2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：集合與常見邏輯用語（集合常規(guī)運(yùn)算+參數(shù)問題+新定義題）（10大考點(diǎn)）原卷版

專題01集合與常見邏輯用語

模塊導(dǎo)航

考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+高考考點(diǎn)，有的放矢

重點(diǎn)專攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺

難點(diǎn)強(qiáng)化：難點(diǎn)內(nèi)容標(biāo)注與講解，能力提升

提升專練：真題感知+精選專練，全面突破

?＞題型聚焦------------------------------------------

【考點(diǎn)1］并、交、補(bǔ)集的簡單運(yùn)算

【考點(diǎn)2】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

【考點(diǎn)3］根據(jù)集合中元素個(gè)數(shù)求參數(shù)

【考點(diǎn)4】判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系

【考點(diǎn)5］根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

【考點(diǎn)6］根據(jù)集合的并、交、補(bǔ)集運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)

【考點(diǎn)7］集合新定義題

【考點(diǎn)8］充分性與必要性的判斷

【考點(diǎn)9］根據(jù)充分性與必要性求參數(shù)

【考點(diǎn)10］根據(jù)命題的真假求參數(shù)

G重點(diǎn)專攻-----------------------------------------

知識(shí)點(diǎn)1：元素與集合

1元素與集合的關(guān)系

(1)屬于(belongto)：如果。是集合A的元素，就說。屬于A,記作aeA.

(2)不屬于(notbelongto)：如果〃不是集合A的元素，就說Z?不屬于A,記作

特別說明：。表示一個(gè)元素，{。}表示一個(gè)集合.它們間的關(guān)系為：a^{a}.

2集合元素的三大特性

(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在

這個(gè)集合中就確定了，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的確定性.

(2)互異性(考試常考特點(diǎn)，注意檢驗(yàn)集合的互異性)：一個(gè)給定集合中元素是互不相同的，也就是說,

集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的互異性.

(3)無序性：集合中的元素是沒有固定順序的，也就是說，集合中的元素沒有前后之分，我們把這個(gè)性質(zhì)

稱為集合元素的無序性.

知識(shí)點(diǎn)2：子集

1子集：

一般地，對于兩個(gè)集合A,B,如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合3中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有

包含關(guān)系，稱集合A為集合3的子集

(1)記法與讀法：記作4口3(或讀作“A含于8”(或“3包含A”)

(2)性質(zhì):

①任何一個(gè)集合是它本身的子集，即

②對于集合A,B,C,若4口5,且則

(3)ve〃〃圖表示：

2集合與集合的關(guān)系與元素與集合關(guān)系的區(qū)別

符號“口”表示集合與集合之間的包含關(guān)系,而符號“e”表示元素與集合之間的從屬關(guān)系.

知識(shí)點(diǎn)3：真子集的含義

如果集合A口3,但存在元素尤c6,且尤仁4,我們稱集合A是集合5的真子集；

(1)記法與讀法：記作AUB,讀作“A真包含于B"(或“B真包含A")

(2)性質(zhì)：

①任何一個(gè)集合都不是是它本身的真子集.

②對于集合A,B,C,若AU3,且3UC,則AUC

(3)〃圖表示：

知識(shí)點(diǎn)4：并集

一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素組成的集合稱為集合A與集合3的并集，記作AU8(讀

作：A并3).記作：=

并集的性質(zhì)：A\JB=B\JA,AcAUfi,B^A\JB,AUA=A,AJ0=A.

高頻性質(zhì)：若

圖形語言

知識(shí)點(diǎn)5：交集

一般地，由既屬于集合A又屬于集合B的所有元素組成的集合即由集合A和集合B的相同元素組成的集合,

稱為集合A與集合3的交集，記作(讀作：A交3).記作：A^B={x\x^A^^B}.

交集的性質(zhì)：A[}B=B^A,AABcA,A^B^B,AAA=A,AA0=0.

高頻性質(zhì)：若4。3=323口4.

