2025年滬教版七年級數學寒假提升復習：因式分解（8重點+13考點+過關檢測）含答案

專題05因式分解

考點聚焦：核心考點+中考考點，有的

放矢

重點專攻：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺

難點強化：難點內容標注與講解，能力提升

提升專練：真題感知+精選專練，全面突破

考點聚焦

知識點1因式分解的意義【考點1判斷是否是因式分解】

!1叫

「..........二二二知識點2公因式【考點2已知因式分解的結果求參數】

；2確定公因式的一般步手

嬴瀛冏【考點3公因式】

「2萬蔽疏底薩前海知識點3提取公因式法【考點4提公因式法分解因式】

【考點5判斷能否用公式法分解因式】

知識點4公式法的定義【考點6平方差公式分解因式】

：1定義專題05

；二二二：知識點5因式分解的平方墓公式重點專攻提升專練【考點7完全平方公式分解因式】

：2特點:因式分解

【考點8綜合運用公式法分解因式】

；二二二f知識點6因式分解的完全平方公式

：2W【考點9綜合提公因式和公式法分解因式】

【考點10因式分解在有理數簡算中的應用】

;2用十字相乘法分解的多項式的*1知識點7十字相乘法

【考點11十字相乘法】

;，甬存贏喜花畝孑疏a理律

【考點12分組分解法】

藤蔽健

二二二二;知識點8分組分解法【考點13因式分解的應用】

：2分.組原嗎

0＞重點專攻

知識點1因式分解的意義

把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式

分解因式.

注意：

（1）因式分解與整式乘法是互逆的等式變形，可以用整式的乘法來檢驗因式分解結果的正

確性；

（2）因式分解是恒等變形，因式分解的對象是多項式，單項式不需要因式分解；

（3）因式分解的結果必須是乘積形式，這個乘積中可以有單項式，也可以有多項式，但必

須是整式，且每個因式的次數都不高于原來多項式的次數；

（4）因式分解必須分解到每個因式都不能再分解為止.

試卷第1頁，共14頁

Fl你題捺嗎判斷一個式子的變形是不是因式分解的方法判斷一個式子由左邊

到右邊的變形是不是因式分解的關鍵是看這個變形是不是把一個多項式化成了幾個整式的

積的形式，并且用整式的乘法驗證右邊的式子是否等于左邊的式子，符合以上條件則是因式

分解.

知識點2公因式

1.定義

一個多項式中每一項都含有的因式叫做這個多項式的公因式.

2.確定公因式的一般步驟

（1）定符號：如果多項式的第一項系數是負數，通常提出號，使括號內第一項的系數成

為正數；

（2）定系數：當各項系數都是整數時，取它們的最大公約數為公因式的系數；

（3）定字母：（或多項式）及其指數，取多項式各項都含有的相同字母（或多項式），其指

數取最低次.

上述步驟不是絕對的，當第一項是正數時步驟（1）可省略.

知識點3提取公因式法

1.提取公因式法

如果一個多項式的各項含有公因式，那么可以把該公因式提取出來作為多項式的一個因式,

提出公因式后的式子放在括號里，作為另一個因式.這種分解因式的方法叫做提取公因式法.

2.提取公因式法的一般步驟

（1）確定各項的公因式；

（2）提出這個公因式并確定另一個因式；

（3）把多項式寫成因式積的形式.

3.提取公因式法的依據

提取公因式法，它的實質是乘法對加法的分配律的逆用.

【注意要點】

1.若多項式第一項的系數是負數，則應先提出號，提出號后，括號里的每一項都要

變號

2.提取公因式法因式分解，先在各項中將公因式分解出來，避免遺漏某些項

3.如果某項全部提出，括號里對應的項是1

試卷第2頁，共14頁

4.多項式各項的公因式要注意提盡，即公因式為最大公因式

5.提取公因式后，注意運用整式乘法來檢驗是否正確

知識點4公式法的定義

逆用乘法公式將一個多項式分解因式的方法叫做公式法.

知識點5因式分解的平方差公式

1.定義

22

由平方差公式反過來可得a-b=(a+b)(a-6).這個公式叫做因式分解的平方差公式.

語言敘述：如果一個多項式能寫成兩個數的平方差的形式，那么就可以運用平方差公式把它

因式分解，它等于這兩個數的和與這兩個數的差的積.

2.特點

(1)等號左邊是二項式，兩項都是平方的形式，且符號相反；

(2)等號右邊是兩個數的和與這兩個數的差的積.

