2025年高考數學二輪復習：平面向量小題全面梳理與精細分類（講義）（解析版）

專題08平面向量小題全面梳理與精細分類

目錄

n，組it口且閑.田雉己14吉a

()3久口［4

04.小青

題型一：平面向量基本定理及其應用13

題型二：平面向量共線的充要條件及其應用16

題型三：平面向量的數量積20

題型四：平面向量的模與夾角23

題型五：等和線問題26

題型六：極化恒等式31

題型七：矩形大法36

題型八：平面向量范圍與最值問題40

題型九：等差線'等商線問題45

題型十：奔馳定理與向量四心50

題型十一：阿波羅尼斯圓問題56

題型十二：平行四邊形大法61

重難點突破：向量對角線定理66

差情;奏汨?日標旦祐

平面向量的數量積、模和夾角是高考中的重點和熱點內容，它們通常以選擇題或填空題的形式被考察。

這類題目經常以平面圖形作為背景，來測試學生對數量積、夾角以及向量垂直條件的理解和應用。此外,

這些內容還容易與平面幾何'三角函數、解析幾何以及不等式等其他數學知識相結合，作為解題的工具或

手段。近年來，高考中主要圍繞平面向量的坐標運算'模的最大或最小值問題，以及向量的夾角等問題進

行考察。這些問題與三角函數'解析幾何等知識點緊密相關，難度適中。

考點要求目標要求考題統(tǒng)計考情分析

2025年高考中，平面向

平面向量基本定理及

理解定理，掌握應用2022年I卷第3題，5分量的數量積預計將繼續(xù)成

其應用

為重點考察內容，可能會單

獨出現，也可能與平面圖形

2024年II卷第3題，5分

2023年北京卷第3題，4分等其他知識點相結合?？疾?/p>

平面向量的數量積、理解概念，應用解決

2023年甲卷第4題，5分內容將涵蓋平面向量數量

模、夾角實際問題

2023年I卷第3題，5分積的定義、性質及其應用，

年卷第題，分

2023II135特別是利用數量積來計算

向量的夾角'模以及判斷向

2024年天津卷第14題，5分

量的垂直關系等問題。這些

2023年天津卷第14題，5分

掌握范圍求解，最值題目的難度可能會涵蓋基

平面向量范圍與最值2022年北京卷第10題，4分

方法，提升解題能力礎題、中檔題乃至難題，并

2022年浙江卷第17題，4分

2022年天津卷第14題，5分且以選擇題或填空題的形

式呈現。

〃用識導圖?思維引航\\

㈤3

.n過偏—?—拈工弓

1、平面向量的應用考向主要是平面幾何問題，往往涉及角和距離，轉化成平面向量的夾角、模的問題，

總的思路有：

（1）坐標法：把幾何圖形放在適當的坐標系中，則有關點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相

應的代數運算和向量運算，從而使問題得到解決.

（2）基向量法：適當選取一組基底，溝通向量之間的聯系，利用向量間的關系構造關于未知量的方程

進行求解.

2、平面向量中有關范圍最值問題的求解通常有兩種思路：

①“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據平面圖

形的特征直接進行判斷；

②“數化”，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數中的函數最值與值域、不等式的解集、方

程有解等問題，然后利用函數、不等式、方程的有關知識來解決.

0

心真題砒標?精御皿\\

1.（2024年北京高考數學真題）設a，b是向量，貝『'（。+以。-6）=0"是“。=-6或0=/'的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】因為（4+6b（°-6）=°2-62=0,可得/=片，即|4=W，

可知（〃+6卜（〃-6）=0等價于同=W,

若a=i^a=-b，可得同=卜|,即,+孫（"6）=0,可知必要性成立；

若一。）=0,即同=1|,無法得出a=b或°=一6，

例如a=（1,0）/=（0,1）,滿足同=忖，但a"且可知充分性不成立；

綜上所述，“（a+6）?-6）=0”是“a關6且。?6”的必要不充分條件.

故選：B.

2.（2024年天津高考數學真題）已知正方形ABCD的邊長為1,DE=2EC,若BE=2BA+〃BC,其中九〃為

實數，則2+〃=;設下是線段BE上的動點，G為線段AF的中點，則AQDG的最小值為.

