與向量數(shù)量積等.根據(jù)2009年考綱預計在09年高考中解答題仍會涉及三角函數(shù)的基本恒等變換公式、誘導公式的運用、三角函數(shù)的圖像和性質、向量的數(shù)量積、共線(平行)與垂直的充要條件條件．主要考查題型：(1)考查純三角函數(shù)函數(shù)知識，即一般先通過三角恒等變換公式化簡三角函數(shù)式，再求三角函數(shù)的值或研究三角函數(shù)的圖象及性質；(2)考查三角函數(shù)與向量的交匯，一般是先利用向量知識建立三角函數(shù)關系式，再利用三角函數(shù)知識求解；(3)考查三角函數(shù)知識與解三角形的交匯，也就是將三角變換公式與正余弦定理交織在一起.【考試要求】1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定義．了解余切、正割、余割的定義．掌握同角三角函數(shù)的基本關系式．掌握正弦、余弦的誘導公式．了解周期函數(shù)與最小正周期的意義．2．掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．3．能正確運用三角公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明．4．理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質，會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的簡圖，理解A，ω，φ的物理意義．5．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形．6．掌握向量的加法和減法．掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件．7．了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算．8．掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．9．掌握平面兩點間的距離公式以及線段的定比分點和中點坐標公式，并且能熟練運用．掌握平移公式．【考點透視】向量具有代數(shù)運算性與幾何直觀性的“雙重身份”，即可以象數(shù)一樣滿足“運算性質”進行代數(shù)形式的運算，又可以利用它的幾何意義進行幾何形式的變換.而三角函數(shù)是以“角”為自變量的函數(shù)，函數(shù)值體現(xiàn)為實數(shù)，因此平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系.同時在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性.主要考點如下：1．考查三角式化簡、求值、證明及求角問題.2．考查三角函數(shù)的性質與圖像，特別是y=Asin(wx+j)的性質和圖像及其圖像變換.3．考查平面向量的基本概念，向量的加減運算及幾何意義，此類題一般難度不大，主要用以解決有關長度、夾角、垂直、平行問題等.4．考查向量的坐標表示，向量的線性運算，并能正確地進行運算.5．考查平面向量的數(shù)量積及運算律(包括坐標形式及非坐標形式)，兩向量平行與垂直的充要條件等問題.6．考查利用正弦定理、余弦定理解三角形問題.【典例分析】題型一三角函數(shù)平移與向量平移的綜合三角函數(shù)與平面向量中都涉及到平移問題，雖然平移在兩個知識系統(tǒng)中講法不盡相同，但它們實質是一樣的，它們都統(tǒng)一于同一坐標系的變化前后的兩個圖象中.解答平移問題主要注意兩個方面的確定：(1)平移的方向；(2)平移的單位.這兩個方面就是體現(xiàn)為在平移過程中對應的向量坐標.【例1】把函數(shù)y＝sin2x的圖象按向量eq\o(→,a)＝(－eq\f(p,6)，－3)平移后，得到函數(shù)y＝Asin(ωx＋j)(A＞0，ω＞0，|j|＝eq\f(p,2))的圖象，則j和B的值依次為 （）A．eq\f(p,12)，－3 B．eq\f(p,3)，3 C．eq\f(p,3)，－3 D．