2025中考數(shù)學一輪復習第22講 銳角三角函數(shù)（含解析+考點卡片）

2025年中考數(shù)學一輪復習

第22講銳角三角函數(shù)

一．選擇題（共10小題）

1．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點B，C分別在地面OP和墻面OQ上，且邊AB∥OQ，若AC＝1，

∠ABC＝，則CO的長為（）

α

A．B．

????????

C．cos??×??tanD．????

1

αα

2．如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時，頂部已經蕩然無存?，??但?×底??部?未?受損．已知該金字塔的下底面是一個邊長

為200m的正方形，且每一個側面與地面成60°角，則金字塔原來高度為（）

A．50mB．C．100mD．

3．如圖，某水庫堤壩橫斷面迎5水0坡3的?坡角為，sin，堤壩高BC＝15m，則10迎0水3坡?面AB的長度為（）

3

αα=5

A．20mB．25mC．30mD．35m

4．某校數(shù)學“綜合與實踐”小組的同學想要測量校園內文化長廊（如圖1）的最高點到地面的高度．如圖

2是其測量示意圖，五邊形ABDEC關于直線EF對稱，EF與AB，CD分別相交于點F，G．測得AB＝3m，

CD＝5m，∠ABD＝135°，∠BDE＝92°，則文化長廊的最高點離地面的高度EF約為（）（結果保留

一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）

A．4.2mB．4.0mC．3.7mD．3.6m

5．如圖，△ABC的頂點都在正方形網格的格點上，則tanA的值是（）

A．B．C．D．2

344

6．如5圖，滑雪場有一坡角205°的滑雪道，滑雪道AC3長為200米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB

的長為（）米．

A．B．C．200cos20°D．200sin20°

200200

7．如??圖?2是0°某商店營業(yè)大廳自動??扶?2梯0°的示意圖，已知扶梯的長度為m米，坡度，則大廳兩層之間的距

5

離為（）?=12

A．米B．米C．米D．米

551212

????

8．在13計算tan15°的值時，可1以2借用“數(shù)形結合”思1想3構建幾何圖形的方法5解決，如圖，在Rt△ACB中，

∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB到D使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，設AC＝a，則AB＝DB

＝2a，，，Rt△ACD中．類比這

??12?3

??=3???=(2+3)????15°====2?3

種方法，可以得到tan22.5°的值為（）??2+3(2+3)(2?3)

A．B．C．D．

1

2+12?12

9．如圖，圖①、圖②分別是某種型號跑步機的實物圖與示意圖，已知游2步機手柄AB與地面DE平行，

端板CD長為1.5m，CD與地面DE的夾角∠CDE＝a，支架AC長為1m，∠CAB＝120°，則距步機手柄

AB所在直線與地面DE之間的距離為（）

A．B．

31

+1.5????+1.5????

C．2D．2

31

+1.5????+1.5????

10．2如圖，在正方體中，∠BD1B1的正切值為（2）

A．B．C．1D．

23

二．填空題（共小題）2

252

11．某地為拓寬河道和提高攔水壩，進行了現(xiàn)有攔水壩改造．如圖所示，改造前的斜坡米，

坡度為1：4；將斜坡AB的高度AE提高20米（即AC＝20米）后，斜坡AB改造成斜坡C?D?，=其80坡度17為1：

1.5．則改造后斜坡CD的長為．

12．如圖，與斜坡CE垂直的太陽光線照射立柱AB（與水平地面BF垂直）形成的影子，一部分落在地面

上，另一部分落在斜坡上．若BC＝3米，CD＝8.48米，斜坡的坡角∠ECF＝32°，則立柱AB的高為

米（結果精確到0.1米）．

科學計算器按鍵順序計算結果（已取近似值）

0.530

0.848

0.625

13．如圖，社小山的東側煉A處有一個熱氣球，由于受西風的影響，以30m/min的速度沿與地面成75°角

的方向飛行，20min后到達點C處，此時熱氣球上的人測得小山西側點B處的俯角為30°，則小山東西兩

側A，B兩點間的距離為．

14．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝10，，點M在邊AB上，點N在邊BC上，且AM＝

