2025年蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)寒假專練：圓、圓心角、圓周角（解析版）

專題02圓、圓心角、圓周角

嫌內(nèi)容早知道

。鞏固提升練（9大題型）

目錄

題型一圓的相關(guān)概念............................................................................1

題型二圓的周長和面積問題...................................................................3

題型三圓心角概念辨析........................................................................5

題型四利用弦弧圓心角的關(guān)系求解...........................................................7

題型五利用弦弧圓心角的關(guān)系證明..........................................................10

題型六圓周角的概念及其定理................................................................12

題型七同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等..........................................................15

題型八直徑所對(duì)圓周角的有關(guān)性質(zhì)求解........................................................17

題型九圓內(nèi)接四邊形的相關(guān)問題..............................................................19

。能力提升練

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

題型一圓的相關(guān)概念

☆技巧積累與運(yùn)用

圓的描述概念

如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段。繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)/隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形

叫

圓，固定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段。/叫做半徑.以點(diǎn)。為圓心的圓，記作，讀作“圓

例題：（24-25九年級(jí)上?福建福州?階段練習(xí)）下列說法，正確的是（）

A.優(yōu)弧大于劣弧B.平分弦的直徑垂直于弦

C.相等的圓心角所對(duì)的弧相等D.直徑所對(duì)圓周角是直角

【答案】D

【分析】此題主要考查了圓的有關(guān)概念，熟練掌握相關(guān)概念是解決此題的關(guān)鍵.根據(jù)圓的有關(guān)概念進(jìn)行逐項(xiàng)

辨析即可得解.

【詳解】/、同圓或等圓中，優(yōu)弧一定大于劣弧，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8、平分弦的直徑，當(dāng)被平分的弦是直徑時(shí)，直徑不垂直于弦，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、直徑所對(duì)圓周角是直角，故該選項(xiàng)正確；

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級(jí)下?山東荷澤?期末）下列說法中：

①兩條直線被第三條直線所截，截得的同位角相等；

②同角或等角的余角相等；

③從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離；

④過圓內(nèi)一點(diǎn)作出的最長弦只有一條；

⑤所有邊的長度都相等的多邊形叫做正多邊形.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）.

1個(gè)2.2個(gè)C.3個(gè)D4個(gè)

【答案】A

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，同角或等角的余角相等，點(diǎn)到直線的距離，正多邊形的定義，熟

知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，故①不符合題意；

同角或等角的余角相等，故②符合題意；

從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做這點(diǎn)到直線的距離，故③不符合題意；

過圓內(nèi)一點(diǎn)（非圓心）的無數(shù)條弦中，有且只有一條最長的弦，也有且只有一條最短的弦，故④不符合題

思；

所有邊的長度都相等，所有角都相等的多邊形叫做正多邊形，故⑤不符合題意；

即：正確的有②，共1個(gè)，

故選：A.

2.（23-24九年級(jí)上,湖南湘西,期末）如圖，是。。的直徑，C是比t延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)。在。。上，且

CD=OA,CD的延長線交。。于點(diǎn)若NE=30。，那么NC=.

【答案】15。/15度

【分析】本題考查圓的認(rèn)識(shí)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì).熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和三角

形外角性質(zhì)是關(guān)鍵.

連接利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)證明NE=2NC,即可解決問題.

【詳解】解：連接

E

OD—OA—OE，

?；CD=OA,/￡=40。，

/.CD=OD=OE,

ZC=NDOC,NE=NODE,

.?.NE=ZODE=NC+/DOC=2ZC,

???2ZC=AE=30°,

/.ZC=15°.

故答案為：15。.

題型二圓的周長和面積問題

☆技巧積累與運(yùn)用

圓的周長圓的面積,；

例題：（22-23九年級(jí)上?河北保定?期末）"易有太極，始生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦"，太極圖是我

國古代文化關(guān)于太極思想的圖示，內(nèi)含表示一陰一陽的圖形（一黑一白）.如圖，在正方形的內(nèi)切

圓中畫出太極圖，然后在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自太極圖中黑色部分的概率是（）

【答案】B

【分析】為了方便求解令正方形的邊長為1，那么圓的直徑也就是1,可以表示出正方形和圓的面積，利用

圖形的對(duì)稱性可以得到太極圖黑色和白色部分各占圓的一半，這樣就能得出最后結(jié)果.

【詳解】設(shè)正方形邊長為1,

???正方形面積耳=1x1=1,

圓的直徑為1,則半徑為

.??圓的面積邑=萬]￡|=（，

太極圖是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，所以黑色和白色部分各占圓面積的一半,

太極圖黑色部分面積邑=：邑=：*?=￡,

???所求概率為

J]O

故選8.