－eq\f(p,12)，3【分析】根據(jù)向量的坐標確定平行公式為eq\b\lc\{(\s(,,))eq\s(x＝x￠＋eq\f(p,6),y＝y(tǒng)￠＋3)，再代入已知解析式可得.還可以由向量的坐標得圖象的兩個平移過程，由此確定平移后的函數(shù)解析式，經對照即可作出選擇.【解析1】由平移向量知向量平移公式eq\b\lc\{(\s(,,))eq\s(x￠＝x－eq\f(p,6),y￠＝y(tǒng)－3)，即eq\b\lc\{(\s(,,))eq\s(x＝x￠＋eq\f(p,6),y＝y(tǒng)￠＋3)，代入y＝sin2x得y￠＋3＝sin2(x￠＋eq\f(p,6))，即到y(tǒng)＝sin(2x＋EQ\f(π,3))－3，由此知j＝eq\f(p,3)，B＝－3，故選C.【解析2】由向量eq\o(→,a)＝(－eq\f(p,6)，－3)，知圖象平移的兩個過程，即將原函數(shù)的圖象整體向左平移eq\f(p,6)個單位，再向下平移3個單位，由此可得函數(shù)的圖象為y＝sin2(x＋eq\f(p,6))－3，即y＝sin(2x＋EQ\f(π,3))－3，由此知j＝eq\f(p,3)，B＝－3，故選C.【點評】此類題型將三角函數(shù)平移與向量平移有機地結合在一起，主要考查分析問題、解決問題的綜合應用能力，同時考查方程的思想及轉化的思想.本題解答的關鍵，也是易出錯的地方是確定平移的方向及平移的大小.題型二三角函數(shù)與平面向量平行(共線)的綜合此題型的解答一般是從向量平行(共線)條件入手，將向量問題轉化為三角問題，然后再利用三角函數(shù)的相關知識再對三角式進行化簡，或結合三角函數(shù)的圖象與民性質進行求解.此類試題綜合性相對較強，有利于考查學生的基礎掌握情況，因此在高考中常有考查.【例2】已知A、B、C為三個銳角，且A＋B＋C＝π.若向量eq\o(→,p)＝(2－2sinA，cosA＋sinA)與向量eq\o(→,q)＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共線向量.（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求函數(shù)y＝2sin2B＋coseq\f(C－3B,2)的最大值.【分析】首先利用向量共線的充要條件建立三角函數(shù)等式，由于可求得A角的正弦值，再根據(jù)角的范圍即可解決第(Ⅰ)小題；而第(Ⅱ)小題根據(jù)第(Ⅰ)小題的結果及A、B、C三個角的關系，結合三角民恒等變換公式將函數(shù)轉化為關于角B的表達式，再根據(jù)B的范圍求最值.【解】（Ⅰ）∵eq\o(→,p)、eq\o(→,q)共線，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，則sin2A＝eq\f(3,4)，又A為銳角，所以sinA＝eq\f(eq\r(3),2)，則A＝eq\f(p,3).（Ⅱ）y＝2sin2B＋coseq\f(C－3B,2)＝2sin2B＋coseq\f((π－eq\f(p,3)－B)－3B,2)＝2sin2B＋cos(eq\f(p,3)－2B)＝1－cos2B＋eq\f(1,2)cos2B＋eq\f(eq\r(3),2)sin2B＝eq\f(eq\r(3),2)sin2B－eq\f(1,2)cos2B＋1＝sin(2B－eq\f(p,6))＋1.∵B∈(0，eq\f(p,2))，∴2B－eq\f(p,6)∈(－eq\f(p,6)，eq\f(5p,6))，∴2B－eq\f(p,6)＝eq\f(p,2)，解得B＝eq\f(p,3)，ymax＝2.【點評】本題主要考查向量共線(平行)的充要條件、三角恒等變換公式及三角函數(shù)的有界性.本題解答有兩個關鍵：（1）利用向量共線的充要條件將向量問題轉化為三角函數(shù)問題；（2）根據(jù)條件確定B角的范圍.一般地，由于在三角函數(shù)中角是自變量，因此解決三角函數(shù)問題確定角的范圍就顯得至關重要了.題型三三角函數(shù)與平面向量垂直的綜合此題型在高考中是一個熱點問題，解答時與題型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要條件將向量問題轉化為三角問題，再利用三角函數(shù)的相關知識進行求解.