3

BN，連接MN，當△BMN為等腰三角形時，AM＝????=5．

15．如圖，A，B，C，D均為網格圖中的格點，線段AB與CD相交于點P，則∠APD的正切值為．

三．解答題（共5小題）

16．如圖，在修建某條地鐵時，科技人員利用探測儀在地面A、B兩個探測點探測到地下C處有金屬回聲．已

知A、B兩點相距8米，探測線AC，BC與地面的夾角分別是30°和45°，試確定有金屬回聲的點C的

深度是多少米？

17．廣州市民昵稱“小蠻腰”的廣州塔，是目前中國最高的塔，它主要由塔身主體與天線桅桿兩部分組成．廣

州某中學數(shù)學興趣小組幾位同學，在五一假期，利用測角儀測量“小蠻腰”的“身高”，他們在離塔底A

水平距離450米的地點B，測得塔身主體的頂端C的仰角為45°，天線桅桿的頂端D的仰角為53°9′．

（1）根據(jù)題意，畫出幾何示意圖（塔身及天線與地面垂直）；

（2）求天線棉桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan53°9'，

44

≈3???53°9'≈5)

18．在鄭州之林公園內有一座如意雕塑（圖1），它挺拔矗立在CBD前端，展現(xiàn)出了鄭東新區(qū)的美好藍圖

與如意和諧的愿望．綜合實踐小組想按如圖2所示的方案測量如意雕塑的高度EF：①在如意雕塑前的空

地上確定測量點A，當測量器高度AC為3m時，測得如意雕塑最高點E的仰角∠ECD＝45°；②保持測

量器位置不變，調整測量器高度AB為4.1m時，測得點E的仰角∠EBG＝44°．已知點A，B，C，D，E，

F，G在同一豎直平面內，請根據(jù)該小組的測量數(shù)據(jù)計算如意雕塑的高度EF．（結果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：

sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.97）

19．如圖1所示是一種太陽能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構成．如圖2，AB是燈桿，CD是燈管支

架，燈管支架CD與燈桿間的夾角∠BDC＝60°．綜合實踐小組的同學想知道燈管支架CD的長度，他們

在地面的點E處測得燈管支架底部D的仰角為60°，在點F處測得燈管支架頂部C的仰角為30°，測得

AE＝3m，EF＝9m（A，E，F(xiàn)在同一條直線上）．請解答下列問題：

（1）求燈管支架底部距地面高度AD的長（結果保留根號）；

（2）求燈管支架CD的長度（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：）．

3≈1.73

20．如圖，觀測點C在東西走向的海岸線CN上，觀測員發(fā)現(xiàn)某船在北偏東12°方向的A點，該船向正東

方向行駛10小時后，到達北偏東57°方向的B點．已知該船的行駛速度為40海里/時，求這艘船與海岸

線CN之間的距離．（結果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）

2025年中考數(shù)學一輪復習之銳角三角函數(shù)

參考答案與試題解析

一．選擇題（共10小題）

1．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點B，C分別在地面OP和墻面OQ上，且邊AB∥OQ，若AC＝1，

∠ABC＝，則CO的長為（）

α

A．B．

????????

C．c??os??×tanD．????

1

αα

【考點】解直角三角形的應用．????×????

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．

【答案】A

【分析】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝，BC，在Rt△BOC中，OC＝BC?cos∠BCO，

??

即可作答．α=???∠???

【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝，

α

∴BC，

????

∵AB∥=O??Q?，∠???=????

∴∠BCO＝∠ABC＝，

在Rt△BOC中，AC＝α1，

OC＝BC?cos∠BCOcos，

??????

故選：A．=????×α=????

【點評】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義．

2．如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時，頂部已經蕩然無存，但底部未受損．已知該金字塔的下底面是一個邊長

為200m的正方形，且每一個側面與地面成60°角，則金字塔原來高度為（）

A．50mB．C．100mD．

【考點】解直角三角形的應用5﹣0坡3?度坡角問題．1003?

