2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義：規(guī)律探究（4題型+解題模板+技巧講義）（解析版）

壓軸題解題模板06

規(guī)律探究

目錄

?題型剖析?精準(zhǔn)提分

題型一周期型

題型二遞推型

題型三固定累加型

題型四漸變累加型

好題必刷?強(qiáng)化落實(shí)

題型剖析?精準(zhǔn)提分

規(guī)律探索

題型一周期型題型三固定累加型

題型二遞推型題型四漸變累加型

題型解讀：

規(guī)律探索問(wèn)題在中考中常以選擇題、填空題的形式

出現(xiàn)，難度中等，規(guī)律性較強(qiáng)，重點(diǎn)考查數(shù)式、坐標(biāo)和

圖形的規(guī)律探索問(wèn)題，涉及整式的計(jì)算、一次函數(shù)、反

比例函數(shù)、二次函數(shù)、圓、特殊三角形、勾股定理、圖

形變換等相關(guān)知識(shí)，以及類比、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸

等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問(wèn)題：①周期型；②

遞推型；③固定累加型；④漸變累加型等.右圖為規(guī)律

探索問(wèn)題中各題型的考查熱度.

解題模板:

數(shù)式的規(guī)律探索坐標(biāo)的規(guī)律探索

橫縱向分析各數(shù)式之間的數(shù)量關(guān)系，適當(dāng)續(xù)寫幾個(gè)數(shù)式

根據(jù)條件表示前幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)

尋找數(shù)式規(guī)律，列出第n個(gè)數(shù)式

根據(jù)前幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特征尋找規(guī)律

驗(yàn)證已知數(shù)式是否符合規(guī)律，化簡(jiǎn)后得出結(jié)論

依據(jù)坐標(biāo)規(guī)律得出結(jié)論

圖形的規(guī)律探索

分析題目所給圖形的變化規(guī)律

利用規(guī)律列出相應(yīng)的代數(shù)式

仿照數(shù)式規(guī)律的猜想方法得出結(jié)論

題型一周期型

【例1】（2023?廣東江門?一模）現(xiàn)有四條公共端點(diǎn)為0的射線OB、OC、OD,若點(diǎn)片，舄，八,

按如圖所示的規(guī)律排列，則點(diǎn)鳥。23應(yīng)該落在（）

A.射線上B.射線上C.射線OC上D.射線QD上

【答案】B

【分析】根據(jù)圖形可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的變化規(guī)律，從而可以得到點(diǎn)4）23落在哪條射線上.

【詳解】解：由圖可得，

心到心順時(shí)針，線到心逆時(shí)針，每8個(gè)點(diǎn)為一周期循環(huán),

?.?（2023-1）+8=252...6,

點(diǎn)8023落在OB上，

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

【變式IT】（2023?新疆克孜勒蘇?一模）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著

A-B-C-DTA…循環(huán)爬行，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-1）,8點(diǎn)坐標(biāo)為C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,3）,當(dāng)螞蟻爬

了2017個(gè)單位時(shí)，它所處位置的坐標(biāo)為（）

B.(1,0)C.(0,1)D.(0,-1)

【答案】D

【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索問(wèn)題，根據(jù)題意確定從ATB-C-O-A一圈的長(zhǎng)度，即可求解.

【詳解】點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-1）,8點(diǎn)坐標(biāo)為C點(diǎn)坐標(biāo)為（T3）,

/.AB=l-(-l)=2,BC=3-(-l)=4

從ATBTC—D—A一圈的長(zhǎng)度為2（A5+8C）=12

,?2017=168x12+1,

，當(dāng)螞蟻爬了2017個(gè)單位時(shí)，它所處位置在點(diǎn)A左邊一個(gè)單位長(zhǎng)度處，即

故選：D.

-111

a=aa=

【變式「2】已知4=X-1(xwl,X*2),2Z，3~~.<…，n；,貝！J。2023=()

\-ax-〃2]一〃“-]

2—x1

A.------B.------C.x-1D.1—x

1—x2—x

【答案】c

]2—x

【分析】分別求出電，生，?4，可得生，?2>?3>%，...，?！耙詿o(wú)T,--，-——為一個(gè)循環(huán)組依次循

2-x1-x

環(huán)，然后根據(jù)2023+3=674.......1可知。2023=%=%—1.

