高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第八章立體幾何第5講直線平面垂直的判定與性質(zhì)配套理

第5講直線、平面垂直判定與性質(zhì)1/35考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)1.了解以下判定定理.◆假如一條直線與一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.◆假如一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.2.了解以下性質(zhì)定理，并能夠證實(shí).◆垂直于同一個(gè)平面兩條直線平行.◆假如兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線直線與另一個(gè)平面垂直.3.能利用公理、定理和已取得結(jié)論證實(shí)一些空間圖形位置關(guān)系簡(jiǎn)單命題年新課標(biāo)第18題(1)以四棱錐為背景，證實(shí)線線垂直；年新課標(biāo)第19題(1)以三棱柱為背景，證實(shí)面面垂直；年綱領(lǐng)第11題考查線面所成角；年新課標(biāo)Ⅱ第18題考查直線與平面位置關(guān)系；年新課標(biāo)Ⅰ第19題(1)以三棱柱為背景，證實(shí)線線垂直；年新課標(biāo)Ⅰ第19題(1)以三棱柱為背景，證實(shí)線線垂直；(2)考查線面位置判定定理、性質(zhì)定理及求三棱柱高；年新課標(biāo)Ⅰ第18題(1)以四棱錐為背景，證實(shí)面面垂直；年江蘇第16題、天津第17題考查平行與垂直證實(shí)；年新課標(biāo)Ⅰ第18題考查面面垂直及側(cè)面積計(jì)算1.垂直是立體幾何必考題目，且?guī)缀趺磕甓加幸粋€(gè)解答題出現(xiàn)，所以是高考熱點(diǎn)，是復(fù)習(xí)重點(diǎn).縱觀歷年來(lái)高考題，立體幾何中沒有難度過(guò)大題，所以復(fù)習(xí)要抓好三基：基礎(chǔ)知識(shí)，基本方法，基本能力.2.要重視和研究數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法.在本節(jié)中“化歸”思想尤為主要，不論何種“垂直”都要化歸到“線線垂直”，觀察與分析幾何體中線與線關(guān)系是解題突破口2/35項(xiàng)目圖形條件結(jié)論判定a⊥b，b?α(b為α內(nèi)任意直線)a⊥αa⊥m，a⊥n，m，n?α，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α1.直線與平面垂直3/35項(xiàng)目圖形條件結(jié)論性質(zhì)a⊥α，b?αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b(續(xù)表)4/352.平面與平面垂直5/353.直線與平面所成角(1)假如直線與平面平行或者在平面內(nèi)，那么直線與平面所成角等于0°.(2)假如直線和平面垂直，那么直線與平面所成角等于90°.

(3)平面斜線與它在平面上射影所成銳角叫做這條斜線與平面所成角，其范圍是(0°，90°).斜線與平面所成線面角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足直線所成一切角中最小角.6/354.二面角

從一條直線出發(fā)兩個(gè)半平面組成圖象叫做二面角.從二面角棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱兩條射線，這兩條射線所成角叫做二面角平面角.平面角是直角二面角叫做直二面角.7/351.垂直于同一條直線兩條直線一定()DA.平行C.異面B.相交D.以上都有可能2.(年新課標(biāo)Ⅲ)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱)CCD中點(diǎn)，則( A.A1E⊥DC1

C.A1E⊥BC1

B.A1E⊥BDD.A1E⊥AC8/353.如圖8-5-1，在正方體ABCD-A1B1C1D1

中，以下結(jié)論中正確個(gè)數(shù)是()D

圖8-5-1①BD1⊥AC；②BD1⊥A1C1；③BD1⊥B1C.A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)9/354.(年新課標(biāo)Ⅱ)已知

m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，則()D

A.α∥β，且l∥α

B.α⊥β，且l⊥β

C.α與β相交，且交線垂直于l

D.α與β相交，且交線平行于l

解析：依據(jù)所給已知條件作圖，如圖D58.由圖可知α與β相交，且交線平行于l.故選D.

圖D5810/35考點(diǎn)1直線與平面垂直判定與性質(zhì)

例1：(2014年山東)如圖8-5-2，在四棱錐P-ABCD中，AP

PC中點(diǎn).求證：

(1)AP∥平面BEF；

(2)BE⊥平面PAC.

圖8-5-211/35證實(shí)：(1)如圖D59， 圖D59設(shè)AC∩BE＝O，連接OF，EC.因?yàn)镋為AD中點(diǎn)，

∴AEBC.∴四邊形ABCE為平行四邊形.12/35又AE＝AB，則ABCE為菱形.∴O為AC中點(diǎn).又F是PC中點(diǎn)，∴在△PAC中，PA∥OF.∵OF?平面BEF，且PA平面BEF，∴AP∥平面BEF.(2)由題意知，ED∥BC，ED＝BC，∴四邊形BCDE為平行四邊形.所以BE∥CD.又AP⊥平面PCD，13/35∴AP⊥CD.所以AP⊥BE.∵四邊形ABCE為菱形，∴BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP，AC?平面PAC，∴BE⊥平面PAC.

