2025年全國(guó)普通高等學(xué)校招生模擬考試數(shù)學(xué)卷2（云南、安徽、山西、吉林、黑龍江五?。┖鸢概c解析

絕密★啟用前

2025年全國(guó)普通高等學(xué)校招生模擬考試卷（二）

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知集合A={1,3,/},8={l,a+2},=則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.{2}B.{-1,2}C.U,2}D,{0,2}

2.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z=^（aeR）,若|z|=J而，則復(fù)數(shù)2為（）.

A.3-iB.-l-3i

C.3-i或-l-3iD.3-i或3+i

3.的展開(kāi)式中14的系數(shù)為（）

A.50B.100C.150D.300

4.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)參加勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第一名到第五名的名次.甲和乙去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，

回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都沒(méi)有得到冠軍，”對(duì)乙說(shuō)：“你不是最差的.”從這兩個(gè)回答分析，5人的

名次排列可能有（）不同的排列

A.36B.54C.60D.72

5.2021年5月15日，中國(guó)首次火星探測(cè)任務(wù)天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器在火星成功著陸.截至目前，祝融號(hào)火星車(chē)在

火星上留下1900多米的“中國(guó)腳印”，期待在2050年實(shí)現(xiàn)載人登陸火星.已知所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都

是橢圓，且所有行星軌道的半長(zhǎng)軸的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等.若火星與地球的公轉(zhuǎn)周

期之比約為9:5,則地球運(yùn)行軌道的半長(zhǎng)軸與火星運(yùn)行軌道的半長(zhǎng)軸的比值約為（）

6.如圖，在已知直四棱柱中，四邊形ABCD為平行四邊形，尸分別是

的中點(diǎn)，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若BC=1,朋=血，則0PABC1

B.MN//CD

C.ACV〃平面GDE

D.若AS=3C,則平面平面

7.若a=log45,Z2=^log26,c=g］，則（）

A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

8.設(shè)點(diǎn)A（l,0）,3（4,0）,圓C|：1+白『+（y_3『=4,點(diǎn)尸滿(mǎn)足2|網(wǎng)=|尸用，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C。，G與

C?交于點(diǎn)N,。為直線(xiàn)。G上一點(diǎn)（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則旃.詼=（）

A.4B.2石C.2D.73

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知向量M=（l,2）,B=（l,-3）,c=（2,r）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若B//2,則方=-6

B.若M_L（2+/l5）,貝

C.若B益+4=|34一目，則（22+35）%=15

D.若向量&與工的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)，的取值范圍是（-1,內(nèi)）

22

10.已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：上+匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為小F2,橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為4

169

B,點(diǎn)、P、。都在C上，且所=回，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.周長(zhǎng)的最小值為14

B.四邊形尸與可能是矩形

9

C.直線(xiàn)網(wǎng)，Q5的斜率之積為定值-

71T6

D.△尸。工的面積最大值為3?

11.已知函數(shù)力⑺=sin"x+cos"x,（〃eN*）,則下列說(shuō)法正確的是（）

TT7T

A.工（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增

B.力（力的最小正周期為T(mén)

C.力（X）的值域?yàn)?孝，孝）

D.%（%）的圖象可以由函數(shù)g（x）="in4x的圖象，先向左平移三個(gè)單位，再向上平移;個(gè)單位得到

12.如圖，已知四棱錐P-ABC。的外接球的直徑為4,四邊形A8CD為正方形，平面ABCD人平面APS

G為棱PC的中點(diǎn)，PA±PB,BP=46,則（）

C.AC與平面P2C所成角的正弦值為受

4

D.四棱錐P-ABCD的體積為4c

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若“3xwR,無(wú)2—6依+3。＜0”為假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

14.已知在等比數(shù)列也｝中，的、%分別是函數(shù)y=x、6尤2+6x-l的兩個(gè)駐點(diǎn)，則氏=.

22

15.已知橢圓C:鼻+當(dāng)=1（。＞人＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為月（一。，0）,鳥(niǎo)（G。），點(diǎn)加（5,%）小＞。）是C上

ab

一點(diǎn)，點(diǎn)A是直線(xiàn)咽與y軸的交點(diǎn)，的內(nèi)切圓與加耳相切于點(diǎn)N,若|MN|=及彷閭，則橢圓C的

離心率e=.

,、ln（x+l）,x＞0,

16.已知曲線(xiàn),八過(guò)曲線(xiàn)上兩點(diǎn)A,8分別作曲線(xiàn)的切線(xiàn)交于點(diǎn)P,API.BP.記

一11

A,8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為再,馬,則一+—=.

四、解答題：共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

2

17.設(shè)數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為S,，Sn=n+n,｛〃｝是等比數(shù)列，打=竽.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.

18.在A(yíng)ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且easin3=2匕cos2gte.

2

(1)求角A的大小；

⑵若BC邊上的中線(xiàn)=1,求AABC面積的最大值.