此類題型解答主要體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想、轉化的思想等.【例3】已知向量eq\o(→,a)＝(3sinα,cosα)，eq\o(→,b)＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(eq\f(3p,2)，2π)，且eq\o(→,a)⊥eq\o(→,b)．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(eq\f(α,2)＋eq\f(p,3))的值．【分析】第(Ⅰ)小題從向量垂直條件入手，建立關于α的三角方程，再利用同角三角函數(shù)的基本關系可求得tanα的值；第(Ⅱ)小題根據(jù)所求得的tanα的結果，利用二倍角公式求得taneq\f(α,2)的值，再利用兩角和與差的三角公式求得最后的結果．【解】（Ⅰ）∵eq\o(→,a)⊥eq\o(→,b)，∴eq\o(→,a)·eq\o(→,b)＝0．而eq\o(→,a)＝（3sinα，cosα），eq\o(→,b)＝(2sinα,5sinα－4cosα)，故eq\o(→,a)·eq\o(→,b)＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－eq\f(4,3)，或tanα＝eq\f(1,2)．∵α∈（eq\f(3p,2)，2π），tanα＜0，故tanα＝eq\f(1,2)（舍去）．∴tanα＝－eq\f(4,3)．（Ⅱ）∵α∈（eq\f(3p,2)，2π），∴eq\f(α,2)∈（eq\f(3p,4)，π）．由tanα＝－eq\f(4,3)，求得taneq\f(α,2)＝－eq\f(1,2)，taneq\f(α,2)＝2（舍去）．∴sineq\f(α,2)＝eq\f(eq\r(5),5)，coseq\f(α,2)＝－eq\f(2eq\r(5),5)，∴cos(eq\f(α,2)＋eq\f(p,3))＝coseq\f(α,2)coseq\f(p,3)－sineq\f(α,2)sineq\f(p,3)＝－eq\f(2eq\r(5),5)×eq\f(1,2)－eq\f(eq\r(5),5)×eq\f(eq\r(3),2)＝－eq\f(2eq\r(5)＋eq\r(15),10)【點評】本題主要考查向量垂直的充要條件、同角三角函數(shù)的基本關系、二倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù).同時本題兩個小題的解答都涉及到角的范圍的確定，再一次說明了在解答三角函數(shù)問題中確定角的范圍的重要性.同時還可以看到第（Ⅰ）小題的解答中用到“弦化切”的思想方法，這是解決在一道試題中同時出現(xiàn)“切函數(shù)與弦函數(shù)”關系問題常用方法.題型四三角函數(shù)與平面向量的模的綜合此類題型主要是利用向量模的性質|eq\o(→,a)|2＝eq\o(→,a)2，如果涉及到向量的坐標解答時可利用兩種方法：（1）先進行向量運算，再代入向量的坐標進行求解；（2）先將向量的坐標代入向量的坐標，再利用向量的坐標運算進行求解.【例3】已知向量eq\o(→,a)＝(cosα,sinα)，eq\o(→,b)＝(cosβ,sinβ)，|eq\o(→,a)－eq\o(→,b)|＝eq\f(2,5)eq\r(5).(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－eq\f(p,2)＜β＜0＜α＜eq\f(p,2)，且sinβ＝－eq\f(5,13)，求sinα的值.【分析】利用向量的模的計算與數(shù)量積的坐標運算可解決第(Ⅰ)小題；而第(Ⅱ)小題則可變角α＝(α－β)＋β，然后就須求sin(α－β)與cosβ即可.【解】(Ⅰ)∵|eq\o(→,a)－eq\o(→,b)|＝eq\f(2,5)eq\r(5)，∴eq\o(→,a)2－2eq\o(→,a)·eq\o(→,b)＋eq\o(→,b)2＝eq\f(4,5)，將向量eq\o(→,a)＝(cosα,sinα)，eq\o(→,b)＝(cosβ,sinβ)代入上式得12－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋12＝eq\f(4,5)，∴cos(α－β)＝－eq\f(3,5).