知識點6因式分解的完全平方公式

1.定義

由乘法公式中完全平方公式+6)2=/+2ab+b1,(d—b)2—a2—lab+b1反過來可得

a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-7.ab+b2=(a-b)2.

這兩個公式叫做因式分解的完全平方公式

語言敘述：如果一個多項式能寫成兩個數的平方和，加上(或減去)這兩個數的積的兩倍,

那么就可以運用完全平方公式把它分解因式，它等于這兩個數的和(或差)的平方.

2.特征

(1)等號左邊是三項式，其中首末兩項分別是兩個數(或兩個式子)的平方，這兩項的符

號相同，中間一項是這兩個數(或兩個式子)乘積的2倍，符號正負均可.

(2)等號右邊是兩個數(或兩個式子)的和(或差)的平方

知識點7十字相乘法

1.定義

一般地，/+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)可以用十字交叉線表示：

利用十字交叉線來分解系數，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.

試卷第3頁，共14頁

2.用十字相乘法分解的多項式的特征

（1）必須是一個二次三項式；

（2）二次三項式的系數為1時，常數項能分解成兩個因數。和6的積，且這兩個因數的和

a+b正好等于多項式乘以多項式（工+。）。+6）=尤2+（a+b）x+ab

注意：

公式中的x可以表示單項式，也可以表示多項式，是多項式時，要把它看作一個整體.

3.用十字相乘法分解因式的符號規(guī)律

（1）當二次項系數為正數且常數項是“+”號時，常數項分解的兩個因數的符號與一次項系數

的符號相同；

（2）當二次項系數為正數且常數項是號時，常數項分解的兩個因數異號，若一次項是

“+”的，則正因數絕對值大；若一次項是的，則負因數的絕對值大；

（3）當二次項系數為負數時，先提出負號，使二次項系數為正數，再分解常數項.

知識點8分組分解法

如果分解因式的多項式各項既沒有公因式，也不能直接運用公式分解因式，但是某些項通過

適當的結合成為一組，利用分組可以進行多項式的局部分解然后，綜合起來，再從總體上用

捉取公因式法和公式法或十字相乘法繼續(xù)進行分解，直到分解出最后結果，這種分解因式的

方法叫做分組分解法.

2.分組原則

（1）分組后能直接提取公因式，多見四項多項式.

（2）分組后能直接運用公式法，多見四項多項式2-2分組.

（3）分組后能直接用十字相乘法，多見四項多項式1-3分組.

3提升專練------------------------------------------

■考點剖析

【考點1判斷是否是因式分解】

（24-25七年級上?上海?期中）

1.下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）

A.+1+）B.2a3b-4a2b=2a2b（a-2）

=

C.（a+bp=/+2ab+b?D.Q?—2a—1—2）—1

試卷第4頁，共14頁

（24-25七年級上?上海松江?期中）

2.下列各式從左到右的變形，是因式分解的有（）

①12中3=2中.6/；（2）x2-6xy+5y2=x（x-6y）+5y2；③（-2x+3y）（2x+7）=-4r2+

④3x-6y=3（x-2y）；（5）3x2y-xy=xy（3x-1）；@1+^+^-^=[1+—|

4xI2x）

A.1個B.2個C.3個D.4個

（24-25七年級上?上海?期中）

3.下列等式中，哪些從左到右的變形是因式分解（）

A.（x+y）（x-2y）=x2-xy-2y2B.x2+5x-3=xfx+5--J

C.3x?-5x-2=（3x+l）（x-2）D.3x。+6x+4=3（x+1）~+1

【考點2已知因式分解的結果求參數】

（22-23七年級上?上海青浦?期中）

4.若整式/-x+僅含有一個因式（x+3）,則加的值是.

（24-25七年級上?上海?期中）

5.^x2-kx-15=（x+a）（x+b）,且a、6為整數，則6的值不可能是（）

A.14B.2C.16D.-14

【考點3公因式】

（23-24七年級上?上海長寧?期中）

6.6/6/和8a%%的最大公因式是.

（22-23七年級上?上海嘉定?期中）

7.多項式6丁/一3/「+]2/了3的公因式是.

【考點4提公因式法分解因式】

（24-25七年級上?上海?期中）

8.因式分解：ax-ay+2x-2y=.

（24-25七年級上?上海嘉定?期中）

9.因式分解

（1）9（/M+M）2-3（加-”）（機+〃）.

⑵-4x，+16x2—16x.

試卷第5頁，共14頁

（3）x~—9y~+9—6x.

（4）（X2-4A：）2-8（X2-4X）-48.

（24-25七年級上?上海?期中）

10.因式分解：2“a-3）2-6a2（3-a）-10a（a-3）.

