2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：圖形的對(duì)稱 壓軸解答題練習(xí)題（含答案解析）

2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：圖形的對(duì)稱壓軸解答題練習(xí)題

解答題(共25小題)

1.如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)、D是BC邊上一點(diǎn)、(點(diǎn)。不與8,C重合)連接A。，點(diǎn)。關(guān)于

直線A8的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,連接。E交A8于點(diǎn)N.在上取一點(diǎn)尸，使/EFD=/BAC,延長(zhǎng)跖交

AC于點(diǎn)G.

(1)若/BAD=a,求/AGE的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示)；

(2)用等式表示線段CG與Z5E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

2.在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=2,BC=4,AC的中垂線DE交AC于。，交BC于點(diǎn)E.

(1)如圖1,連接AE,則AE=；

(2)如圖2,延長(zhǎng)。E交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R連接CR請(qǐng)求出CF的長(zhǎng)；

(3)如圖3,點(diǎn)P為直線DE上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+PQ的最小值

3.(1)如圖1,已知在正方形ABCD中，點(diǎn)E、尸分別在邊BC、。。上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)NEAF=45°時(shí)，求證:

DF+BE=EF；

(2)如圖2,若將直角三角形ABC沿斜邊翻折得到且/2=/。=90°,點(diǎn)及尸分別在邊BC、

。。上運(yùn)動(dòng)，且4瓦49=緊84￡>,試猜想⑴中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)加以說明.

4.進(jìn)行了如下的操作:

圖1

操作一：如圖1,將RtaABC紙片沿某條直線折疊，使斜邊兩個(gè)端點(diǎn)A與B重合，折痕為DE.

(1)如果AC=5cm,BC=】cm,可得△ACZ)的周長(zhǎng)為；

(2)如果NCA￡＞：/BAD=1：2,可得NB的度數(shù)為；

操作二：如圖2,李靜拿出另一張Rt^ABC紙片，將直角邊AC沿直線。折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合,

若AB=10aw,BC=8cm,請(qǐng)求出BE的長(zhǎng).

5.如圖，在△ABC中，AB^AC,AB的垂直平分線交48于N,交AC于M.

(1)若/8=70°,則/MWA的度數(shù)是.

(2)連接MB,若AB=8aw,△MBC的周長(zhǎng)是14a”.

①求BC的長(zhǎng)；

②在直線MN上是否存在點(diǎn)尸，使由P,B,C構(gòu)成的△PBC的周長(zhǎng)值最??？若存在，標(biāo)出點(diǎn)P的位置

并求△PBC的周長(zhǎng)最小值；若不存在，說明理由.

6.根據(jù)以下素材，解決問題:

因收納需要，常常會(huì)準(zhǔn)備一些無(wú)蓋紙盒，現(xiàn)將長(zhǎng)為8,寬為4的長(zhǎng)方形彩紙進(jìn)行裁剪，用來裝飾豎式、

橫式的無(wú)蓋紙盒.裝飾豎式、橫式的無(wú)蓋紙盒.

4

素材1彩紙的裁剪方案:

A方案B方案

4

44

C方案D方案

素材21個(gè)豎式無(wú)蓋紙盒所需彩紙1個(gè)橫式無(wú)蓋紙盒所需彩紙

問題解決

問題1現(xiàn)有彩紙17張，若只裝飾豎式無(wú)蓋紙盒，選用素材1中的兩種裁剪方案，要求裁剪無(wú)余料，

且17張彩紙裁剪所得的紙片恰好全部用完，則應(yīng)選擇的兩種裁剪方案是,一共

可以做成多少只豎式無(wú)蓋紙盒？請(qǐng)寫出你的解答過程.

問題21若裝飾豎式和橫式兩種無(wú)蓋紙盒共2022個(gè)，選用素材1中的兩種裁剪方案，要求裁剪后無(wú)余

料，且裁剪所得的紙片恰好全部用完，則至少需要多少?gòu)埐始垼?/p>

7.教材呈現(xiàn)：華師版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七下第82頁(yè)的部分內(nèi)容.

(1)對(duì)于上述問題，在解答過程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容(理由或數(shù)學(xué)式).

如圖，在△ABC中，ZABC=80°,/ACB=

50°,8尸平分NABC,CP平分NAC8,求/

BPC的度數(shù).

解：「BP平分NA8C（已知），

11

，乙PBC=^ABC=1x80°=40°.

同理可得NPC5=

O

,/ZBPC+ZPBC+ZPCB^180°

（_______________）,

ZBPC=180°-ZPBC-ZPCB（等式的性

質(zhì)）

=180°-40°-__________

問題推廣：

(2)如圖1,在△ABC中，ZABC.NACB的角平分線交于點(diǎn)尸，將△ABC沿。E折疊使得點(diǎn)A與點(diǎn)

尸重合，若Nl+N2=108°,求N8PC的度數(shù)；

(3)如圖2,在△A8C中，NBAC的角平分線與△ABC的外角的角平分線交于點(diǎn)P,過點(diǎn)8作

于點(diǎn)H,若乙4c8=84°，則/尸度.

