2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)模擬檢測卷（新高考專用）原卷版+解析

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義之模擬檢測卷01（新高考專用）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）已知集合4=｛尤1、=1嗨（2-初,3=｛j0=2，-2｝,則AB=（）

A.(0,2)B.[0,2]C.(0,+co)D.(YO,2]

2.（2023?江蘇?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=5+i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（23-24高一下?安徽滁州?階段練習(xí)）《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四

象，四象生八卦，易經(jīng)包含了深荽的哲理.如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形

ABCDEFGH,其中=1,0為正八邊形的中心，貝（）

4.（23-24高二上?山東青島?階段練習(xí)）等比數(shù)列｛g｝的各項均為正數(shù)，且%4+4%=18,則

logjflj+log3a2+---+log3a10=（）

A.12B.10C.5D.210g35

5.（2024?浙江嘉興?二模）若正數(shù)蒼〉滿足/一2孫+2=0,則*+，的最小值是（）

A.屈B.—C.20D.2

2

6.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，在正四棱柱ABC。-44G2中，AAl=3AB,則異面直線入出與所

成角的余弦值為（）

37

C.一D.—

5

22

7.（23-24高三上?四川成都?期中）已知耳,旦分別為雙曲線當(dāng)=1（。>0,6>0）的左、右焦點，過尸2與雙

ab

曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點P,若|幽|=3歸耳|,則雙曲線的離心率為（）

A.3B.75C.73D.2

8.（2023?河北?模擬預(yù)測）設(shè)〃=如8,b=3,c=蛆匚，貝!J（）

3e24兀

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.（2024?福建廈門一模）已知函數(shù)/（x）=2sin[2xf,則（）

A.的最小正周期為1~

B./（尤）的圖象關(guān)于點成中心對稱

7T

C./（X）在區(qū)間0,-上單調(diào)遞增

D.若/（尤）的圖象關(guān)于直線x=x。對稱，貝I]sin2xo=g

623456

10.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測）（X-1）=a0+avx+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x,則（）

A.%=1

B.%=20

C.2q+4/+8a3+16a4+32a5+64a6=0

D.J%+生+〃4+4|=|弓+生

IL（2024?河北保定?三模）已知拋物線C丁二八的焦點為凡過點方的直線,與拋物線。交于A乃兩點,0

為坐標(biāo)原點，直線4過點A且與OA垂直，直線k過點B且與OB垂直，直線I.與；2相交于點。，則（）

A.設(shè)AB的中點為“，則軸

B.點。的軌跡為拋物線

C.點。到直線/距離的最小值為2?

D.AB。的面積的取值范圍為［8,+8）

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上）

12.（23-24高三下?廣東廣州?階段練習(xí)）已知等比數(shù)列｛%,｝的前〃項和為s“，且邑=27,S6=35,數(shù)列｛.“｝

的公比0=.

13.（2024?廣東深圳?二模）已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1,底面半徑為a，則該圓錐的表面積為.

注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個公共點的球，稱為圓錐的內(nèi)切球.

［sjx—2+a,x＞2

14.（2024?北京海淀?三模）設(shè)函數(shù)=?（。＞0且。W1）.給出下列四個結(jié)論：

曠-21,尤＜2

①當(dāng)。=2時，存在心方程=f有唯一解；

②當(dāng)ae（0,l）時，存在"方程f（x）=t有三個解；

③對任意實數(shù)。（。＞0且"1）,“X）的值域為［0,+s）;

④存在實數(shù)。，使得了（元）在區(qū)間（。,+8）上單調(diào)遞增；

其中所有正確結(jié)論的序號是.

四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.（13分）（2024?全國?模擬預(yù)測）記VABC的內(nèi)角A,3,C所對邊分別為瓦c,已知

Z?（3cosC-l）=c（l-3cosB）.

⑴證明：b+c=3a；

（2）求cosA的最小值.

