2025年高考數(shù)學重難點專項復習：奔馳定理與四心問題【五大題型】原卷版

重難點10奔馳定理與四心問題【五大題型】

【新高考專用】

平面向量是高考的熱點內(nèi)容，而奔馳定理是平面向量中的重要定理，這個定理對于利用平面向量解決

平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的問題有著重要作用；四心問題是平面向量中

的重要問題，也是高考的重點、熱點內(nèi)容，在高考復習中，要掌握奔馳定理并能靈活運用，對于四心問題

要學會靈活求解.

?知識梳理

【知識點1奔馳定理】

1.奔馳定理

如圖，已知P為LABC內(nèi)一點，且滿足九PA+A2PB+A3PC=0,貝IJ有△/P8、△4PC、A5PC的面

積之比為

由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，所以我們把它稱為“奔馳定理”.這個定理對于利用

平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的問題，有著決定性的基石作用.

【知識點2四心問題】

1.四心的概念及向量表示

(1)重心的概念及向量表示

①重心的概念：三角形各邊中線的交點叫做重心，重心將中線長度分成2:1.

-->-->-->->

②重心的向量表示：如圖，在△/2C中，點尸為△4BC重心臺PN+尸3+PC=0.

③重心坐標公式：設/(孫為)，8(X2,乃)，CS,為)，則△ABC的重心坐標為

(2)垂心的概念及向量表示

①垂心的概念：三角形各邊上高線的交點叫做垂心.

②垂心的向量表示：如圖，在△4BC中，點尸為△4BC垂心臺萬1?蔑=礪?記=萬1?記.

(3)內(nèi)心的概念及向量表示

①內(nèi)心的概念：三角形各角平分線的交點叫做內(nèi)心，內(nèi)心也為三角形內(nèi)切圓的圓心.

~AB

②內(nèi)心的向量表示：如圖，在△/3C中，三角形的內(nèi)心在向量+三所在的直線上，點尸為^

R

N2C內(nèi)心臺|萬卜PC+|sc|-PC+|cl|-PS=6.

A

(4)外心的概念及向量表示

①外心的概念：三角形各邊中垂線的交點叫做外心，外心也為外接圓的圓心，外心到三角形各頂點的

距離相等.

②外心的向量表示：如圖，在△48C中，點尸為△48C外心一|才|=|詬1=1記

2.三角形的四心與奔馳定理的關系

--->--->--->->

(1)0是"BC的重心：SABOC：SACOA：S.OB=1：1AOA+OB+OC=0.

(2)0是△45C的垂心：S^Boc:SACOA:S^AOB=tan/:tan氏tanC=tan/OA+tanBOB+tanCOC=0.

>>〉

(3)0是△45。的內(nèi)心：S^Boc-S^coA-S^AOB=a:b:c^aOA+bOB+cOC=0.

(4)0是△ZBC的外心：S^Boc-S^COA'-S^AOB—sin2A:sin2^:sin2Csin2AOA+sin2BOB+sin2COC

=0.

?舉一反三

【題型1奔馳定理】

【例1】(2024?全國?模擬預測)已知。是△4BC內(nèi)的一點，若△806440。,2k408的面積分別記為51,52

品，貝凡?瓦？+S2?赤+S3?瓦=6.這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的log。很相似，故形象地稱其為“奔

馳定理如圖，已知。是△力BC的垂心，且瓦5+2萬+3瓦=6,貝i|tanNBAC:tan乙4BC:tan乙4cB=()

A

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

【變式1-1]（2024?全國?模擬預測）奔馳定理：已知。是△ABC內(nèi)的一點，若△BOC、△40C、△力。B的

面積分別記為Si、S2,S3,貝歷?初+S2?而+S3?瓦=6.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論,

這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的log。很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知。是△ABC的垂心,

且方+20B+40C=6,貝UcosB=（）

A.￥B.|C.|D.手

【變式1-21（23-24高二上?四川涼山?期末）在平面上有△4BC及內(nèi)一點O滿足關系式：S^OBC?市+S4o4c

?麗+S44B?沆=6即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若△ABC的三邊為a,b,c,現(xiàn)有a?瓦？+心麗+c?3=

6,則。為△4BC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【變式1-3]（23-24高一下?湖北?期中）奔馳定理：已知。是△ABC內(nèi)的一點，△BOC,△20C,AA0B

的面積分別為L，SB，SC,貝監(jiān)?瓦？+SB?赤+S0?瓦=6.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，

因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設。為三角形2BC內(nèi)一

點，且滿足：OA+20B+30C=3AB+2BC+CA,則魯變=（）

、△ABC

A

1

D.