圖形語言

知識(shí)點(diǎn)6：全集與補(bǔ)集

全集：在研究某些集合的時(shí)候，它們往往是某個(gè)給定集合的子集，這個(gè)給定的集合叫做全集，常用U表示，

全集包含所有要研究的這些集合.

補(bǔ)集：設(shè)。是全集，A是。的一個(gè)子集(即A=U),則由U中所有不屬于集合A的元素組成的集合，叫

做U中子集A的補(bǔ)集，記作CVA,即CuAnfMxeU為cA}.

補(bǔ)集的性質(zhì)：A\JCVA^U,AnC0A=0,Cu(CuA)=A.

知識(shí)點(diǎn)7：充分條件、必要條件與充要條件的概念

⑴若pnq,則P是4的充分條件，4是P的必要條件；

(2)若。n。且44P,則P是4的充分不必要條件；

(3)若，4q且q=P,則P是4的必要不充分條件；

(4)若poq,則2是4的充要條件；

(5)若，44且44P,則P是4的既不充分也不必要條件.

知識(shí)點(diǎn)8：全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

1全稱量詞命題及其否定(高頻考點(diǎn))

①全稱量詞命題：對M中的任意一個(gè)x,有p(x)成立；數(shù)學(xué)語言：VxeM,p(x).

②全稱量詞命題的否定：*

2存在量詞命題及其否定(高頻考點(diǎn))

①存在量詞命題：存在M中的元素x,有p（x）成立；數(shù)學(xué)語言：3x^M,p（x）.

②存在量詞命題的否定：

6提升專練------------------------------------------

?題型歸納

【考點(diǎn)11并、交、補(bǔ)集的簡單運(yùn)算

1.（2024?北京?高考真題）已知集合/="|-3<^<1},N={x|-lVx<4},則（）

A.{x|-l<x<l}B.{中>一3}

C.{x[—3<xv4}D.{x|x<4}

2.（2024?全國?高考真題（甲卷文））若集合A={1,2,3,4,5,9},B={X|X+1GA},則人口5=（）

A.{1,3,4}B.{2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4,9}

3.（2024?全國?高考真題（甲卷理））已知集合4={1,2,3,4,5,9},8=卜|??4},則肌4八3）=（）

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

4.（2024?全國?高考真題（新課標(biāo)I卷））已知集合4=何-5<三<5},8={_3,-1,0,2,3},則AAB=（）

A.{-1,0}B.{2,3}C.{一3,-1,0}D.{-1,0,2）

【考點(diǎn)2]根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

1.（2024?廣東河源?模擬預(yù)測）已知集合4=同尤>a},8=何必-依-3>0},若leA且"'3,則。的

取值范圍是（）

A.B.（—2,1）C.[—2,+oo）D.（—8,1）

2.（2024?北京?三模）已知集合&={鄧!次<1},若則?？赡苁牵ǎ?/p>

1

A.-B.1C.2D.3

e

3.（多選）（2024河南模擬預(yù)測）已知{。,6}={1,2,3},.力）€{（尤,刈、=*+1},則2。"的值可以為（）

A.2B.64C.256D.1024

4.（2024?上海寶山?二模）已知集合4={2仙+1],。+3},且leA,則實(shí)數(shù)。的值為.

【考點(diǎn)3]根據(jù)集合中元素個(gè)數(shù)求參數(shù)

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知集合4={—5,—1,1,5},B={x\a<x<a+3],若AcB中有2個(gè)元素，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-2,-1）B.[—2,-1]C.（—2,2]D.[―5,—1）

2.（2024?陜西寶雞?一模）若集合A={xeR“-2x+l=0}中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)。=（）

A.1B.0C.2D.0或1

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知集合時(shí)={-2,-1,0,1},N={x\a-3<x<\\,若McN中有2個(gè)元素，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是.