【詳解】解：V=x-\(%wl,%w2),

111

*.a2=■=~-7=Z，

1112-x

l—a2]1l-x1-x，

2—x2—%

1—x1—X

]2—x

..4,a?,4,%,...,%以X-1,-，~為一'個(gè)循環(huán)組依次環(huán)，

2-xl-x

:2023+3=674……1,

??々2023="1=%-1f

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式的混合運(yùn)算，屬于規(guī)律型題，根據(jù)題意得出規(guī)律為三個(gè)式子依次循環(huán)是解本題的

關(guān)鍵.

【變式1-3】有一個(gè)數(shù)字游戲，第一步：取一個(gè)自然數(shù)4=4,計(jì)算4.（3%+1）得％,第二步：算出生的各

位數(shù)字之和得生，計(jì)算%-（3%+1）得出，第三步算出的的各位數(shù)字之和得內(nèi)，計(jì)算嗎-（3/3+1）得的;以此

類推，貝1%也的值為（）

A.7B.52C.154D.310

【答案】D

【分析】通過(guò)計(jì)算前面幾步的數(shù)值可以得到整個(gè)游戲數(shù)字的出現(xiàn)規(guī)律，從而得到所求答案.

【詳解】解：由題意知：4=4,O1=/V（3^+1）=4X（3X4+1）=52:

%=5+2=7,%=7x（3x7+l）=154；

%=1+5+4=10,%=10x（3x10+1）=310；

%=3+1=4,a4=4x（3x4+l）=52；........；

由上可知，6M2,生，…是按照52、154、310、…，52、154、310三個(gè)數(shù)的組合重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)列，

2022+3=674,

?,。2022=31°.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查整式中的數(shù)字類規(guī)律探索，通過(guò)閱讀題目材料并歸納出數(shù)字出現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵.

題型二遞推型

【例2】(2023?山東臨沂?中考真題)觀察下列式子

lx3+l=22；

2x4+1=32；

3x5+1=42;

按照上述規(guī)律，=n2.

【答案】(〃-1)(〃+1)+1

【分析】根據(jù)已有的式子，抽象出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，進(jìn)行作答即可.

【詳解】解：:1x3+1=22;

2x4+1=32；

3x5+1=42;

+2)+1=(”+1),

—1)(〃+1)+1=.

故答案為：(?—1)(?+1)+1

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究.解題的關(guān)鍵是從已有的式子中抽象出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律.

【變式2-1](2023?湖南岳陽(yáng)?中考真題)觀察下列式子：

l2-l-lx0;22—2=2x1;3?-3=3x2;42-4=4x3;52-5=5x4;...

依此規(guī)律，則第九(〃為正整數(shù))個(gè)等式是.

【答案】川-〃=〃5-1)

【分析】根據(jù)等式的左邊為正整數(shù)的平方減去這個(gè)數(shù)，等式的右邊為這個(gè)數(shù)乘以這個(gè)數(shù)減1,即可求解.

【詳解】解：12-1=1x0；22-2=2x1；32-3=3x2；4?—4=4x3；52-5=5x4；...

第"("為正整數(shù))個(gè)等式是〃=

故答案為：ir-n=n(n-l).

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2](2023?遼寧阜新?一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△A4A3,△AA4A，A&A4,△444...

都是等邊三角形，且點(diǎn)A，4,4，4,4坐標(biāo)分別是4(3,0),4(2,0),A(4,0),4(1,0),4(5,0),

依據(jù)圖形所反映的規(guī)律，則&>23的坐標(biāo)是()

A.(509,0)B.(508,0)C.(-503,0)D.(-505,0)

【答案】C

【分析】

本題是一道關(guān)于等邊三角形性質(zhì)及探索規(guī)律的題目，找出坐標(biāo)的變化規(guī)律是解答的關(guān)鍵.觀察圖形可以得

到4~4,4~4,…，每4個(gè)為一組，據(jù)此可以得到/U在無(wú)軸負(fù)半軸上，縱坐標(biāo)為o,根據(jù)4(2,0),

4。,0),……得到&4“+3橫坐標(biāo)為-九+2,據(jù)此即可求解.

