浙江省金華市義烏市2023屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

義烏市2023屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)集合,求出，最后由補(bǔ)集概念求解運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以?故選：A.2.若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模（）A.3 B.5 C.9 D.25【答案】B【解析】分析】先化簡(jiǎn)求出，再根據(jù)模長(zhǎng)公式求解即得.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B.3.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程，可直接寫出漸近線方程.【詳解】雙曲線焦點(diǎn)在軸上，所以漸近線斜率為，則其漸近線方程為：.故選：C.4.學(xué)校舉行德育知識(shí)競(jìng)賽，甲?乙?丙?丁?戊5位同學(xué)晉級(jí)到了決賽環(huán)節(jié)，通過筆試決出了第1名到第5名.甲?乙兩名參賽者去詢問成績(jī)，回答者對(duì)他們說：“決賽5人的成績(jī)各不相同，但你們倆的名次是相鄰的”，丙?丁兩名參賽者也去詢問成績(jī)，回答者對(duì)丙說：“很遺憾，你和丁都未拿到冠軍”，又對(duì)丁說：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的”.從這個(gè)回答分析，5人的名次排列共有（）種不同的可能情況.A.14 B.16 C.18 D.20【答案】B【解析】【分析】分冠軍為甲乙兩人中的一人；冠軍為戊，丁為第二名；冠軍為戊，丁為第三名；冠軍為戊，丁為第四名，四種情況，結(jié)合相鄰問題及特殊元素法分別求解即可.【詳解】解：由題意可知，冠軍不會(huì)是丙、丁且丁不是第5名，當(dāng)冠軍為甲乙兩人中的一人時(shí)，由于甲乙兩人名次相鄰，所以第二名一定兩人中的另一人，丁就只能是第三(四)名，丙和戊兩個(gè)人就只能是第四(三)和第五名了，此時(shí)共有種情況；當(dāng)冠軍為戊，丁為第二名時(shí)，將甲乙捆綁在一起，內(nèi)部排列共種，此時(shí)甲，乙，丙三個(gè)人的只能是第三、四、五名了，共有種，所以此時(shí)共有種情況；當(dāng)冠軍為戊，丁為第三名時(shí)，由于甲乙兩人名次相鄰，所以第二名只能是丙，第四名和第五名只能是甲乙，所以此時(shí)共有種情況；當(dāng)冠軍為戊，丁為第四名時(shí)，由于甲乙兩人名次相鄰，所以第五名只能是丙，第二名和第三名只能是甲乙，所以此時(shí)共有種情況；所以共有種.故選：B.5.為了得到函數(shù)的圖象，只要把圖象上所有的點(diǎn)（）A.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的性質(zhì)即可求解.【詳解】為了得到函數(shù)的圖象，只要把圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，故選：A6.在中，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】選用基底，利用向量的線性運(yùn)算表示向量.【詳解】中，，，如圖所示，.故選：C7.在半徑為的實(shí)心球中挖掉一個(gè)圓柱，再將該圓柱重新熔成一個(gè)球，則球的表面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知求出球的半徑，設(shè)圓柱的底面半徑為，則高為，寫出圓柱的體積，利用基本不等式求最值，即可得到滿足條件的值,結(jié)合球的體積以及表面積公式即可求解.【詳解】由球的半徑為，如圖，設(shè)圓柱的底面半徑為，則高為，．當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，上式取等號(hào),此時(shí)圓柱的體積為，（或者令，當(dāng)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故當(dāng)取最大值4，故當(dāng)時(shí)，取最大值4）要使熔成一個(gè)球的表面積最大，則半徑最大，則體積最大即可,因此熔成的球的體積也是，故球的半徑為,所以球的表面積為故選：D．8.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且在區(qū)間上還滿足：①當(dāng)時(shí)，都有；②；③.則等于（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由，結(jié)合，分別取和可求和，在中分別取和和可求，．利用，又結(jié)合非減函數(shù)的概念求，代入后答案可求．【詳解】由，，令，所以有,令，所以有，由得故，，由；令，有,令，有，令，有．由時(shí)，都有，，有，．，故選：B二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.）9.下列說法正確的是（）A.若隨機(jī)變量，則B.樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度越強(qiáng)C.數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為D.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子所得的樣本空間為，令事件，，則事件不獨(dú)立【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A，由已知得，根據(jù)對(duì)稱性即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近1，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度越強(qiáng)即可判斷；對(duì)于C，利用百分位數(shù)定義求解即可；對(duì)于D，利用獨(dú)立事件的概率公式判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由已知得，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，故A正確；對(duì)于B，樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近1，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋缘?0百分位數(shù)為第位數(shù)和第位數(shù)的平均數(shù)，即為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，，則，所以，故，所以事件相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》卷11中這樣定義棱柱：一個(gè)棱柱是一個(gè)立體圖形，它是由一些平面構(gòu)成的，其中有兩個(gè)面是相對(duì)的?相等的，相似且平行的，其它各面都是平行四邊形.