【考點(diǎn)4】判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系

1.（2024?寧夏?模擬預(yù)測）設(shè)集合M={x|x=4〃+l,〃eZ},N={x|x=3〃+l,〃eZ},P={x|x=12〃+l,〃eZ},

則（）

A.MPB.NP

C.McNjPD.MCN=0

2.（2024?江西?一模）已知集合A=3=C=j?|^Gzj,則（）

A.AcBCB.BUC=AC.CAcBD.BcCAnB

3.（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知集合=；+==（+<〃ez],則下列表述正確的

是（）

A.McN=0B.M\JN=RC.M三ND.NyM

【考點(diǎn)5]根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

1.（2024?北京朝陽?模擬預(yù)測）已知集合。={1,2,3,4},若集合A、5滿足：A^B^Uf則集合對（A可共

有（）個(gè).

A.36B.48C.64D.81

2.（2024?河南?模擬預(yù)測）已知集合A=[x\l<x<2},B={疝<x<磯，若BqA,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.（2,+oo）B.（1,2]C.（-00,2]D.[2,+oo）

3.（2024?江西新余?模擬預(yù)測）已知集合4={%|%2—6犬+840},B={y\y>a}9若則。的取值范

圍是（）.

A.（一與2）B.（一8,4）C.（一2]D.（一。,4]

4.（2024?河南?模擬預(yù)測）已知集合A={a,|d},B={x|%2—3%—4K0},若八A,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是（）

A.[—1,1]B.（—1,0）C.[—1,0]D.[—1,0）

【考點(diǎn)6]根據(jù)集合的并、交、補(bǔ)集運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)

1.（2024?陜西商洛?一模）已知集合4={1|一2<1<5},8={%|2。一1<%<2〃+6},若Ac5={x|3vxv5},

則。=（）

A.1B.2D.4

2.（2024?河南?模擬預(yù)測）已知集合^={加嗎（尤一1）<，科3={小2-10彳+920},且MUN=R,則實(shí)

數(shù)加的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2024?福建?模擬預(yù)測）設(shè)集合A={小>5},3=卜卜2-（4+1口+〃<0},若人口3=0,則a的取值范圍

為（）

A.（-00,5]B.[5,+GO）C.（-00,5）D.（5,+8）

4.（2024?廣東韶關(guān)?一模）已知集合4={-2,0,2,。},8=卜氏-1歸3},4門3=4,寫出滿足條件的整數(shù)。的

一個(gè)值________.

5.（2024?安徽?模擬預(yù)測）已知A={尤|lg尤<1},尸=卜卜-心〃?},若（趣4）U（㈤，則加的取值范圍為.

【考點(diǎn)7]集合新定義題

1.（24-25高一上?上海楊浦?開學(xué)考試）已知集合A為非空數(shù)集，對于集合A,定義對A中任意兩個(gè)不同

元素相加得到一個(gè)絕對值，將這些絕對值重新組成一個(gè)新的集合，對于這一過程，我們定義為“自相加”，

重新組成的集合叫做“集合A的1次自相加集合"，再次進(jìn)行"一1次"自相加”操作，組成的集合叫做“集合A

的“次自相加集合”，若集合A的任意左次自相加集合都不相等，則稱集合A為“完美自相加集合"，同理,

我們可以定義出"A的1次自相減集合"，集合A的1次自相加集合和1次自相減集合分別可表示為：

A+={九|兀=|。+目,久人wA},/T={尤|x=\a-b\,a,bG.

⑴已知有兩個(gè)集合，集合3={1,2,3,4},集合C={Z：M=2〃+l,〃eZ},判斷集合5和集合C是否是完美自

相加集合并說明理由；

（2）對（1）中的集合5進(jìn)行11次自相加操作后，求：集合5的11次自相加集合的元素個(gè)數(shù)；

（3）若0<〃<2024且“eN,集合A={H〃<X<2024,XCN},A+CA=0,求：”的最小值.

2.（2025?江蘇南通?一模）已知有限集4={4。2,…，a”}（"N2,〃eN）,若％+a?+…+?！?%乂出x…xa“，則

稱A為"完全集”.