45

【答案】-~-

Jlo

11uuruunuuriutruun

【解析】解法一：因為。石=5。石，^CE=-BA,則BEuBC+CEn,BA+BC,

14

可得尢=，"=1,所以幾+〃=￡;

由題意可知：k4=kA|=l,BA4C=0,

因為尸為線段BE上的動點，^BF=kBE=^kBA+kBC,ke\O,l],

貝I]AF=AB+BF=AB+kBE=^k-]^BA+kBC,

又因為G為AF中點，則■DG=ZM+AG=_BC+gAP=；（；A;_jBA+（；^_ljBC,

可得AF.￡（G=y^k-\\BA+kBC■IBA+IjfiC

又因為Ze[0,1],可知：當人=1時，AQOG取到最小值-2；

解法二：以8為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示,

可得=(-1,0),8C=(0,1),8E=

_丸=__4

因為5E=/iBA+43c=(-4〃)，貝人3所以；1+〃=1；

、〃二1

因為點尸在線段BE1:y=—3x,xw——,0上，設廠(Q,—3〃),ae——,0

1、r,.I"-13|

且G為AF中點，則

可得AF=(a+1,-3a),DG=，一]一11

則”.r)G="^-+(_3a)[_]_1]=5,+|[q,

且aw-1,0,所以當“?時，4尸.“3取到最小值為二：

_3」318

45

故答案為：—；?

318

3.(2024年新課標全國II卷數學真題)已知向量滿足卜|=1,k+26卜2,且僅-2a)，6,則忖=()

A.1B.變C.3D.1

222

【答案】B

【解析】因為僅-2a)_L6,所以,_2勾力=0,即片=20電，

又因為口=1,k+20=2,

所以1+4〃?5+4片=1+6/?2=4，

從而愀=孝.

故選：B.

4.(2023年北京高考數學真題)已知向量0,。滿足a+b=(2,3),a=(-2,1),則12Tz,『二()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】向量a4滿足4+方=(2,3),4-石=(-2,1),

所以-|&|2=(fl+&)?(?-*)=2x(-2)+3xl=-l.

故選：B

5.(2023年高考全國乙卷數學(文)真題)正方形ABC。的邊長是2,E是48的中點，則EC.ED=(

A.y/5B.3C.275D.5

【答案】B

,、iuuniiuuni|uunuum

【解析】方法一：以｛A民A。｝為基底向量，可知,@=,。卜2,452。=0,

uunuuruuniuunuumuunuiruumiuunuum

則EC=E3+3C=—A3+AO,石O=EA+Ar)=——AB+AD,

22

uunuun(iuunuumA(iuuauumAiuua2uum2

所以lAB+AO]AB+AZ)=-+AD=—1+4=3；

方法二：如圖，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，

UUUULIU

則E(L0),C(2,2),￡)(0,2),可得EC=(1,2),即=(-1,2),

UUUUUU1

所以EC-ED=-1+4=3；

方法三：由題意可得：ED=EC=>f5,CD=2,

.,4人討…―公/CL。DE2+CE2-DC25+5-43

在MCDE中，由余弦定理可得cos/DEC=——c”?——=——r—r=7，

2DE-CE2x，5x，55

uunuun|UUtti||UUtti|3

所以￡。￡。二|困陷的/￡)石0=石>6乂，=3.

故選：B.

6.(2023年高考全國甲卷數學(文)真題)已知向量。=(3,1)8=(2,2),貝Ucos(a+6,a-?=()

A_LRV17店口2下

171755

【答案】B

【解析】因為a=(3,1)/=(2,2),所以。+6=(5,3),。-6=(1,-1),

則,+4=Js?+3?=-\/34,|tz-Z?|==V2,(a+6).(a-6)=5x]+3x(—1)=2,

/、(a+b\\a-b\2Jil

所以cos(a+4。_少=^----~/==—.

'/|a+Z?||a-Z?|V34XV217

故選：B.

7.(2023年高考全國甲卷數學(理)真題)己知向量a,b,c滿足同=忖=1,同=應，5.a+b+c=0,則

COS〈Q一。,萬一?！?()

4224

A.——B.——C.—D.—

5555

【答案】D

【解析】因為〃+Z?+c=0,所以5+Z?=」，

即/+62+2<2.6=/,即1+1+25.力=2,所以。必=0.

如圖，設OA=a,O8=b,OC=c,

c

由題知,OA=OB=1,OC=&,是等腰直角三角形，

邊上的高走,AO=交，

22

所以cr>=co+oo=應+走=涯，

22

tanZACD=—=~,cosZACD=~

CD3師’

cos(a-c,b一c〉=cosZ.ACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故選:D.