【點(diǎn)睛】本題考查了內(nèi)切圓的知識(shí)，圓和正方形的面積，以及旋轉(zhuǎn)圖形的對(duì)稱性，利用對(duì)稱性得出黑色部

分占太極圖的一半是解答本題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級(jí)上?山東濰坊?期末）已知8人圍繞一個(gè)半徑為80厘米的圓桌就坐，每人離圓桌的距離均

為10厘米，又加入兩人后，每人向后挪動(dòng)了相同的距離，再左右調(diào)整位置，使10人都坐下，并且10人之間

的距離與原來8人之間的距離（即在圓周上相鄰兩人之間的圓弧的長）相等.設(shè)每人向后挪動(dòng)的距離為工厘

A.2兀（80+10）x8=2TI（80+X）X10B.2兀（80+10—x）x10=2兀（80+10）x8

2K（80+X）27ix802兀（80+10）2K（80+10+X）

C.---------------=-----------

108810

【答案】D

【分析】本題主要考查了圓的周長的計(jì)算,正確根據(jù)10人之間的距離與原來8人之間的距離（即在圓周上兩

人之間的圓弧的長）相等列方程是解題的關(guān)鍵.設(shè)每人向后挪動(dòng)的距離是xcm,則這10個(gè)人在以

（80+10+x）cm為半徑的圓周上，根據(jù)10人之間的距離與原來8人之間的距離（即在圓周上兩人之間的圓弧

的長）相等，即可列方程求解.

【詳解】解：設(shè)每人向后挪動(dòng)的距離為x厘米.

根據(jù)題意得：2兀網(wǎng)+1。）=2兀（8。+1。+力

810

故選：D.

2.（23-24九年級(jí)上?河南?期末）如圖，周長為16的正方形A8C。中，E、尸分別為AD、8c的中點(diǎn)，連

接所，以和CD為直徑的兩個(gè)半圓分別與斯相切，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留兀）.

【分析】根據(jù)圖形可知，陰影部分的面積是正方形的面積減去圓形的面積，再乘以據(jù)此即可求解.本

題考查了不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算，計(jì)算不規(guī)則圖形的面積一般是將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為通過對(duì)多個(gè)

規(guī)則圖形面積的加減來解答.

【詳解】???周長為16的正方形/BCD,

正方形的邊長4,

...圖中兩個(gè)半圓的直徑為4,

則其半徑為2,

根據(jù)圖形可知，陰影部分的面積是正方形的面積減去圓形的面積，再乘以十，

???陰影部分的面積為：下一兀乂七—要―？），

2

故答案為：8-2萬.

題型三圓心角概念鷗析

☆技巧積累與運(yùn)用

圓心角

頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

例題：（2024七年級(jí)上,全國?專題練習(xí)）如圖所示，//C2表示圓心角的是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了圓心角的判斷，根據(jù)定義解答即可.頂點(diǎn)在圓心，角的兩邊與圓周相交的角，叫作

圓心角.

【詳解】解：圖。中乙4cB是圓心角.

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級(jí)上?廣東惠州?期中）已知。。的直徑為10,48是。。的弦，AB=5,那么在G>O中弦42

所對(duì)的圓心角度數(shù)為.

【答案】60760

【分析】本題考查了圓心角，等邊三角形的判定與性質(zhì)，連接04、OB,證明△0/2為等邊三角形得到

ZAOB=60°即可，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

OA=OB=5,

而=5,

OA=OB=AB,

.?.△0/8為等邊三角形，

ZAOB=60°,

即弦42所對(duì)的圓心角是60。.

故答案為：60°.

2.（22-23九年級(jí)上?福建福州,階段練習(xí)）如圖，將大小不同的兩塊量角器的零度線對(duì)齊，且小量角器的中

心。2,恰好在大量角器的圓周上，設(shè)圖中兩圓周的交點(diǎn)為P,且點(diǎn)P在小量角器對(duì)應(yīng)的刻度為63。，那么點(diǎn)

P在大量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為.（只考慮小于90。的角）

【答案】54°

【分析】連接。1尸，。2尸，由點(diǎn)尸在小量角器對(duì)應(yīng)的刻度，可知NO]Q尸大小，再。。2=。1尸，可求得/尸。。2

即為點(diǎn)尸在大量角器上對(duì)應(yīng)的刻度.

【詳解】連接。1尸，。2尸，如圖所示：

???點(diǎn)P在小量角器對(duì)應(yīng)的刻度為63°,

ZO,O2P=63°,

002=尸，

ZOiO2P=ZOiPO2=63°,

NPOn=180。-2x63。=54。，

二點(diǎn)P在大量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為54°（只考慮小于90。的角）.