【詳解】解：觀察圖形可以看出A~A，A~4,…，每4個(gè)為一組,

,/2023+4=505......3,

；?&523在X軸負(fù)半軸上，縱坐標(biāo)為0,

”(2,0),4(1，。)，……

.?.當(dāng)3=4x0+3時(shí)，4的橫坐標(biāo)為2,

當(dāng)7=4x1+3時(shí)，4的橫坐標(biāo)為1,

當(dāng)11=4x2+3時(shí)，4的橫坐標(biāo)為0，

當(dāng)4〃+3時(shí)，A&M橫坐標(biāo)為2-〃,

V4?+3=2023,

n=505,

則2-505=-503

???4)23的坐標(biāo)是(-503,0).

故選：C

【變式2-3］（2023?寧夏銀川?三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在＞軸的正半軸上，OA=1,將。4繞

點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到，掃過(guò)的面積記為H交x軸于點(diǎn)4；將繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到

OA3，掃過(guò)的面積記為s2,44交y軸于點(diǎn)4；將。4繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。到。人掃過(guò)的面積記為S3；

C.22021TID.22022TI

【答案】A

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出扇形的半徑，寫出部分S“的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律

S“=2-兀，依此規(guī)律即可得出結(jié)論.

本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)-旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及扇形的面積，解此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律

【詳解】解：由題意AA04、△4。4、△4。4、…、都是等腰直角三角形,

:.08=五,04=2,04=20,??

K24571X(0)22457rx(2揚(yáng)2

C45xI101c45?tx21

?.3-=Tt，O9-=一兀,--------------——719S4=

260836043602360

.?$=2-兀,

故選：A.

題型三固定累加型

【例3】(2023?山東煙臺(tái)?中考真題)如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度,

以點(diǎn)尸為位似中心作正方形244,正方形尸4AA，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，

其中正方形RM2a的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為p(-3,0),4(-2,1),4(-1,0),4(-2,-1),則頂點(diǎn)4oo的坐標(biāo)為()

A.(31.34)B.(31,-34)C.(32,35)D.(32,0)

【答案】A

【分析】根據(jù)圖象可得移動(dòng)3次完成一個(gè)循環(huán)，從而可得出點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律3,n).

【詳解】解：：4(-2,1),4(-1,2),4(0,3),Ao(1-4),L,

,,&i-2(〃-3,〃),

7100=3x34-2,則〃=34,

,?Aoo（31,34）,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的規(guī)律變化，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖象，得到點(diǎn)的變化規(guī)律.

【變式3-1］（2023.重慶?中考真題）用長(zhǎng)度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案用了9根

木棍，第②個(gè)圖案用了14根木棍，第③個(gè)圖案用了19根木棍，第④個(gè)圖案用了24根木棍，……，按此規(guī)

律排列下去，則第⑧個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是（）

Qm<XDccco

①②③④

A.39B.44C.49D.54

【答案】B

【分析】根據(jù)各圖形中木棍的根數(shù)發(fā)現(xiàn)計(jì)算的規(guī)律，由此即可得到答案.

【詳解】解：第①個(gè)圖案用了4+5=9根木棍，

第②個(gè)圖案用了4+5義2=14根木棍，

第③個(gè)圖案用了4+5x3=19根木棍，

第④個(gè)圖案用了4+5x4=24根木棍，

第⑧個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是4+5x8=44根，

故選:B.

【點(diǎn)睛】此題考查了圖形類規(guī)律的探究，正確理解圖形中木棍根數(shù)的變化規(guī)律由此得到計(jì)算的規(guī)律是解題

的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2023?山西?中考真題）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個(gè)大小相同的圓片組成.第1個(gè)圖

案中有4個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片，第4個(gè)圖案中有10

個(gè)白色圓片，…依此規(guī)律，第"個(gè)圖案中有個(gè)白色圓片（用含〃的代數(shù)式表示）

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè)

【答案】（2+2?）

【分析】由于第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片4=2+2xl,第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片6=2+2x2,第3

個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片8=2+2x3,第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片10=2+2x4,…，可得第〃（〃>1）個(gè)

圖案中有白色圓片的總數(shù)為2+2〃.

【詳解】解：第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片4=2+2xl,

第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片6=2+2x2,

第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片8=2+2x3,

第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片10=2+2x4,

???，

.?.第個(gè)圖案中有（2+2”）個(gè)白色圓片.

故答案為：（2+2〃）.