19.如圖，四棱錐S-ABCD中，側(cè)面SCO_L底面A8CD,ADIIBC,AD^BC,SD=SC=y/2AD，DC=2AD,

E,尸分別是SC和AB的中點(diǎn)，ZADC^60°.

(2)點(diǎn)P在棱SA上，當(dāng)尸產(chǎn)與底面ABCD所成角為30。時(shí)，求二面角C-P尸-A的正弦值.

20.為進(jìn)一步鞏固提升全國(guó)文明城市，加速推行垃圾分類(lèi)制度，銅川市推出了兩套方案，并分別在A(yíng)、3兩

個(gè)大型居民小區(qū)內(nèi)試行.方案一：進(jìn)行廣泛的宣傳活動(dòng)，向小區(qū)居民和社會(huì)各界宣傳垃圾分類(lèi)的意義，講解

分類(lèi)垃圾桶的使用方式，垃圾投放時(shí)間等，定期召開(kāi)垃圾分類(lèi)會(huì)議和知識(shí)宣傳教育活動(dòng)；方案二：在小區(qū)

內(nèi)設(shè)立智能化分類(lèi)垃圾桶，智能垃圾桶操作簡(jiǎn)單，居民可以通過(guò)手機(jī)進(jìn)行自動(dòng)登錄、稱(chēng)重、積分等一系列

操作.并建立激勵(lì)機(jī)制，比如，垃圾分類(lèi)換積分兌換禮品等，以激發(fā)帶動(dòng)居民參與垃圾分類(lèi)的熱情.經(jīng)過(guò)一段

時(shí)間試行之后，在這兩個(gè)小區(qū)內(nèi)各隨機(jī)抽取了100名居民進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，記錄他們對(duì)試行方案的滿(mǎn)意度得

分(滿(mǎn)分100分)，將數(shù)據(jù)分成6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),并整理

(1)請(qǐng)通過(guò)頻率分布直方圖分別估計(jì)兩種方案滿(mǎn)意度的平均得分，判斷哪種方案的垃圾分類(lèi)推廣措施更受居

民歡迎（同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）以樣本頻率估計(jì)概率，若滿(mǎn)意度得分不低于70分認(rèn)為居民贊成推行此方案，低于70分認(rèn)為居民不贊成

推行此方案，規(guī)定小區(qū)居民贊成率不低于70%才可在該小區(qū)繼續(xù)推行該方案，判斷兩小區(qū)哪個(gè)小區(qū)可繼續(xù)

推行方案？

（3）根據(jù)（2）中結(jié)果，從可繼續(xù)推行方案的小區(qū)所抽取100人中再按居民態(tài)度是否贊成分層抽取一8人樣本

作為代表團(tuán)，從代表團(tuán)中選取兩人做匯總發(fā)言，求至少有一個(gè)不贊成的居民被選到發(fā)言的概率.

21.已知拋物線(xiàn)€?:y=2加（°>0）的焦點(diǎn)為尸，A3分別為C上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)ACMB

為等邊三角形時(shí)，|A3|=8月.

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵拋物線(xiàn)C在第一象限的部分是否存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸滿(mǎn)足麗+麗=4而，且點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離為2?

若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線(xiàn)A8的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.已知函數(shù)〃元）=6，-￡龍2+2依，aeR,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴若〃無(wú)）有兩個(gè)極值點(diǎn)，求。的取值范圍；

（2）記/'（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)為毛、巧，試證明：石馬<2（西+々）-3.

參考答案

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知集合4={1,3,叫，8={l,a+2},AuB=A,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.{2}B.{-1,2}C.U,2}D.{0,2}

【答案】A

【分析】由題設(shè)知2=A,討論a+2=3、4+2=/求。值，結(jié)合集合的性質(zhì)確定。值即可.

【詳解】由AuB=A知：BA,

當(dāng)。+2=3,即a=l,則/=1,與集合中元素互異性有矛盾，不符合；

當(dāng)”+2=1，即a=-l或。=2,

若a=-1,則/=i,與集合中元素互異性有矛盾，不符合；

若。=2,則4={1,3,4},8={1,4},滿(mǎn)足要求.

綜上，a-2.

故選：A

2.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z=￡4（a￡R）,若忖=廂，則復(fù)數(shù)2為（）.

A.3-iB.-l-3i

C.3—i或-l—3iD.3—i或3+i

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算求得。的值，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可求得答案.

【詳解】由■有|。+*|=|4+24，即Jk+l.回=2后,

解得〃=±1,

當(dāng)。=1時(shí)，z=^^-=^4+2^1-1^=（2+i）（l-i）=3-i,

當(dāng)a=-l時(shí)，z=j^-=^4+21^~1"1^=（2+i）（-l-i）=-l-3i.