⑴判斷集合卜1，-忘，忘T，2&+2}是否為“完全集〃，并說明理由；

（2）若A為“完全集"，且A=N*,用列舉法表示集合A（不需要說明理由）；

⑶若集合｛。,印為"完全集”，且。力均大于0,證明：。泊中至少有一個(gè)大于2.

3.（2024?安徽馬鞍山?三模汨知S是全體復(fù)數(shù)集C的一個(gè)非空子集,如果Vx,yeS,總有x+y,x-y,yeS,

Y

則稱s是數(shù)環(huán).設(shè)廠是數(shù)環(huán)，如果①尸內(nèi)含有一個(gè)非零復(fù)數(shù)；②/且y*0,有7仁尸，則稱尸是

數(shù)域.由定義知有理數(shù)集Q是數(shù)域.

⑴求元素個(gè)數(shù)最小的數(shù)環(huán)S;

（2）證明：記Q（道）=｛。+技|a,6eQ｝,證明：0（道）是數(shù)域；

⑶若大，歹2是數(shù)域，判斷4UF?是否是數(shù)域，請說明理由.

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知有序數(shù)對X:與毛｝，有序數(shù)對丫：｛%，%，%｝，定義"。變換"：乂=歸-百，

%=民-幻，％=|演-可|，可以將有序數(shù)對X轉(zhuǎn)化為有序數(shù)對F.

⑴對于有序數(shù)對X:｛3,4,5｝,不斷進(jìn)行“。變換”，能得到有序數(shù)對｛0,0,0｝嗎？請說明理由.

（2）設(shè)有序數(shù)對X:｛&9,不｝經(jīng)過一次"。變換”得到有序數(shù)對Y-.｛y,2,x｝（x>y）,且有序數(shù)對y的三項(xiàng)之和為

2024,求上的值.

⑶在（2）的條件下，若有序數(shù)對y經(jīng)過〃次"。變換”得到的有序數(shù)對的三項(xiàng)之和最小，求〃的最小值.

【考點(diǎn)8］充分性與必要性的判斷

1.（2024?山東威海?一模）已知命題命題4：mxeR,++2依+1V0,則P成立是F成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024?浙江臺(tái)州?一模）已知集合4={#2+2%<3},8={無曠+%<3},則“尤eA"是"xe3"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2024?河南?模擬預(yù)測）若〃>0力>0,則使a+bV4成立的一個(gè)充分不必要條件為（）

A.-+-<1B.^+—>4C.a2+b2<8D.-+->4

ababab

【考點(diǎn)9]根據(jù)充分性與必要性求參數(shù)

1.（2024?湖北黃岡?一模）已知集合4=卜|1082》<〃?}，8=卜1三|411,若“尤eA"是"xe的充分不必

要條件，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

2.（2024?山西?模擬預(yù)測）已知集合4={刈2犬-5區(qū)3},B={%|%2-+（2m+l）（2/n-1）<0）.

（1）若。:xeA,q”B,且P是4的必要不充分條件，求加的取值范圍；

3.（2024?四川遂寧?模擬預(yù)測）已知集合4=N“+14犬<2。+1},函數(shù)y=1（^-3彳-10）的定義域?yàn)榉?/p>

（1）若集合4B=C,求集合C；

（2）在（1）條件下，若。=3,求AUC；

（3）在（1）條件下，若"xeA”是"xeC”充分不必要條件，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

4.（23-24高一上?遼寧?階段練習(xí)）已知集合4=印-24尸1<5}、B={x\m+l<x<2m-l]（meR）.

⑴若=求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

（2）設(shè)命題P：xeA；命題4：x&B,若命題P是命題4的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【考點(diǎn)10]根據(jù)命題的真假求參數(shù)

1.（2024?河南?模擬預(yù)測）已知命題JxeR,/-7加+根<0”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

A.[0,4]B.（0,4）C.[0,2]D.（0,2）

2.（2024?四川涼山?二模）已知命題“VxeR,sin?（兀+x）+2cosx+mW0"是假命題，則的取值范圍為（）

A.[-2,+oo）B.（-2,+00）C.（—00,-1）D.（―℃,—2]

3.（2024?上海長寧?一模）若“存在x>0,使得/+6+1<0”是假命題，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

4.（23-24高三上?安徽銅陵?階段練習(xí)）若命題“*w[-1,2],使得尤2+“一相一520”是假命題，則的取

值范圍是.