8.（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）己知。的半徑為1,直線出與〔。相切于點A,直線PB與。

交于8,C兩點，。為BC的中點，若歸0|=應，則PAP。的最大值為（）

A1+V2口I+2V2

22

C.1+72D.2+72

【答案】A

【解析】如圖所示，=尸|=0,則由題意可知:=

由勾股定理可得|PA|=^OP2-OA2=1

B

TT

當點AM立于直線尸。異側時或網為直徑時，設

則：PAPD=\PA\-\PD\cos[a+^-

兀

=1x6coscrcoscr+—

夜.\

=^2cosacosa------sma

2

=cos2?！猻inacosa

1+cos2a1.八

-----------------sin2a

22

sin12a一￡

22

八7171TCn

0<a<一,貝!J----<2a-----<—

4444

IT

當點"位于直線P。同側時，設

71

則：PAPD=PAPDCOS~~a

=1x0COS6ZCOS

（垃0.

=A/2COS6Z—cosaH-----sina

22

7

=cos2a+sm.acosa

1+cos2a1.小

--------------1sin2a

22

WY，

22

八九L\71入713TT

0<a<一,則一——<——

4444

.二當2a+￡=g時，PApf）有最大值I*〉.

422

綜上可得，PA.陽的最大值為匕巫.

故選：A.

9.（2023年天津高考數學真題）在VA5C中，BC=1,ZA=60,Ar?=；AB,CE=；C￡>,記A8=a,AC=>,

用a1表示AE=；若BF=；BC,則Afi.AF的最大值為.

.11,13

【rA答案】—^+―—

4224

\AE+ED=AD

【解析】空1：因為石為CD的中點，貝UE/）+￡C=0，可得<,

AE+EC=AC

兩式相加，可得到2AE=AO+AC，

即2AE='a+6,貝l|AE=La+Lb；

242

AF+FC=AC

空2：因為貝1）2尸3+FC=0，可得<

AF+FB=AB

得至！|AF+尸C+2（A尸+FB）=AC+2AB,

21

即3AF=2a+b，即AP=§a+§瓦

于是4￡-4/=]；4+3”[14+；"=4（2/+5分6+26）

，己AB=x,AC=y,

貝ljAE-A尸=?。2+5〃2+2/?2）=\（2爐+5孫8560+2/）=^l2X2+^+2/

22222

在VABC中，根據余弦定理：BC=x+y-2xycos60=x+y-xy=1f

1?55孫xy

于是=—2XVH-------F2

1212

由爐+,2一孫二］和基本不等式，x2+y2-xy=1>2xy-xy=xy,

故孫41,當且僅當％=y=l取得等號，

13

則x=y=l時，AQA/有最大值七.

1113

故答案為：-a+-b；

10.（2023年新課標全國H卷數學真題）己知向量0,b滿足卜-6卜粗，,+6|=|2々-可，則卜卜

【答案】6

【解析】法一：因為,+小慳-可，即,+4=（2〃-可，

貝1」/+2。力+6~-4a-4a-b+b''整理-得J-2a-6=0，

又因為卜-6卜君，即（。-。）2=3,

則牙-2荽+九九3,所以|*5

11.rirrrrrrrr

法二：設。=三—b，貝!jH=j3,“+b=c+2。,2Q-Z?=2c+Z?,

由題意可得：（c+力）=（2c+6）,則：+4；.%+432=4；+4：力+濟

整理得：氏=*即M=R=6.

故答案為：6

題型一：平面向量基本定理及其應用

【典例1-1］如圖，在VABC中，AN=：AC,P是3N的中點，^AP=mAB+nAC，則他+”=(

【解析】因為4V=，AC,所以BN=A7V-A2=，AC—A3,

22

因為尸是M的中點，所以8P=《BN=；AC-!AB,

242

所以"=48+族=48+以（7-148=：8+以（7,

4224

_113

乂AP=〃?AB+〃Ae，所以機=彳，n=:，即：〃+〃=；.

244

故選：D.

【典例1-2】(2024.河南商丘.三模)如圖，在VA2C中，點D,E分別在邊AB,BC±,且均為靠近B的四

等分點，C。與AE交于點/，^BF=xAB+yAC,則3x+y=()

【答案】A

【解析】連接。E,

A

BE1r）FBD1

由意思可知，二丁“所以㈤"C,則花一

BA~BC~BA4

所以變二"=，,所以5O=—，A5,OC=AC—AO=AC—3AB,

FCAC444

uuuriuuuiumn3uun

則。產二—DC=—AC——AB,

5520

uumuuuton1uun1uum3uun71011uum

故BF=BD+DF=一一AB+-AC——AB=一一AB+-AC.