活動(dòng)主設(shè)計(jì)一款日常的多功能椅子

題

素材1座椅是我們?nèi)粘Ｉ钪胁豢苫蛉钡囊徊糠?，無(wú)論在辦公室、家里還是車輛中，我們都需要

座椅來提供舒適的工作和休息.

圖1是某折疊式靠背椅的實(shí)物圖.圖2是椅子合攏狀態(tài)的側(cè)圖示意圖，其中椅面、靠背和

椅腿在側(cè)面示意中分別對(duì)應(yīng)CE,FG、8尸和A。，椅腿A。，8C可繞連結(jié)點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)，椅面

底部有一根可以繞點(diǎn)X轉(zhuǎn)動(dòng)的連桿用），靠背與椅腿的夾角NGF2在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中形狀保持

不變.此時(shí)椅面CE和靠背FG平行.注：三角形內(nèi)角和為180。

素材2圖3是折疊椅打開狀態(tài)的示意圖，連桿HD與椅腿AD夾角ZHDA變小，使HD與椅面CE

貼合，此時(shí)椅面CE與地圖平行.

G

素材3座椅的設(shè)計(jì)與人體工學(xué)原理密切相關(guān)，一把人體工學(xué)期標(biāo)合理的座椅，可以起到減輕腿部

肌肉的負(fù)擔(dān)、降低能耗、使血液運(yùn)行通暢、防止骨骼變形等作用.現(xiàn)代人體工學(xué)用椅靠背

建議傾斜角度一般在105°?120°,現(xiàn)對(duì)折疊椅進(jìn)行重新設(shè)計(jì)，使之既能滿足多種需要，

又能基本滿足人體工學(xué)對(duì)椅背的要求.

素材4通過將靠背與椅腿8尸的夾角從固定角變?yōu)榭烧{(diào)節(jié)角，在原來的基礎(chǔ)上增加2個(gè)卡檔,

在椅面CE下H點(diǎn)、與E點(diǎn)之間設(shè)置成三個(gè)卡檔，來調(diào)整靠育GF和椅面CE的角度以滿足

不同的需要，圖4是舒適檔.椅面傾角a為椅面與水平地面的夾角，逆時(shí)針為正傾角，順

時(shí)針為負(fù)傾角.靠背傾角P為靠背GF的延長(zhǎng)線與椅面EC的延長(zhǎng)線的夾角.

檔位參數(shù)測(cè)量數(shù)據(jù)圖示

舒適檔靠背傾角105°

椅面傾角a10°

工作檔靠背傾角95°

任務(wù)1根據(jù)素材1：回答問題：當(dāng)折疊椅在合攏狀態(tài)時(shí)，測(cè)得N￡CB=150°,/OBA=70°,延

長(zhǎng)GF,與地面54的夾角為a,求a.

任務(wù)2根據(jù)素材1,2,回答問題：當(dāng)折疊椅打開狀態(tài)時(shí)，延長(zhǎng)GF交AB于點(diǎn)/,探究與/

尸CE的數(shù)量關(guān)系.

任務(wù)3根據(jù)素材3,4,回答問題：

從舒適檔調(diào)整為工作檔時(shí)，椅腿FB與地面AB的夾角始終為0.

①請(qǐng)用0表示舒適檔時(shí)靠背GF與椅腿BF的夾角NGFB=.

②求從舒適檔調(diào)整為工作檔調(diào)整過程中，靠背GE需要轉(zhuǎn)過多少度？

9.如圖1,有一張矩形紙片ABC。將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再展開，折痕EE交

邊于點(diǎn)E,交8c邊于點(diǎn)F,分別連接ARCE和AC(如圖2).

(1)求證：①△AOEgZXCOF；②四邊形AFCE是菱形；

圖1圖2

10.(1)發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形A8CZ)中，E為A。邊上一點(diǎn)，將△AEB沿3E翻折到處,

延長(zhǎng)所交C￡＞邊于G點(diǎn)，求證：ABFG咨ABCG.

(2)探究：如圖②，在矩形A8CD中，E為邊上一點(diǎn)，且AO=8,AB=6.將AAEB沿BE翻折到

ABEF姓,延長(zhǎng)EF交8C邊于G點(diǎn)，延長(zhǎng)8尸交CD邊于點(diǎn)“，且FH=CH,直接寫出AE的長(zhǎng).

11.如圖，為探究一類矩形ABCO的性質(zhì)，小明在8c邊上取一點(diǎn)E,連接DE,經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)。E平分

NAOC時(shí)，將△ABE沿AE折疊至△Af'E,點(diǎn)尸恰好落在上，據(jù)此解決下列問題:

(1)求證：4AFD沿LDCE；

(2)如圖，延長(zhǎng)CF交AE于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)、H.求證：EF-DF=GF-CF.