【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，通過(guò)從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，

然后推廣到一般情況.解題關(guān)鍵是總結(jié)歸納出圖形的變化規(guī)律.

【變式3-3］（2023?湖北十堰?中考真題）用火柴棍拼成如下圖案，其中第①個(gè)圖案由4個(gè)小等邊三角形圍成

1個(gè)小菱形，第②個(gè)圖案由6個(gè)小等邊三角形圍成2個(gè)小菱形，……，若按此規(guī)律拼下去，則第"個(gè)圖案需

要火柴棍的根數(shù)為（用含n的式子表示）.

【答案】6n+6/6+6n

【分析】當(dāng)"=1時(shí)，有2（1+1）=4個(gè)三角形；當(dāng)“=2時(shí)，有2（2+1）=6個(gè)三角形；當(dāng)九=3時(shí)，有2（3+1）=8

個(gè)三角形；第力個(gè)圖案有2（〃+1）=2〃+2個(gè)三角形，每個(gè)三角形用三根計(jì)算即可.

【詳解】解：當(dāng)”=1時(shí)，有2（1+1）=4個(gè)三角形；

當(dāng)”=2時(shí)，有2（2+1）=6個(gè)三角形；

當(dāng)”=3時(shí)，有2（3+1）=8個(gè)三角形；

第w個(gè)圖案有2（〃+1）=2〃+2個(gè)三角形，

每個(gè)三角形用三根，

故第九個(gè)圖案需要火柴棍的根數(shù)為6〃+6.

故答案為：6〃+6.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減的數(shù)字規(guī)律問(wèn)題，熟練掌握規(guī)律的探索方法是解題的關(guān)鍵.

題型四漸變累加型

【例4】（2023?四川綿陽(yáng)?中考真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“?”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖

形，第1幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為由,第2幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為出，第3幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為的，…，以此

類推，那么’+的值為（）

20?61C589-431

A.—B.—C.------D.-----

2184840760

【答案】C

【分析】

首先根據(jù)圖形中“?”的個(gè)數(shù)得出數(shù)字變化規(guī)律，進(jìn)而求解即可.

【詳解】解：?1=3=1?3,

%=8=2?4,

%=15=3?5,

%=24=4?6,

an=n(n+2)；

1111

—+—+—+???+—

444%9

11111

=---+----+----+----+???+

1x32x43x54x619x21

11111111

-+-—I——I—H-------1---------

324354619

589

"840'

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1］（2023?重慶?中考真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)圓圈，第②

個(gè)圖案中有5個(gè)圓圈，第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，第④個(gè)圖案中有11個(gè)圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則

第⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為（）

OOOOOO

OOOOOOOOOOOOOO

OOOOOO

(1)(2)(3)

A.14B.20C.23D.26

【答案】B

【分析】

根據(jù)前四個(gè)圖案圓圈的個(gè)數(shù)找到規(guī)律，即可求解.

【詳解】解：因?yàn)榈冖賯€(gè)圖案中有2個(gè)圓圈，2=3xl-l；

第②個(gè)圖案中有5個(gè)圓圈，5=3x2-1；

第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，8=3x37；

第④個(gè)圖案中有11個(gè)圓圈，11=3x4-1；

所以第⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為3x7-1=20；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律探究，根據(jù)前四個(gè)圖案圓圈的個(gè)數(shù)找到第〃個(gè)圖案的規(guī)律為3”-1是解題的

關(guān)鍵.

【變式4-2］（2023?山東聊城?中考真題）如圖，圖中數(shù)字是從1開始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣.從3開始，

把位于同一列且在拐角處的兩個(gè)數(shù)字提取出來(lái)組成有序數(shù)對(duì)：（3,5）；（7,10）；（13,17）；（21,26）；（31,37）...

如果單把每個(gè)數(shù)對(duì)中的第一個(gè)或第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來(lái)研究，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.請(qǐng)寫出第“個(gè)數(shù)

對(duì)：_____

???37

212019181736

227651635

238141534

249231433

251011121332

262728293031

【答案】卜2+"+1,/+2〃+2)

【分析】根據(jù)題意單另把每個(gè)數(shù)對(duì)中的第一個(gè)或第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來(lái)研究，可發(fā)現(xiàn)第〃個(gè)數(shù)對(duì)的第一

個(gè)數(shù)為：""+1)+1,第〃個(gè)數(shù)對(duì)的第二個(gè)位：(?+1)2+1,即可求解.