(Ⅱ)∵－eq\f(p,2)＜β＜0＜α＜eq\f(p,2)，∴0＜α－β＜π，由cos(α－β)＝－eq\f(3,5)，得sin(α－β)＝eq\f(4,5)，又sinβ＝－eq\f(5,13)，∴cosβ＝eq\f(12,13)，∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝eq\f(33,65).點評：本題主要考查向量的模、數(shù)量積的坐標運算、和角公式、同角三角函數(shù)的基本關系.本題解答中要注意兩點：(1)化|eq\o(→,a)－eq\o(→,b)|為向量運算|eq\o(→,a)－eq\o(→,b)|2＝(eq\o(→,a)－eq\o(→,b))2；(2)注意解α－β的范圍.整個解答過程體現(xiàn)方程的思想及轉化的思想.題型五三角函數(shù)與平面向量數(shù)量積的綜合此類題型主要表現(xiàn)為兩種綜合方式：(1)三角函數(shù)與向量的積直接聯(lián)系；(2)利用三角函數(shù)與向量的夾角交匯，達到與數(shù)量積的綜合.解答時也主要是利用向量首先進行轉化，再利用三角函數(shù)知識求解.20090318【例5】設函數(shù)f(x)＝eq\o(→,a)·eq\o(→,b).其中向量eq\o(→,a)＝(m，cosx)，eq\o(→,b)＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f(eq\f(p,2))＝2.（Ⅰ）求實數(shù)m的值；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的最小值.20090318分析：利用向量內積公式的坐標形式，將題設條件中所涉及的向量內積轉化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關系”，從而，建立函數(shù)f(x)關系式，第（Ⅰ）小題直接利用條件f(eq\f(p,2))＝2可以求得，而第(Ⅱ)小題利用三角函數(shù)函數(shù)的有界性就可以求解.解：（Ⅰ）f(x)＝eq\o(→,a)·eq\o(→,b)＝m(1＋sinx)＋cosx，由f(eq\f(p,2))＝2，得m(1＋sineq\f(p,2))＋coseq\f(p,2)＝2，解得m＝1.(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋1＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(p,4))＋1，當sin(x＋eq\f(p,4))＝－1時，f(x)的最小值為1－eq\r(2).點評：平面向量與三角函數(shù)交匯點較多，向量的平行、垂直、夾角、數(shù)量積等知識都可以與三角函數(shù)進行交匯.不論是哪類向量知識與三角函數(shù)的交匯試題，其解法都差不多，首先都是利用向量的知識將條件轉化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關系”，再利用三角函數(shù)的相關知識進行求解．六、解斜三角形與向量的綜合在三角形的正弦定理與余弦定理在教材中是利用向量知識來推導的，說明正弦定理、余弦定理與向量有著密切的聯(lián)系.解斜三角形與向量的綜合主要體現(xiàn)為以三角形的角對應的三角函數(shù)值為向量的坐標，要求根據(jù)向量的關系解答相關的問題.【例6】已知角A、B、C為△ABC的三個內角，其對邊分別為a、b、c，若eq\o(→,m)＝(－coseq\f(A,2)，sineq\f(A,2))，eq\o(→,n)＝(coseq\f(A,2)，sineq\f(A,2))，a＝2eq\r(3)，且eq\o(→,m)·eq\o(→,n)＝eq\f(1,2)．（Ⅰ）若△ABC的面積S＝eq\r(3)，求b＋c的值．（Ⅱ）求b＋c的取值范圍．【分析】第(Ⅰ)小題利用數(shù)量積公式建立關于角A的三角函數(shù)方程，再利用二倍角公式求得A角，然后通過三角形的面積公式及余弦定理建立關于b、c的方程組求取b＋c的值；第(Ⅱ)小題正弦定理及三角形內角和定理建立關于B的三角函數(shù)式，進而求得b＋c的范圍.