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．

【答案】D

【分析】根據(jù)已知易得BC＝100m，再根據(jù)垂直定義可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用銳角三

角函數(shù)的定義求出AC的長，即可解答．

【解答】解：如圖：

∵該金字塔的下底面是一個邊長為200m的正方形，

∴BC200＝100（m），

1

∵AC⊥=B2C×，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，

∴AC＝BC?tan60°＝100（m），

∴則金字塔原來高度為1003m，

故選：D．

【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．

3．如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡的坡角為，sin，堤壩高BC＝15m，則迎水坡面AB的長度為（）

3

αα=5

A．20mB．25mC．30mD．35m

【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．

【專題】等腰三角形與直角三角形；應用意識．

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦的定義計算，得到答案．

【解答】解：在Rt△ABC中，sin，

3

α=

則，5

??3

=

∵?B?C＝15m，

∴AB＝25m，

故選：B．

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．

4．某校數(shù)學“綜合與實踐”小組的同學想要測量校園內文化長廊（如圖1）的最高點到地面的高度．如圖

2是其測量示意圖，五邊形ABDEC關于直線EF對稱，EF與AB，CD分別相交于點F，G．測得AB＝3m，

CD＝5m，∠ABD＝135°，∠BDE＝92°，則文化長廊的最高點離地面的高度EF約為（）（結果保留

一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）

A．4.2mB．4.0mC．3.7mD．3.6m

【考點】解直角三角形的應用；軸對稱的性質．

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．

【答案】C

【分析】過點B作BH⊥CD于點H，證明四邊形GFBH為矩形，得出GH＝BF＝1.5m，∠FBH＝90°，求

出∠DBH＝45°，得到BH＝DH＝GF＝1m，求出∠EDG＝47°，再解直角三角形得出EG的長，再由EF

＝EG+GF計算即可得出答案．

【解答】解：如圖所示，過點B作BH⊥CD于點H，

由題意，得，，

11

∵EF垂直平?分?=AB2，??垂=足1為.5?F，E?F?垂=直2平??分=C2D.5，?與CD交于點G，BH⊥CD，

∴∠BFG＝∠FGH＝∠BHG＝90°，

∴四邊形GFBH為矩形，

∴GH＝BF＝1.5m，∠FBH＝90°，

∴DH＝DG﹣GH＝1m，

∵∠ABD＝135°，

∴∠DBH＝45°，

∴BH＝DH＝GF＝1m，

∵∠BDE＝92°，

∴∠EDG＝47°，

在Rt△EDG中，∠，

??

∴EG＝DGtan47°??≈?2.5?×?1?.0=7≈??2.68（m），

∴EF＝EG+GF≈2.68+1≈3.7（m），

故選：C．

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，矩形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，熟練掌握知識點

的應用是解題的關鍵．

5．如圖，△ABC的頂點都在正方形網格的格點上，則tanA的值是（）

A．B．C．D．2

344

【考5點】解直角三角形．53

【專題】計算題；解直角三角形及其應用；應用意識．

【答案】C

【分析】如圖連接格點BD、CD．在Rt△ABD中求出∠A的正切值．

【解答】解：如圖，連接格點BD、CD．

在Rt△ABD中，

tanA．

??4

故選=：?C?．=3

【點評】本題考查了解直角三角形，連接BD構造直角三角形是解決本題的關鍵．

6．如圖，滑雪場有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC長為200米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB

的長為（）米．

A．B．C．200cos20°D．200sin20°

200200

【考?點??】20解°直角三角形的應用?﹣??2坡0°度坡角問題．

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．

【答案】D

【分析】根據(jù)正弦的定義進行解答即可．

【解答】解：∵∠，

??

∴AB＝AC?sin∠?C??＝20?0=sin?2?0°，

故選：D．

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的

定義是解題的關鍵．

7．如圖是某商店營業(yè)大廳自動扶梯的示意圖，已知扶梯的長度為m米，坡度，則大廳兩層之間的距

5

離為（）?=12

A．米B．米C．米D．米

551212

????

【考1點3】解直角三角形的應用1﹣2坡度坡角問題；列代1數(shù)3式．5

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．

【答案】A

【分析】設大廳兩層之間的距離為5x米，根據(jù)坡度的概念用x表示出扶梯的水平寬度，再根據(jù)勾股定理列

出方程，解方程得到答案．

【解答】解：設大廳兩層之間的距離為5x米，

∵扶梯的坡度i＝5：12，

∴扶梯的水平寬度為12x米，

由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝m2，

解得：x（負值舍去），

?