（24-25七年級上?上海?期中）

11.因式分解：x3+5x2y-24xy2

（24-25七年級上?上海?期中）

12.因式分解：2/（“+6）~-2xy（a+b）~-12y

【考點5判斷能否用公式法分解因式】

（22-23七年級上?上海青浦?期中）

13.下列多項式中可以用完全平方公式進行因式分解的是（）

A.x2+x+lB.x2—2x—lC.x2+2x+4D.x2-x+-

（21-22七年級上?上海嘉定?期中）

14.下列各式中，不能用公式法分解因式的是（）

|,

A.4a2—9b1B.—a2+2ab—b2C.—1—a2D.—\+—b~

4

【考點6平方差公式分解因式】

（24-25七年級上?上海嘉定?期中）

15.因式分解：5a3-20o=

（24-25七年級上?上海嘉定?期中）

16.定義：如果一個正整數能表示為兩個正整數機，”的平方差，且則稱這個正

整數為“智慧優(yōu)數”.例如，16=5?-3?,16就是一個“智慧優(yōu)數”，可以利用

/-〃2=（/+〃乂加_〃）進行研究.若將，，智慧優(yōu)數，，從小到大排列，第4個“智慧優(yōu)數”

.

（24-25七年級上?上海?期中）

17.因式分解：o2（a-/?）+9b2（b-a）=

（24-25七年級上?上海?期中）

18.因式分解：1-16/=

試卷第6頁，共14頁

（24-25七年級上?上海?期中）

19.已知數。、b、X、了滿足6=x+y=2,ax+by=5,求-J?）的值.

【考點7完全平方公式分解因式】

（24-25七年級上?上海?期中）

20.如圖，正方形4BC。分割成四個長方形/及爐。、QFPD、MBNG、GNCP,它們的面

積分別為3/+4°6、6a2+8m、3/、b2（其中。>0,6>0）,請用含有。、6的代數式表

示正方形48a）的邊長.

（24-25七年級上?上海?期中）

21.若1。+4|與/+46+4互為相反數，把多項式（x+a）（x+6）+l因式分解.

（24-25七年級上?上海?期中）

22.閱讀理解：

條件①：無論代數式/中的字母取什么值，N都不小于常數M；條件②：代數式/中的字

母存在某個取值，使得/等于常數我們把同時滿足上述兩個條件的常數M叫做代數式”

的下確界.

例如:

X2+2X+5=X2+2-X-1+12-12+5=(X+1)2+4,

v(x+l)2>0,

x2+2x+5>4(滿足條件①)

當x=-l時，x2+2x+5=4(滿足條件②)

,4是/+2x+5的下確界.

又例如：

x2+2|x|+5=|x|2+2-|x|-l+l2-I2+5=(|x|+l)2+4,由于國w-1,所以/+2國+524,(不

滿足條件②)故4不是/+2國+5的下確界.

試卷第7頁，共14頁

請根據上述材料，解答下列問題：

(1)求/-6x+4的下確界.

⑵若代數式2x?+3+3的下確界是1,求小的值.

3

(3)求代數式］/+/+2xy-4x-4j+10的下確界.

(24-25七年級上?上海奉賢?期中)

23.分解因式：(X2-5X)L1212-5X)+36.

(24-25七年級上?上海松江?期中)

24.因式分解：(3a+26『_2(q+6)(3a+26)+(a+b)~；

【考點8綜合運用公式法分解因式】

(24-25七年級上?上海崇明?期中)

25.因式分解：+4/-16a2=.

(24-25七年級上?上海徐匯?期中)

26.在括號內填入適當的單項式，使多項式，-/+x+()能因式分解，共有種填法.

(24-25七年級上?上海寶山?期中)

27.因式分解：x2-4y2-2x+l.

(24-25七年級上?上海?期中)

28.(1)分解因式：(x?+l)—x2

(2)分解因式:3a+3as-6a3

【考點9綜合提公因式和公式法分解因式】

(24-25七年級上?上海?期中)

29.因式分解：xn+l-3,x"-10x"1=

(24-25七年級上?上海松江?期中)

30.因式分解：2-18/=.

(24-25七年級上?上海徐匯?期中)

31.因式分解：4/+25X2-1-4/.

(24-25七年級上?上海嘉定?期中)

32.已知x+2y=6,xy=4,求2x5+4盯2+/-4/的值.