【解】（Ⅰ）∵eq\o(→,m)＝(－coseq\f(A,2)，sineq\f(A,2))，eq\o(→,n)＝(coseq\f(A,2)，sineq\f(A,2))，且eq\o(→,m)·eq\o(→,n)＝eq\f(1,2)，∴－cos2eq\f(A,2)＋sin2eq\f(A,2)＝eq\f(1,2)，即－cosA＝eq\f(1,2)，又A∈(0，π)，∴A＝eq\f(2p,3).又由S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)，所以bc＝4，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·coseq\f(2p,3)＝b2＋c2＋bc，∴16＝(b＋c)2，故b＋c＝4.（Ⅱ）由正弦定理得：eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(2eq\r(3),sineq\f(2p,3))＝4，又B＋C＝p－A＝eq\f(p,3)，∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(eq\f(p,3)－B)＝4sin(B＋eq\f(p,3))，∵0＜B＜eq\f(p,3)，則eq\f(p,3)＜B＋eq\f(p,3)＜eq\f(2p,3)，則eq\f(eq\r(3),2)＜sin(B＋eq\f(p,3))≤1，即b＋c的取值范圍是(2eq\r(3)，4].[點評]本題解答主要考查平面向量的數(shù)量積、三角恒等變換及三角形中的正弦定理、余弦定理、面積公式、三角形內角和定理等.解答本題主要有兩處要注意：第(Ⅰ)小題中求b＋c沒有利用分別求出b、c的值為解，而是利用整體的思想，使問題得到簡捷的解答；(2)第(Ⅱ)小題的求解中特別要注意確定角B的范圍.【專題訓練】一、選擇題1．已知eq\o(→,a)＝(cos40°，sin40°)，eq\o(→,b)＝(cos20°，sin20°)，則eq\o(→,a)·eq\o(→,b)＝ （）A．1 B．eq\f(eq\r(3),2) C．eq\f(1,2) D．eq\f(eq\r(2),2)2．將函數(shù)y＝2sin2x－EQ\f(π,2)的圖象按向量(EQ\f(π,2)，EQ\f(π,2))平移后得到圖象對應的解析式是 （）A．2cos2x B．－2cos2x C．2sin2x D．－2sin2x3．已知△ABC中，＝，＝，若·＜0，則△ABC是 （） A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．任意三角形4．設eq\o(→,a)＝(eq\f(3,2),sina)，eq\o(→,b)＝(cosa,eq\f(1,3))，且eq\o(→,a)∥eq\o(→,b)，則銳角a為 （）A．30° B．45° C．60° D．75°5．已知eq\o(→,a)＝(sinθ，eq\r(1＋cosθ))，eq\o(→,b)＝(1，eq\r(1－cosθ))，其中θ∈(π，eq\f(3p,2))，則一定有 （）A．eq\o(→,a)∥eq\o(→,b) B．eq\o(→,a)⊥eq\o(→,b) C．eq\o(→,a)與eq\o(→,b)夾角為45°D．|eq\o(→,a)|＝|eq\o(→,b)|6．已知向量eq\o(a,→)＝(6，－4)，eq\o(b,→)＝(0，2),eq\o(c,→)＝eq\o(a,→)＋leq\o(b,→)，若C點在函數(shù)y＝sineq\f(π,12)x的圖象上,實數(shù)l＝ （）A．eq\f(5,2) B．eq\f(3,2) C．－eq\f(5,2) D．－eq\f(3,2)7．由向量把函數(shù)y＝sin(x＋eq\f(5p,6))的圖象按向量eq\o(→,a)＝(m，0)(m＞0)平移所得的圖象關于y軸對稱，則m的最小值為 （）A．eq\f(p,6) B．eq\f(p,3) C．eq\f(2p,3) D．eq\f(5p,6)8．設0≤θ≤2π時，已知兩個向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，則向量長度的最大值是 （）A．