452055

21

5LBF=xAB+yAC,所以x=—g,y=g,貝（J3x+y=-1.

故選：A

應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或

數乘運算.

2、用基底表示某個向量的基本方法：（1）觀察各向量的位置；（2）尋找相應的三角形或多邊形；

（3）運用法則找關系；（4）化簡結果.

【變式1?1］（2024?廣東?模擬預測）已知等邊VABC的邊長為1,點分別為A氏3C的中點，若DF=3EF,

貝ljAF=（）

1-3

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2426

1uun3uum

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【答案】A

【解析】在VABC中，取｛AC,AB｝為基底,

因為點￡）,E分別為AB,8C的中點，DF=3EF，

所以EF=LDE=LAC,

24

-|11Q

所以Ab=AE+EF=—(A3+AC)+—AC=—A3+—AC.

2、7424

故選：A.

【變式L2］（2024.新疆.模擬預測）在平行四邊形A3C。中，MN分別在邊CD,AD上，DM=MC,AN=2ND,

AM,比V相交于點。，則A尸=()

A.-AB+-ADB.—A.BH—AD

4224

31.

C.-AB+-ADD.-AB+-AD

3343

【答案】A

【解析】

31

由題意可得：AD=-AN,DM=-DC,

22

AM=AD+DM=AD+-DC=AD+-AB

22

^AP=AAM,

131

貝ljAP=XA。+/XAB=萬AAN+-AAB.

31

又及P,N三點共線，所以:彳+；彳=1,

22

解得2=；，

所以=

24

故選：A

命題預測T

1.如圖，在平行四邊形ABC。中，點E滿足石。，點尸為CD的中點，則。石+AF）

3515

C.-AB+-ADD.-AB+-AD

2424

【答案】B

13

【角軍析】因為=所以。E^DC+CEuAB—zAD.

因為點尸為C。的中點，所以AF=AO+OE=AO+1A8,

2

31

所以OE+AB=—AB+—Ar>.

24

故選：B.

題型二：平面向量共線的充要條件及其應用

【典例2-1】在VABC中，M、N分別在邊AB、AC上，S.AB=2AM>AC=4AN，。在邊BC上（不包

12

含端點）.若A￡）=xAM+yAN,則一+1的最小值是（）

xy

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解析】因為。在邊3c上（不包含端點），不妨設B￡）=；LBC，其中0<4<1,

gpAD-AB=/l（AC-AB）,

所以，AD=（l-/l）AB+2AC=2（l-2）AM+42A?7,

又因為AO=xAM+yAN,貝卜=2-2；1,y=4A,其中x、y均為正數,

且有2x+y=4,

12“4xy

所以,4+—+—

無y

4x_y

y

1fx=]

當且僅當<2x+y=4時,即當c時，等號成立,

[y=2

x>0,y>0

12

故則一+一的最小值是2.

xy

故選：A.

【典例2-2】已知a,。是平面內兩個不共線的向量，AB=a+4b,AC=〃a+b,/l,M^R,則A,B,C三點共線

的充要條件是（）

21

A.2-〃=1B.2+〃=2C.A/z=1D.—=1

【答案】C

【解析】由A,B,C三點共線的充要條件是AB=mAC且加eR,

即a+X6=/"+6）=m/ja+mb,由a,b是兩個不共線向量，

所以]:"」，故辦=1.

yA=m

故選：C.

1、平面向量共線定理：已知04=405+//。。，若；1+4=1,則A,昆。三點共線；反之亦然.

2、兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：（1）若向量〃=（&%）,b=（x2,y2y則〃//的充要條件

是%%-々乂=。；（2）若〃//匕3。0），則&=〃??

【變式2?1]如圖，已知點G是VABC的重心，過點G作直線分別與A5,AC兩邊交于M,N兩點，設

UUULaimuumuuu

AM=xAB-AN=yAC<則x+9y的最小值為（）

【答案】C

A

如圖，延長AG交BC于點￡),因點G是VABC的重心，

uum2u1?21uunuumiuuuiuum

貝l]47=§4。=寸](43+4。)=§42+§4。，①

因M,G,N三點共線，貝1月/>0,使AG=fAM+(l-r)AN,

uuuaimuumuuu,

因AM二xAJS，AN=yAC>代入得，AG=txAB+(l-t)yAC,②

1

比=一]]]

由①，②聯立，可得，3消去/即得，-(-+-)=1,

“13xy

(17)y=§

、、八八

貝l,jx+9cy=(zx+c9y>g1(,1一+—1)=二1(1。+—x+上9y).之才10+胃1?2,5/9=牙16，

3xy3yx333

當且僅當x=3y時等號成立，

即x=4=\4時，尤+”取得最小值，為g16.