-1+i2v7

故選：C

3.1+'）2a+b）6的展開(kāi)式中成4的系數(shù)為（）

A.50B.100C.150D.300

【答案】D

【分析】寫(xiě)出展開(kāi)式通項(xiàng)，令。的指數(shù)為3,求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得解.

【詳解】（2〃+36的展開(kāi)式通項(xiàng)為％=C：.（2a）i=晨.26^?齊加（々=0,1,2,…,6）,

在aC"■/卜/一2=Ck.264°7T.化=0」,2,…,6）中，令7—左=3可得％=4,

h2

在幺C>26-ra6-rbr=C；-26-ra5-rbr+2（r=0,1,2,…,6）中，令5-r=3可得r=2,

因此，展開(kāi)式中//的系數(shù)為C：-于+或"=15x4+15x16=300.

故選：D.

4.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)參加勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第一名到第五名的名次.甲和乙去詢(xún)問(wèn)成績(jī),

回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都沒(méi)有得到冠軍，”對(duì)乙說(shuō)：“你不是最差的.”從這兩個(gè)回答分析，5人的

名次排列可能有（）不同的排列

A.36B.54C.60D.72

【答案】B

【分析】利用特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.

【詳解】分三步完成：冠軍有A；種可能，乙的名次有A；種可能，余下3人有A；種可能，所以5人的名次排

列有A；A；A；=3x3x3x2x1=54種不同情況.

故選：B.

5.2021年5月15日，中國(guó)首次火星探測(cè)任務(wù)天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器在火星成功著陸.截至目前，祝融號(hào)火星車(chē)在

火星上留下1900多米的“中國(guó)腳印”，期待在2050年實(shí)現(xiàn)載人登陸火星.已知所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都

是橢圓，且所有行星軌道的半長(zhǎng)軸的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等.若火星與地球的公轉(zhuǎn)周

期之比約為9:5,則地球運(yùn)行軌道的半長(zhǎng)軸與火星運(yùn)行軌道的半長(zhǎng)軸的比值約為（）

2581,5,9

A.3,B.3,C.3D.3

8?25

【答案】A

【分析】根據(jù)已知先設(shè)周期再應(yīng)用分?jǐn)?shù)指數(shù)累與根式的互化得出比值.

【詳解】設(shè)地球的公轉(zhuǎn)周期為5T,則火星的公轉(zhuǎn)周期為9T.

設(shè)地球、火星運(yùn)行軌道的半長(zhǎng)軸分別為加，〃,

33

則-_=_^,

25T之8IT2

于是竺=（25

nY81

故選:A.

6.如圖，在已知直四棱柱ABC。-A4G2中，四邊形為平行四邊形，瓦尸分別是

BC,明,4。,的的中點(diǎn)，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若BC=1,A4,=72,則DP人BCX

B.MN//CD

C.ACV〃平面GDE

D.若AB=BC,則平面44CC，平面

【答案】B

【分析】利用正切值相等可說(shuō)明NAR4=ZAPD,由此可得AR±DP,結(jié)合平行關(guān)系可知A正確；由

CD!IMP,=M可知B錯(cuò)誤；通過(guò)證明四邊形為平行四邊形可得由線(xiàn)面平行

判定可知C正確；根據(jù)BDVAA^,由線(xiàn)面垂直和面面垂直的判定可知D正確.

【詳解】對(duì)于A(yíng),連接AR,

47)

+/人n.MMAVtanZAPD=——

tan=—^=V2,

A[〃]nCAP

jr7T

.-.ZAD^=ZAPD,XZADJA+ZOJAA,=-,:.ZAPD+Z^AA,=-,gpAD1±DP；

VQDJ/CD//AB,CR=CD=AB,:.四邊形ABCR為平行四邊形，；.BCJ/AD,,

.'.DPIBC,,A正確；

對(duì)于B,連接MP,CM,

,.,”/分別為8月，44中點(diǎn)，；.加尸〃45，又ABHCD,:.MPUCD,

?.?MVcMP=M,.?.肱V與8不平行，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,連接EM,BC，

?；ABJ/CD,44=CD,四邊形4瓦。為平行四邊形，\DHBfi,AD=BC，

QN為AD中點(diǎn)，:.ND=gAD,ND//EM,ND=EM,

四邊形DEMN為平行四邊形，,DE//MN,

又DEu平面GOE,MNU平面C「E,〃平面CQE,C正確;

對(duì)于D,連接48,

■.■AB=BC,四邊形ABCD為平行四邊形，，四邊形ABCD為菱形，，3D，AC；

e_L平面ABC。，BDu平面ABCD,A±BD,

又441nAe=A,4VAeu平面441GC,.?.BD_L平面441GC,

Q3Du平面AB。，平面AAGC_L平面AB。，D正確.

故選：B.

7.若a=log45,Z?=^log26,c=QJ，則()

A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】a=lo§45=r^7=^loSi5'b=^lo§2^-'-b>a>l,

log2422

對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=[g),當(dāng)x>0時(shí)，0<y<l,,]￡|<1,

b>a>c；

故選：A.