【詳解】解：每個(gè)數(shù)對(duì)的第一個(gè)數(shù)分別為3,7,13,21,31,...

即：1x2+1,2x3+1,3x4+1,4x5+1,5x6+1,...

則第"個(gè)數(shù)對(duì)的第一個(gè)數(shù)為：n(n+l)+l=n2+n+l,

每個(gè)數(shù)對(duì)的第二個(gè)數(shù)分別為5,10,17,26,37,...

即：22+1;32+1；42+1;52+1;62+1...,

則第"個(gè)數(shù)對(duì)的第二個(gè)位：("+1)2+1=/+2〃+2,

.?.第”個(gè)數(shù)對(duì)為：^n2+n+l,M2+2M+2^,

故答案為：卜~+〃+1,獷+2〃+2).

【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的排列規(guī)律，利用拐彎出數(shù)字的差的規(guī)律解決問(wèn)題.

【變式4-3](2023?四川遂寧?中考真題)烷煌是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物，在生產(chǎn)生活中可作為

燃料、潤(rùn)滑劑等原料，也可用于動(dòng)、植物的養(yǎng)護(hù).通常用碳原子的個(gè)數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷......

癸烷(當(dāng)碳原子數(shù)目超過(guò)10個(gè)時(shí)即用漢文數(shù)字表示，如十一烷、十二烷……)等，甲烷的化學(xué)式為C%,

乙烷的化學(xué)式為G?6,丙烷的化學(xué)式為C34……，其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，按照此規(guī)律，十二烷的化學(xué)

式為.

丙烷

【分析】根據(jù)碳原子的個(gè)數(shù)，氫原子的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律，即可求解.

【詳解】解：甲烷的化學(xué)式為C區(qū)，

乙烷的化學(xué)式為C2H6，

丙烷的化學(xué)式為C34……,

碳原子的個(gè)數(shù)為序數(shù)，氫原子的個(gè)數(shù)為碳原子個(gè)數(shù)的2倍多2個(gè),

十二烷的化學(xué)式為G2H26，

故答案為：C12H26.

【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律題，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

好題必刷?強(qiáng)化落實(shí)

一、單選題

1.（2023?云南紅河?一模）如圖圖形是同樣大小的小五角星按一定規(guī)律組成的，按此規(guī)律排列，則第〃個(gè)圖

形中小五角星的個(gè)數(shù)為（）

☆器表

☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆

A.H2+1B.n2-1C.2n-lD.2n+l

【答案】A

【分析】先分別求出前4個(gè)圖形中的小五角星的個(gè)數(shù)，找出一般的計(jì)算方法求解.

本題考查了圖形的變化類，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：則第1個(gè)圖形中小五角星的個(gè)數(shù)為：仔+1=2；

則第4個(gè)圖形中小五角星的個(gè)數(shù)為：1+22=5；

則第3個(gè)圖形中小五角星的個(gè)數(shù)為：1+32=10；

則第4個(gè)圖形中小五角星的個(gè)數(shù)為：1+42=17;

則第"個(gè)圖形中小五角星的個(gè)數(shù)為：1+1,

故選：A.

246810

2.（2023?云南玉溪?一模）觀察下列一組數(shù):它們是按一定規(guī)律排列的，那么這

517917

一組數(shù)的第〃個(gè)數(shù)是（）

A.32n2n〃+1

B.-------C.D.

n2九一12n+l〃+2

【答案】C

【詳解】

22x1

解：???第1個(gè)數(shù)是彳-

32x1+1

A7x7

第2個(gè)數(shù)是十E

第3個(gè)數(shù)是.焉

2rz

??.第"個(gè)數(shù)是"

故選：C.

分別歸納出該組數(shù)字分子、分母的規(guī)律.

此題考查了數(shù)字變化類規(guī)律問(wèn)題的解決能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確歸納出分子、分母的規(guī)律.