12.如圖，C為線段8。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)8,。作A8_L8。，EDLBD,連接AC,EC.已知AB

=5,DE=1,BD=8,設(shè)C￡)=x.

(1)用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng)；

(2)請(qǐng)問：點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最?。壳蟪鲞@個(gè)最小值.

(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式+4+J(12-x)2+9的最小值.

13.如圖1,矩形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在A。，8c上，將矩形ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)C落在

上的一點(diǎn)H處，點(diǎn)。落在點(diǎn)G處，EF與4C交于點(diǎn)。.

(1)求證：四邊形CfWE是菱形；

(2)如圖2,AB=4,8C=8,點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，求。尸的長(zhǎng).

G

14.如果兩個(gè)角之差的絕對(duì)值等于60°,則稱這兩個(gè)角互為等差角，即若|Na-/0|=60°,則稱Na和

NB互為等差角.(本題中所有角都是指大于0°,且小于180°的角)

(1)若/I和/2互為等差角.當(dāng)Nl=40°,則/2=.當(dāng)/1=90°，則/2

(2)如圖1,將一長(zhǎng)方形紙片沿著EP對(duì)折(點(diǎn)P在線段BC上,點(diǎn)E在線段AB上)使點(diǎn)B落在點(diǎn)B.若

ZEPB'與/夕PC互為等差角，求NBPE的度數(shù)；

(3)再將紙片沿著FP對(duì)折(點(diǎn)F在線段或上)使點(diǎn)C落在點(diǎn)C'.如圖2,若點(diǎn)、E,C,P

在同一直線上，且/夕PC與NEPF互為等差角,求NEPF的度數(shù)(對(duì)折時(shí)，線段尸8'落在NEPF

內(nèi)部).

15.己知點(diǎn)A(xi,yi),B(%2,")，則AB之間的距離為一切尸+(為一內(nèi)尸.

(1)若已知點(diǎn)A(-l,1),B(1,0),求線段AB的長(zhǎng)；

(2)在(1)的條件下，若存在點(diǎn)C8,》，請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說明理由；

(3)若y=7妤—2乂+5+75—6%+45,求當(dāng)x為何值時(shí)，y取最小值.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E在原點(diǎn)，點(diǎn)。(0,2),點(diǎn)尸(1,0),線段。E和EF構(gòu)成一個(gè)“L”

形，另有點(diǎn)4(7,5),點(diǎn)8(7,-1),點(diǎn)C(6,-1),連A。，BE,CF.若將這個(gè)“L”形沿y

軸上下平移，當(dāng)AD+OE+BE的值最小時(shí)，E點(diǎn)坐標(biāo)為；若將這個(gè)“L”形沿x軸左右平

移，當(dāng)AO+OE+EP+B的值最小時(shí)，E點(diǎn)坐標(biāo)為.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(-3,0),點(diǎn)8(-1,5).

(1)①畫出線段A8關(guān)于y軸對(duì)稱的線段CD；

②在y軸上找一點(diǎn)尸使叢+PB的值最小(保留作圖痕跡)；

(2)按下列步驟，用不帶刻度的直尺在線段C￡＞找一點(diǎn)0使NA4Q=45°.

①在圖中取點(diǎn)E,使得BE=BA,且則點(diǎn)￡的坐標(biāo)為

②連接AE交8于點(diǎn)。，則點(diǎn)。即為所求.

18.對(duì)于特殊四邊形，通常從定義、性質(zhì)、判定、應(yīng)用等方面進(jìn)行研究，我們借助于這種研究的過程與方

法來研究一種新的四邊形--------箏形.

定義:在四邊形ABCD中，若AB=AD,BC=CD,我們把這樣四邊形ABC。稱為箏形

性質(zhì)：按下列分類用文字語(yǔ)言填寫相應(yīng)的性質(zhì)：

從對(duì)稱性看：箏形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是;

從邊看：箏形有兩組鄰邊分別相等；

從角看：;

從對(duì)角線看：.

判定：按要求用文字語(yǔ)言填寫相應(yīng)的判定方法，補(bǔ)全圖形，并完成方法2的證明.

方法1：從邊看：運(yùn)用箏形的定義；

方法2：從對(duì)角線看：；

如圖，四邊形4BCD中，.求證：四邊形ABCD是箏形

應(yīng)用：如圖，探索箏形ABC。的面積公式(直接寫出結(jié)論).

19.如圖1,有5個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的紙片，可以把它剪拼成一個(gè)正方形.

(1)拼成的正方形的面積是,邊長(zhǎng)是；

(2)仿照上面的做法，你能把下面這十個(gè)小正方形組成的圖形紙，剪開并拼成一個(gè)大正方形嗎？若能，

在圖2中畫出拼接后的正方形，并求邊長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理

由.圖1圖2

20.如圖，在矩形A8CD中，AB=10,16,點(diǎn)E在射線8c上，連接AE,將AABE沿AE折疊，使

得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)斤處.