故答案為：54。.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓心角、等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理.熟練掌握用量角器上測量圓心角,

并能根據(jù)相關(guān)性質(zhì)求出各個(gè)角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵.

題型四利用弦弧圓心角的關(guān)系求解

☆技巧積累與運(yùn)用

弧、弦、圓心角的關(guān)系

1、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等.

2、在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量

都分別相等.

例題：（24-25九年級(jí)上?河北邢臺(tái)?階段練習(xí)）如圖，在。。中，滿足萬;不，若/8=6,則CD長可能

是（）

RD

A

A,1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】本題考查垂徑定理，弧、弦之間的關(guān)系，取凝中點(diǎn)E可得。=8￡>3,據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：取介中點(diǎn)E,連接0E交48于尸，連接3E,

r取益中點(diǎn)E，AB=6,

彘=2EB>BF=；4B=3,0E1AB,

BE>BF,即BE>3,

'-AB=2CD，

?6=前，

:CD=BE>3,

各個(gè)選項(xiàng)中CD長可能是4,

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級(jí)上?浙江湖州?階段練習(xí)）如圖，為。。的直徑，點(diǎn)C是筋的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作。

于點(diǎn)下，交。。于點(diǎn)。，若BE=6,BF=\,則。。的半徑長是（）

A.J10B.4C.5D.—

3

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理，弧、圓心角、弦之間的關(guān)系，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)垂徑定理和點(diǎn)C是弧3E的中點(diǎn)得從赤=①，而得出C0=8E=6,再利用勾股定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：連接。。，如圖，設(shè)。。的半徑為r,

A

■.■CDLAB,NB為。。的直徑，

:.BC=BD>CF=DF,

；點(diǎn)。是筋的中點(diǎn)，

:.CE=CB>

:.BE=CD

CD=BE=6

:.DF=-CD=3

2

???BF=\,OD=r

:.OF=r-l,

.-.32+(r-l)2=r2

解得：r=5

。。的半徑長是5,

故選C.

2.(24-25九年級(jí)上?遼寧大連?期中)如圖，已知N3是。。的直徑，點(diǎn)。是前的中點(diǎn)，ZAOC=70°,貝U4OD

的度數(shù)為.

【答案】55。/55度

【分析】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得N8OO=NC。。，再由

ZBOD+ZCOD+ZAOC=l80°計(jì)算ZBOD的度數(shù)即可.

【詳解】解：?.?點(diǎn)。是前的中點(diǎn)，

ZBOD=ZCOD,

ZAOC=70°,

2ZBOD=1SO0~ZAOC=180°-70°=110°,

ZBOD=55°.

故答案為：55。.

題型五利用弦弧圓心角的關(guān)系證日月

☆技巧積累與運(yùn)用

利用弧、弦、圓心角的關(guān)系證明相關(guān)結(jié)論

例題：（24-25九年級(jí)上?云南玉溪?期中）如圖，A,B,C,。是。。上的四點(diǎn)，且=則N8與CD

的大小關(guān)系為（）

A.AB>CDB.AB=CDC.AB<CDD.不能確定

【答案】B

【分析】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系.根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得出即可.

【詳解】解：?.?4D=8C,

■■AD=BC>

'-AD+AC=BC+AC,

即DAC=BCA，

AB=CD.

故選：B.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級(jí)上?江蘇南京?期中）如圖，在。。中，弦48的長度是弦長度的兩倍，連接ON,OB,

OC,OD,則//OB24coD.（填或"="）

【答案】>

【分析】本題考查垂徑定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系等，過點(diǎn)。作交N3于點(diǎn)尸，先根據(jù)垂徑定理

1------1

證明//=3/=萬/8,/E=BE，根據(jù)等弧所對(duì)的圓心角相等可得N40E=ZBOE=-ZA0B，再證＞CO,

可得NBOE>ZCOD,進(jìn)而推出4408>2ZCOD.

【詳解】解：過點(diǎn)。作交48于點(diǎn)尸，連接BE.

1------

AF=BF=-AB,AE=BE^

NAOE=NBOE^-ZAOB,

2

又,:AB=2CD,

BF=CD,

在RtZ\B￡尸中，BE>BF,

BE>CD,

：.NBOE>NCOD,

-ZAOB>ZCOD,

2

即NAOB>2ZCOD,

故答案為：>.

2.（24-25九年級(jí)上?甘肅隴南?期中）如圖，CD是。。的直徑，AC,AB,是。。的弦，AB//CD.