故選：C.

【變式2-2】如圖所示，VABC中，點D是線段BC的中點，E是線段AD上的動點，若BE=xBA+”C,

21

則一+一的最小值()

尤y

【答案】D

【解析】因為點。是線段2C的中點，則=

貝UBE=xBA+yBC=xBA+2yBD,

因為AE,Q三點共線，所以x+2y=l(x>0,y>0),

21

WJ-+-=（x+2y）=4

%y

曳二11

當且僅當!%y時，即％=x，y=：時，等號成立,

c124

x+2y=l

2I

所以一+一的最小值為8.

%y

故選：D

命題預測

I.已知。是VABC所在平面內一點，若。4+08+6^=0,4知=苫4民4"='4（7,知0=/10乂元'均為正數,

則孫的最小值為（）

A1

【答案】B

【解析】因為。4+03+0。=0，所以點。是VABC的重心,

r\11

所以AO=§X5（A3+AC）=m（A2+AC）.

因為AM=xAB,AN=yAC,所以AB=工AM,AC=工AN,

xy

綜上，AO=—AM+—AN

3x3y

因為M。"。'，所以M,O,N三點共線，則（+/1，即4，3?

因為尤，y均為正數，所以，+，碑口，則

xyyxyyxy2

41132

所以孫丁（當且僅當二亍二，即x=y=§時取等號）,

,「4

所以孫的取小值為—.

故選：B

題型三：平面向量的數量積

【典例3-1】如圖，在平行四邊形ABCD中，。,￡分別為AC,BC的中點，F為AE上一點，且E4=FB,

AD=2AB=4,貝l」A/?-O￡）=.

如圖，連接02,在平行四邊形中，0,E分別為AC,8c的中點，

則及0,0三點共線，且。為8。的中點，所以OE>=BO.

過點尸作FG1AB于點G,設44B=6,

由E4=EB,AD=2AB=4,

得AG=；A2=1,則,司=國=，.

2??cos。cos。

由0,E分別為ACBC的中點，

則EO=gfiA,|BE|=|AB|=2,所以ZAEB=O,

所以AP-OD=Af-8O=AF-（BE+EO）

=AF-BE+AF-EO=AF-BE--AF-AB

2

=---2?cos。------2-cos0=1.

cos。2cos。

故答案為：1.

【典例3-2】已知向量￡,%滿足卜-26卜"-32,且忖=1,則0力=

【答案】y/0.25

4

a2-4a-b+4b2=4-

【解析】由|a-26|=|2a-b|=2得,.

4a2-4a-b+b2=4

兩式相減得-3同-+3忖=0=忖=卜卜］，

所以1—4a?6+4=4，則3%:.

4

故答案為：；.

1、向量的數量積：設兩個非零向量°,人的夾角為8,則同.glcosO叫做a與％的數量積，記作如匕.

2、數量積的幾何意義：數量積4小等于°的長度|a|與》在°的方向上的投影|b|cos6的乘積.

3、設向量a=(占,％),b=(x2,y2)＞則a-6=占/+，由此得到：

⑴若a=(x,y),則|a『=f,或⑷=次+予.

⑵設，則4B兩點間的距離AB=?明=J(%-xj2+(%-%)2

(3)設兩個非零向量,且。=(%,%),b=(x2,y2)^則a_L6ox/?+%%=0

(4)若6都是非零向量，。是％與b的夾角，則淳，

⑷16一+必收+考

【變式3-1］如圖，在VABC中，4AC=,AD=2Z)B，尸為CD上一點，且滿足AP=wAC+gAB,若|AC|=2,

,q=3,則APCD的值為.

【答案】1

2

【解析】由AO=2O3，可得=

又C,P,。三點共線，

2—2772

則有AP=mAC+(1—ni)AD=mACHAB,

17-7m11

由于AP=mAC+/A3(>￡R),所以^"=5，即m=1,

2

^CD=CA+AD=-AC+-AB,

且ZBAC=，國|=2,\AB\=3,

ii2

i^APCD=(-AC+-AB)(-AC+-AB)

I2I2I

=——AC+-AB——ACAB

433

=—Ix4/+—1x9c—Ix2cx3cx—I=1

4332

故答案為：1.