3.（2023?廣東肇慶?三模）用黑色和白色的正方形的卡片按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，即從第2個(gè)圖案開始,

每個(gè)圖案都比前一個(gè)圖案多3個(gè)黑色正方形.若第八個(gè)圖案中黑色正方形的個(gè)數(shù)為55,則w的值為（）

D.20

【答案】C

【分析】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題.觀

察圖形可知，第1個(gè)圖形共有1個(gè)黑色正方形;第2個(gè)圖形共有1+3x1個(gè)黑色正方形;第3個(gè)圖形共有1+3x2

個(gè)黑色正方形；第4個(gè)圖形共有1+3x3個(gè)黑色正方形；…；由此得出第〃個(gè)圖形共有1+3（〃-1）個(gè)黑色正方

形，即可求出〃的值.

【詳解】解：：第1個(gè)圖形共有1個(gè)黑色正方形；

第2個(gè)圖形共有1+3x1個(gè)黑色正方形；

第3個(gè)圖形共有1+3x2個(gè)黑色正方形；

第4個(gè)圖形共有1+3x3個(gè)黑色正方形；

第"個(gè)圖形共有1+3（〃-1）個(gè)黑色正方形，

若第九個(gè)圖案中黑色正方形的個(gè)數(shù)為55,

則1+3（九-1）=55,

解得：”=19.

故選：C.

4.（23-24七年級(jí)上.河南周口?階段練習(xí)）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a,-2a2,4a3,-8a4,16a5,……，

第"個(gè)單項(xiàng)式是（）

A.（-2）"'1a"B.-2a"C.（-2）"a'1D.（-2）"'an-'

【答案】A

【分析】本題考查了單項(xiàng)式的規(guī)律探尋，判斷出單項(xiàng)式的次數(shù)，系數(shù)與序號(hào)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：第一個(gè)單項(xiàng)式為

第二個(gè)單項(xiàng)式為-2片，

第三個(gè)單項(xiàng)式為4a3,

第四個(gè)單項(xiàng)式為-8a，

???可以得到規(guī)律第"個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)為（-2）1,次數(shù)為凡，即第〃個(gè)單項(xiàng)式為（-2）3a",

故選：A.

5.（23-24七年級(jí)上?河南新鄉(xiāng)?期中）把黑色圓點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有4個(gè)黑色

圓點(diǎn)，第②個(gè)圖案中有6個(gè)黑色圓點(diǎn)，第③個(gè)圖案中有8個(gè)黑色圓點(diǎn)，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個(gè)

圖案中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

①②③

A.12B.14C.16D.18

【答案】C

【分析】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)已知圖形得出變化規(guī)律，即可求解.

【詳解】解：由已知圖形可知：

第①個(gè)圖案中有4個(gè)黑色圓點(diǎn)，

第②個(gè)圖案中有6個(gè)黑色圓點(diǎn)，6=4+2x（2-l）,

第③個(gè)圖案中有8個(gè)黑色圓點(diǎn)，8=4+2x（3-l）,

以此類推，第〃個(gè)圖形黑色圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為：4+2（“-1）=2”+2,

因此第⑦個(gè)圖案中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：2x7+2=16,

故選C.

6.（2023?河南安陽(yáng)?一模）如圖，將數(shù)列排成一個(gè)三角形數(shù)陣：

3-5

7-911

-1315-1719

-2123-2527-29

按照以上排列的規(guī)律，第11行從左數(shù)第5個(gè)數(shù)為（）

A.119B.-121C.-117D.123

【答案】A

7.（2023?浙江衢州?一模）觀察下列數(shù)據(jù)：0,3,8,15,24,它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)

律，第201個(gè)數(shù)據(jù)是（）

A.40400B.40040C.4040D.404

【答案】A

【分析】觀察不難發(fā)現(xiàn)，各數(shù)據(jù)都等于完全平方數(shù)減1,然后列式計(jì)算即可得解.

【詳解】：0=12一1,

3=2Z-1,

8=32-1,

15=4-1,

24=52-1,

,第201個(gè)數(shù)據(jù)是：2012-1=40400.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字變化規(guī)律，觀察出各數(shù)據(jù)都等于完全平方數(shù)減1是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?云南昭通?三模）按一定規(guī)律得列的單項(xiàng)式；。,3/,5八7/,9°5,…，按照上述規(guī)律，第"個(gè)單項(xiàng)

式為（）

A.na"B.（2/z—l）a"C.（2M+1）a"D.2na"

【答案】B

【分析】分別找出各個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)與字母部分的規(guī)律，即可解答.