eq\r(2) B．eq\r(3) C．3eq\r(2) D．2eq\r(3)9．若向量eq\o(→,a)＝(cosa,sina)，eq\o(→,b)＝(cosb,sinb)，則eq\o(→,a)與eq\o(→,b)一定滿足 （）A．eq\o(→,a)與eq\o(→,b)的夾角等于a－b B．eq\o(→,a)⊥eq\o(→,b)C．eq\o(→,a)∥eq\o(→,b) D．(eq\o(→,a)＋eq\o(→,b))⊥(eq\o(→,a)－eq\o(→,b))10．已知向量eq\o(→,a)＝(cos25°,sin25°)，eq\o(→,b)＝(sin20°,cos20°)，若t是實數(shù)，且eq\o(→,u)＝eq\o(→,a)＋teq\o(→,b)，則|eq\o(→,u)|的最小值為 （）A．eq\r(2) B．1 C．eq\f(eq\r(2),2) D．eq\f(1,2)11．O是平面上一定點，A、B、C是該平面上不共線的3個點，一動點P滿足：eq\o(→,OP)＝eq\o(→,OA)＋l(eq\o(→,AB)＋eq\o(→,AC))，l∈(0,＋∞)，則直線AP一定通過△ABC的 （）A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心2009031812．對于非零向量eq\o(→,a)我們可以用它與直角坐標軸的夾角a,b(0≤a≤p,0≤b≤p)來表示它的方向，稱a,b為非零向量eq\o(→,a)的方向角，稱cosa,cosb為向量eq\o(→,a)的方向余弦，則cos2a＋cos2b＝（）20090318A．1 B．eq\f(eq\r(3),2) C．eq\f(1,2) D．0二、填空題13．已知向量eq\o(→,m)＝(sinq，2cosq)，eq\o(→,n)＝(eq\r(3),－eq\f(1,2)).若eq\o(→,m)∥eq\o(→,n)，則sin2q的值為____________．14．已知在△OAB(O為原點)中，eq\o(→,OA)＝(2cosa，2sina)，eq\o(→,OB)＝(5cosb，5sinb)，若eq\o(→,OA)·eq\o(→,OB)＝－5，則S△AOB的值為_____________.15．將函數(shù)f(x)＝tan(2x＋eq\f(p,3))＋1按向量a平移得到奇函數(shù)g(x)，要使|a|最小，則a＝ ____________.16．已知向量＝(1，1)向量與向量夾角為eq\f(3π,4)，且·＝－1.則向量＝__________．三、解答題17．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若eq\o(→,AB)·eq\o(→,AC)＝eq\o(→,BA)·eq\o(→,BC)＝k(k∈R).（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；（Ⅱ）若c＝eq\r(2)，求k的值．18．已知向量eq\o(→,m)＝(sinA,cosA)，eq\o(→,n)＝(eq\r(3),－1)，eq\o(→,m)·eq\o(→,n)＝1，且為銳角.(Ⅰ)求角A的大??；(Ⅱ)求函數(shù)f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．19．在△ABC中，A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，已知向量eq\o(→,m)＝(1，2sinA)，eq\o(→,n)＝(sinA，1＋cosA)，滿足eq\o(→,m)∥eq\o(→,n)，b＋c＝eq\r(3)a.(Ⅰ)求A的大??；(Ⅱ)求sin(B＋eq\f(p,6))的值．20．已知A、B、C的坐標分別為A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）.（Ⅰ）若α∈(－π，0)，且|eq\o(→,AC)|＝|eq\o(→,BC)|，求角α的大??；（Ⅱ）若eq\o(→,AC)⊥eq\o(→,BC)，求eq\f(2sin2α＋sin2α,1＋tanα)的值．21．△ABC的角A、B、C的對邊分別為a、b、c，eq\o(→,m)＝(2b－c，a)，eq\o(→,n)＝(cosA，－cosC)，且eq\o(→,m)⊥eq\o(→,n)．