16.（15分）（2024?河南?一模）近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺，社交屬性愈發(fā)突出，在用

戶生活中覆蓋面越來越廣泛，針對短視頻的碎片化缺陷，將短視頻剪接成長視頻勢必成為一種新的技能.某

機(jī)構(gòu)在網(wǎng)上隨機(jī)對1000人進(jìn)行了一次市場調(diào)研，以決策是否開發(fā)將短視頻剪接成長視頻的APP,得到如下

數(shù)據(jù)：

青年人中年人老年人

對短視頻剪接成長視頻的APP有需求2Q+4Z?200a

對短視頻剪接成長視頻的APP無需求a+b1504b

其中的數(shù)據(jù)為統(tǒng)計的人數(shù)，已知被調(diào)研的青年人數(shù)為400.

⑴求的值；

（2）根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，分析對短視頻剪接成長視頻的APP的需求，青年人與中老年人是

否有差異？

2

參考公式：Z=7---1嗎、，其中〃=a+b+c+d.

ya+b）yc+d）[a+c）\b+d）

臨界值表:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

17.（15分）（2024?全國?一模）如圖，棱柱A3CO-A耳G2的所有棱長都等于2,且NABC=乙4,4。=60°,

平面AA[CXC±平面ABCD.

⑴求平面DAA,與平面CAA所成角的余弦值；

（2）在棱CG所在直線上是否存在點P,使得3P〃平面DAG.若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理

由.

22

18.（17分）（2024?四川樂山三模）已知橢圓E:二+與=1（a>6>0）的左、右焦點分別為居,％A、C分別是

ab

橢圓E的上下頂點，分別是橢圓E的左右頂點，點尸卜等）在橢圓E上，且小月外的面積為|.

⑴求橢圓E的方程；

（2）點。是橢圓E上的動點（不與重合），/是E在點A處的切線，直線AB交。。于點直線CQ

交/于點N,求證：直線MN的斜率為定值.

19.（17分）（23-24高三上?北京海淀?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=e*-尤-1

⑴當(dāng)a=l時，求函數(shù)/⑺的極值；

⑵求函數(shù)〃元）的單調(diào)區(qū)間；

⑶若對任意的實數(shù)人也函數(shù)y=〃尤)+日+6與直線y=總相切，則稱函數(shù)〃x)為"恒切函數(shù)〃.當(dāng)。=1

x1

時，若函數(shù)g(x)=±e〃x)+加是〃恒切函數(shù)〃，求證：--<m<0,

28

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義之模擬檢測卷01（新高考專用）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）已知集合A={x1y=log2（2T）},R={y|y=2A2},則&B=（）

A.（0,2）B.[0,2]C.（0,+a）D.（—,2]

2.（2023?江蘇?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=5+i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（23-24高一下?安徽滁州?階段練習(xí)）《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四

象，四象生八卦，易經(jīng)包含了深荽的哲理.如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形

ABCDEFGH,其中AB=L。為正八邊形的中心，則42.即=（）

4.（23-24高二上?山東青島?階段練習(xí)）等比數(shù)列{%}的各項均為正數(shù),且。5〃6+〃4%=18,貝!J

log3ax+log3tz2+???+log3=（）

A.12B.10C.5D.210g35

5.（2024?浙江嘉興?二模）若正數(shù)尤,，滿足犬—2孫+2=0,則尤+＞的最小值是（）

A.aB."C.2夜D.2

2

6.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，在正四棱柱ABC。-A/CQi中，AAi=3ABf則異面直線4出與AR所

成角的余弦值為（）

4937

A.B.C.一D.

10510

22

7.（23-24高三上?四川成都?期中）己知斗鳥分別為雙曲線3-3=1（。>0,5>0）的左、右焦點，過F?與雙

ab

曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點P,若1sl=3|"|,則雙曲線的離心率為（）

A.3B.45C.6D.2

8.（2023?河北?模擬預(yù)測）設(shè)。=也8,b=±,。=蛆匚，則（）

3e24兀

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.（2024?福建廈門?一模）己知函數(shù)"x）=2sin（2x-m],則（）

A./（%）的最小正周期為￡

2

B./（x）的圖象關(guān)于點成中心對稱

7T

C.“X）在區(qū)間0,-上單調(diào)遞增

D.若/（x）的圖象關(guān)于直線尤=不對稱，貝人in2x0=g

10.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測）若（％-1）6=。0+%工+〃2工2+。31+〃4%4+。5%5+〃6%6,貝|（）