【變式3-2］如圖，在平面四邊形ABCD中，。為BD的中點，且0A=3,OC=5.若A—A。=一7，則

BCDC=

【解析】如圖，在VABC中，。為BC的中點，下面證明結論：AB-AC=\AD\-McBf.

因為。為BC的中點，

所以A8+AC=2AO，所以|AB『+|4C|2+2AB-AC=4|AO|29

又AB-AC=CB,所以|A8|2+|AC|2-2A8?AC=|a3|2②

①-②得4ARAC=4|AD『一，所以ABAC=,斗一

因為在平面四邊形ABC。中，。為BD的中點，且0A=3,OC=5.

AD2

所以A5.AO=O42--------=_7,解得3。=8,

4

RD2

則BC-OC=OC2-------=9.

4

故答案為：9

命題預測

1.已知VA3C是邊長為4的等邊三角形，點。，E分別是邊AB,BC的中點，連接OE并延長到點凡使

得DE=2EF,則4尸.8。=.

【答案】2

【解析】如圖：

以｛_BC,BA｝為基底，則_BC.2A=4x4xcos6（）o=8，|BC|=|BA|=16.

122

所以￡>E=5（8C—BA）,DF=|D￡=^（BC-BA）,

所以Ab=AD+Db=_：BA+]（BC_3A）=_：8A+j8C.

24V744

所以AFBC=（-3BA+OBC'BC^--BABC+-BC=--x8+-xl6=2.

[44）4444

故答案為：2

題型四：平面向量的模與夾角

【典例4-1］（2024?黑龍江佳木斯?模擬預測）已知向量d,0滿足4=（3,4）,a.%=6,卜叫=7,則W=—.

【答案】6

【解析】由a=（3,4）可得同=J3?+42=5,

|"5卜yla2+b2-2a-b=7=也5+入2義6=7,解得忖=6,

故答案為：6

【典例4-2】（2024?全國?模擬預測）如圖，在VA08中，ZAOB=120°,OB=2OA=2^,P在以。為圓心,

半徑為1的圓上運動，則當PAP8取最大值時，cosZAPB=.

B

【答案】

【解析】

如圖所示，以。為坐標原點，以A0方向為無軸，垂直。4方向為y軸，建立平面直角坐標系,

因為NAO3=120。,08=204=26所以?后0),B隔,3).

設P（陽y），圓。方程為爐+>2=晨

貝|夫4=(_后PB=^-x,3-y),

所以PA.P3=卜石_x)(若_x)_y(3_y)=f+y2_3y_3=_3y_2.

因為一當y=-l時，［PAPBI=1,

max

此時尸（0,-1）,且麗+石,1）,=（5/3,4）,

IIIIr-PAPB1M

所以網=2,網=曬，則cos//”4DD八詞“研二如=k?

故答案為：叵.

38

（1）向量的夾角要求向量“共起點”，其范圍為［0,萬］.

（2）求非零向量”力的夾角一般利用公式cosO='*L=,<々+注—先求出夾角的余弦值,然后求

⑷聞后西還

夾角.也可以構造三角形，將所求夾角轉化為三角形的內角求解，更為直觀形象.

【變式4-1］（2024?高三?重慶?期末）已知非零向量。涉滿足：（a,b）='|,且=］無，則，/.

【答案】B

3

【解析】a,b=^,:.\a+b\=^a-b|?I2+|M2.

2/-2

<a+b,a-b>=—7i.:.cos（Q+〃,a-b=COS—71

3

（Q+Z?）.（Q0）6Z|2-Z?|2

p解得,『=332,

L+/?IL-Z?Iif+》/

a-a4,

b3

故答案為：

【變式4-2］已知平面內兩個向量。=(2太1),6=［，￡|，若。與。的夾角為鈍角，則實數人的取值范圍

是.

【答案】(―,—l)U(—1,0)

k

【解析】由題意，a-b=2k+—<0,.\k<0.

2k1八

—二—<0

當a,b反向時，有1?,解得左=—1,

2

所以上的取值范圍是(e,-i)u(-i,o).

故答案為：(e,T)U(-l,0)

命題預測T

1.平面向量滿足2|4=W，a_Lb，若￡+b+c=0，則cos〈d?=.

案］_叵二后

55

【解析】因為Q_LZ?，所以〃./?=()，

由題設有c=-(a+b),故"=_/_4力=_/,

而4，故3〈。,。）=^^=一個,

故答案為：-好

題型五：等和線問題

【典例5-1】已知在VABC中，點尸滿足3A