顯然這個(gè)定義是有缺陷的，由于《幾何原本》作為“數(shù)學(xué)圣經(jīng)”的巨大影響，該定義在后世可謂謬種流傳，直到1916年，美國(guó)數(shù)學(xué)家斯頓（J.C.Stone）和米利斯（J.F.Millis）首次給出歐氏定義的反例.如圖1，八面體的每一個(gè)面都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且4個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，取各棱的中點(diǎn)，切割成歐氏反例（如圖2），則該歐氏反例（）A.共有12個(gè)頂點(diǎn) B.共有24條棱C.表面積為 D.體積為【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于AB，以圖1中平面為分界面進(jìn)行數(shù)數(shù)即可；對(duì)于CD，根據(jù)題意到得圖2中的棱長(zhǎng)均為，再利用面積公式與體積公式即可得解.【詳解】對(duì)于A，以圖1中平面為分界面進(jìn)行數(shù)數(shù)，易知?dú)W氏反例（即圖2）在平面上方的頂點(diǎn)有個(gè)，在平面中的頂點(diǎn)有個(gè)，在平面下方的頂點(diǎn)有個(gè)，共有個(gè)頂點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知?dú)W氏反例在平面上方的棱有條，根據(jù)對(duì)稱性可知在平面下方的棱有條，共有條棱，故B正確；對(duì)于C，由題意與中位線定理易得歐氏反例的表面是由個(gè)棱長(zhǎng)為，其中一個(gè)角為的菱形，與個(gè)棱長(zhǎng)為的正方形組成，所以其表面積為，故C正確；對(duì)于D，由題意可知，歐氏反例的體積可由兩個(gè)棱長(zhǎng)為2的正四棱錐減掉四個(gè)棱長(zhǎng)為1的正四棱錐而得，對(duì)于棱長(zhǎng)為的正四棱錐，其底面面積為，其底面對(duì)角線長(zhǎng)為，所以其高為，故其體積為，所以歐氏反例的體積為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵發(fā)揮空間想象能力，理解歐氏反例的結(jié)構(gòu)特征，從而得解.11.已知拋物線，點(diǎn)均在拋物線上，點(diǎn)，則（）A.直線斜率可能為B.線段長(zhǎng)度的最小值為C.若三點(diǎn)共線，則存在唯一的點(diǎn)，使得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)D.若三點(diǎn)共線，則存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式，結(jié)合一元二次方程的根可判斷A，由兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性確定最值可判斷B，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，由一元二次方程根的個(gè)數(shù)可判斷CD.【詳解】設(shè)在拋物線上，且滿足，對(duì)于A，假如直線的斜率可以為，則由于，則該方程無解，所以直線的斜率不可能為，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B,，記，記單調(diào)遞增，由于，因此單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最小值5，因此的最小值為，故B正確，對(duì)于C,若三點(diǎn)共線，為線段的中點(diǎn)，則，將代入拋物線方程中得，故有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以滿足條件的點(diǎn)不唯一，故C錯(cuò)誤，D正確，故選：BD12.當(dāng)且時(shí)，不等式恒成立，則自然數(shù)可能為（）A.0 B.2 C.8 D.12【答案】BC【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性進(jìn)而最值，將問題轉(zhuǎn)化成，進(jìn)一步由對(duì)數(shù)運(yùn)算得恒成立，即可代入選項(xiàng)逐一求解.【詳解】由于且，所以，所以，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)，且時(shí)，故當(dāng)當(dāng)，因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，不妨取，則而，不滿足，故A錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，，顯然，故滿足題意，B正確，要使恒成立，則需要，即恒成立即可由于，因此當(dāng)時(shí)，，C正確，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，錯(cuò)誤，故選：BC【點(diǎn)睛】處理多變量函數(shù)最值問題的方法有：（1）消元法：把多變量問題轉(zhuǎn)化單變量問題，消元時(shí)可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即給出的條件是和為定值或積為定值等，此時(shí)可以利用基本不等式來處理，用這個(gè)方法時(shí)要關(guān)注代數(shù)式和積關(guān)系的轉(zhuǎn)化.（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值.三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.的展開式中的系數(shù)是___________.（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】【分析】求出展開式的通項(xiàng)，再分別令的指數(shù)等于和，即可得解.【詳解】展開式的通項(xiàng)為，令，則，令，則，所以的展開式中的系數(shù)是.故答案為：.14.若，則_________.【答案】####【解析】【分析】利用弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】.故答案：.15.若存在直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則實(shí)數(shù)的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)切線與兩曲線的切點(diǎn)分別為，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求出切線方程，可得，由題意可知有解，故令，利用導(dǎo)數(shù)求得其最值，即可求得答案.【詳解】由題意知兩曲線與存在公切線，時(shí)，兩曲線與，不合題意；則的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)公切線與相切的切點(diǎn)為，與曲線相切的切點(diǎn)為，則切線方程為，即，切線方程也可寫為，即，故，即，即，即有解，令，則，令可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，故的最大值為，故，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為，故答案為：16.