A.4=1

B.？=20

C.2%+4。2+8%+16g+32%+64%=0

D.+%+。4+%|=1%+/

11.（2024?河北保定?三模）已知拋物線C：丁=4尤的焦點為用過點P的直線/與拋物線C交于48兩點,0

為坐標(biāo)原點，直線4過點A且與OA垂直，直線12過點B且與OB垂直，直線4與；2相交于點0,則（）

A.設(shè)A3的中點為H,則以Q，y軸

B.點。的軌跡為拋物線

C.點。到直線/距離的最小值為26

D.48。的面積的取值范圍為[8,+co）

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上）

12.（23-24高三下?廣東廣州?階段練習(xí)）已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,且邑=27,S6=35,數(shù)列｛%｝

的公比4=.

13.（2024?廣東深圳?二模）已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1,底面半徑為夜,則該圓錐的表面積為

注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個公共點的球，稱為圓錐的內(nèi)切球.

[Jx—2+a,尤22

14.（2024?北京海淀?三模）設(shè)函數(shù)=?（“>0且"1）.給出下列四個結(jié)論：

①當(dāng)。=2時，存在乙方程=t有唯一解；

②當(dāng)ae（0,l）時，存在f,方程/（x）=f有三個解;

③對任意實數(shù)。">0且awl）,/（無）的值域為[。,+8）;

④存在實數(shù)。，使得f（x）在區(qū)間（d+8）上單調(diào)遞增；

其中所有正確結(jié)論的序號是.

四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.（13分）（2024?全國?模擬預(yù)測）記VA3C的內(nèi)角A&C所對邊分別為a,b,c,已知

/?（3cosC-l）=c（l-3cosZ?）.

⑴證明：b+c=3a；

⑵求cosA的最小值.

16.（15分）（2024?河南?一模）近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺，社交屬性愈發(fā)突出，在用

戶生活中覆蓋面越來越廣泛，針對短視頻的碎片化缺陷，將短視頻剪接成長視頻勢必成為一種新的技能.某

機(jī)構(gòu)在網(wǎng)上隨機(jī)對1000人進(jìn)行了一次市場調(diào)研，以決策是否開發(fā)將短視頻剪接成長視頻的APP,得到如下

數(shù)據(jù)：

青年人中年人老年人

對短視頻剪接成長視頻的APP有需求2a+4〃200a

對短視頻剪接成長視頻的A叩無需求a+b1504b

其中的數(shù)據(jù)為統(tǒng)計的人數(shù)，已知被調(diào)研的青年人數(shù)為400.

⑴求a,6的值;

（2）根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，分析對短視頻剪接成長視頻的APP的需求，青年人與中老年人是

否有差異？

/qI、2u\aa-uc)4,

參考公式：方=S+b)(c+d)S+c)("d),其中〃=a+"c+d

臨界值表:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

17.（15分）（2024?全國?一模）如圖，棱柱ABCD-ABGR的所有棱長都等于2,>ZABC=AC=60°,

⑴求平面DAA,與平面CAA所成角的余弦值；

（2）在棱CC所在直線上是否存在點P,使得3P〃平面DAG.若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理

由.

22

18.（17分）（2024?四川樂山三模）已知橢圓+當(dāng)=l（a>6>0）的左、右焦點分別為不,04C分別是

ab

橢圓E的上下頂點，及。分別是橢圓E的左右頂點，點尸，等）在橢圓E上，且P/工的面積為

⑴求橢圓E的方程；

（2）點。是橢圓E上的動點（不與AB,重合），/是E在點A處的切線，直線A3交。。于點直線CQ

交/于點N,求證：直線MN的斜率為定值.