3

【題型2重心問題】

【例2】（2024?全國?模擬預測）已知點。是△ABC的重心，過點。的直線與邊分別交于M,N兩點，D

為邊的中點.若4。=+y/N（%,yER）,則久+y=（）

321

A.-B.-C.2D.-

【變式2-1］（2024?全國?二模）點。，是△ABC所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足而=方+話+沆，則直

線。P經(jīng)過△4BC的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【變式2-2］（2024?四川南充?模擬預測）已知點。是△力8c的重心，。4=2,05=3,。。=3,則雨?布

+OA-OC+'OBOC=.

【變式2-3］（2024?四川雅安一模）若點P為△4BC的重心,35sin>l-PA+21sinB-PB+15sinCPC=0,

貝Ucos△BAC=.

【題型3垂心問題】

【例3】（2024高三下?全國?專題練習）如圖，已知。是△力BC的垂心，^OA+2OB+3OC=0,貝UtanNB":

tan/ABUtan乙4cB等于()

B.1:2:4

C.2:3:4D.2:3:6

【變式3-1］（24-25高一下?遼寧沈陽?階段練習）在△回（?中，若出而=葩衣=配亦,則點〃是

△力BC的()

A.垂心B.重心C.內(nèi)心D.夕卜心

【變式3-2］（2024?遼寧撫順?模擬預測）在銳角三角形48c中，2=60。，AB>AC,，為△ABC的垂心，

AH-AC=20,。為△ABC的外心，且說?刀=留珂?|萬貝|BC=（）

A.9B.8C.7D.6

【變式3-3］（24-25高一下?云南昆明?階段練習）已知在△2BC中，sin2X+sin2C=sin2B+sinX-sinC,H

是△ABC的垂心，且滿足麗?麗=8,貝U△4BC的面積S44BC=（）

A.8V3B.8C.4V3D.4

【題型4內(nèi)心問題】

【例4】（23-24高一下?浙江?期中）設。為△ABC的內(nèi)心，2B=4C=13,BC=10,>10=mAB+nAC

(m,nGR),則m+?t=()

【變式4-1］（2024?安徽淮南?一模）在△ABC中，2B=4/C=6,點。，￡分別在線段48,AC上，且。

為力B中點，AE=^EC,若麗=詬+荏，則直線4P經(jīng)過△4BC的（）.

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

【變式4-2］（2024高三?全國?專題練習）在△4BC中，|萬|=2,|而|=3,|近|=4,。是的內(nèi)心,

且彩=4萬+4元，貝1|4+〃=（）

A.2B.5C.1D-i

【變式4-3］（2024高一?全國?專題練習）已知△4BC所在的平面上的動點P滿足而=|彳^前+|荔|彳?,

則直線4P一定經(jīng)過△ABC的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【題型5外心問題】

【例5】（2024?安徽?模擬預測）已知△力BC的外心為G,內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,6,c,且a:b:c=5:5:8.若

CA-CB=-28,則花?麗=（）

25

A.yB.50C.25D.25V2

【變式5-1］（2024?云南曲靖?二模）已知。是的外心，AB+AC=2AO,\OA\=\AB\,則向量芯在

向量而上的投影向量為（）

A.-^BCB.~^BCC.|fiCD.^BC

【變式5-2]（2024?新疆?一模）已知平面向量碗，而滿足|府|=|而|=2,?赤=-2,點。滿足

DA=2OD,￡為△AOB的外心，則布?前的值為（）

,16-8-8-16

A.——B.--C.-D.—

【變式5-3]（2024?全國?模擬預測）已知△4BC中，AO=XAB+（1-Z）XC,且。為△ABC的外4若瓦?在

前上的投影向量為〃麗，且cosN4OCe||,|],貝必的取值范圍為（）

AY昌B.[|±]c.[i,|]D,[|,|]