=13

∴大廳兩層之間的距離為m米，

5

故選：A．13

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比．

8．在計算tan15°的值時，可以借用“數(shù)形結合”思想構建幾何圖形的方法解決，如圖，在Rt△ACB中，

∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB到D使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，設AC＝a，則AB＝DB

＝2a，，，Rt△ACD中．類比這

??12?3

??=3???=(2+3)????15°====2?3

種方法，可以得到tan22.5°的值為（）??2+3(2+3)(2?3)

A．B．C．D．

1

2+12?12

【考點】銳角三角函數(shù)的定義．2

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．

【答案】B

【分析】如圖，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延長CB至點D，使得AB＝BD，則∠BAD＝∠D．設

AC＝1，求出CD，可得結論．

【解答】解：如圖，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延長CB至點D，使得AB＝BD，則∠BAD＝∠D，

∵∠ABC＝45°＝∠BAD+∠D＝2∠D，

∴∠D＝22.5°，

設AC＝1，則BC＝1，ABAC，

∴CD＝CB+BD＝CB+AB＝=12，=2

∴tan22.5°＝tanD+21．

??12?1

====2?

故選：B．??1+2(1+2)(2?1)

【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性質，解題的關

鍵是學會利用特殊直角三角形解決問題．

9．如圖，圖①、圖②分別是某種型號跑步機的實物圖與示意圖，已知游步機手柄AB與地面DE平行，

端板CD長為1.5m，CD與地面DE的夾角∠CDE＝a，支架AC長為1m，∠CAB＝120°，則距步機手柄

AB所在直線與地面DE之間的距離為（）

A．B．

31

+1.5????+1.5????

C．2D．2

31

【考點】+解1.5直??角??三角形的應用﹣坡度坡角問題．+1.5????

22

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．

【答案】A

【分析】過點C作CG⊥AB，交BA的延長線于點G，交DE的延長線于H，根據(jù)正弦的定義分別求出CG、

CH，計算即可．

【解答】解：如圖，過點C作CG⊥AB，交BA的延長線于點G，交DE的延長線于H，

∵手柄AB與地面DE平行，

∴CH⊥DE，

在Rt△CDH中，∠CDH＝，CD＝1.5m，

α

∵sin∠CDH，

??

∴CH＝CD?s=in?∠?CDH＝1.5sin，

∵∠CAB＝120°，α

∴∠CAG＝60°，

∴CG＝AC?sin60°，

3

=

∴距步機手柄AB所在2直線與地面DE之間的距離為：（1.5sin）米，

3

故選：A．α+2

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．

10．如圖，在正方體中，∠BD1B1的正切值為（）

A．B．C．1D．

23

【考點】銳角三角函數(shù)的定義．2

22

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．

【答案】A

【分析】由題意得BB1＝A1B1＝A1D1，∠BB1D1＝90°，設BB1＝A1B1＝A1D1＝x，則，再由正

切的定義計算即可得解．?1?1=2?

【解答】解：由題意得：BB1＝A1B1＝A1D1，∠BB1D1＝90°，

設BB1＝A1B1＝A1D1＝x，則：

B1D1x，

2222

=?1?1+?1?1=?+?=2

∴∠，

??1?2

?????1?1===

故選：A．?1?12?2

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解答本題的關鍵要熟練掌握銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做

∠A的正切，記作tanA．即tanA＝∠A的對邊除以∠A的鄰邊．

?

二．填空題（共5小題）=?

11．某地為拓寬河道和提高攔水壩，進行了現(xiàn)有攔水壩改造．如圖所示，改造前的斜坡米，

坡度為1：4；將斜坡AB的高度AE提高20米（即AC＝20米）后，斜坡AB改造成斜坡C?D?，=其80坡度17為1：

1.5．則改造后斜坡CD的長為50米．

13

【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．

【答案】50米．

13

【分析】根據(jù)直角三角形的性質求出AE，進而求出CE，根據(jù)坡度的概念求出DE，根據(jù)勾股定理計算，

得到答案．

【解答】解：在Rt△ABE中，AB＝200米，，

??1

=

∴設AE＝x米，BE＝4x米，??4

∴ABx＝80，

22

∴x＝=80，??+??=1717

∴AE＝80米，

∴CE＝AE+AC＝100（米），

∵斜坡CD的坡度為1：1.5，

∴DE＝150米，

由勾股定理得：CD50（米），

22

答：斜坡CD的長為=50??米+．??=13

故答案為：50米．13

【點評】本題考1查3的是解直角三角形的應用—坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義

是解題的關鍵．

12．如圖，與斜坡CE垂直的太陽光線照射立柱AB（與水平地面BF垂直）形成的影子，一部分落在地面

上，另一部分落在斜坡上．若BC＝3米，CD＝8.48米，斜坡的坡角∠ECF＝32°，則立柱AB的高為20.8

米（結果精確到0.1米）．

科學計算器按鍵順序計算結果（已取近似值）

0.530

0.848

0.625

【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題；平行投影．

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．

【答案】20.8．

【分析】延長AD交BF于點H，根據(jù)余弦的定義求出HC，進而求出HB，再根據(jù)正切的定義計算即可．

【解答】解：如圖，延長AD交BF于點H，

在Rt△DCH中，CD＝8.48米，∠DCH＝32°，

∵cos∠DCH，

??