8.設(shè)點(diǎn)A(l,0),3(4,0),圓G：(X+73)2+(J-3)2=4,點(diǎn)尸滿(mǎn)足2|以卜|尸用，設(shè)點(diǎn)尸的軌跡為C?,G與

C?交于點(diǎn)M,N,。為直線(xiàn)。G上一點(diǎn)(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，則礪.詼=()

A.4B.26C.2D.73

【答案】C

【分析】求出P點(diǎn)的軌跡方程（得出軌跡是圓），兩圓方程相減得直線(xiàn)MN方程，由幾何法求得弦相交的

長(zhǎng)，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律與定義計(jì)算：MN-MQ=MN-（MO+OQ）=MN-MO=^\MN^.

【詳解】設(shè)P（x,y）,由2|%=忸回，得241）2+/=屏_4『+9,

整理得：x2+y2=4.即C2：%2+/=4；又圓G：（尤+6『+（y-3）2=4,則OQL必V,

MNMQ=MN\Md+OQ^=MN-MO,

聯(lián)立G與G，得MN：3y+6=0.

???0點(diǎn)到直線(xiàn)跖V的距離”=強(qiáng)§=若.

則I腦V|=2doM2-d。=2J4-3=2,

麗.詼=麗?（詼+珂=麗?屈=對(duì)2=1X22=2.

故選：C.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分。

9.已知向量4=（1,2）,B=（l,-3）,c=（2,t）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若加"，貝！k=-6

B.若五_L（萬(wàn)+25）,貝!]4=一1

C.若|3訝+@=|3口-目，則（2方+3方）2=15

D.若向量口與"的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是（T,口）

【答案】AC

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示列方程求f,判斷A,根據(jù)向量垂直的向量表示結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求

2,判斷B,由桓+相3”@兩邊平方可得L,結(jié)合數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求f,再求（2,+35）2判斷C,由

條件可得\">0,且向量力與之不共線(xiàn)，列不等式「的取值范圍，判斷D.

【詳解】對(duì)于A(yíng),因?yàn)?=（1,-3）,c=（2,/）,所以lxf=2x（—3）,所以t=-6,A正確；

對(duì)于B,因?yàn)镋_L（6+XB）,所以無(wú)（a+aB）=o,

所以益?方+彳翦5=0,又商=（1，2）,jj-（1,-3）,

所以5+X（l*l—2x3）=0,所以4=1,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由|34+c|=|3萬(wàn)一c|可得，（3N+c）=（3Z-c）,

所以9/+67"+/=9/-672+7,所以￡工=0，由苕=（1，2）,c=（2,r）,

可得2+2f=0,所以f=-l,所以1=（2,-1）,5=（1,-3）,

所以（2商+3WU=2Z1+3站4=3（2+3）=15,C正確;

對(duì)于D,由向量方與之的夾角為銳角，可得7">0,且向量商與之不共線(xiàn)，

所以2+2f>0,且Ixtw2x2,所以實(shí)數(shù)r的取值范圍是（—1,4）U（4,+8）,D錯(cuò)誤；

故選：AC.

22

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：土+匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳、尸2,橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為A、

169

B,點(diǎn)、P、。都在C上，且歷=回，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.工周長(zhǎng)的最小值為14

B.四邊形「不。工可能是矩形

9

C.直線(xiàn)尸3,。8的斜率之積為定值

16

D.AP。用的面積最大值為3s

【答案】ACD

【分析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷：對(duì)于A(yíng)：利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性，判斷出尸。為橢圓的短軸時(shí)，《尸。八周長(zhǎng)最

小.即可判斷；對(duì)于B：判斷出月后，從而四邊形尸耳。"不可能是矩形.即可判斷；對(duì)于C：設(shè)尸（x,y）,

直接計(jì)算出%?%=-5.即可判斷；對(duì)于D.由△尸相的面積為S=京。川%-為|.即可判斷

【詳解】由而=而，可知P,。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

對(duì)于A(yíng).根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，|P9+|P閶+|。段=|PQ|+|P引+|世|=|PQ|+8,當(dāng)尸。為橢圓的短軸時(shí)，|尸。|有

最小值6,所以APQ與周長(zhǎng)的最小值為14.故A正確；

對(duì)于B.因?yàn)閠an//AO=￡=立，所以,

1b34

-rr-rr

則/與4居<5,故橢圓上不存在點(diǎn)尸，使得/片2g=5，

又四邊形尸耳是平行四邊形，所以四邊形尸G。居不可能是矩形.故B不正確.

對(duì)于C由題意得3(4,0),設(shè)尸(x,y),則。(f—y),

所以"k=y-v=/=91一9.故C正確；

?他^二^即二一一尤2_16一記

對(duì)于D.設(shè)△P&Q的面積為S=Jo刊外,-％],所以當(dāng)PQ為橢圓的短軸時(shí)，屏-財(cái)=6最大，所以

5=/0葉小-%卜夫夜、6=3夜.故口正確.