(1)若點(diǎn)￡為的中點(diǎn)，連接C8,判斷AE與C8的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若點(diǎn)8落在矩形內(nèi)，且在矩形的對(duì)稱軸上，求BE的長(zhǎng)；

(3)連接若以點(diǎn)A、B'、。為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，直接寫出8E的長(zhǎng).

D

C

備用圖

21.在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)"(0,機(jī))且平行于x軸的直線記作直線>=機(jī).給出如下定義：①把

一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸

對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱軸經(jīng)過對(duì)稱點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，并且垂

直于這條線段②將點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)記作點(diǎn)Pi,再將點(diǎn)Pi關(guān)于直線y=m的對(duì)稱點(diǎn)記作點(diǎn)

P2,則稱點(diǎn)尸2為點(diǎn)尸(x,y)關(guān)于y軸和直線y=機(jī)的”青一對(duì)稱點(diǎn)”.例如：點(diǎn)P(3,1)關(guān)于y軸和

直線y=3的”青一對(duì)稱點(diǎn)”為點(diǎn)尸2(-3,5).

(1)點(diǎn)A(3,4)關(guān)于y軸和直線y=l的“青一對(duì)稱點(diǎn)”4的坐標(biāo)是；

(2)點(diǎn)B(3m+n,m-n)關(guān)于y軸和直線y=m的”青一對(duì)稱點(diǎn)”B1的坐標(biāo)是(-9,5),求m和n

的值；

(3)若點(diǎn)C(6尤-5,2尤+1)關(guān)于y軸和直線＞=機(jī)的“青一對(duì)稱點(diǎn)”C2在第二象限，且滿足條件的x

的整數(shù)解有且只有一個(gè)，求機(jī)的取值范圍.

22.如圖，在正方形A8CD中，尸為邊4?上一點(diǎn)，E為邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=AF,連接EF,與

對(duì)角線AC相交于點(diǎn)G.

(7)求證：FG=EG；

(II)求證：AF+AD=V2XG；

(III)連接8G,點(diǎn)P,M,N分別是4BGE三條邊BE,8G,EG上的動(dòng)點(diǎn),若AO=6,AF=2,求PM+PN

的最小值(直接寫出結(jié)果即可).

AD

BCE

23.如圖，ZkABC中，NA=30°,ZACB^ZABC,D是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD將△ACD沿CD翻

折后得到△AC。，射線CA與射線AB相交于點(diǎn)E.

(1)若△AOE是直角三角形，求NAC。的度數(shù)；

(2)若DE中有兩個(gè)角相等,求ZACD的度

數(shù).A備用圖1備用圖2

24.(1)如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊8c和AB上，DF=AE.求證：DF±AE；

(2)如圖2,在矩形ABC。中，將四邊形A尸GZ)折疊，得到四邊形EFGP,EP交CD于點(diǎn)H,點(diǎn)A落

AD34

在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕交邊于尸，交邊CD于G,連接AE交GP于點(diǎn)。.若一=且tcm/CGP=

AB43

GF=3亞,求AE與CP的長(zhǎng).

25.如圖①，在長(zhǎng)方形A8CO中，已知AB=10,AD=6,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿

線段DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，連接AP,把△ADP沿著AP翻折得到△人￡P(guān).

(1)如圖②，射線PE恰好經(jīng)過點(diǎn)2,試求此時(shí)t的值.

(2)當(dāng)射線PE與邊AB交于點(diǎn)。時(shí)，是否存在這樣的/的值，使得QE=Q8?若存在，請(qǐng)求出所有符

合題意的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案與試題解析

解答題(共25小題)

1.如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)。是BC邊上一點(diǎn)(點(diǎn)。不與8,C重合)BD<CD,連接A。，點(diǎn)。關(guān)于

直線A8的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,連接。E交A8于點(diǎn)N.在A。上取一點(diǎn)尸，使/EFD=N8AC,延長(zhǎng)跖交

AC于點(diǎn)G.

(1)若NBAD=a,求/AGE的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示)；

(2)用等式表示線段CG與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力.

【答案】(1)60°+a；(2)CG=竽。E.

【分析】(1)由三角形內(nèi)角和定理及外角定理結(jié)合即可求解；

(2)在CG上截取CM=BD,連接BE,BM交AD于點(diǎn)H,連接BE,AE,再證明四邊形E3MG

是平行四邊形，可得CG=2BD,記A3與。E的交點(diǎn)為點(diǎn)N,則由軸對(duì)稱可知：DE±AB,NE=ND,

再解RtABND即可.