=

∴HC??10（米），

??8.48

∴BH＝=H??C?+∠B?C?＝?1≈3（0.8米48），=

∵∠DCH+∠AHB＝90°，∠A+∠AHB＝90°，

∴∠A＝∠DCH＝32°，

在Rt△AHB中，tanA，

??

=

∴AB2?0?.8（米），

??13

故答案=為??：??20≈.80．.625=

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，正確作出輔助線、掌握銳角三角函數(shù)的定義

是解題的關鍵．

13．如圖，社小山的東側煉A處有一個熱氣球，由于受西風的影響，以30m/min的速度沿與地面成75°角

的方向飛行，20min后到達點C處，此時熱氣球上的人測得小山西側點B處的俯角為30°，則小山東西兩

側A，B兩點間的距離為600．

2

【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．

【答案】600．

【分析】作AD2⊥BC于D，根據(jù)速度和時間先求得AC的長，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度數(shù)，再求

得AD的長度，然后根據(jù)∠B＝30°求出AB的長．

【解答】解：如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D，

在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，

AC＝30×20＝600（米），

∴AD＝AC?sin45°＝300（米）．

在Rt△ABD中，2

∵∠B＝30°，

∴AB＝2AD＝600（米）．

故答案為：600．2

2

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是根據(jù)仰角和俯角構造直角三角形并解直角三

角形，難度適中．

14．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝10，，點M在邊AB上，點N在邊BC上，且AM＝

3

????=

BN，連接MN，當△BMN為等腰三角形時，AM＝5或5或．

6050

1111

【考點】解直角三角形；等腰三角形的性質；勾股定理．

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．

【答案】5或或．

6050

【分析】分三1種1情1況1結合等腰三角形的性質和解直角三角形討論求解即可．

【解答】解：當BM＝BN時，如圖1，

∵AM＝BN，

∴BM＝AM，

∴；

1

??=??=5

當MB＝M2N時，如圖2，作ME⊥BC，則有，

11

??=2??=2??

∵BM＝10﹣AM，且，

3

????=5

∴，即1，

??32??3

==

解得??：51；0???5

60

??=

當NB＝NM時1，1如圖3，作NF⊥AB，則有，

11

??=2??=2(10???)