19.（17分）（23-24高三上?北京海淀?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=*-x-1

⑴當(dāng)a=l時，求函數(shù)〃x）的極值；

⑵求函數(shù)/（X）的單調(diào)區(qū)間；

⑶若對任意的實數(shù)匕b,函數(shù)y=/（x）+fcv+〃與直線>=履+6總相切，則稱函數(shù)/■（%）為"恒切函數(shù)當(dāng)。=1

時，若函數(shù)g（x）=+m是"恒切函數(shù)"，求證：一<m4Q.

2o

參考答案:

題號1245678910

答案ADDBABCBBCACD

題號11

答案BD

1.A

【分析】先化簡集合4B,再利用集合的交集運算求解.

【詳解】解：因為集合人={*1y=k?g2（2-x）}={x|x<2},3={y|>=2*-2}={y|y>0},

所以A8=（0,2）,

故選:A

2.D

【分析】利用復(fù)數(shù)除法求出z,即可判斷.

【詳解】因為2=四=包用二D="生=3-2i,

1+i22

所以點（3,-2）位于第四象限.

故選：D.

3.D

【分析】根據(jù)給定條件，利用正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合數(shù)量積的定義計算即得.

【詳解】在正八邊形ABCDEFGH中，連接HC,則HC//AB,

而NA8C=135°，即N3CH=45,于是/88=90,

在等腰梯形ABC"中，CH=l+2xlxcos45=1+0，

所以AB-/TO=1X|H￡>|COSNCH￡）=|HC|=1+VL

B

4.B

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)的運算法則即可得解.

【詳解】因為｛即｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，%%+4%=18,

所以Q5a6+4%=2%%=18,即〃5〃6=9,貝lj==〃5〃6=9

記S=log3ax+log3%+,??+log3Go,則S=log3%o+log3%+???+log3ax,

兩式相加得2S=logs(o1al0)+logs(密的)+???+log3(OJOOJ)=10xlog39=20,

所以S=10,BPlog3+log3a2+???+log3o10=10.

故選：B.

5.A

x1

【分析】根據(jù)題意可得y=；+±,利用基本不等式求解.

2x

Y1

【詳解】由Y-2孫+2=0可得＞=：+上,

2x

...x.+y=xH??1—1—3x1—1之2,

2x2x2x

當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)=L即x=時，等號成立，此時y=哈。符合■

2x3,

所以x+y的最小值為后.

故選：A.

6.B

【分析】平行移動A2與AB相交構(gòu)成三角形，指明NABC或其補(bǔ)角就是異面直線AB與A2所成的角，在

三角形中由余弦定理解出即可.

【詳解】

如圖連接，因為A3。-A8G2為正四棱柱，

所以AB〃G2且AB=C,D,,所以四邊形ABC.D,為平行四邊形，

所以BG//AR,則ZABQ或其補(bǔ)角就是異面直線A.B與AD,所成的角,

設(shè)AB=1,則A3=M，BG=a,

由余弦定理得：IcosNA3ch1°：憶=4

2x1010

故選：B.

7.C

b

【分析】設(shè)過尸2與雙曲線的一條漸近線y=平行的直線交雙曲線于點p,運用雙曲線的定義和條件可得

a

|P"=3〃，\PF2\=a9\FlF2\=2c9再由漸近線的斜率和余弦定理，結(jié)合離心率公式，計算即可得到所求值.

h

【詳解】設(shè)過F,與雙曲線的一條漸近線y=平行的直線交雙曲線于點P,

a

由雙曲線的定義可得|P￡ITPgl=2a,

由I「耳|=3|邛|,可得|P耳|=3a,\PF2\=a,|FtF2\=2c,

由tanN耳鳥尸=一可得~f廬c,

a卜￡

在三角形尸耳馬中，由余弦定理可得：

2

IP用2=|PF2I+1/7/7p-2\PF21耳耳IcosN耳鳥1,

即有9,2=片+4。2_2。*2"0,化簡可得/=3/,

c

所以雙曲線的離心率e=￡=道.

a

故選：C.

8.B

【分析】根據(jù)所給數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，設(shè)函數(shù)/口）=坐，（尤＞0）,利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大

小，可得答案.