【解答】解：⑴如圖1,

：△ABC是等邊三角形,

，ZBAC=60°

■:/EFD=NBAC,

：.ZEFD=6QQ,

9：ZEFD=Zl+ZBAD=ZUa,

Zl=60°-a,

?.?NAGE+N1+NBAC=18O°,

ZAGE=18O°-60°-Zl=120°-Zl,

ZAGE=120°-(60°-a)=60°+a；

(2)CG=理由如下：

如圖2中，在CG上截取CM=B。，連接8M,BE,AE,交A0于點(diǎn)”,

???△5C4為等邊三角形，

AZABC=ZC=60°,BC=AB,

.?.△ABDmABCM(SAS),

???N3=N4,

,/NAHM=N3+N5,

ZAHM=Z4+Z5=60°,

'：ZEFD=ZBAC=60°,

/AHM=/EFD,

:?EG〃BM,

丁點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,

：.AE=AD,BE=BD,ZABE=ZABC=60°,

.?.ZEBC=120°,

.\ZEBC+ZC=180o,

J.EB//AC,

???四邊形EBMG是平行四邊形，

：.BE=GM,

；?BE=GM=BD=CM,

:?CG=2BD,記AB與。石的交點(diǎn)為點(diǎn)N,則由軸對(duì)稱可知：DE±AB,NE=ND,

在RtADA?中，DN=BD?sin/ABC=導(dǎo)BD,

：.DE=2DN=V3BD,

.CG2BD2V3

"DE一取BD―3'

：.CG=緣DE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和，外角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì),

解直角三角形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵

2.在中，ZB=90°,AB=2,8C=4,AC的中垂線DE交AC于。，交BC于點(diǎn)E.

(1)如圖1,連接AE,則AE=-；

-2-

(2)如圖2,延長(zhǎng)。E交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R連接CR請(qǐng)求出CP的長(zhǎng)；

12

(3)如圖3,點(diǎn)P為直線。E上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+P。的最小值為_事_.

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問題；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】幾何綜合題；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；推理能力.

【答案】(1)-；

2

(2)5；

12

(3)——.

5

【分析】(1)先由線段垂直平分線的性質(zhì)得AE=CE,設(shè)A￡=CE=尤，則8E=BC-CE=4-x,在Rt

△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

(2)先由線段垂直平分線的性質(zhì)得設(shè)AP=CP=y,則2尸=>-2,在RtZXBb中，由勾股

定理得出方程，解方程即可；

(3)連接CB,過2作尸于交直線。E于P,如圖3所示：

【解答】解：(1)是AC的中垂線，

：.AE=CEf

設(shè)AE=CE=x,貝ljBE=BC-CE=4-x,

在RtZVIBE中，由勾股定理得：22+(4-x)2=7,

解得：%=

即AE=

,—，5

故r答案為：~；

(2)TOE是AC的中垂線，

：.AF=CF,

設(shè)AF=CF=y,則3尸=>-2,

在RtZXBC/中，由勾股定理得：(y-2)2+42=/,

解得：y=5,

即。月的長(zhǎng)為5；

(3)方法一：連接CR過5作尸于交直線QE于P,過P作尸于如圖3所示:

???。6是AC的中垂線，

：.AF=CFf

：.NAFD=NCFD,

VP'MXCF,PQLBF,

：.PM=PQ,

則點(diǎn)M與。'關(guān)于DE對(duì)稱，此時(shí)BPy+P'M=BP'^PQ,

即BP+PQ的值最小=3M,

由(2)得：AF=CF=5,AB=2,

：.BF=AF-AB=3,

9：ZCBF=180°-ZABC=90°,

ii

???ABCF的面積=^CFXBM=^BFXBC

.BFxBC3x412

..BM=-—=—=-p-,

CF55

12

即BP+PQ的最小值為m，

故答案為：—.

方法二：

作點(diǎn)B關(guān)于OE的對(duì)稱點(diǎn)肛交。尸于G,過點(diǎn)〃作HQLAB于。，交DE于點(diǎn)P,如圖4所示:

則點(diǎn)P、Q就是使BP+PQ最小的點(diǎn)，

由對(duì)稱得：ZAFD=ZCFD,ZAFD=ZHFD,BP=HP,FB=FH,

：.ZCFD^ZHFD,

.,.點(diǎn)C、H、尸三點(diǎn)共線.BP+PQ=HP+PQ=HQ,

由“垂線段最短”得：8P+PQ的最小值為

在等腰△Bf'H中，'：FB=FH,過8作于

:.HQ=BM(等腰三角形兩腰上的高相等).

由方法一得：BM=

12

C.BP+PQ的最小值為g.

,,……,12

故答案為：—.

圖3

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題目，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及三角形

面積等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

3.(1)如圖1,已知在正方形ABC。中，點(diǎn)E、尸分別在邊8C、0c上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)/EA尸=45°時(shí)，求證:

DF+BE=EF；

(2)如圖2,若將直角三角形ABC沿斜邊翻折得到△ADC,且/8=/。=90°,點(diǎn)E、F分別在邊BC、

OC上運(yùn)動(dòng)，S.AEAF=^ABAD,試猜想(1)中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)加以說明.

【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【專題】證明題；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；推理能力.

【答案】(1)證明過程見解答；

(2)(1)中的結(jié)論仍然成立，理由見解答.