⑵如果弦42的長為8,42與CD間的距離是3,求8的長.

【答案】⑴見解析

⑵C0=1O

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線.

(1)過點(diǎn)。作。尸_LN8,延長。尸交。。于點(diǎn)E1,根據(jù)題意可得：CE=DE＞AE=BE＜推出北=而，

即可證明；

(2)根據(jù)垂徑定理可得4F=4,再根據(jù)勾股定理求出0/=5,即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，過點(diǎn)。作A8,延長。尸交。。于點(diǎn)E,

CD是。。的直徑，AB//CD,

…CE=DE，AE=BE，

??CE-AE=DE-BE即就=礪，

:.AC=BD；

(2)???OFLAB,

AF=-AB=4,

???ZB與CD間的距離是3,AB//CD,

:.OF=3,

OA=y]AF2+OF2=V42+32=5,

OC=OD=OA=5,

CD=OC+OD=10.

題型六圓周角的概念及其定理

☆技巧積累與運(yùn)用

1.圓周角定義：

像圖中//￡8、ZADB./4C8這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

2.圓周角定理：

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

1、頂點(diǎn)在圓上,它們的兩邊在圓內(nèi)的部分分別是圓的弦.

2、圓周角定理：

一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

3、圓心角定理：

圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。

推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑，高考物理。

3、圓周角的特點(diǎn)：（1）角的頂點(diǎn)在圓上；（2）角的兩邊在圓內(nèi)的部分是圓的弦.

4、圓周角和圓心角相對(duì)于圓心與直徑的位置關(guān)系有三種：解題規(guī)律：

5、解決圓周角和圓心角的計(jì)算和證明問題,要準(zhǔn)確找出同弧所對(duì)的圓周角和圓心角,然后再靈活運(yùn)用圓周

角定理

例題：（24-25九年級(jí)上?云南紅河?期中）下列語句中正確的是（）

A.相等的弧所對(duì)的圓周角也相等B.平分弦的直徑垂直于弦

C.圓的對(duì)稱軸是直徑D.三點(diǎn)確定一個(gè)圓

【答案】A

【分析】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，垂徑定理和確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

根據(jù)圓周角定理，垂徑定理，確定圓的條件和圓的對(duì)稱軸求解判斷即可.

【詳解】解：/、相等的弧所對(duì)的圓周角也相等，所以/選項(xiàng)正確；

2、平分弦（非直徑）的直徑一定垂直于該弦，所以8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、圓的對(duì)稱軸是直徑所在的直線，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D,不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，所以。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級(jí)上?福建廈門?期中）如圖，點(diǎn)4瓦。在。。上，點(diǎn)。在。。外，CD與。。交于點(diǎn)E,AC,

BE于點(diǎn)、F.下列角中，弧/E所對(duì)的圓周角是（）

A./ADEB./ABEC.ZAFED.NAOE

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角的定義，掌握?qǐng)A周角的定義是解題的關(guān)鍵.直接運(yùn)用圓周角的定義進(jìn)行判斷即

可.

【詳解】解：弧/￡所對(duì)的圓周角是：N4BE或NACE,

故選：B.

2.（21-22九年級(jí)上?江蘇常州?期中）如圖，CD是。。的直徑，點(diǎn)N在。C的延長線上，乙4=18。，4E交

OO于點(diǎn)3,且48=。。.則

【答案】540

【分析】根據(jù)圓的基本性質(zhì)，可得乙0EB=40BE,乙402=18。，從而得至!]40班=4。8石=乙4+乙4。8=36。，繼而

得到乙8OE=108。，即可求解.

【詳解】解：???CD是。。的直徑，

??OD=OE=OB,

???乙OEB=乙OBE,

?；AB=OD,

：.AB=OB,

^Z.AOB=Z.A,

山=18°,

山。慶］8。，

：.4OEB=KOBE=U+UOB=36°,

."OE=108°,

：./.EOD=180°-N5OE-^403=54°.

故答案為：54。

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型七同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等

☆技巧積累與運(yùn)用

圓周角的特點(diǎn)：（1）角的頂點(diǎn)在圓上；（2）角的兩邊在圓內(nèi)的部分是圓的弦.

圓周角和圓心角相對(duì)于圓心與直徑的位置關(guān)系有三種：解題規(guī)律：

解決圓周角和圓心角的計(jì)算和證明問題,要準(zhǔn)確找出同弧所對(duì)的圓周角和圓心角，然后再靈活運(yùn)用圓周角

定理

例題：（24-25九年級(jí)上?河北唐山?期中）如圖，點(diǎn)B,C均在。。上，若NOBC=23。,則//=

（）

A.67°B.68°C.62°D.72°

【答案】4

【分析】此題考查了圓周角定理、等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí).先利用等邊對(duì)等角求出

ZOCB=ZOBC=23°,由三角形內(nèi)角和定理求出NBOC=134。，最后由圓周角定理即可求出答案.