?課后提升練（19題

一、單選題

I.（2024?全國?模擬預測）已知在△ABC中，G為aABC的重心，。為邊8c中點，貝ij（）

A.AB+AC=2AGB.AD=3AG

----->>>2>2----->>>>

C.AB-AC^AD-BDD.AB-AD=AC-AD

2.（2024?全國?模擬預測）已知平面上四個點4B,C,D,其中任意三個不共線.若荏?麗=尼?同，則直

線2D一定經(jīng)過三角形ABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

3.（23-24高一下?河北?期中）平面向量中有一個非常優(yōu)美的結論：已知。為△ABC內(nèi)的一點，△BOC,

AAOC,aylOB的面積分別為SA，SB，SC,貝口人?方+SB?/+S。?無=6.因其幾何表示酷似奔馳的標

志，所以稱為“奔馳定理”.已知。為△48C的內(nèi)心，三個角對應的邊分別為a,b,c,已知a=3,6=2

V3,c=5,貝!]8。?AC=（）

A.2V^—8B.—2C.V6—7D.3V^—9

4.（2024?四川南充?三模）已知點P在△川（；所在平面內(nèi)，若園.（緇-緇）=麗?（雋-黑■）=（）,則點尸

\AC|1AHi\DCI|DYI|

是△ABC的（）

A.外心B.垂心C.重心D.內(nèi)心

5.（23-24高一下?甘肅?期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美

的結論.它的具體內(nèi)容是：已知M是△ABC內(nèi)一點，△BMC,△AMC,△4MB的面積分別為力，SB,Sc,

T—>TTT—>

且54-用力+58一用3+5「用。=0.若時為443（；的垂心，3MA+4MB+5MC^0,貝!JCOSNAMB=（）

A

C.#D-T

6.（2024?全國?模擬預測）已知在△ABC中，角48c的對邊分別為見hc,2sinA=acosC,c=2.若G為八ABC

的重心，則G42+GB2—GC2的最小值為（）

A12-4?B8+4遮C4?-2D4+2?

?99?-3-?-3-

7.（23-24高一下?黑龍江?期中）數(shù)學家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學》一書中提出以下定理：

三角形的重心、垂心和外心共線，這條線稱為三角形的歐拉線.已知點G,”,。分別為△ABC的重心，垂心，外

心，。為2B的中點，貝|（）

A.~CH=~ODB.CW=200C.~CH=30DD.CH=40D

8.（2024?安徽?三模）平面上有△ABC及其內(nèi)一點O,構成如圖所示圖形，若將△04B,△OBC,△OCX

的面積分別記作S,，Sa,Sb,則有關系式Sa?函+Sb?赤+Sc?沅=0.因圖形和奔馳車的Zog。很相似，常

把上述結論稱為“奔馳定理已知△ABC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若滿足a?函+b?赤+c?

OC=0,則。為△ABC的（）

C.重心D.垂心

二、多選題

9.（24-25高三上?黑龍江哈爾濱?期中）在△4BC中，AB=4C=5,BC=6,P為△ABC內(nèi)的一點，AP=xAB

+yAC,則下列說法正確的是（）

A.若P為△力BC的重心，貝收+y=TB.若P為△ABC的外心，則麗?麗=一18

7q

若為△的垂心，則若為△力的內(nèi)心，則

C.PABCx+y=/looD.PBCx+y=[

10.（23-24高一下?湖南長沙?期末）點。在△ABC所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（）

A.若瓦5?麗=麗?無=沆-52,則點。為△A8C的外心（外接圓圓心）

B.若而=%（/—+PCR），則動點。的軌跡一定通過△ABC的重心

\AC\smCj

C.若2。4+。8+3。。=0,S△AOC，S44BC分別表示△ZOC,的面積，貝=1：6

。■若市?（品+備）=詁,（備+備）=云,（篇+嗇）=。，則點。是△皿。的內(nèi)心

11.（24-25高一下?山東?階段練習）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非

常優(yōu)美的結論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關聯(lián).它的具體內(nèi)容是：

已知”是△4BC內(nèi)一點，△BMC,AAMC,△4M8的面積分別為勿，SB,Sc,且山?涼+SB?麗+S0

-MC=0.以下命題正確的有（）

A.若SA：SB：SC=1:1:1,則M為△4MC的重心

B.若“為△ABC的內(nèi)心，貝IJBC?雨+4C?雨+AB?流=6

C.若N82C=45°,Z^BC=60°,M為△4BC的外心，貝I]S4：SB：SC=K：2:1

D.若M為△ABC的垂心，3加+4麗+5標=6,貝!Jcos/AMB=-逅

6

三、填空題

12.（2024?湖北?模擬預測）在△ABC中，AB-AC=16,SAABC^6,BC=3,^.AB>AC,若。為△48C

的內(nèi)心，則與?麗=.

13.（2024?四川涼山?三模）在aABC中，已知4B=1/C=3,點G為△ABC的外心，點。為△ABC重心,

則痔麗=.

14.（24-25高二上?四川廣安?開學考試）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對

應的圖形與“奔馳”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理）.“奔馳定理”的內(nèi)容如下：

如圖，已知。是△力BC內(nèi)一點，△BOC,△AOC,△AOB的面積分別為力，SB,SC,貝口4?麗+

Sc-OC=0.若。是銳角△ABC內(nèi)的一點，A,B,C是△A8C的三個內(nèi)角，且。點滿足市?麗=布?瓦=無

-0A,則下列說法正確的是（填序號）.

A

①。是△ABC的垂心；②NB0C+4<n；

（3）|O^4|：|OB|：|OC|=cosX:cosB:cosC；（4）tanX-OA+tanB-OB+tanC-OC=0

四、解答題

15.(23-24高一下?山東聊城?期中)在△ABC中，M,N為△ABC所在平面內(nèi)的兩點，AB=3,AC=2V3,

MC=|BC,NA+NC=0,

(1)以荏和前作為一組基底表示麗，并求|而|；

(2)。為直線MN上一點，設而=%屈+)/就(x,yeR),若直線CD經(jīng)過△28C的垂心，求x