故選：ACD.

11.已知函數(shù)力⑺=sin"尤+cos"x,(〃eN*),則下列說(shuō)法正確的是()

A.工(無(wú))在區(qū)間-襯上單調(diào)遞增

B.九⑺的最小正周期為冷

c.力(X)的值域?yàn)?當(dāng)，￥

I2ZJ

D.力(x)的圖象可以由函數(shù)g(x)=；sin4x的圖象，先向左平移1個(gè)單位，再向上平移;個(gè)單位得到

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A(yíng)：整理可得/(x)=梃sin(x+T，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對(duì)于B、D：整理可得

13

力(x)=：cos4%+j進(jìn)而可求周期判斷選項(xiàng)B,根據(jù)圖形變換分析運(yùn)算，可判斷選項(xiàng)D；對(duì)于C：

(x)=(sinx+cosx)(1-sinxcosx),換元￡=sinx+cosx,可得y=$一;一，

構(gòu)建g⑺=5-夕，re卜也0],利用導(dǎo)數(shù)求其最值.

【詳解】對(duì)于A(yíng)：由題意可得：/(x)=sinx+cosx=J^sin[x+]1,

則x+畀卜卷闈，且尸sinX在卜鼻事上單調(diào)遞增，

J葉T,[乙N1.乙乙

JT1T

???4(x)在區(qū)間-§7上單調(diào)遞增，故A正確;

對(duì)于B、D：由題意可得：(x)-sin4x+cos4=(sin2x+cos2-2sin2x-cos2x

1I.2。1Il-cos4xI.3

=l——sin2x=\——x--------=—cos4x+—

22244

故力(X)的最小正周期為7=子=5,故B正確；

函數(shù)g(x)=1sin4x的圖象，先向左平移r個(gè)單位，得到

(兀)1.兀、1?乙兀)1

y=s\x+—=—sm4x+—=—sin4x+—=—cos44x,

I8)4I8)4I2j4

a13

再向上平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)=：cos4x+T=力(x),故D正確；

444'，

對(duì)于C：由題意可得：73(x)=sin3x+cos3x=(sinx+cosx)^sin2x-sinxcosx+cos2x)

=(sinx+cosx)(l-sinxcosx),

令％=sinx+cosx=V^sin[x+e]e[—0,拒],貝ljsinxcosx=^^,

可得y='1-^：^=|/一$3,

構(gòu)建g(f)=?-g/，fe[一0,0],則g?)=H，

令g'⑺>0,解得令g'⑺<0,解得-五。<一1或l<fV忘；

故g⑺在(-1,1)上單調(diào)遞增，在［-及=1),(1,3］上單調(diào)遞減，

且8(忘)=-g卜近)=,，g⑴=1，g(-1)=-1，

顯然一1〈一堂〈走<1,

22

故g⑺在［-夜，應(yīng)］上的值域?yàn)椋?M］,

所以力(X)的值域?yàn)椋?1』,故C錯(cuò)誤；

故選：ABD.

12.如圖，己知四棱錐尸-ABCD的外接球的直徑為4,四邊形A8CO為正方形，平面ABCD1平面AP8,

G為棱PC的中點(diǎn)，PA±PB,BP=46,貝I()

P

A.AB//平面PCD

B.AP±BG

c.AC與平面PBC所成角的正弦值為立

4

D.四棱錐P-ABCD的體積為4"

【答案】ABC

【分析】A.由A8〃CD,利用線(xiàn)面平行的判定定理判斷；B.易得AP工平面P8C,再利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定

理判斷;C.易知ZACP為AC與平面P2C所成的角求解判斷;D.根據(jù)平面ABC?！蛊矫鍭PB,過(guò)尸作尸HLAB,

由面面垂直的性質(zhì)定理，得到PH_L平面ABC。，再由Vp_ABC￡>=g-A22，PH求解判斷.

【詳解】解：因?yàn)锳B、、CD,CDu平面尸CD,ABC平面PC。，所以AB//平面PC。，故A正確；

平面ABCD人平面APB,且3CJ_AB,所以\.PAA.PB,BC[}PB=B,從而AP工平面PBC,所

以AP_LBG,故B正確；

易知APLPC,所以四棱錐尸—ABCD的外接球的直徑為AC,所以AC=4,所以AB=2忘，所以AP=夜，

因?yàn)锳P工平面P8C,所以ZACP為AC與平面PBC所成的角，所以sin/ACP=正，故C正確；

4

如圖所示：

因?yàn)槠矫鍭BCD1平面AP3,過(guò)尸作尸“_LAB,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可知;W_L平面A8CQ,因?yàn)?/p>

PHAB=PAPB,所以PH=如，所以力=、AB2.PH=地，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若“3xwR,無(wú)2—6依+3。<0”為假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】0,1

【分析】由“VxeR,尤2-6ax+3aN0”為真命題，利用判別式法求解.