【詳解】解：???NOBC=23。，OB=0C,

ZOCB=ZOBC=23°,

ZBOC=180°-ZOCB-ZOBC=134°,

.-.ZA=-ZBOC=67°,

2

故選：A

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級(jí)上?吉林松原?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)/,B,C,D都在。。上，02L0C,若//=65。，則

NCOD的度數(shù)為（

A.30°B.35°C.40°D.45°

【答案】C

【分析】本題主要考查了圓周角定理，垂線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵：在同圓

或等圓中，一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

根據(jù)圓周角定理可得NBOD=2//=130。，由_LOC可得/30C=90。，再根據(jù)/COD=N8OD-28OC

即可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)圓周角定理可得：

N3OO=2//=65°x2=130°,

OB1OC,

.\ZBOC=90°,

ZCOD=ZBOD-NBOC=130。-90。=40°,

故選：C.

2.（2025?甘肅?模擬預(yù)測）如圖，△4BC內(nèi)接于。。，A8是。。的直徑，。是。。上一點(diǎn)，若C是麗的

中點(diǎn)，連接。C,8c=50。，則44CD=_.

【答案】10。/10度

【分析】此題考查了圓周角定理，等弧所對(duì)的圓心角相等，直角三角形兩銳角互余等知識(shí).

如圖所示，連接首先由直徑得到N/CB=90。，然后求出乙4=90。-/8=40。，根據(jù)圓周角定理得到

480c=2N/=80。，進(jìn)而求出/COD=NBOC=80。，然后求出乙4OD==20。，最后

利用圓周角定理求解即可.

【詳解】如圖所示，連接

???45是。。的直徑，

：.ZACB=90°

-ZOBC=50°

.??/4=90。一/5=40。

ABOC=2/A=80°

???。是麗的中點(diǎn)

-BC=CD

；.NCOD=NBOC=8U。

：,AAOD=\80°-/COD-ZBOC=20°

：.ZACD=-ZAOD=10°.

2

故答案為：10。.

題型八直徑所對(duì)圓周角的有關(guān)性質(zhì)求解

☆技巧積累與運(yùn)用

圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。

推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。

推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

例題：（24-25九年級(jí)上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）如圖48為直徑，448=30。，則/840為（）

A.30°B.50°C.60°D.55°

【答案】C

【分析】本題考查了圓周角定理，根據(jù)彳5=府，得出//皿=44CD=30。，再結(jié)合N8為直徑，所以

ZADB=90°,即可作答.

【詳解】解：?.?小;S，

:.NABD=NACD=30°,

■：AB為直徑，

ZADB=90°,

貝I]N84D=90°-30°=60°,

故選：C

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級(jí)上?陜西西安,階段練習(xí)）如圖，是。。的直徑，C、。是。。上的兩點(diǎn)，AC=AD，若

Z.AOD=50°,則-4的度數(shù)為（）

A.75°B.65°C.55°D.50°

【答案】B

【分析】先利用圓周角定理可得/曲=25°,然后利用G=得/田=25。，根據(jù)圓周角定理得

ZC=90°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答.

本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【詳解】解：,2/00=50。

■.ZABD=-Z/kZ>=25°

2

-■AC=AD

.-.ZABC=Z/W=25°,

???48是。。的直徑，

.-.ZC=90°,

：.AA=180°-ZC-Z/W=180°-90°-25°=65°.

故選：B.

2.（24-25九年級(jí)上?北京?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)4B,C,。在圓上，NC=90。，點(diǎn)。為蕊的中點(diǎn),

AC=l,DB=2,BC的值為.

c

D

【答案】V7

【分析】本題考查了半圓或直徑所對(duì)圓周角為直角，勾股定理，根據(jù)/C=90。，可得4B是直徑，根據(jù)點(diǎn)。

為罰的中點(diǎn)，可得4D=2D,根據(jù)勾股定理可得48=2收，在瓦A4BC中，運(yùn)用勾股定理即可求解.

?.-ZC=90°,

??.AB是直徑，

ZADB=90°,

,點(diǎn)。為益的中點(diǎn)，

?*.AD=BD=2,

???AB=-JAD2+BD2=722+22=2血，

在尺中，BC=dAB2-AC?=426j一廿="

故答案為：V7.