已知三點(diǎn)在圓上，的重心為坐標(biāo)原點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件發(fā)現(xiàn)，且點(diǎn)到圓與軸的正半軸交點(diǎn)的距離為4，正好是的關(guān)系，而三角形的重心是中線的三等分點(diǎn)，所以不妨認(rèn)為圓與軸的正半軸交點(diǎn)是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，從而可知另兩個(gè)頂點(diǎn)正好是圓的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，從而可以得到三角形三邊的關(guān)系，進(jìn)而借助基本不等式求出結(jié)果.【詳解】由圓得圓心，半徑圓，如圖，不妨設(shè)點(diǎn)在軸的正半軸上，由于的重心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且,所以為圓的直徑，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以周長(zhǎng)的最大值為.故答案為：.四?解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）不存在，理由見詳解【解析】【分析】（1）設(shè)的公比為，根據(jù)題意列方程組，從而求得，，進(jìn)而即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合（1）可得到，假設(shè)存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，從而根據(jù)條件得到，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【小問1詳解】設(shè)的公比為，由，兩式相除并整理得，解得或（舍去），即，，所以．【小問2詳解】由（1）有，，所以，假設(shè)存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，則有，即，左右兩邊除以，，等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，該等式顯然無解，所以在數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列．18.為迎接“五一小長(zhǎng)假”的到來，某商場(chǎng)開展一項(xiàng)促銷活動(dòng)，凡在商場(chǎng)消費(fèi)金額滿200元的顧客可以免費(fèi)抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：在不透明箱子中裝有除顏色外其他都相同的10個(gè)小球，其中，紅球2個(gè)，白球3個(gè)，黃球5個(gè)，顧客從箱子中依次不放回地摸出2個(gè)球，根據(jù)摸出球的顏色情況分別進(jìn)行兌獎(jiǎng).將顧客摸出的2個(gè)球的顏色分成以下四種情況：：1個(gè)紅球1個(gè)白球，：2個(gè)紅球，：2個(gè)白球，：至少一個(gè)黃球.若四種情況按發(fā)生的概率從小到大的順序分別對(duì)應(yīng)一等獎(jiǎng)，二等獎(jiǎng)，三等獎(jiǎng)，不中獎(jiǎng).（1）求顧客在某次抽獎(jiǎng)中，第二個(gè)球摸到為紅球的概率（2）求顧客分別獲一?二?三等獎(jiǎng)時(shí)對(duì)應(yīng)的概率；（3）若三名顧客每人抽獎(jiǎng)一次，且彼此是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立.記中獎(jiǎng)的人數(shù)為，求的分布列和期望.【答案】（1）（2）顧客分別獲一?二?三等獎(jiǎng)的概率分別為、、（3）分布列答案見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率公式計(jì)算可得；（2）根據(jù)古典概型的概率公式及組合數(shù)公式計(jì)算可得；（3）由（2）可知，顧客抽獎(jiǎng)一次獲獎(jiǎng)的概率為，則，利用二項(xiàng)分布的概率公式求出分布列與數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】設(shè)顧客第次摸到紅球?yàn)椋瑒t；【小問2詳解】由題意知，，，，，因此，顧客分別獲一?二?三等獎(jiǎng)的概率分別為、、；【小問3詳解】由（2）可知，顧客抽獎(jiǎng)一次獲獎(jiǎng)的概率為，則，所以，，，，則分布列為：123數(shù)學(xué)期望.19.在四棱錐中，底面為梯形，為上的點(diǎn)，且.（1）證明：面：（2）若面，面面，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形相似可得線線平行，進(jìn)而可得線面平行，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由法向量的夾角即可求解面面角.小問1詳解】設(shè)，連，，，且，又，，又面面面；【小問2詳解】連，過點(diǎn)作，垂足為，平面平面，平面平面，平面,平面平面，又平面平面,，平面,從而平面，，，令，則.以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系.，，設(shè)面的法向量為，令，則，，，設(shè)面的法向量為，，令，則，，所以二面角的正弦值為.20.在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）證明：；（2）求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由和差角公式化簡(jiǎn)得，由正弦定理邊角化即可求解，（2）由銳角三角形滿足，根據(jù)基本不等式即可求解.【小問1詳解】，，，由正弦定理得：.【小問2詳解】銳角，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，為的左右頂點(diǎn)，直線交于點(diǎn)（異于），直線交于點(diǎn)（異于），交于，過作軸的垂線分別交?于，問是否存在常數(shù)，使得.【答案】（1）（2）存在常數(shù)，使得.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義判斷出點(diǎn)的軌跡為橢圓，根據(jù)題意得，求出，可得橢圓的方程；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，求出的坐標(biāo)，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，求出的坐標(biāo)，再求出，，的坐標(biāo)，由此可得的值.【小問1詳解】因?yàn)?、，，所以點(diǎn)的軌跡以為焦點(diǎn)的橢圓，這里，，，所以，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)，代入，得，即，得：，