【分析】(1)把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△AZJG,然后推出NAFG=/APE=45°,判定

△AFG名AAFE,得至!j然后等量代換即可解決問題；

(2)把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ADG,然后推出NAFG=/BA。，判定△AFG

0△AFE,得到FG=ER然后等量代換即可推出上面的結(jié)論仍然成立.

【解答】(1)證明：如圖1,把△A2E繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使與4。重合，得到△AOG,

：.AG=AE,ZDAG=ZBAE,

:四邊形ABC。是正方形，

...NA￡)G=/A8E=/A￡)F=N3AD=90°,

...點(diǎn)C、D、G三點(diǎn)共線，

'：ZBAD=90°,ZEAF=45°,

AZBAE+ZDAF^90°-45°=45°,

又；/DAG=NBAE,

：.ZDAG+ZDAF=45°,

即/曲G=NME,

XVAG=A￡,AF=AF,

:.△AFGQXAFE(SAS),

:.FG=FE,

5L'：FG^FD+DG,DG=BE,

：.DF+BE=EF-,

(2)解：(1)中的結(jié)論仍然成立，理由如下：

如圖2,把△A8E繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使與重合，得到△AOG,

圖2

：.AG=AE,ZDAG=ZBAE,

：/B=NAOC=90°,

：.ZADG=ZABE=ZADF=90°,

...點(diǎn)C、D、G三點(diǎn)共線，

1

,/ZEAF=寺/BAD,

ZBAE+ZDAF=專/BAD,

又「ND4G=N8AE,

1

???ZDAG+ZDAF=*/BAD,

即NHG=NE4E,

又\?AG=AE,AF=AF,

：.AAFG^AAFE(SAS),

；?FG=FE,

又?：FG=FD+DG,DG=BE,

：?DF+BE=EF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的周長(zhǎng)，等邊三角形

深入理解題意是解決問題的關(guān)鍵.

李靜同學(xué)剪了兩張直角三角形紙片，進(jìn)行了如下的操作:

操作一：如圖1,將紙片沿某條直線折疊，使斜邊兩個(gè)端點(diǎn)A與B重合，折痕為DE.

(1)如果AC=5c機(jī)，BC=1cm,可得△AC。的周長(zhǎng)為12c〃z；

(2)如果NCA。：NBAD=1：2,可得N2的度數(shù)為36°；

操作二：如圖2,李靜拿出另一張Rt^ABC紙片，將直角邊AC沿直線折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合,

若A8=10cm,BC=8cm,請(qǐng)求出BE的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】操作一：⑴由翻折的性質(zhì)可知：2r?=AD于是AD+DC=BC,從而可知△AC￡＞的周長(zhǎng)=BC+AC；

(2)設(shè)NCAO=x,則/BA￡)=2x,由翻折的性質(zhì)可知/C8A=2x,然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余可

知：x+2x+2尤=90°.

操作二：先利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)，然后利用面積法求得。C的長(zhǎng)，在Rt^ACZ)中，利用勾股定

理可求得的長(zhǎng)，由翻折的性質(zhì)可知：DE=DA,最后根據(jù)計(jì)算即可.

【解答】解：操作一：(1)翻折的性質(zhì)可知：BD=AD,

：.AD+DC=BC=1.

：.△ACZ)的周長(zhǎng)=CD+AD+AC=BC+AC=l+5=12cm.

故答案為：12c〃z.

(2)設(shè)/C4O=x,則/B4Z)=2x.

由翻折的性質(zhì)可知：ZBAD=ZCBA=2x,

,：ZB+ZBAC=90°,

.*.x+2x+2x=90°.

解得；x=18°.

???2x=2X18°=36°.

：.ZB=36°.

故答案為：36°.

操作二：在Rt^ABC中，AC=<AB2-BC2=6.

由翻折的性質(zhì)可知：ED=AD,DCLAB.

11

TS^ABC=?BC=^AB.CD,

.\10CZ)=6X8.

???8=4.8.

在Rt^AOC中，AD=VXC2-CD2=^62-4.82=3.6.

.??E4=3.6X2=7.2.

：.BE=IQ-7.2=2.8.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，利用面積法求得C。的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AB于N,交AC于M.

(1)若NB=70°,則NNMA的度數(shù)是50°.

(2)連接"8,若A8=8C7W,△M8C的周長(zhǎng)是14cm.

①求BC的長(zhǎng)；

②在直線MN上是否存在點(diǎn)P,使由P,B,C構(gòu)成的△PBC的周長(zhǎng)值最?。咳舸嬖?，標(biāo)出點(diǎn)P的位置

并求△PBC的周長(zhǎng)最小值；若不存在，說明理由.

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問題；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)等腰三角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，可得NA的度數(shù)，根據(jù)直角三角形兩銳角的

關(guān)系，可得答案；

(2)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得AM與M3的關(guān)系，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)，可得答案；根據(jù)兩點(diǎn)之

間線段最短，可得P點(diǎn)與〃點(diǎn)的關(guān)系，可得PB+PC與AC的關(guān)系.