題型九圓內(nèi)接四邊形的相關(guān)問題

☆技巧積累與運(yùn)用

如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的

外接圓.如圖中的四邊形48。叫做。。的內(nèi)接四邊形，而。。叫做四邊形/BCD的外接圓.

定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角.

例題：(2025?甘肅蘭州?模擬預(yù)測)如圖，四邊形/8C。內(nèi)接于。O,連接40,DO,已知△4。。是等邊

三角形，。。是N4DC的平分線，貝U//8C=()

B

rr^-------

A.30°B.40°C.60°D.80°

【答案】C

【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的

關(guān)鍵.

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)計(jì)算即可.

【詳解】解:???△/”是等邊三角形，

ZODA=60°,

???。。是。的平分線，

ZODA=ZODC=60°,

ZADC=120°,

???四邊形內(nèi)接于oo,

ZADC+ZABC=180°f

=180°-120°=60°,

故選:C.

鞏固訓(xùn)練

1.（2021九年級(jí)?安徽?專題練習(xí)）如圖，四邊形4BCZ）內(nèi)接于OO,為直徑，zC=120°.若4）=2,則

AB的長為（）

八C

O

A.V3B.2C.2百D.4

【答案】D

【分析】連接OD,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出〃1=6（）。,得出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的

性質(zhì)得出。D=O/=4D=2,求出直徑即可.

【詳解】解：連接OD,

nc

???四邊形48co是。。的內(nèi)接四邊形，

.-.zJ+zC=180°,

vzC=120°,

?,.ZL4=60°,

，：OD=OA,

??.—）是等邊三角形，

-.AD=OD=OA,

-AD=2f

'.OA=OD=OB=2f

???43=2+2=4,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定，能根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出

4+/。=180。是解此題的關(guān)鍵.

2.（24-25九年級(jí)上?福建廈門?期中）如圖，四邊形是。。的內(nèi)接四邊形，AB=AD.若NC=70。,

則ZABD的度數(shù)為

【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形，等邊對(duì)等角，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，求出一/的度數(shù)，等邊對(duì)等

角，求出一/8。的度數(shù)即可.

【詳解】解：???四邊形A8CO是。。的內(nèi)接四邊形，ZC=70°,

.-.ZT1=180O-ZC=110O,

AB=AD,

ZABD=；（180。-乙1）=35。；

故答案為：35。.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

一、單選題

1.（24-25九年級(jí)上?江蘇常州?期中）如圖，N8是。。的弦，交。。于點(diǎn)C,點(diǎn)。是。。上一點(diǎn),

連接8。，CD.若NCDB=25。,則N/C2的度數(shù)為（）

A.100°B.155°C.130°D.125°

【答案】C

【分析】本題考查圓周角定理、垂徑定理及圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)/CD8=25。，結(jié)合圓周角定理求出

ZADB=50°,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得到//C2的度數(shù).

【詳解】解：如圖，連接4D,

???48是。。的弦，交。。于點(diǎn)C,

■AC=BC>

ZADC=ZCDB=25°,

ZADB=50°,

.-.Zy4C5=180°-50°=130°,

故選：C.

2.（24-25九年級(jí)上?全國?期末）如圖，四邊形4BCD是。。的內(nèi)接四邊形，40與5c的延長線交于點(diǎn)E,

氏4與的延長線交于點(diǎn)RNDCE=85。，N尸=28。，則NE的度數(shù)為（）

A.38°B.48°C.58°D.68°

【答案】4

【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理應(yīng)用，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì).根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出/B=ZDCE-ZF=85。-28。=57°，根據(jù)圓內(nèi)接

四邊形的性質(zhì)得出/BAD=ZDCE=85°,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果即可.

【詳解】解：：/DCE為ABC尸的外角，

/.ZB=NDCE-N尸=85°-28°=57°,

?..四邊形488是。。的內(nèi)接四邊形，

ABCD+ABAD=\^0°,

?：ADCE+ABCD=\^°,

：./BAD=ZDCE=85°,

：.ZE=180°-ZS-ABAD=38°,

故選：A.

3.（24-25九年級(jí)上?廣東廣州?期中）如圖，ZUBC中，NACB=90°,ZA=25°,以。為圓心、為半徑

的圓交/2于點(diǎn)。，則乙4CD=（）

【答案】B

【分析】本題考查了圓的有關(guān)概念，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，先求得再由等腰三角

形的性質(zhì)求出/BCD,則"CL?與/BCD互余，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì).

【詳解】解：,?,4C8=90。，乙4=25。，

：.ZB=65°,

?；CD=CB,

/B=/BCD=65。,

/.ZBCD=180°-ZB-ZBCD=180°-2x65°=50°,

.?./ZCZ）=90。-50。=40。，

故選：B.