【詳解】解：由條件可知",€此/_6依+3°20”為真命題，

貝IA=36/-12a<0,即OWaWg.

故答案為：0,；

14.已知在等比數(shù)列｛%｝中，的、％分別是函數(shù)y=x3-6/+6x-l的兩個(gè)駐點(diǎn)，則％=.

【答案】垃

【分析】根據(jù)題意利用導(dǎo)數(shù)及韋達(dá)定理可得生，%的關(guān)系，后利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得答案.

【詳解】由題意可得：了=3尤2-12x+6,

C=4>0

則。3、%是函數(shù)，'=3/-12》+6的零點(diǎn)，貝葉二八，

[%%=2>0

且｛%｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為4片0,

%>0

可得<%>0,解得%=±^2,

=〃3〃7=2

注意到〃5=〃3d>0，可得為=8.

故答案為：&.

22

15.已知橢圓C:=+2r=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為月(-c,0),耳(c,0),點(diǎn)加(%,%)(%>0)是C上

ab

一點(diǎn)，點(diǎn)A是直線(xiàn)加乙與y軸的交點(diǎn)，AAM片的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)N,若耳聞，則橢圓C的

離心率e_.

【答案】顯

4

【分析】設(shè)內(nèi)切圓與AM切于。，與A耳切于P,由切線(xiàn)性質(zhì)知加制=|鑿|,結(jié)合橢圓定義建立a，c的關(guān)系

求得。

設(shè)內(nèi)切圓與AM切于0,與前切于P,由切線(xiàn)性質(zhì)知|肱V|=|MQ卜次閨司=20c，國(guó)N|=山外,|AP|=|A0,

由對(duì)稱(chēng)性知|相|=|然I，

所以|「耳|=|。閶，即|N￡|=|Q段，

所以2a=四圖+1岬|=(|MQ|-|°段)+(|的|+加胤)=|MQ|+\MN\=4缶，

所以e—=V==0

a4,24

故答案為：變

4

/、ln(x+l),x>0,

16.已知曲線(xiàn)“％=；z-1八過(guò)曲線(xiàn)上兩點(diǎn)A,3分別作曲線(xiàn)的切線(xiàn)交于點(diǎn)P,APIBP.記

'7-ln(x+l),-l<x<0,

一11

A,8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為再,%2,則一+—=______.

xxx2

【答案】-1

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合圖象及垂直的斜率關(guān)系計(jì)算即可.

【詳解】當(dāng)無(wú)>0時(shí)，當(dāng)x<o時(shí)，/(無(wú))=一一^,

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合圖象，不妨設(shè)玉<0,x2>0.

因?yàn)榍€(xiàn)在點(diǎn)A,3處的兩條切線(xiàn)互相垂直，所以一———―=-1,整理得占/+%+%=。，所以是

I1I1

四、解答題：共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

2

17.設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,S?=n+n,｛〃,｝是等比數(shù)列，…,4=竽.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列；的前〃項(xiàng)和7“.

【答案】⑴"2〃

(2)7；=—+2"+1-2

【分析】(I)利用?！芭cS”之間的關(guān)系，可得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得利用裂項(xiàng)相消法與分組求和法可得4.

2

【詳解】(1)Slt=n+n,

.,.當(dāng)九=1時(shí)，％=S[=2,

當(dāng)“22時(shí)，S"_j=5-1)2+5-1),

-

a”—Sn—Snl-n~+n—[(?/—I)+(?—1)]=2n,

當(dāng)”=1時(shí)，q=2符合上式，

故數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式為an=2n；

(2)由⑴得見(jiàn)=2",貝|g=4,

:.瓦=%=2,打=羅=4,

bc

在等比數(shù)列｛2｝中，公比夕=”?=2,.?.2=2〃,

4

1-^—+2"=---—+2",

+2n+nnn+1

，數(shù)歹4(+6」的前〃項(xiàng)和

1

Tn1111132(1-2")n+1

〃223nn+1v7n+11-2〃+1

R4r

18.在A(yíng)ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,且若“sin3=2bcos?--------.

2

(1)求角A的大小；

⑵若BC邊上的中線(xiàn)AD=1,求A/RC面積的最大值.

兀

【答案】(l)2g

⑵6

【分析】(1)通過(guò)三角恒等變換和正弦定理化簡(jiǎn)即可.

(2)將中線(xiàn)A￡)=l轉(zhuǎn)化為向量紀(jì)土AC的模長(zhǎng)，從而求出|而||正|的最大值，即可求出面積的最大值.

2

【詳解】(1)依題意有g(shù)asin3=26cos2W^=(l-cosA)6.