試卷第8頁，共14頁

（24-25七年級上?上海寶山?期中）

33.下列整式中不含有x+1這個因式的是（）

A.x2-lB.x4-x3+x2-1

C.x3+1D.x4-x3-x2-1

【考點10因式分解在有理數簡算中的應用】

（23-24七年級上?上海青浦?期中）

34.利用平方差公式計算：2005?-20032=.

（23-24七年級上?上海青浦?期中）

35.用簡便方法計第RO?。?-202磯2-7）x2021.

2017x2019x2022x2023

【考點11十字相乘法】

（24-25七年級上?上海?期中）

36.因式分解：—x2+x—4—.

2------

（24-25七年級上?上海?期中）

37.因式分解：x2-8xy+l6y2-3x+12j?-10

（24-25七年級上?上海奉賢?期中）

38.若/+依+16能分解成兩個一次因式的積，且左為整數，那么無不可能是（

A.10B.17C.15D.8

（24-25七年級上?上海徐匯?期中）

39.因式分解：（m2-5ffl+2）（w2-5ffl-4）-16.

（24-25七年級上?上海徐匯?期中）

40.因式分解：z2（x-y）+4（y-x）+3z（x-y）.

【考點12分組分解法】

（24-25七年級上?上海?期中）

41.因式分解（直接寫出答案）

（1）9Z>2-（a+l）2=.

（2）16X2+1-8X=.

（3）x3—5x2—6x=?

試卷第9頁，共14頁

(4)x2-y2-l+2y=.

(21-22九年級下?上海徐匯?期中)

42.因式分解：am+an-bm-bn=.

(24-25七年級上?上海?期中)

43.因式分解：

(l)2ar2-18a3;

(2)6/-7x-5;

(3)x3-xyz+x2y-x2z；

(4)(—3x+1—6x2+18x—1.

(23-24七年級上?上海楊浦?期末)

44.分解因式：X5+2X3-X-2.

(23-24七年級上?上海楊浦?期末)

45.分解因式：ai+3a1+3a+2.

【考點13因式分解的應用】

(24-25七年級上?上海嘉定?期中)

46.因式分解/+蛆-18=5+0(無+虹，其中加、P、4都為整數，則這樣的m的最小值

是?

(24-25七年級上?上海?期中)

47.已知。=2017x+2016,b-2017x+2017,c=2017x+2018,313-^a2-ab-ac+bc=

(24-25七年級上?上海?期中)

48.如圖，將一張大長方形紙板分成9塊，其中有2塊是邊長為4cm的大正方形，2塊是

邊長為6cm的小正方形，且。＞b,5塊是形狀大小完全相同的小長方形.

(1)觀察圖形，可以寫出一個因式分解的等式為「

(2)若圖形中陰影部分的面積為34cm"大長方形紙板的周長為30cm.

試卷第10頁，共14頁

①求a+b的值；

②求圖中空白部分的面積.

(24-25七年級上?上海?期中)

49.正數b,c滿足ab+2a+26=6c+26+2c=ac+2a+2c=12,求(a+2)(6+2)(c+2)

的值.

過關檢測

(24-25七年級上?上海?期中)

50.下列各式從左到右是因式分解的是()

A.(a+l)(a-3)=-2a-3B.—25=(x—5)(x+5)

C./+2a-l=(a-l)2D.y3+4y2-2^y2(y+4)-2

(24-25七年級上?上海嘉定?期中)

51.閱讀下列材料，然后解答問題：

問題：因式分解：X3-5X2+4

解答；對于任意一元整式f(x),其奇次項系數之和為機，偶次項系數之和為"，若m=〃,

則=若加=則/(1)=0,在/一5/+4中，因為機=1,"=一5+4=-1,所以

把x=l代入整式/一5/+4,得其值為0,由此確定整式/一5/+4中有因式(尤-1).于是

可設/一5/+4=(》-1乂/+川+4),分別求出乙1值，再代入

322

x-5x+4=(x-l)(x+px+q),就可以把整式/一5/+4因式分解，這種因式分解的方法

叫做“試根法”.

(1)上述式子中p=_,?=_；

⑵對于一元整式+6/+llx+6,必定有/(_)=0；

⑶請你用“試根法”分解因式：x3+6X2+UX+6.

(22-23七年級上?上海青浦?期中)

52.單項式3a%與單項式9a2〃的公因式是()

A.3a2bB.3a3bsC.a2bD.a3b3

(24-25七年級上?上海奉賢?期中)

53.分解因式：2x2y-6xy+2x2-6x.

試卷第n頁，共14頁

（24-25七年級上?上海徐匯?期中）

54.先化簡，再求值：（x~+5x—l（）Xx—2）—（x—2）（x+1）,其中x=§.