4.（2025?甘肅蘭州?模擬預(yù)測）如圖，是OO的直徑，C,。是OO上兩點(diǎn)，BA平分/CBD,若

ZAOD=50°f則//的度數(shù)為（）

A.50°B.55°C.65°D.75°

【答案】C

【分析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，先根據(jù)角平分線的定義得到

ZABC=ZABD,再根據(jù)圓周角定理得到乙4c5=90。，ZABD=^ZAOD=25°,然后利用三角形的內(nèi)角和

定理求解即可.

【詳解】解：/平分NC8。，

ZABC=ZABD,

??,/8是。。的直徑，ZAOD=50°,

ZACB=90°,ZABD=-ZAOD=25°,

2

則ZABC=25°,

ZA=180°-ZC-/ABC=180°-90°-25°=65°,

故選：C.

5.（24-25八年級(jí)上?吉林長春?階段練習(xí)）如圖，在△ABC中48=75。，DEJ.AC于點(diǎn)E,交48于點(diǎn)

AE=CE,以點(diǎn)C為圓心◎長為半徑作弧，交。E于點(diǎn)尸，連結(jié)CF交N8于點(diǎn)G.若CG=FG=2,則

長為（）

A.2B.4C.26D.4若

【答案】B

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)

角和定理，靈活運(yùn)用等腰、等邊三角形性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵.

連接4尸，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得/尸=。/，結(jié)合題意證尸C是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形"三

線合一”可得/G4B=3O。，在△N8C中三角形內(nèi)角和定理求出N/C8=N8=75。，得出/8=/C=4.

【詳解】解：連接4尸，如圖.

-：DE±AC,AE=CE,

AF=CF,

由題意可知C尸=C4,

AF=CF=CA=4,

.??△/FC是等邊三角形，

ZACF=NCAF=60°,

-,CG=FG=1,

:.ZCAB=-ZCAF^?,0o,

2

???4=75。，

ZACB=ZB=1(180°-NCAB)=75°,

AB=AC=4,

故選：B,

二、填空題

6.（24-25九年級(jí)上,全國?期末）如圖，點(diǎn)A、B、C在。。上，44c2=43。，則'

【答案】86

【分析】本題考查了圓周角定理，能根據(jù)圓周角定理得出乙4。8=2乙4。8是解此題的關(guān)鍵.

直接根據(jù)圓周角定理即可得出答案.

【詳解】解：?.?N/C8=43°,

:.NAOB=2NACB=86。,

故答案為：86.

7.（24-25九年級(jí)上?浙江?期中）如圖，4B是。。的弦，C是優(yōu)弧力上一動(dòng)點(diǎn)，連接4C,BC,M,N分別

是4B,8C的中點(diǎn)，連接ACV.若48=8,ZACB=45°,則ACV的最大值為.

【答案】4亞

【分析】本題考查了三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)及圓周角定理，根據(jù)中位線定理得到

MN=；AC,推出當(dāng)/C取得最大值時(shí)，就取得最大值，當(dāng)/C是直徑時(shí)，/C最大，即可求解；

【詳解】解：..?點(diǎn)M，N分別是AB,2c的中點(diǎn)，

:.MN=-AC,

2

.?.當(dāng)/C取得最大值時(shí)，就取得最大值，當(dāng)NC是直徑時(shí)，NC最大，

連接力0,80,如圖所示：

是等腰直角三角形，

.■.AO=BO=—AB=442

2

二直徑為80

:最大=4也.

故答案為：4^/2.

8.（23-24九年級(jí)上,浙江杭州,期中）已知，如圖42,是。。的弦，NB=30。，點(diǎn)C在弦48上，連結(jié)

CO并延長交。。于點(diǎn)。，ND=35。，則/54D的度數(shù)是

D

【答案】65。/65度

【分析】本題考查圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出輔助線04,本題屬于基礎(chǔ)題

型.連接根據(jù)圓的半徑都相等即可求出答案.

【詳解】解:連接3,

OA=OB,

Z0AB=AOBA=30°,

OA=OD,

:.ZD=ZDAO=35°,

:.ZBAD=350+30°=65°,

故答案為：65°.

9.（24-25九年級(jí)上?山東泰安,階段練習(xí)）如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C,。都在上，且

Z.BAD=30°,ZCOD=60°,若/C=5,則42的長為.

【答案】10

【分析】本題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，證明A/OC是等邊三角形是本題的關(guān)鍵.

先根據(jù)圓周角定理，得NBOD=2NB4D=60。,再證明△/OC是等邊三角形即可.

【詳解】解：-.-ZBAD=30°,

ZBOD=2ZBAD=60°.