∵AM＝BN，且，

3

????=5

∴，即1，

??32(10???)3

==

解得??：5；??5

50

??=

綜上所述，答1案1為：5或或．

6050

【點評】本題考查等腰三1角1形1的1性質和解直角三角形，掌握解直角三角形是解題的關鍵．

15．如圖，A，B，C，D均為網格圖中的格點，線段AB與CD相交于點P，則∠APD的正切值為3．

【考點】解直角三角形．

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．

【答案】3．

【分析】連接CM，DN，根據(jù)題意可得CM∥AB，從而可得∠APD＝∠NCD，然后利用勾股定理的逆定理

證明△CND是直角三角形，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，進行計算即可解答．

【解答】解：連接CM，DN，

由題意得：

CM∥AB，

∴∠APD＝∠NCD，

由題意得：

CN2＝12+12＝2，

DN2＝32+32＝18，

CD2＝22+42＝20，

∴CN2+DN2＝CD2，

∴△CND是直角三角形，

∴tan∠NCD3，

??32

===

∴∠APD的正切??值為：23，

故答案為：3．

【點評】本題考查了解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．

三．解答題（共5小題）

16．如圖，在修建某條地鐵時，科技人員利用探測儀在地面A、B兩個探測點探測到地下C處有金屬回聲．已

知A、B兩點相距8米，探測線AC，BC與地面的夾角分別是30°和45°，試確定有金屬回聲的點C的

深度是多少米？

【考點】解直角三角形的應用．

【答案】見試題解答內容

【分析】過C點作AB的垂線交直線AB于點D，構建等腰Rt△BCD，在Rt△DAC中利用銳角三角函數(shù)的

定義即可求出AC＝2CD．然后在Rt△DAC中利用勾股定理來求CD的長度．

【解答】解：如圖，作CD⊥AB于點D．

∴∠ADC＝90°．

∵探測線與地面的夾角分別是30°和45°，

∴∠DBC＝45°，∠DAC＝30°．

∵在Rt△DBC中，∠DCB＝45°，

∴DB＝DC．

∵在Rt△DAC中，∠DAC＝30°，

∴AC＝2CD．

∵在Rt△DAC中，∠ADC＝90°，AB＝8，

∴由勾股定理，得AD2+CD2＝AC2．

∴（8+CD）2+CD2＝（2CD）2．

∴．

∵??=4±43不合題意，舍去．

∴C??D＝=（4?43）米．

∴有金屬回4聲+的4點3C的深度是（）米．

4+43

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．

17．廣州市民昵稱“小蠻腰”的廣州塔，是目前中國最高的塔，它主要由塔身主體與天線桅桿兩部分組成．廣

州某中學數(shù)學興趣小組幾位同學，在五一假期，利用測角儀測量“小蠻腰”的“身高”，他們在離塔底A

水平距離450米的地點B，測得塔身主體的頂端C的仰角為45°，天線桅桿的頂端D的仰角為53°9′．

（1）根據(jù)題意，畫出幾何示意圖（塔身及天線與地面垂直）；

（2）求天線棉桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan53°9'，

44

≈3???53°9'≈5)

【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．

【專題】計算題；解直角三角形及其應用；運算能力．

【答案】（1）詳見解答；（2）150米．

【分析】（1）根據(jù)題意畫出示意圖；

（2）在Rt△ABC中，先求出AC，再在Rt△ABD中，利用直角三角形的邊角間關系求出AD，最后利用線

段的和差關系得結論．

【解答】解：（1）幾何示意圖如圖所示：

（2）在Rt△ABC中，

∵∠ABC＝45°，

∴∠ACB＝∠ABC＝45°．

∴AC＝AB＝450米．

在Rt△ABD中，

∵tan∠ABD，

??

∴AD＝tan∠=AB?D??AB

＝tan53°9′?450

450

4

＝≈630×0（米）．

∴CD＝AD﹣AC

＝600﹣450

＝150（米）．

答：天線棉桿的高度為150米．

【點評】本題考查了解直角三角形，掌握等腰直角三角形的性質與判定、直角三角形的邊角間關系是解決

本題的關鍵．

18．在鄭州之林公園內有一座如意雕塑（圖1），它挺拔矗立在CBD前端，展現(xiàn)出了鄭東新區(qū)的美好藍圖

與如意和諧的愿望．綜合實踐小組想按如圖2所示的方案測量如意雕塑的高度EF：①在如意雕塑前的空

地上確定測量點A，當測量器高度AC為3m時，測得如意雕塑最高點E的仰角∠ECD＝45°；②保持測

量器位置不變，調整測量器高度AB為4.1m時，測得點E的仰角∠EBG＝44°．已知點A，B，C，D，E，

F，G在同一豎直平面內，請根據(jù)該小組的測量數(shù)據(jù)計算如意雕塑的高度EF．（結果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：

sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.97）

【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．

【答案】如意雕塑的高度EF約為40米．

【分析】延長CD交EF于M，延長BG交EF于N，根據(jù)矩形的性質得到FM＝AC＝3米，F(xiàn)N＝AB＝4.1

米，CM＝BN，MN＝BC＝1.1米，解直角三角形即可得到結論．

【解答】解：延長CD交EF于M，延長BG交EF于N，

則FM＝AC＝3米，F(xiàn)N＝AB＝4.1米，CM＝BN，

∴MN＝BC＝1.1米，

設CM＝BN＝x米，

在Rt△BNE中，∠EBG＝44°，

∴EN＝BN?tan44°≈0.97x米，

在Rt△ECM中，∠ECD＝45°，

∴EM＝CM?tan45°＝x米，

∵MN＝EM﹣EN＝x﹣0.97x＝1.1米，

∴x≈36.7，

∴EM＝CM＝36.7（米），

∴EF＝EM+FM＝36.7+3≈40（米），

答：如意雕塑的高度EF約為40米．

【點評】本題考查了解直角三角形的應用一仰角俯角問題，正確地作出輔助線構造直角三角形是解題的關

鍵．

19．如圖1所示是一種太陽能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構成．如圖2，AB是燈桿，CD是燈管支