（24-25七年級上?上海寶山?期中）

55.（1）填空：

第一行：0xlx2x3+l=；

第二行：Ix2x3x4+1=；

第三行：2x3x4x5+l=；

第四行：3x4x5x6+l=.

（2）找出規(guī)律，寫出第〃行的等式：；

（3）請說明第〃行等式成立的理由.

（22-23七年級下?山東聊城?期末）

56.下列式子：①--一孫-/；②0.5/-"+0.562；@-4ab-a2+4b2；

④4f+9/_12肛；⑤獷+6k+3步.其中能用完全平方公式分解因式的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

（24-25七年級上?上海?期中）

57.因式分解：x4+5x2y2-6y\

（24-25七年級上?上海?期中）

58.因式分解：/（x+y）-/（y+x）

（24-25七年級上?上海?期中）

59.下列多項式能用完全平方公式因式分解的是（）

A.a2+2a-1B.x2-xy+y2

C.〃—2。H—D.a2—abT—b2

44

（24-25七年級上?上海寶山?期中）

60.因式分解：（2x—+4（2x—y）+4.

（24-25七年級上?上海徐匯?期中）

61.因式分解：6a-3a2-3.

（24-25七年級上?上海?期中）

試卷第12頁，共14頁

62.因式分解：5(x2-/)-(j，-x)2

(24-25七年級上?上海寶山?期中)

63.閱讀：關于工,了的二次六項式無2+5^-24/-x+25y-6如果可以分解成二個關于x,

了的一次三項式的乘積，那么可以用一種稱為雙十字相乘的方法來進行因式分解，具體方法

如圖所示：先對f+5xy-24y2進行十字相乘分解得(x+8jO(x-3.y),則原式一定可以分解

成(x+8,y+a)(x-3y+6)的形式，然后分另ij對/-x-6與-24/+25>-6進行十字相乘分解,

從而確定a=-3,6=2,所以x~+5孫-249-x+25y-6=(x+8,y-3)(x-3y+2).

根據閱讀，要求如下:

(1)因式分解：x2+xy-2y2+x+14,y-20；

(2)若關于x,了的多項式無2+2切+到2-2尤+10?-3可以分解成二個關于x,了的一次三項

式的乘積，求方的值.

(23-24七年級上?上海閔行?期中)

64.簡便計算：20112-2007x2015

(24-25七年級上?上海?期中)

65.因式分解：25a2+36-60..

(23-24七年級上?上海?期末)

130

66.因式分解：16--a2+-ab一一b2.

4525

(23-24七年級上?上海崇明?期末)

67.分解因式：/二4分_2a+46.

(24-25七年級上?上海?期中)

68.已知x2+mx+〃=(x-a)(x+6),那么下列因式分解錯誤的是()

A.X2+mxy+ny=(^x-ay)(x+ZJJ)B.x2y2+mxy+n=(xj-a)(xy+Z?)

C.x4+mx2y+ny2=(x2-ay^x2+by^D.nx2+mx+\=(-ax+1)[bx+1)

試卷第13頁，共14頁

（24-25七年級上?上海?期中）

69.已知x+y=8,xy=-l,求爐+尤2了+中2+K的值.

試卷第14頁，共14頁

1.B

【分析】此題考查了因式分解；根據因式分解的概念，即把一個多項式化成幾個整式的積的

形式，進行逐一分析判斷即可.

【詳解】解：A、ab+\=a[b+^,右邊不是整式的積，不是因式分解，故本選項不符合;

B、2a36-4/6=2/6（。-2）,符合因式分解的概念，故本選項符合；

C、（a+b）2=a2+2ab+b2,該變形是整式乘法，不是因式分解，故本選項不符合；

D、?2-2a-l=a（a-2）-l,該變形沒有分解成積的形式，故本選項不符合.

故選：B.

2.B

【分析】本題考查了因式分解的意義.掌握因式分解的定義是解決本題的關鍵.

利用“因式分解是把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種式子的變形叫做這個多項式

的因式分解”解題即可.

【詳解】解：①12^=2孫-6/是整式乘法；

②x2-6xi+5/=x（x_6.y）+5必結果是和的形式，不是因式分解；

③（-2x+3y）（2x+y）=-4x2+9r是整式乘法；

④3尤-6了=3（、-2了）是因式分解；

⑤3尤%-孫=中（3芯-1）是因式分解；

⑥l+x+J=+中含有不是整式的式子，不是因式分解；

故是因式分解的有④⑤，①②③⑥不符合定義，

故選：B.