【規(guī)律方法】直線與直線垂直?直線與平面垂直?平面與平面垂直?直線與平面垂直?直線與直線垂直，經(jīng)過(guò)直線與平面位置關(guān)系不停轉(zhuǎn)化來(lái)處理相關(guān)垂直問題.出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，平行要聯(lián)想到三角形中位線，垂直要聯(lián)想到三角形高；出現(xiàn)圓周上點(diǎn)時(shí)，聯(lián)想到直徑所正確圓周角為直角.14/35【互動(dòng)探究】1.已知直線PA垂直于以AB為直徑圓所在平面，C為)圓上異于A，B任一點(diǎn)，則以下關(guān)系中不正確是(

圖8-5-3A.PA⊥BCC.AC⊥PBB.BC⊥平面PAC

D.PC⊥BC15/35

解析：AB為直徑，C為圓上異于A，B一點(diǎn)，所以AC⊥BC.因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因?yàn)镻A∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.從而PC⊥BC.故選C.答案：C16/35考點(diǎn)2平面與平面垂直判定與性質(zhì)

例2：(2017年新課標(biāo)Ⅰ)如圖

8-5-4，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)證實(shí)：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱錐P-ABCD

圖8-5-417/35(1)證實(shí)：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.因?yàn)锳B∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解：如圖

D60，在平面PAD內(nèi)作PE⊥AD，垂足為E，圖D6018/3519/35【規(guī)律方法】垂直、平行關(guān)系證實(shí)中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想常見類型.①證實(shí)線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證實(shí)線線平行.②證實(shí)線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證實(shí)線線垂直.③證實(shí)線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證實(shí)線面垂直.④證實(shí)面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證實(shí)線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.20/35【互動(dòng)探究】2.如圖8-5-5，在立體圖形D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC中點(diǎn)，則以下結(jié)論正確是()

圖8-5-5A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE21/35

解析：要判斷兩個(gè)平面垂直關(guān)系，就需找一個(gè)平面內(nèi)一條直線與另一個(gè)平面垂直.因?yàn)锳B＝CB，且E是AC中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE.又因?yàn)锳C?平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE.故選C.答案：C22/35考點(diǎn)3線面所成角

例3：(2016年天津)如圖8-5-6，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝，DE＝3，∠BAD＝60°，G為BC中點(diǎn).

圖8-5-6 (1)求證FG∥平面BED；

(2)求證平面BED⊥平面AED；

(3)求直線EF與平面BED所成角正弦值.23/35(1)證實(shí)：取

BD中點(diǎn)為O，連接OE，OG.在△BCD中，因?yàn)镚是BC中點(diǎn)，又因?yàn)镋F∥AB，AB∥DC，所以EF∥OG，且EF＝OG，即四邊形OGFE是平行四邊形.所以FG∥OE.又FG平面BED，OE?平面BED，所以FG∥平面BED.24/35(2)證實(shí)：在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理可得BD＝.進(jìn)而可得∠ADB＝90°，即BD⊥AD.又因?yàn)槠矫鍭ED⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，所以BD⊥平面AED.又因?yàn)锽D?平面BED，所以平面BED⊥平面AED.25/35

(3)解：因?yàn)?/p>

EF∥AB，所以直線EF與平面BED所成角即為直線AB與平面BED所成角.

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H，連接BH，又因?yàn)槠矫鍮ED∩平面AED＝ED，由(2)知AH⊥平面BED.

所以直線AB與平面BED所成角即為∠ABH.

26/35

【規(guī)律方法】(1)證實(shí)線面平行，普通利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證實(shí)，而線線平行尋找與論證，往往結(jié)合平面幾何知識(shí)，如本題結(jié)構(gòu)一個(gè)平行四邊形：取BD中點(diǎn)為O，可證四邊形OGFE是平行四邊形，從而得出FG∥OE.

(2)面面垂直證實(shí)，普通轉(zhuǎn)化為證線面垂直，而線面垂直證實(shí)，往往需屢次利用線面垂直判定與性質(zhì)定理，而線線垂直證實(shí)有時(shí)需要利用平面幾何條件，如本題可由余弦定了解出∠ADB＝90°，即BD⊥AD.

(3)求線面角，關(guān)鍵作出射影，即面垂線，可利用面面垂直性質(zhì)定理得到線面垂直，即面垂線：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H，則AH⊥平面BED，從而直線AB與平面BED所成角即為∠ABH.再結(jié)合三角形可求得正弦值.27/35【互動(dòng)探究】

3.如圖8-5-7，在三棱柱ABC-A1B1C1

中，各棱長(zhǎng)都相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C中心，則AD與平面BB1C1C所成角大小是________.圖8-5-728/35

解析：如圖D61，取BC中點(diǎn)E，連接AE，DE，則AE⊥平面BB1C1C.所以∠ADE為直線AD與平面BB1C1C所成角.

設(shè)三棱柱全部棱長(zhǎng)為a，圖D61答案：π329/35

4.(年安徽皖南八校聯(lián)考)四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2正方形，其它四個(gè)側(cè)面腰長(zhǎng)為3等腰三角形，則二面角V-AB-C余弦值大小為()30/35

解析：如圖D62，取AB中點(diǎn)E，過(guò)V作底面垂線，垂足為O，連接OE.

圖D62答案：B31/35難點(diǎn)突破⊙立體幾何中探究性問題二例題：已知四棱錐P-ABCD直觀圖及三視圖如圖8-5-8.(1)求四棱錐P-ABCD體積；(2)若點(diǎn)E是側(cè)棱PC中點(diǎn)，求證PA∥平面BDE；(3)若點(diǎn)E是側(cè)棱PC上動(dòng)點(diǎn)，是否不論點(diǎn)E在什么位置，都有BD⊥AE？并證實(shí)你結(jié)論.圖8-5-832/35思維點(diǎn)撥：(1)由直觀圖及三視圖確定棱錐底面和高，再求體積.

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