架，燈管支架CD與燈桿間的夾角∠BDC＝60°．綜合實踐小組的同學想知道燈管支架CD的長度，他們

在地面的點E處測得燈管支架底部D的仰角為60°，在點F處測得燈管支架頂部C的仰角為30°，測得

AE＝3m，EF＝9m（A，E，F(xiàn)在同一條直線上）．請解答下列問題：

（1）求燈管支架底部距地面高度AD的長（結果保留根號）；

（2）求燈管支架CD的長度（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：）．

3≈1.73

【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．

【專題】解直角三角形及其應用；推理能力．

【答案】（1）；

（2）1.7m．33?

【分析】（1）在Rt△DAE中，根據(jù)特殊三角函數(shù)值的計算方法即可求解；

（2）如圖所示，延長FC交AB于點G，可得△DGC是等邊三角形，再計算出AF的長度，在Rt△AFG

中，根據(jù)特殊三角函數(shù)值的計算方法即可求解．

【解答】解：（1）在Rt△DAE中，∠AED＝60°，AE＝3m，

∴，

∴?燈?管=支?架?底??部??距60地°=面3高度3(?AD)的長為．

33?

（2）如圖所示，延長FC交AB于點G，

∵∠DAE＝90°，∠AFC＝30°，

∴∠DGC＝90°﹣∠AFC＝60°，

∵∠GDC＝60°，

∴∠DCG＝180°﹣∠GDC﹣∠DGC＝60°，

∴△DGC是等邊三角形，

∴DC＝DG，

∵EF＝9m，AE＝3m，

∴AF＝AE+EF＝12m，

在Rt△AFG中，

，

3

∴??=??????30°=12×3=43?，

∴?燈?管=支?架?=CD??的?長?度?約=為413.7?m．33=3≈1.7?

【點評】本題主要考查解直角三角形的實際運用、等邊三角形的判定與性質，掌握仰角俯角求直角三角形，

特殊三角函數(shù)值求邊長是解題的關鍵．

20．如圖，觀測點C在東西走向的海岸線CN上，觀測員發(fā)現(xiàn)某船在北偏東12°方向的A點，該船向正東

方向行駛10小時后，到達北偏東57°方向的B點．已知該船的行駛速度為40海里/時，求這艘船與海岸

線CN之間的距離．（結果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）

【考點】解直角三角形的應用﹣方向角問題．

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．

【答案】這艘船與海岸線CN之間的距離約為298海里．

【分析】作AD⊥BC于點D，BH⊥CN于點H，解直角三角形即可得到結論．

【解答】解：如圖，作AD⊥BC于點D，BH⊥CN于點H，

∵∠MCD＝57°，∠MCA＝12°，AB∥CH，

∴∠ACB＝45°，∠BCH＝∠ABC＝33°，

∴AD＝CD＝sin∠ABC?AB＝400×sin33°，BD＝AB?cos33°＝400×cos33°，

∴BC＝CD+BD＝400×（sin33°+cos33°）≈522（海里），

則BH＝BC?sin33°≈298（海里），

答：這艘船與海岸線CN之間的距離約為298海里．

【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，正確地作出輔助線是解題的關鍵．

考點卡片

1．列代數(shù)式

（1）定義：把問題中與數(shù)量有關的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．

（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細辨別詞義．列代數(shù)式時，要先認真審題，抓住關鍵詞語，仔細辯析詞義．如

“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關系．要正確列

代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關系．③注意運算順序．列代數(shù)式時，一般應在語言敘述的數(shù)量關系中，

先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起

來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，

數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù)，書寫單位名稱

什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數(shù)式括號的適當運用．⑤正確進行代換．列代數(shù)式時，有時

需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換．

【規(guī)律方法】列代數(shù)式應該注意的四個問題

1．在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量．

2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或

者省略不寫．

3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個數(shù)若是帶分數(shù)要把它化成假分數(shù)．

4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號），而是寫成分數(shù)的形式．

2．等腰三角形的性質

（1）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．

（2）等腰三角形的性質

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】

③等