?過關(guān)檢測

一、單選題

1.（2024?天津?高考真題）集合4=也2,3,4},4={2,3,4,5},則An8=（）

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{1}

2.（2024?全國?高考真題）已知命題p：VxeR,|X+1|>1；命題g：Rx>0,%3=x,則（）

A.。和g都是真命題B.T7和g都是真命題

C.p和F都是真命題D.T7和F都是真命題

3.（2024?寧夏吳忠?一模）已知集合A=Wy=Jx_2},B=x2-4x+3<0j,貝1|AU3=（）

A.{x|2<x<3}B.{x|x>2}

C.{x|x41,或無22}D.{x|x>l}

4.（2024?福建?三模）已知集合4={小2-203<0},2={x|y=G斤},貝（j&B）cA=（）

A.[—1/]B.[—1,1）C.[—3,1]D.[—3,1）

5.（2024?山東威海?一模）已知集合A=卜卜=71二百},B={y|j=2t+1},貝?。?lt;可13=（）

A.0B.[-1,1]C.[l,+oo）D.（1,+<?）

6.（2024?河北石家莊?模擬預(yù)測）設(shè)集合A={xeR|”x<5},3={尤eR|爐一3尤-4<o},貝！j4n3=（）

A.（-1,1]B.（-1,4）C.[1,4）D.[1,5）

7.（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測）"x<L，是"0<x<l"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

8.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）設(shè)”,8wR,則使">人成立的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.a3>b3B.lg（a-Z?）>0

C.a2>b2D.\a\>b

2

9.（24-25高一上?江蘇南京?階段練習(xí)）已知命題。:Bxe[0,3],6/=—X+2x:命題4:VJVG[-+辦—84O.

若p為假命題，q為真命題，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（）

A.[-3,1]B.（-w,2]

C.[―7,—3）|J（L2]D.（-<?,—3）|J（1,2]

10.（2024?全國?模擬預(yù)測）設(shè)集合A={x324},8={x|2x<a},若AU3=A，則a的取值范圍是（）

A.（-oo,-4]B.

C.[l,+oo）D.[4,+oo）

11.（2025?全國?模擬預(yù)測）已知：哥德巴赫猜想認(rèn)為任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和.定義尸為

全體素?cái)?shù)的集合，那么以下形式化命題中和哥德巴赫猜想不等價(jià)的是（）

A.6Nn[2,+oo）,VP]e尸，Vp?eP,R+p2H2no

B.{口+02歷wRp?€尸}衛(wèi){2"〃wNc[2,+oo）}

D.N,2“zV2或Pc{2m-p|peP}W0

二、多選題

12.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）對于集合A,若VxwA,2-xeA,則稱A為對偶互存集，則下列為對偶互

存集的是（）

A.{-1,0,1,2,3}B.{x|x=2A-l,AwZ}

13.（24-25高一上?廣西南寧?階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.上是的充分不必要條件

B.AQB=0.是A=0的必要不充分條件

C.若a,b,ceR,貝Vac?>兒2"的充要條件是“a>bff

D.若。，6eR,貝！Pd十〃/0”是“同+同―。，，的充要條件

14.（2024?新疆烏魯木齊?三模）S={x||R<l},運(yùn)算“十"為。十匕=含尚，則（）

A.(―a)十a(chǎn)=0B.a?b=b?a

C.（a十力十c=a十3十c）D.若a,bsS,貝（）a十bcS

三、填空題

15.（2022?福建寧德?模擬預(yù)測）已知命題P：2Vx<3,命題q:|2x-a|<2,若命題F是命題R的充分不

必要條件，則實(shí)數(shù)a的取