二A/3sinAsinB=(1-cosA)sinB,又sinBW0,

?.百sinA=l-cosA,Xsin2A+cos2A=1,

解得sinA=，^,cosA=-LAG(0,71),

22

/.A,=2—兀；

3

(2)因?yàn)閨而|=|”+AC通+正|=2,

2

所以|福|2+1工F+2|A5||AC|cos—=|AB|2+|AC|2-\AB\AC\=4>\AB\\AC\,

3

:.(\AB\\AC\)1mx=4,當(dāng)且僅當(dāng)|通|=|蔗|=2時(shí)成立，

故AASC面積的最大值為S=g|布||*|sinA=g.

19.如圖，四棱錐S-ABCD中，側(cè)面SCD_L底面A8C￡),ADIIBC,AD=BC=\,SD=SC=y/2AD>DC=2AD,

E,尸分別是SC和AB的中點(diǎn)，ZADC=60°.

⑴證明：￡F〃平面SA。；

⑵點(diǎn)P在棱SA上，當(dāng)尸尸與底面ABC。所成角為30。時(shí)，求二面角C-尸尸-A的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

(2)叵

7

【分析】（1）設(shè)M為的中點(diǎn)，證明A"〃正，根據(jù)線(xiàn)面平行判定定理證明結(jié)論；

（2）設(shè)N是。C的中點(diǎn)，由面面垂直判定定理證明SNL平面A5CD,再證明AN1.NB,以點(diǎn)N為原點(diǎn)，

建立空間直角坐標(biāo)系，求直線(xiàn)尸尸的方向向量和平面ABCD的法向量，由向量夾角公式求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，再求

平面CFP和平面AFP的法向量，利用向量夾角公式求結(jié)論.

【詳解】（1）設(shè)加為SD的中點(diǎn)，連接ME,MA,

因?yàn)镸E是△SOC的中位線(xiàn)，所以其￡=工。。=4。=1,

2

又因?yàn)锳D=BC,且仞〃3C,所以底面ABC。為平行四邊形.

所以AF=LA2=1,又ME〃DC,且OC7/AB,故.MEHAB,

2

且ME=AF=1,所以四邊形AFEM是平行四邊形，

所以AM〃FE,又Wu平面SA￡）,EF仁平面&4￡）,

所以EFP平面1s4￡).

(2)因?yàn)镾Z)=SC=0AD=0,又。C=2,

所以SZ^+SC?=DC2,故SZ)_LSC.

設(shè)N是。C的中點(diǎn)，連接SN,因?yàn)镾￡>=SC,

所以SN_LOC,又平面SDC_L平面ABC。，

SNu平面SDC,平面SDCI底面AfiCD=CD,

所以SNL平面ABCD.

連接NA,NB,NF,在△ADN中，ZADN=60°,DN=DA,

所以△ADN是正三角形，

在A(yíng)BCN中，NBCN=120。,NC=CB=l,所以N3NC=ZA?C=30。,

所以ZAA?=90。，即⑷V_LNB.

因?yàn)镹S,W4,N8兩兩互相垂直，故以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，

以向量麗，麗，福為x,?z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系N-wz.

在A(yíng)NCB中，由余弦定理得NB=71+l-2xlxlxcosl200=73.

過(guò)點(diǎn)尸作尸"〃SN,PHC\AN=H,

因?yàn)镾N1.平面ABCD,所以尸”，底面ABCD,

因?yàn)镻H//SN,所以及APHA與曲△SN4相似，

因?yàn)镾N=N4=1,所以=

設(shè)P的坐標(biāo)為。,0/)(/>0),

則N(0,0,0),A(l,0,0),3(0,百,0),尸，,4,o],C,攣o],

(22JI22J

—(1指)

(22)

設(shè)底面ABCD的法向量為慶=(0。1),

當(dāng)尸產(chǎn)與底面A3C。所成角為30。時(shí)，而與慶所成角為60。.

故卜os伍麗〉卜mPF1

\m\\PF\5'

解得舊.

港」且_1

1,PC=一萬(wàn),PA=

77

設(shè)平面PC尸的法向量為4=(x,y,z),

6z

——y——=0,

n,■PF=022

則「一，即

n-PC=0,61n

t-x-\-----y——z=0,

22

取y=l,可得尤=0,z=百，

所以［=(0,1,6)為平面PCP的一個(gè)法向量,

設(shè)平面的法向量為Z=(p,r,q),

J=0

n,-PA=Q22

則2_，即

n-PF=073q門(mén)

2——r--=0

L22

取r=l,可得p=乖＞,q=A/3,

所以％=(后,1,石)為平面PCV的一個(gè)法向量,

%?幾2_4_2>/7

故COS(〃1，〃2

匐?國(guó)A/?xV77

所以二面角C-PF—A的正弦值為亙.