3.C

【分析】本題考查的是因式分解，熟知把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫

做把這個多項式因式分解，理解分解因式概念是解題的關鍵.

【詳解】解：A、（》+用（》-2力=/一盯一2/等式右邊不是乘積形式，不是因式分解，不

符合題意；

答案第1頁，共31頁

B、一+51-3=》[+5-jj等式右邊不是幾個整式的乘積形式，不是因式分解，不符合題

忌；

c、3/-5x-2=(3x+l)(x-2)是因式分解,符合題意；

D、3/+6工+4=3卜+球+1等式右邊不是乘積形式，不是因式分解，不符合題意；

故選：C.

4.-12

【分析】設--x+機=(x+3)(x+〃)，根據多項式的乘法得出3+"=-1,3n=m,即可求解.

【詳解】解：設X?-x+機=(x+3)(x+〃)，

V(X+3)(X+H)=x2+(3+〃)x+3〃,

???3+"=-1,3n=m,

解得：n=-4,則加=一12,

故答案為：-12.

【點睛】本題考查了因式分解與整式的乘法運算，熟練掌握因式分解以及整式的乘法的關系

是解題的關鍵.

5.C

【分析】本題考查了因式分解，多項式與多項式的乘法運算，多項式與多項式相乘，先用一

個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.根據多多項式的乘法

法則把等號右邊化簡，可得〃+6=-左、必=-15,然后對心b的值討論可得答案.

【詳解】解：一H一15=(%+a)(x+b),

一點一15=12+(Q+6)X+Q/?,

:."b=-k、ab=-15,

若a=l、b=-15,則〃+6=-14；

若〃=-1、6=15,貝lja+b=14；

若。=一3、b=5,貝|。+6=2；

若1Q=3、b=-5,貝!]a+b=-2；

故選：C.

6.2a1be

答案第2頁，共31頁

【分析】本題考查了公因式定義，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的

相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的找

出公因式即可.

【詳解】解：6/歷2和802b2c的最大公因式是2/兒，

故答案為：2azbe.

7.3x2y2

【分析】根據找公因式的方法得出答案即可.

【詳解】解：多項式6//_3X2J?+12X2J?的公因式是

故答案為：3x2j2.

【點睛】本題考查了公因式.確定多項式中各項的公因式，可概括為三“定”：①定系數，

即確定各項系數的最大公約數；②定字母，即確定各項的相同字母因式(或相同多項式因

式)；③定指數，即各項相同字母因式(或相同多項式因式)的指數的最低次幕.

8.(x-y)(a+2)

【分析】本題考查了因式分解-分組分解法，提取公因式法，根據題意，先把辦-即+2x-2y

分組得(辦-a?+(2x-2力，然后再提取公因式，得出。(x-y)+2(x-y),最后再提取公因

式即可得出答案.

【詳解】解：ax-ay+2.x-2y

=(ox-qy)+(2x-2y)、

=a(x_y)+2(x-y)

=(x-v)(a+2).

故答案為：(x-y)(a+2).

9.(l)6(/M+n)(m+277)

(2)-4x(x-2)2

⑶(x-3+3y)(x-3-3y)

(4)(尤-6)(x+2)(x-2)~

答案第3頁，共31頁

【分析】本題主要考查了分解因式:

（1）先提取公因式3（機+〃），再合并同類項后提取公因數2分解因式即可；

（2）先提取公因式-4x,再利用平方差公式分解因式即可；

（3）利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可；

（4）先把（--以）看做一個整體利用十字相乘法分解因式，再利用完全平方公式和十字相

乘法進一步分解因式即可.

【詳解】（1）解：9（加+一3（加-〃）（機+〃）

=3（/+〃）（3加+3〃一加+〃）

=3（/+〃）（2加+4〃）

=6（加+〃）（加+2〃）；

（2）解：-4X3+16X2-16X

=-4X（、2-4%+4）

(3)解：X2-9/+9-6X

=(--6X+9^-9J2

=(x-3)2-9y2

=(x-3+3y)(x-3-3y)；

(4)解：(X2-4X)2-8(X2-4X)-48

=（x-6）（x+2）（x-2）2.

10.8a（a-3）（a-2）

【分析】本題考查因式分解，利用提公因式法進行因式分解即可.

【詳解】解：2Q（Q-3）2—6〃（3—Q）—10〃（。一3）

答案第4頁，共31頁

=2〃(〃-3)(Q-3)+2〃.3Q(Q-3)-5.2Q(Q-3),

=2Q(Q-3)[(Q-3)+3Q-5],

=2〃(Q_3/4Q_8),

=8Q(〃-3)(Q-2).