【詳解】設(shè)函數(shù)/（?=坐，（尤＞0）,貝廳'（》）=匕*,（x＞0）,

當(dāng)0＜x＜加時，/V）＞0,當(dāng)x＞小時，（（尤）＜0,

故，（無）在（0,人）單調(diào)遞增，在（袤,+8）上單調(diào)遞減，

▼IOA/3In石五、,Ine，/、ln?rIn石「、

又。=工一=-7h=/（J3）,&=-=/（e）,c=-—=-

3也e-4兀麻

因為若＜而＜e,故/（g）＞/（?）＞/（e）,即a＞c＞。，

故選：B

【點睛】方法點睛：此類比較大小類題目，要能將所給數(shù)進(jìn)行形式上的變化，進(jìn)而由此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)

數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而比較大小.

9.BC

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合代入法、整體法逐一判斷各項正誤.

【詳解】由/(%)=2si“2%-方｝最小正周期T=/=兀，A錯；

由/(7)=2sin(2xT—§]=°,即(7,。)是對稱中心，B對；

由xe0,-,則[-*號，顯然f(x)在區(qū)間0,-上單調(diào)遞增，C對；

JT7T57r1

由題意2%=E+Q=>2%O=配+7，故sin2*=±5，D錯.

故選：BC

10.ACD

【分析】將％=0，X=2,x=±l代入0-1)6=%+4%+電兀2+。3/+〃4/+。5*5+〃6%6判斷ACD,利用二項式

展開式的通項公式判斷B即可.

【詳解】將X=0代入(％-1)6=%+4%+%X2+〃3尢3+〃4%4+%X5+4/得(0_琛=%,解得4=1,A正確；

由二項式定理可知(X-I)6展開式的通項為&=C"6-(-1)\

令6—r=3得r=3,所以%=或(—1)3=—20,B錯誤；

63456

將l=2代入(x-I)=%++出/+a3x+a4x+a5x+a6x得

(2—1)=6/Q+2%+4%+8a3+16g+32a5+64^,

即2q+4%+8%+16a4+32%+64&=0,C正確；

將X=1代入(冗一1)6=。0+%%+。2%2+〃3%3+&%4+〃5%5+〃616得。_])6=佝+十%十生十%十的十4,

即為+卬+%+〃3+“4+。5+〃6=。(1),

將廣一1代入(％-1)6=%+%%+。2尤2+。3工3+。4%4+。5，+。6%6得(-1一1)6=%一“+出一生+%-。5+。6，

即%—Q1+%—Q3+〃4—〃5+=64包)，

①+②得ZR+w+ad+/b64，所以/+%+%+4=32,

①-②得2(q+/+%)=-64,所以q+〃3+%=-32,

所以|%+々2+〃4+〃6|=|%+/+。5|，D正確；

故選：ACD

11.BD

【分析】通過設(shè)/：1=沖+1,設(shè)4〃2,2〃），5（吐2。）,然后聯(lián)立方程后結(jié)合韋達(dá)定理得到。+反必然后求出直

線4與4，進(jìn)而求出。點坐標(biāo)，然后可以判斷A,B選項,然后通過參數(shù)m表示點。到直線/的距離和ABQ的面

積，進(jìn)而可以判斷.

【詳解】易知尸(L。),設(shè)/：x=my+1A(a2,2a)2Z?),

[x=my+1,。

將/與拋物線C的方程聯(lián)立，則2；可得y2-4my-4=0,

[y=4x,

所以2〃+2Z?=4相，2〃?2Z?=Y，即a+Z?=2相，ab=-l,

22

所以yH=^^^=2加，因為《4=2,所以直線AQ：x=--(y-2a)+a,^x=--y+a+4,

2aaa

292

同理可知，直線BQ：戶-尸+/+4,所以--y+a-=--y+b2,

baQbQ

所以。一令‘2="一所以二=("+")("一")'所以=苫^=加工如，即A錯誤；

=——m+a1+4=+O2+4=ab+a2+b2+4=(a+b)2-ab+4=4m2+5,

aa2

所以。的軌跡方程為x=4V+5,即B正確；

|m2-(4m2+5)+113m2+4_「~~;1

。到/的距禺d7=--------1--------=/=3飛m+1+-^==,

J機(jī)+1+1vm+1

因為"121,所以〃=3府W+舟q24,即c錯誤；

因為|A81=/+力2+2=(〃+力)2_2ab+2=4m之+4=4(m2+1),

=

所以^^ABQ彳,4(加2+1).(3+1+)-2ylm2+1(3加之+4)22x4=8,即D正確.