(Ⅰ)求角A的大??；(Ⅱ)當y＝2sin2B＋sin(2B＋eq\f(p,6))取最大值時，求角的大小.22．已知eq\o(→,a)＝(cosx＋sinx，sinx)，eq\o(→,b)＝(cosx－sinx，2cosx)，（Ⅰ）求證：向量eq\o(→,a)與向量eq\o(→,b)不可能平行；（Ⅱ）若f(x)＝eq\o(→,a)·eq\o(→,b)，且x∈[－eq\f(p,4),eq\f(p,4)]時，求函數(shù)f(x)的最大值及最小值．【專題訓練】參考答案一、選擇題1．B解析：由數(shù)量積的坐標表示知eq\o(→,a)·eq\o(→,b)＝cos40°sin20°＋sin40°cos20°＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).2．D【解析】y＝2sin2x－EQ\f(π,2)→y＝2sin2（x＋eq\f(p,2)）－EQ\f(π,2)＋EQ\f(π,2)，即y＝－2sin2x.3．A【解析】因為cos∠BAC＝＝＜0，∴∠BAC為鈍角.4．B【解析】由平行的充要條件得eq\f(3,2)×eq\f(1,3)－sinacosa＝0，sin2a＝1，2a＝90°，a＝45°.5．B【解析】eq\o(→,a)·eq\o(→,b)＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈(π，eq\f(3p,2))，∴|sinθ|＝－sinθ，∴eq\o(→,a)·eq\o(→,b)＝0，∴eq\o(→,a)⊥eq\o(→,b)．6．A【解析】eq\o(c,→)＝eq\o(a,→)＋leq\o(b,→)＝(6，－4＋2l)，代入y＝sineq\f(π,12)x得，－4＋2l＝sineq\f(p,2)＝1，解得l＝eq\f(5,2).7．B【解析】考慮把函數(shù)y＝sin(x＋eq\f(5p,6))的圖象變換為y＝cosx的圖象，而y＝sin(x＋eq\f(5p,6))＝cos(x＋eq\f(p,3))，即把y＝cos(x＋eq\f(p,3))的圖象變換為y＝cosx的圖象，只須向右平行eq\f(p,3)個單位，所以m＝eq\f(p,3)，故選B.8．C【解析】||＝eq\r((2＋sinθ－cosθ)2＋(2－cosθ－sinθ)2)＝eq\r(10－8cosθ)≤3eq\r(2).9．D【解析】eq\o(→,a)＋eq\o(→,b)＝(cosa＋cosb,sina＋sinb)，eq\o(→,a)－eq\o(→,b)＝(cosa＋cosb,sina－sinb)，∴(eq\o(→,a)＋eq\o(→,b))·(eq\o(→,a)－eq\o(→,b))＝cos2a－cos2b＋sin2a－sin2b＝0，∴(eq\o(→,a)＋eq\o(→,b))⊥(eq\o(→,a)－eq\o(→,b))．10．C【解析】|eq\o(→,u)|2＝|eq\o(→,a)|2＋t2|eq\o(→,b)|2＋2teq\o(→,a)·eq\o(→,b)＝1＋t2＋2t(sin20°cos25°＋cos20°sin25°)＝t2＋eq\r(2)t＋1＝(t＋eq\f(eq\r(2),2))2＋eq\f(1,2)，|eq\o(→,u)|eq\o(2,min)＝eq\f(1,2)，∴|eq\o(→,u)|min＝eq\f(eq\r(2),2).11．C【解析】設BC的中點為D，則eq\o(→,AB)＋eq\o(→,AC)＝2eq\o(→,AD)，又由eq\o(→,OP)＝eq\o(→,OA)＋l(eq\o(→,AB)＋eq\o(→,AC))，eq\o(→,AP)＝2leq\o(→,AD)，所以eq\o(→,AP)與eq\o(→,AD)共線，即有直線AP與直線AD重合，即直線AP一定通過△ABC的重心．12．A【解析】設eq\o(→,a)＝(x,y)，x軸、y軸、z軸方向的單位向量分別為eq\o(→,i)＝(1,0)，eq\o(→,j)＝(0,1)，由向量知識得cosa＝eq\f(eq\o(→,i)·eq\o(→,a),|eq\o(→,i)|·|eq\o(→,a)|)＝eq\f(x,eq\r(x2＋y2))，cosb＝eq\f(eq\o(→,j)·eq\o(→,a),|eq\o(→,j)|·|eq\o(→,a)|)＝eq\f(y,eq\r(x2＋y2))，則cos2a＋cos2b＝1.