11.x(x—3y)(x+8y)

【分析】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的幾種方法是關鍵，先提公因式》,再進行

十字相乘法因式分解.

【詳解】解：x3+5x2y-24xy2

=x(J+5肛-24y2)

=x(x-3^)(x+8j^)

12.2(Q+6)2(x+2〉)(x-3>)

【分析】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的

關鍵.先提取公因式，再利用十字相乘法分解即可.

【詳解】解：2x2(a+b)2-2xy(a+b)2-12y2(-a-b)2

=2(a+b)2(^x2-xy-6y2^

=2(Q+6)2(x+2〉)(x-3y).

13.D

【分析】能用完全平方公式分解的式子的特點是：三項；兩項平方項的符號需相同；有一項

是兩平方項底數積的2倍，據此逐項分析即可.

【詳解】解：A./+x+i不能用完全平方公式因式分解，故不符合題意；

B.V—2x-1不能用完全平方公式因式分解，故不符合題意；

C.-+2X+4不能用完全平方公式因式分解，故不符合題意；

D.；=,符合題意，

答案第5頁，共31頁

故選：D.

【點睛】本題考查了完全平方公式進行因式分解，熟練掌握/±2仍+/=g±與2是解答本

題的關鍵.兩個平方項的符號需相同；另一項是兩底數積的2倍，是易錯點.

14.C

【分析】公式法分解因式，主要是平方差公式，完全平方公式，立方公式，由此即可求解.

【詳解】解：A選項，4/-952=(2a+3b)(2a-35)是平方差公式因式分解，不符合題意；

B選項，—4+—/=—(/—2ab+/)=—(?！猙p是完全平方因式分解，不符合題意；

C選項，—1—/=一。+。2)不可以用公式法因式分解，符合題意；

D選項，-1+；〃=一11一=+卜一gbj是平方差公式因式分解，不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查利用公式法因式分解，掌握公式法中的平方差公式，完全平方公式是

解題的關鍵.

15.5a(a+2)(o-2)

【分析】本題考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法進行因式分解，熟練掌握因

式分解的方法，是解題的關鍵.

【詳解】解：5a3—20a=-4)=5a(a+2)(a-2)；

故答案為:5a(a+2)(fl-2).

16.16

【分析】本題考查了因式分解的應用，根據加-機、〃均為正整數，得出加-”=2,

m-n=3,m—n=4,m-n-5,從而得出加="+2,m=n+3,m=n+4,

m=n+5,把平方差公式中的換成和〃相關的式子，得到新的式子，然后將”=1,2,

3,…一次代入計算即可，理解題意，熟練掌握平方差公式是解此題的關鍵.

【詳解】解：??,兩個正整數小，〃滿足%-

二機一〃=2或加一”=3或%一〃=4或一〃=5或-〃=6,

當加一〃=2時，貝?。?"+2,

m2-n2=(〃+2+")("+2-")=4("+1),

得到的“智慧優(yōu)數''為8,12,16,…；

答案第6頁，共31頁

當加一〃二3時，貝1」加=〃+3,

m2-n2=(〃+3+〃)(〃+3-〃)=3(2〃+3),

得到的“智慧優(yōu)數”為15,21,27,...；

當加一〃=4時，貝!］機=〃+4,

m2-n2=(〃+4+〃)(〃+4-〃)=8(〃+2),

得到的“智慧優(yōu)數”為24,32,...；

當加一〃=5時，則加=〃+5,

m2-n2=(〃+5+〃)(〃+5-〃)=5(2〃+5),

得到的“智慧優(yōu)數”為35,45,...；

當加一〃=6時，則加=〃+6,

m2-n2=(〃+6+〃)(及+6-〃)=12(〃+3),

得到的“智慧優(yōu)數”為48,60,…；

...,

把這些“智慧優(yōu)數”從小到大排列為8,12,15,16,21,24,27,32,35,45,48,

60y...,

故第4個“智慧優(yōu)數”是16,

故答案為：16.

17.(〃一6)(。+36)(。一36)

【分析】本題考查因式分解，先提公因式。-b,再利用平方差公式分解因式即可.

【詳解】解：a2(a-b)+9b2(b-a)

2

=a(a一b)-9b之(a-b)

=一蚓)

=(Q-6)(Q+36)(Q-36)

故答案為：(a-b)(Q+36)(。-36).

18.++

【分析】此題考查了因式分解.

答案第7頁，共31頁

連續(xù)兩次利用平方差公式進行分解即可.

【詳解】解：1-16/

=(l+4fl2)(l+2tz)(l-2a)

故答案為：(1+4/)(1+2磯1-2a)

19.24.