2y/nr+1

故選:BD.

12.-

3

【分析】利用等比數(shù)列前"項和公式聯(lián)立方程組即可求解.

【詳解】由題意可知：q力1,

根據(jù)等比數(shù)列的前〃項公式可得：=)=27①,56=""j)=35②,

1-q1-q

聯(lián)立①②可得1+/=||,解得q=

故答案為：|

13.8兀

【分析】借助過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖求出圓錐的母線長，即可求出圓錐表面積.

【詳解】由題過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖如下:

設(shè)圓錐高為/2,母線長為/,

則在三角形中有必+戶=產(chǎn),即/+2=/2①，

又由一SD。一SO出得&=上）,即:力（/7一1）②，

所以由①②得/=3A/2,h=4,

所以圓錐的表面積為S=S底+5=兀廠2+?！?2兀+6兀=8兀.

故答案為：8兀.

14.①②④

【分析】分情況，做出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，可得問題答案.

【詳解】當(dāng)。=2時，可得函數(shù)圖象如下：

1

由|2-2|=0nx=l；72^2+2=2，怛一2卜2,結(jié)合圖象:

當(dāng)尤e（F,l]時,函數(shù)單調(diào)遞減，且〃x）w[0,2）；

當(dāng)無目1,+功，函數(shù)單調(diào)遞增，/（x）e[O,+?）.

所以當(dāng)此2時，方程〃x）=/有唯一解.故①正確；

當(dāng)0＜々＜1時，函數(shù)圖象如下:

由,-2卜0nx=log“2<。；由圖象可知，

當(dāng)x?y/og〃2］時，函數(shù)單調(diào)遞減，〃力目0,+8)；

2

當(dāng)xe(log”2,2)時,函數(shù)單調(diào)遞增，/(x)e(0,2-a);

當(dāng)xepy)時，函數(shù)單調(diào)遞增，/(x)G(a,+oo).

因為2—/—a=—(a+2)(a—1),因為0<a<l,所以一(a+2)(a—1)>0,B|12-A2>a-

所以，當(dāng)a<f<2-〃時，方程"x)=f有三個解.故②正確；

如圖：

由1/_210nx=log02,再由log,2>2=］<。<忘，

此時〃x)在(-。,2)上單調(diào)遞減，在［2,+8)上單調(diào)遞增，且0<2-a2<〃，

所以此時函數(shù)的值域不是［。,+8).故③錯誤；

由①可得，當(dāng)a=2時，函數(shù)/'(X)在(2,+8)上單調(diào)遞增.

即：存在實數(shù)。，使得“尤)在區(qū)間(a,+8)上單調(diào)遞增.故④正確.

故答案為：①②④

【點睛】方法點睛：本題可以畫出分段函數(shù)的草圖，數(shù)形結(jié)合，可以比較輕松的解答.

15.(1)證明見解析

(2)-.

9

【分析】(1)將已知條件利用兩角和差公式與正弦定理即可計算出結(jié)果；

(2)利用第一問的結(jié)果代入cosA的余弦定理表達(dá)式，再利用基本不等式即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)已知N3cosC-l)=c(l-3cos8),

由正弦定理得：sinB（3cosC-l）=sinC（l-3cosB）,

整理得：sinC-3cosBsinC=3sinBcosC-sinB,

sinB+sinC=3（cosBsinC+sinBcosC）=3sin（B+C）..①

因為A=jr—（5+C）=>sinA=sin（兀一（5+C））=sin（5+C）②

②代入①有：sinB+sinC=3sinA,

再由正弦定理得b+c=3a.