7

20.為進(jìn)一步鞏固提升全國(guó)文明城市，加速推行垃圾分類(lèi)制度，銅川市推出了兩套方案，并分別在A(yíng)、3兩

個(gè)大型居民小區(qū)內(nèi)試行.方案一：進(jìn)行廣泛的宣傳活動(dòng)，向小區(qū)居民和社會(huì)各界宣傳垃圾分類(lèi)的意義，講解

分類(lèi)垃圾桶的使用方式，垃圾投放時(shí)間等，定期召開(kāi)垃圾分類(lèi)會(huì)議和知識(shí)宣傳教育活動(dòng)；方案二：在小區(qū)

內(nèi)設(shè)立智能化分類(lèi)垃圾桶，智能垃圾桶操作簡(jiǎn)單，居民可以通過(guò)手機(jī)進(jìn)行自動(dòng)登錄、稱(chēng)重、積分等一系列

操作.并建立激勵(lì)機(jī)制，比如，垃圾分類(lèi)換積分兌換禮品等，以激發(fā)帶動(dòng)居民參與垃圾分類(lèi)的熱情.經(jīng)過(guò)一段

時(shí)間試行之后，在這兩個(gè)小區(qū)內(nèi)各隨機(jī)抽取了100名居民進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，記錄他們對(duì)試行方案的滿(mǎn)意度得

分(滿(mǎn)分100分)，將數(shù)據(jù)分成6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),并整理

(1)請(qǐng)通過(guò)頻率分布直方圖分別估計(jì)兩種方案滿(mǎn)意度的平均得分，判斷哪種方案的垃圾分類(lèi)推廣措施更受居

民歡迎(同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點(diǎn)值作代表)；

(2)以樣本頻率估計(jì)概率，若滿(mǎn)意度得分不低于70分認(rèn)為居民贊成推行此方案，低于70分認(rèn)為居民不贊成

推行此方案，規(guī)定小區(qū)居民贊成率不低于70%才可在該小區(qū)繼續(xù)推行該方案，判斷兩小區(qū)哪個(gè)小區(qū)可繼續(xù)

推行方案?

(3)根據(jù)(2)中結(jié)果，從可繼續(xù)推行方案的小區(qū)所抽取100人中再按居民態(tài)度是否贊成分層抽取一8人樣本

作為代表團(tuán)，從代表團(tuán)中選取兩人做匯總發(fā)言，求至少有一個(gè)不贊成的居民被選到發(fā)言的概率.

【答案】(1)A小區(qū)平均分為72.7,8小區(qū)平均分為78.3,方案二的垃圾分類(lèi)推行措施更受居民歡迎

(2)8小區(qū)可繼續(xù)推行方案二

13

(3)—

28

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的求法分別計(jì)算，即可得出結(jié)論；

(2)分別求出A小區(qū)即方案一中，滿(mǎn)意度不低于70分的頻率和8小區(qū)即方案二中，滿(mǎn)意度不低于70分的

頻率，由此即可得出結(jié)論；

(3)結(jié)合(2)的結(jié)論，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.

【詳解】(1)設(shè)A小區(qū)方案一的滿(mǎn)意度平均分為最，則

1=(45x0.006+55*0.014+65x0.018+75x0.031+85x0.021+95x0.010)x10=72.7設(shè)3小區(qū)方案二的滿(mǎn)意度

平均分為7，貝!)3=(45x0.005+55x0.010+65x0.010+75*0.020+85x0.032+95x0.023)x10=78.3;

72.7<78.3.方案二的垃圾分類(lèi)推行措施更受居民歡迎.

(2)由題意可知：

A小區(qū)即方案一中，滿(mǎn)意度不低于70分的頻率為(0.031+0.021+0。10)><1。=0.62,以頻率估計(jì)概率，贊成

率為62%

2小區(qū)即方案二中，滿(mǎn)意度不低于70分的頻率為(0.020+0.032+0.023)x10=0.75,以頻率估計(jì)概率，贊成

率為75%.

小區(qū)可繼續(xù)推行方案二.

（3）由（2）中結(jié)果，在8小區(qū)不贊成25人中，取8x25%=2人，贊成的75人中取8x75%=6人組成代表

團(tuán)，設(shè)至少有一個(gè)不贊成居民做匯總發(fā)言的概率為尸，記不贊成的兩人為。力，贊成的6人為1,2,3,4,5,6,

從中任選兩人，則有以下情況：

ab,。2,a3,。4,a5,a6,bl,bl,b3,b4,b5,Z>6,12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56共28種情況，其中至

少有一個(gè)不贊成的居民被選到發(fā)言的有，

ab,al,a2,a3,a4,a5,a6,bl,b2,b3,Z?4,b5,b613種，

13

由古典概型的概率計(jì)算公式可得尸==.

28

21.已知拋物線(xiàn)。：^=2加（。>0）的焦點(diǎn)為尸，A2分別為C上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)

為等邊三角形時(shí)，|AB|=8后.

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵拋物線(xiàn)C在第一象限的部分是否存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)