【分析】本題考查了整式的乘法和因式分解.首先根據a+b=x+>=2可得

ax+ay+bx+by=4,又因為ax+力=5,可得ay+bx=-l,把-/乂/-「)分解因式可

得：(a+b)(a-b)(x+y)(x-y),把a+b=x+y=2代入可得4(a/(x-y),利用多項式乘

多項式的法則展開可得4[(ax+勿)-(ay+6x)],再把ax+力=5和ay+=-1代入求值即可.

【詳解】解：,?F+6=x+y=2,

(a+6)(x+y)=2x2,

ax+ay+bx+by=4,

ax+by=5,

:.5+ay+bx=4,

ay+bx=-\,

:\a2-b2)(x2-y2)

=(a+b)(〃_b)(x+y)(x_y)

=2x(Q_b)x2x(x_y)

=4(Q_b)(x_y)

=4^ax-ay-bx+by)

=4[(ax+6y)_(ay+bx)]

=4X[5-(-1)]

=4x6

=24.

答案第8頁，共31頁

20.3a+2b##2b+3a

【分析】本題主要考查了因式分解的應用，根據

S正方形45co=S長方形zg。+S長方形。尸尸。+S長方形MBNG+S長方形GNCP求出正方形的面積，進而求出

其邊長即可.

【詳解】解：由題意得，,正方形A8CB=5長方形+S長方形2KPD+,長方形MBNG+S長方形GNCP

=3/+4ab+6a~+8ab+36~+b~

=9a2+Uab+Ab2

=(3a+26『

正方形ABCD的邊長為3a+2b,

故答案為：3a+26.

21.(X-3)2

【分析】本題考查了公式法分解因式以及互為相反數的概念、絕對值和偶次幕的非負性的性

質，靈活運用公式進行因式分解是解題的關鍵.根據互為相反數的兩數和為0以及絕對值和

偶次嘉的非負性，求得。、方的值，再利用公式法分解因式即可.

【詳解】解：與〃+46+4互為相反數，

..山+4|+62+46+4=卜+4|+僅+2)2=0,

?,.〃+4=0,6+2=0,

角軍得：a=—4,b=-2.

(x+a){x+6)+1

=(x-4)(x-2)+l

—x2—6x+8+1

=x2—6x+9

=(x-3『.

22.(1)-5

(2)m=±4

(3)6

【分析】本題主要考查了根據完全平方公式進行多項式變型和因式分解，

答案第9頁，共31頁

(1)根據題干示例的方法計算即可作答；

(2)根據題意設2—+加X+3=2(X+，『+INI,根據2(%+/『+1=2%2+4b+2/+1可得

[=m

解方程即可求解；

\Zt+1=3

(3)先分組得至“/+2切+/)+；/-4(尤+用+10,進而得到

[(x+^)2-4(x+y)+4]+1x2+6,貝|可得至lj原式=(x+y-2)2+；

+6,據此仿照題意求解

即可.

【詳解】(1)解：X2-6X+4=X2-2-3-X+32-32+4=(X-3)2-5

?I?(x-3)2>0,

??.(X-3)2-5>-5(滿足條件①)，

當x=3時，(x-3『-5=(3-3)2-5=0-5=-5(滿足條件②)，

???-5是——61+4的下確界；

(2)解「?代數式2/+加工+3的下確界是1,

???可設2工2+加x+3=2(x+/『+121,

???2(x+f)+1=2工2+4/x+2t2+1f

*,?2工2+/fix+3-2%2+4tx+2t2+1,

J=m

2”+l=3，

m=±4

解得:

t=±l

即：加=±4；

3

(3)解：—x2+y2+2xy-4x-4j+10

+y2^+—-4(x+y)+10

x++-X2+6

2

i

=(x+y-2)7+—x2+6,

答案第10頁，共31頁

71

(x+y-2)+—x2+6>6(滿足條件①)，

當x=0,x+y-2=0f即x=0,y=2時，

3

-x2+/+2xy-4x-4y+10=0+22+0-0-4x2+10=6(滿足條件②)，

3

??-6是封+/+2被-4%-4》+10的下確界

23.(X+1)2(X-6)2

【分析】本題考查了因式分解.把(f-5x)看作整體，利用完全平方公式分解，再利用十字

相乘法繼續(xù)分解即可.

【詳解】解：(X2-5X)2-12(X2-5X)+36

=[(—―5工)一6]

=—5X-6)2

=[(x+l)(x-6)]2

=(x+l)~(x-6)2.

24.(2a+6y