（2）由余弦定理得：

2_b2+c2-a2_9b2+9c2-（Z?+c）2_8（Z?2+（?）—2bc>8x2Z?c—2bc_7

"一2bc-ISbc-ISbc-ISbc~9

7

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，等號成立，所以cosA的最小值為

16.⑴。=/?=50

（2）有差異

【分析】（1）根據(jù)題意列式求解即可;

（2）根據(jù)題意可得2x2列聯(lián)表，計算并與臨界值對比分析.

:空"）=4。。,解得-0.

【詳解】（1）由題意可得:

（2）零假設(shè)為"。：對短視頻剪接成長視頻APP的需求，青年人與中老年人沒有差異.

由已知得，如下2x2列聯(lián)表:

青年人中老年人合計

對短視頻剪接成長視頻的APP有需求300250550

對短視頻剪接成長視頻的APP無需求100350450

合計4006001000

可…叫黑鼠黑I。）2—8,

根據(jù)小概率值。=0.001的獨立性檢驗，我們推斷名不成立,

所以對短視頻剪接成長視頻的A叩有需求，青年人與中老年人有差異.

17.⑴￡

(2)存在，點尸在CC的延長線，且CP=GC.

【分析】(1)取AC中點。，先證40,平面ABCD.再以。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的方

法求二面角所成的余弦.

(2)根據(jù)P在線段CG上，設(shè)CP=/ICC；,再由BP和平面DAG的法向量，求彳，即可得解.

【詳解】(1)如圖：

取AC中點。，連接A。，AC,BD.

因為各棱長均為2,且ZABC=60，所以AABC是等邊三角形.

所以AC=2.

又因為M=2,ZA^C=60,所以MAC是等邊三角形.

所以AQLAC,又平面A41GC,平面平面、平面ABCD=AC,

A。u平面A41cC，

所以A。，平面ABCD.

由AC1BD,所以可以以。為原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.

那么：D(-73,0,0),A(0,-l,0),A(0,0,6),C(0,l,0).

設(shè)平面ZX4A］的法向量為應(yīng)=(x,y,z),則

m-DA=0（兌％2卜（石,-1,0）=。A/3X-y=0

m-DA=0（%,%2）-（百,0,班）=0[y/3x+y/3y=0

因為03J_平面CA4,可取平面CAA的法向量”=(1,0,0).

則小小=rn西.n=、奈/3=xl+5'即為平面°明與平面CM所求角的余弦值?

(2)因為G(0,2,@,網(wǎng)點0,0)

設(shè)P(%,M，zJ,因為尸在CC1上，可設(shè)C戶=2CC；,

可得尸(0,1+九網(wǎng).

設(shè)平面D4,G的法向量為S=(工2，%，Z?),

s-DAi=0(無2,=0J工2+Z2=0

'[s-DCt=0(尤2，%，Z2)?"2,G)=0〔百馬+2%+病2=?！?/p>

MX5=(1,0,-1).

由s-BP=0=(1,0,-1)-^—5^,1+A,^32j=0=>-5/3-5/32=0=>2=—1.

所以存在點尸，使得3P〃平面%G，此時點尸在GC的延長線，且CP=GC.

18.(1)—+/=1

4

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)條件求a/，c的值，確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)因為直線。。的斜率不為0,可設(shè)直線。。方程為：x=ty+2,與直線A3方程聯(lián)立可得M點坐標(biāo),

與橢圓方程聯(lián)立，可得。點坐標(biāo)，進(jìn)一步寫出直線CQ的方程,令y=l得N點坐標(biāo)，列出直線的斜率,

化簡即可.

【詳解】(1)S△尸尸尸=1x2cx——=—c=\/3.

△呻z222

.點尸1，十在橢圓E上，

3

.14]，解得"=4或/=3](舍)

，+/一3=14

a2-b2=3,:.b2=\.，橢圓E的方程為!+丁=1.

(2)如圖：

另1

NA

X

C

易知直線。。斜率不為0,設(shè)直線。。方程為x=ty+2,Q（x。,%）

AB直線方程為：x-2y+2=0,

x-2y+2=021+44)

聯(lián)立得M

x=ty+22-12-1J

尤②2?

1+y=1

由，，得(產(chǎn)+4)y2