【解答】解：(1)若NB=70°,則NNMA的度數(shù)是50°,

故答案為：50°；

(2)如圖：

①「MN垂直平分AB.

：.MB=MA,

又MMBC的周長(zhǎng)是］4cm,

*.AC+BC=14cm,

??BC^6cm.

②當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)〃重合時(shí)，P3+CP的值最小，周長(zhǎng)的最小值是8+6=14c%,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等得出尸8=出.

6.根據(jù)以下素材，解決問題：

因收納需要，常常會(huì)準(zhǔn)備一些無(wú)蓋紙盒，現(xiàn)將長(zhǎng)為8,寬為4的長(zhǎng)方形彩紙進(jìn)行裁剪，用來裝飾豎式、

橫式的無(wú)蓋紙盒.裝飾豎式、橫式的無(wú)蓋紙盒.

814

素材1彩紙的裁剪方案:

A方案B方案

4

44

C方案D方案

素材21個(gè)豎式無(wú)蓋紙盒所需彩紙1個(gè)橫式無(wú)蓋紙盒所需彩紙

問題解決

問題1現(xiàn)有彩紙17張，若只裝飾豎式無(wú)蓋紙盒，選用素材1中的兩種裁剪方案，要求裁剪無(wú)余料,

且17張彩紙裁剪所得的紙片恰好全部用完，則應(yīng)選擇的兩種裁剪方案是4D，一共可

以做成多少只豎式無(wú)蓋紙盒？請(qǐng)寫出你的解答過程.

問題2若裝飾豎式和橫式兩種無(wú)蓋紙盒共2022個(gè)，選用素材1中的兩種裁剪方案，要求裁剪后無(wú)余

料，且裁剪所得的紙片恰好全部用完，則至少需要多少?gòu)埐始?

【考點(diǎn)】剪紙問題；一元一次方程的應(yīng)用.

【專題】數(shù)形結(jié)合；分類討論；運(yùn)算能力.

【答案】問題1、4D,一共可以做成32只豎式無(wú)蓋紙盒；

問題2、至少需要1011張彩紙.

【分析】問題1、易得應(yīng)選擇4D方案,設(shè)A方案的彩紙。張，則。方案的彩紙(17-a)張，進(jìn)而

根據(jù)4義4的正方形的個(gè)數(shù)和1X1的正方形的個(gè)數(shù)相等列出方程求解即可；

問題2、設(shè)裝飾豎式無(wú)蓋紙盒尤個(gè)，則裝飾橫式無(wú)蓋紙盒(2022-x)個(gè).得到可能的方案選擇，根據(jù)

所給圖形判斷出兩種類型的方案分別需要的彩紙的張數(shù)，進(jìn)而根據(jù)兩種方案得到的小正方形的個(gè)數(shù)等于

需要的小正方形的個(gè)數(shù)，判斷所得解是否符合即可.

【解答】解：?jiǎn)栴}1、???只有A方案和。方案中沒有4X3的長(zhǎng)方形,

應(yīng)選擇的兩種裁剪方案是A、D.

設(shè)A方案的彩紙a張，則。方案的彩紙（17-a）張.

.?.4X4的正方形有2a+17-a=（a+17）個(gè)，1義1的正方形有16（17"）個(gè).

."+17=16(17-cz).

解得：a=15.

.\17-a=2(張).

故答案為：A、D.

答：一共可以做成32只豎式無(wú)蓋紙盒;

問題2、設(shè)裝飾豎式無(wú)蓋紙盒尤個(gè)，則裝飾橫式無(wú)蓋紙盒（2022-尤）個(gè).

豎式紙盒需要4X4的正方形尤個(gè)，1X1的正方形x個(gè);

橫式紙盒需要4義3的長(zhǎng)方形（2022-x）個(gè)，1X1的正方形2（2022-尤）個(gè).

一共需要4X4的正方形x個(gè)，4X3的長(zhǎng)方形（2022-x）個(gè)，1X1的正方形（4044-x）個(gè).

X2022—X

①選擇4、8兩種方案.需要用A方案的彩紙超8方案的彩紙丁張.

2022-%

-----------x8=4044-x.

2

解得：尤=1348.

13482022-1348,

???彩紙的張數(shù)為：-+----------------=1011(張).

2

久一(2022-久)

②選擇A、C兩種方案.需要用C方案的彩紙（2022-尤）張，A方案的彩紙:,-----------------=(%-1011)

2

張.

4X(2022-%)=4044-x.

解得：尤=1348.

???彩紙的張數(shù)為：(2022-1348)+1348-674=1011(張).

2022—X—X

③選擇8、C兩種方案.需要C方案的彩紙x張，8方案的彩紙---------=（1011-X）張.

4x+8(1011-x)=4044-x.

解得：x=1348.

，彩紙的張數(shù)為1011張.