二、填空題13．－eq\f(8eq\r(3),49)【解析】由eq\o(→,m)∥eq\o(→,n)，得－eq\f(1,2)sinq＝2eq\r(3)cosq,∴tanq＝－4eq\r(3)，∴sin2q＝eq\f(2sinqcosq,sin2q＋cos2q)＝eq\f(2tanq,tan2q＋1)＝－eq\f(8eq\r(3),49)．14．eq\f(5eq\r(3),2)【解析】eq\o(→,OA)·eq\o(→,OB)＝－5T10cosacobs＋10sinasinb＝－5T10cos(a－b)＝－5Tcos(a－b)＝－eq\f(1,2)，∴sin∠AOB＝eq\f(eq\r(3),2)，又|eq\o(→,OA)|＝2，|eq\o(→,OB)|＝5，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×2×5×eq\f(eq\r(3),2)＝eq\f(5eq\r(3),2)．15．（eq\f(p,6)，－1）【解析】要經過平移得到奇函數(shù)g(x)，應將函數(shù)f(x)＝tan(2x＋eq\f(p,3))＋1的圖象向下平移1個單位，再向右平移－eq\f(kπ,2)＋eq\f(p,6)(k∈Z)個單位．即應按照向量eq\o(→,a)＝(－eq\f(kπ,2)＋eq\f(p,6)，－1)(k∈Z)進行平移．要使|a|最小，16．(－1，0)或(0，－1)【解析】設＝(x，y)，由·＝－1，有x＋y＝－1①，由與夾角為eq\f(3π,4)，有·＝||·||coseq\f(3π,4)，∴||＝1，則x2＋y2＝1②，由①②解得eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(x=﹣1,y=0)或eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(x＝0,y＝－1)∴即＝(－1，0)或＝(0，－1)．三、解答題17．【解】（Ⅰ）∵eq\o(→,AB)·eq\o(→,AC)＝bccosA，eq\o(→,BA)·eq\o(→,BC)＝cacosB，又eq\o(→,AB)·eq\o(→,AC)＝eq\o(→,BA)·eq\o(→,BC)，∴bccosA＝cacosB，∴由正弦定理，得sinBcosA＝sinAcosB，即sinAcosB－sinBcosA＝0，∴sin(A－B)＝0∵－π＜A－B＜π，∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC為等腰三角形. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴eq\o(→,AB)·eq\o(→,AC)＝bccosA＝bc·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(c2,2)，∵c＝eq\r(2)，∴k＝1.18．【解】(Ⅰ)由題意得eq\o(→,m)·eq\o(→,n)＝eq\r(3)sinA－cosA＝1，2sin(A－eq\f(p,6))＝1，sin(A－eq\f(p,6))＝eq\f(1,2)，由A為銳角得A－eq\f(p,6)＝eq\f(p,6)，A＝eq\f(p,3).(Ⅱ)由（Ⅰ）知cosA＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,2)，因為x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，當sinx＝eq\f(1,2)時，f(x)有最大值eq\f(3,2)．當sinx＝－1時，f(x)有最小值－3，所以所求函數(shù)f(x)的值域是[－3，eq\f(3,2)]．19．【解】(Ⅰ)由eq\o(→,m)∥eq\o(→,n)，得2sin2A－1－cosA＝0，即2cos2A＋cosA－1＝0，∴cosA＝eq\f(1,2)或cosA＝－1.∵A是△ABC內角，cosA＝－1舍去，∴A＝eq\f(p,3).(Ⅱ)∵b＋c＝eq\r(3)a，由正弦定理，sinB＋sinC＝eq