高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)(二)

2.2.2橢圓幾何性質(zhì)(二)第2章§2.2橢圓1/341.鞏固橢圓簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.掌握直線與橢圓三種位置關(guān)系，尤其是直線與橢圓相交相關(guān)問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)2/34欄目索引知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾3/34知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)4/34答案知識(shí)點(diǎn)二直線與橢圓位置關(guān)系消去y得到一個(gè)關(guān)于x一元二次方程.位置關(guān)系解個(gè)數(shù)Δ取值相交___解Δ__0相切___解Δ__0相離___解Δ__0兩一無(wú)>＝<5/34知識(shí)點(diǎn)三弦長(zhǎng)公式6/34返回7/34題型探究重點(diǎn)突破解析答案題型一直線與橢圓位置關(guān)系例1

在橢圓

＝1上求一點(diǎn)P，使它到直線l：3x－2y－16＝0距離最短，并求出最短距離.并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0?m2＝16?m＝±4，反思與感悟8/34反思與感悟本題將求最小距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓位置關(guān)系問(wèn)題.解這類問(wèn)題常規(guī)解法是直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y或x得到關(guān)于x或y一元二次方程，則(1)直線與橢圓相交?Δ>0；(2)直線與橢圓相切?Δ＝0；(3)直線與橢圓相離?Δ<0.所以判定直線與橢圓位置關(guān)系，方程及其判別式是最基本工具.9/34解析答案跟蹤訓(xùn)練1

已知橢圓x2＋8y2＝8，在橢圓上求一點(diǎn)P，使P到直線l：x－y＋4＝0距離最短，并求出最短距離.解設(shè)與直線x－y＋4＝0平行且與橢圓相切直線為x－y＋a＝0，Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，∴與直線l距離較近切線方程為x－y＋3＝0，解得a＝3或a＝－3，10/34解析答案題型二直線與橢圓相交弦問(wèn)題例2

已知點(diǎn)P(4,2)是直線l被橢圓

＝1所截得線段中點(diǎn)，求直線l方程.解由題意知直線l斜率存在，所以可設(shè)直線l方程為y－2＝k(x－4)，而橢圓方程能夠化為x2＋4y2－36＝0.將直線方程代入橢圓方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.即x＋2y－8＝0.反思與感悟11/34反思與感悟研究直線與橢圓相交關(guān)系問(wèn)題通法是經(jīng)過(guò)解直線與橢圓組成方程，利用根與系數(shù)關(guān)系或中點(diǎn)坐標(biāo)公式處理.包括弦中點(diǎn)，還可使用點(diǎn)差法：設(shè)出弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，兩式相減即得弦中點(diǎn)與斜率關(guān)系.12/34解析答案跟蹤訓(xùn)練2

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E： (a>b>0)左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，AF1＝3BF1.(1)若AB＝4，△ABF2周長(zhǎng)為16，求AF2；解由AF1＝3F1B，AB＝4，得AF1＝3，F(xiàn)1B＝1.因?yàn)椤鰽BF2周長(zhǎng)為16，所以由橢圓定義可得4a＝16，AF1＋AF2＝2a＝8.故AF2＝2a－AF1＝8－3＝5.13/34解析答案14/34解設(shè)F1B＝k，則k>0，且AF1＝3k，AB＝4k.由橢圓定義可得AF2＝2a－3k，BF2＝2a－k.化簡(jiǎn)可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.于是有AF2＝3k＝AF1，BF2＝5k.故△AF1F2為等腰直角三角形.15/34解析答案題型三橢圓中最值(或范圍)問(wèn)題例3