2022—%

④選擇8、。兩種方案.需要。方案的彩紙x張，8方案的彩紙—?:—張?

2

16x+8x------=4044-x.

13x=-4044.

不合題意，舍去.

⑤選擇C、。兩種方案.需要C方案的彩紙(2022-X)張，。方案的彩紙[X-(2022-x)]=(2x-2022)

張.

4(2022-x)+16(2x-2022)=4044-x.

29x=28308

28308

不合題意，舍去.

答：至少需要1011張彩紙.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程的應(yīng)用.根據(jù)題意判斷出兩種方案組合下分別需要的彩紙的張數(shù)是解決

本題的易錯(cuò)點(diǎn)；找到能解決問題的相等關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

7.教材呈現(xiàn)：華師版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七下第82頁(yè)的部分內(nèi)容.

(1)對(duì)于上述問題，在解答過程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容(理由或數(shù)學(xué)式).

如圖，在△ABC中，NABC=80°,ZACB^

50°,8尸平分/ABC,CP平分NACB,求

8PC的度數(shù).

解：平分乙48c(已知)，

11

：.2LPBC=-^/.ABC=x80。=40°.

同理可得NPCB=

25°.

VZBPC+ZPBC+ZPCB=180°(三角形

內(nèi)角和定理),

JZBPC=180°-ZPBC-ZPCB(等式的性

質(zhì))

=180°-40°-25°

=115°.

問題推廣:

（2）如圖1,在AABC中，ZABC,/AC8的角平分線交于點(diǎn)P,將△A8C沿。E折疊使得點(diǎn)A與點(diǎn)

尸重合，若Nl+/2=108°,求NBPC的度數(shù)；

（3）如圖2,在AABC中，/B4C的角平分線與△ABC的外角/CBM的角平分線交于點(diǎn)P,過點(diǎn)8作

BH_LAP于點(diǎn)”，若NACB=84°，則48度.

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；角平分線的定義；三角形內(nèi)角和定理.

【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；推理能力.

【答案】（1）25,（三角形內(nèi)角和定理），25°,115°；

（2）117°,

（3）48.

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求解即可；

（2）先由折疊的性質(zhì)和平角的定義得到NAED+NAOE=126°,進(jìn)而求出NA=54°,同（1）即可得

到答案；

（3）先由角平分線的定義得到乙BAC=24BAP,/CBM=2/CBP,再由三角形外角的性質(zhì)得到NC3P

=ZBAP+42°,根據(jù)三角形外角的定理推出NP=42°,再由垂線的定義得到NBHP=90°,則NP8H

=180°-NP-N8H尸=48°.

【解答】解：（1）：8尸平分/ABC（已知），

11

ZPBC=^ZABC=Jx80°=40°.

同理可得NPC5=25°.

VZBPC+ZPBC+ZPCB=180°（三角形內(nèi)角和定理），

：.ZBPC=180°-ZPBC-ZPCB（等式的性質(zhì)）

=180°-40°-25°

=115°.

故答案為：25,（三角形內(nèi)角和定理），25°,115

(2)由折疊的性質(zhì)可得ZADE=ZPDE,

VZ1+ZA￡P(guān)=18O°,/2+NA。尸=180°,Zl+Z2=108°,

：.2ZAED+2ZADE=252°,

?.ZAED+ZADE=126°,

ZA=180°-ZAED-ZAD￡=54°,

VZA=54°,

?.ZABC+ZACB=180°-ZA=126°,

平分NA8C,CP平分/ACS,

AZABC=2ZPBC,/ACB=2/PCB,

：.2/PBC+2NPCB=126°,

gpZPBC+ZPCB=63°,

.\ZBPC=180°-NPBC-NPCB=111°,

(3)YAP平分N8AC,BP平分/CBM,

；./BAC=2/BAP,ZCBM=2ZCBP,

?；NCBM=ZBAC+ZACB,

：.2ZCBP=2ZBAP+M°,BPZCBP=ZPBM=ZBAP+41°；

?；ZPBM是△ABP的外角，

：.ZPBM=ZBAP+ZP,

：.ZP=42°,

:BHLAP,

即/BHP=90°,

：.ZPBH=1SO0-/P-N8Hp=48°；

故答案為：48.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，垂線的定義，熟知相關(guān)

知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

8.綜合與實(shí)踐.

活動(dòng)主設(shè)計(jì)一款日常的多功能椅子

題

素材1座椅是我們?nèi)粘Ｉ钪胁豢苫蛉钡囊徊糠郑瑹o(wú)論在辦公室、家里還是車輛中，我們都需要

座椅來提供舒適的工作和休息.

圖1是某折疊式靠背椅的實(shí)物圖.圖2是椅子合攏狀態(tài)的側(cè)圖示意圖，其中椅面、靠背和

椅腿在側(cè)面示意中分別對(duì)應(yīng)CE,FG、3尸和AD,椅腿AD,可繞連結(jié)點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)，椅面

底部有一根可以繞點(diǎn)H