???ZCOD=60°,

ZAOC=180°-ZBOD-ZCOD=60°.

又O/=OC,

:.A/OC是等邊三角形.

OA=AC=5.

AB=2OA=10.

故答案為：10.

10.（24-25九年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）在。。中，為直徑，AB=10,點(diǎn)M、點(diǎn)N均在。。上,

MN1AB,將點(diǎn)8沿直線翻折，翻折后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，若4D=2,則"D的長為.

【答案】2廂或2A

【分析】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，連接。河，根據(jù)由折疊的性質(zhì)得出。3=8或12,

進(jìn)而求得。夕=1,由勾股定理求得尸然后根據(jù)勾股定理即可求得的長.

【詳解】解：連接加，

???將點(diǎn)B沿直線翻折，MN1AB,

；.PD=PB=LBD,AMPA=90°,點(diǎn)。在直線上，

2

為直徑，/8=10,

OA=OB=OM=5,

當(dāng)點(diǎn)。在線段4B上時(shí)，如圖，

DO

?.?/8=10,AD=2,

/.DB=AB—AD=8,DO=OA—AD=3,

；.PD=PB=—BD=4,

2

：.OP=DP-OD=\,

■■Rt△尸（W中，PM2=OM2-OP2=52-I2=24,

RtADPM中，DM=ylPD2+PM2="+24=2屈，

當(dāng)點(diǎn)。在線段NB外時(shí)，如圖,

M

???/8=10,AD=2,

：.DB=AB+AD=\2,D0=0A+AD=7,

.-.PD=PB=-BD=6,

2

：.OP=OD-DP=1,

R^APOM中,PM2=OM"-OP1=52-I2=24,

.?.RtanPM中，DM￡P(guān)D°+PM。=府+24=2a，

綜上所述，"D的長為2而或

故答案為：2廂或2妒.

三、解答題

11.（24-25九年級(jí)上?甘肅白銀?期中）如圖，CD是。。的直徑，3E是。。的弦，DC,匹的延長線相交

于點(diǎn)A,若N/=20。，CD=2AB.求ZE和的度數(shù).

【答案】NE=40。，NDOE=60。.

【分析】本題考查了圓的基本性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形外角的定義等知識(shí).連接8。，根據(jù)CD=2/2,

可得OB=OE=AB,結(jié)合NN=20。，根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形的外角性質(zhì)求解.

【詳解】解：連接2。，如圖，

■■CD是。。的直徑，CD=2AB,

OB=OE=AB,

OB=AB,

.-.ZA=ZBOA=20°,

AEBO=//+NBOA=40°,

：OB=OE,

ZE=ZEBO=40°9

??./DOE=/A+/E=6。。.

12.（24-25九年級(jí)上?福建廈門?期中）如圖，△48。中，AB=AC,以ZB為直徑作。O,交BC邊于點(diǎn)、D,

交CZ的延長線于點(diǎn)E,連接4。、DE.

⑴求證：BD=CD；

（2）若/8=5,4。=3,求。E的長.

【答案】（1）證明見解析

（2）DE=4

【分析】（1）由直徑所對(duì)的圓周角是直角可得4D/5C,再根據(jù)等腰三角形三線合一即可得到助=。。；

（2）由等腰三角形和圓周角定理可得NE=/C,即得Z）E=DC,再利用勾股定理求出80即可求解；

本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）證明：以呂是。。的直徑，

???NADB=90。,

即AD1BC,

???AB=AC,

：.BD=CDy

（2）W：-AB=AC,

???/B=/C,

???NB=/E,

??.ZE=ZC,

：.DE=DC,

-ZADB=90°,AB=5,40=3,

BD=CD=VAB2—AD2=A/52—32=4，

DE=4.

13.（24-25九年級(jí)下?全國?期中）如圖，四邊形是OO的內(nèi)接四邊形，是。。的直徑，

ZACB=30°,AB=2,點(diǎn)。為就的中點(diǎn).

⑴求。。的半徑；

⑵求/D4C的度數(shù).

【答案】⑴2

⑵ZD/C=30°

【分析】（1）首先根據(jù)圓周角定理得到N詡C=90。，然后根據(jù)含30。角直角三角形的性質(zhì)求出直徑，進(jìn)而

求解即可；

（2）首先求出48=60。，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到40=120。，然后根據(jù)點(diǎn)。為云的中點(diǎn)得到

AD=CD,進(jìn)而求解即可.

【詳解】（1）解：；8c是。。的直徑，

/.ABAC=90°,

AB=2,NACB=3Q°,

BC=2AB=4,

：.OB=OC=LBC=2；