已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m取值范圍；因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，16/34解析答案(2)求被橢圓截得最長(zhǎng)弦所在直線方程.解設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，所以當(dāng)m＝0時(shí)，AB最大，即被橢圓截得弦最長(zhǎng)，此時(shí)直線方程為y＝x.反思與感悟17/34反思與感悟解析幾何中綜合性問(wèn)題很多，而且可與很多知識(shí)聯(lián)絡(luò)在一起出題，比如不等式、三角函數(shù)、平面向量以及函數(shù)最值問(wèn)題等.處理這類問(wèn)題需要正確地應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想.其中應(yīng)用比較多是利用方程根與系數(shù)關(guān)系結(jié)構(gòu)等式或函數(shù)關(guān)系式，這其中要注意利用根判別式來(lái)確定參數(shù)限制條件.18/34解析答案19/34解∵直線AB斜率為1，∴∠BAP＝45°，即b＝2，且B(3,1).解析答案20/34(2)由點(diǎn)P坐標(biāo)為(0，t)及點(diǎn)A位于x軸下方，得點(diǎn)A坐標(biāo)為(0，t－3)，∴t－3＝－b，即b＝3－t.顯然點(diǎn)B坐標(biāo)是(3，t)，將它代入橢圓方程得：21/34解析答案返回解后反思一題多解求解橢圓中弦所在直線方程22/34解析答案解后反思分析注意根與系數(shù)關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式應(yīng)用.本題也可用兩方程直接相減求解.解方法一由題意，知所求直線斜率存在，設(shè)此直線方程為y＝k(x－2)＋1.消去y并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，故所求直線方程為x＋2y－4＝0.23/34方法二設(shè)所求直線與橢圓交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2).因?yàn)辄c(diǎn)P為弦AB中點(diǎn)，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又因?yàn)锳，B在橢圓上，解析答案解后反思即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即x＋2y－4＝0.24/34方法三設(shè)所求直線與橢圓一個(gè)交點(diǎn)為A(x，y).因?yàn)橄抑悬c(diǎn)為P(2,1)，所以另一個(gè)交點(diǎn)為B(4－x,2－y).因?yàn)辄c(diǎn)A，B在橢圓上，所以x2＋4y2＝16，

①(4－x)2＋4(2－y)2＝16，

②從而A，B在方程①－②所形成圖形上，即在直線x＋2y－4＝0上.又因?yàn)檫^(guò)A，B直線只有1條，故所求直線方程為x＋2y－4＝0.解后反思25/34處理中點(diǎn)弦問(wèn)題，最慣用方法有兩種：一是把直線方程與曲線方程聯(lián)立，消元得一元二次方程，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和根與系數(shù)關(guān)系列關(guān)系式，進(jìn)而求出參數(shù)；二是設(shè)出弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)，不詳細(xì)求出，利用點(diǎn)差法整體表示直線斜率，進(jìn)而求出參數(shù).返回解后反思26/34當(dāng)堂檢測(cè)12345解析答案1.直線y＝x＋2與橢圓

＝1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m取值范圍是_______________.∵Δ>0，∴m>1或m<0.又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.(1,3)∪(3，＋∞)27/34解析答案123452.已知橢圓方程為2x2＋3y2＝m(m>0)，則此橢圓離心率為________.28/3412345解析答案依據(jù)橢圓性質(zhì)結(jié)合△ABF2特點(diǎn)，29/34解析答案123454.橢圓x2＋4y2＝36弦被點(diǎn)A(4,2)平分，則此弦所在直線方程為______.30/34解析答案12345解析設(shè)以點(diǎn)A(4,2)為中點(diǎn)橢圓弦與橢圓交于點(diǎn)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，∵點(diǎn)A(4,2)為EF中點(diǎn)，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，把E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)分別代入橢圓x2＋4y2＝36中，則①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴8(x1－x2)＋16(y1－y2)＝0，31/3412345整理得，x＋2y－8＝0.答案x＋2y－8＝032/34解析答案12345∴點(diǎn)M軌跡方程是x2＋y2＝c2，點(diǎn)M軌跡是以原點(diǎn)為圓心圓，其中F1F2為圓直徑.由題意知，橢圓上點(diǎn)P總在圓外，∴OP>c恒成立，由橢圓性質(zhì)知OP≥b，∴b>c，∴a2