【詳解】觀察各個(gè)單項(xiàng)式可得，系數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)：1,3,5,7,9,故第〃個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是2”-1；

字母部分是。的乘方，。的指數(shù)是1,2,3,4,5,故第〃個(gè)單項(xiàng)式的字母部分是a”,

所以第"個(gè)單項(xiàng)式是

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查尋找單項(xiàng)式的規(guī)律，觀察各個(gè)單項(xiàng)式，分別從系數(shù)和字母部分找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

9.（19-20七年級(jí)上.四川達(dá)州.期末）探索規(guī)律：觀察下面的一列單項(xiàng)式：X、一22、毆、一8尤116尤5、…,

根據(jù)其中的規(guī)律得出的第9個(gè)單項(xiàng)式是（）

A.256fB.-256x9C.-512?D.512x9

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，得出單項(xiàng)式的變化規(guī)律為：系數(shù)是以-2為底的幕，其指數(shù)是式子的序號(hào)減1,x的指數(shù)

是式子的序號(hào)，據(jù)此作答即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，可得單項(xiàng)式的變化規(guī)律為：系數(shù)是以-2為底的幕，其指數(shù)是式子的序號(hào)減1,x的

指數(shù)是式子的序號(hào)，

第9個(gè)單項(xiàng)式是（-2）HX9=（-2）8尤9=256X9.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式規(guī)律題，正確理解式子的符號(hào)、次數(shù)與式子的序號(hào)之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

10.（2023?重慶巴南?一模）下列圖形都是由同樣大小的棋子按一定的規(guī)律組成，其中第①個(gè)圖形有5顆棋

子，第②個(gè)圖形有8顆棋子，第③個(gè)圖形有13顆棋子，……，則第⑦個(gè)圖形中棋子的顆數(shù)為（）

①②③④

A.36B.40C.49D.53

【答案】D

【分析】仔細(xì)觀察圖形的變化，找到變化規(guī)律，利用規(guī)律求解即可.

【詳解】解：第①個(gè)圖形有4+1=5顆棋子，

第②個(gè)圖形一共有4+4=8顆棋子，

第③個(gè)圖形一共有4+9=13顆棋子，

第④個(gè)圖形有4+16=30顆棋子，

第〃個(gè)圖形一共有（4+川）（顆）.

第⑦個(gè)圖形一共有4+72=53（顆）.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化規(guī)律，通過(guò)從一些特殊的圖形變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，

然后推廣到一般情況.

11.（2023?重慶渝中?二模）如圖，是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的，其中部分

小正方形涂有陰影，按照這樣的規(guī)律，第2023個(gè)圖案中涂有陰影的小正方形個(gè)數(shù)是（）?

【答案】B

【分析】先數(shù)出三個(gè)圖形中陰影小正方形的個(gè)數(shù)，再總結(jié)規(guī)律并推廣至一般情形，從而求出第2023個(gè)圖案

中涂有陰影的小正方形個(gè)數(shù).

【詳解】第一個(gè)圖案有5個(gè)：5=1x4+1,

第二個(gè)圖案有9個(gè)：9=2x4+1,

第三個(gè)圖案有13個(gè)：13=3x4+1,

則第〃個(gè)圖形有：4x〃+l=（4"+l）個(gè)，

故第2023個(gè)圖案中有4x2023+1=8093（個(gè)），

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了圖案的變化規(guī)律問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找到正確的變化規(guī)律即可.

12.（2023?遼寧阜新?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。4=。4，4,04=120。，將△4。耳繞點(diǎn)0順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)并且按一定規(guī)律放大，每次變化后得到的圖形仍是頂角為120。的等腰三角形.第一次變化后得到等腰

三角形4O與，點(diǎn)4（1,0）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為第二次變化后得到等腰三角形&。鳥，點(diǎn)&的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

A2；第三次變化后得到等腰三角形A04,點(diǎn)人的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4（4,。）……依此規(guī)律，則第2023年

20232023后

2，-2-

【答案】D

【分析】由題意，可得點(diǎn)名，見，鳥在第二象限，。耳=1，。華=4,。功=7,推出0821K3=2023,可得結(jié)

論.

【詳解】解：,?,在平面直角坐標(biāo)系中，。4=。月=1,幺=12。。，繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并且按一定規(guī)律放

大，每次變化后得到的圖形仍是頂角為120。的等腰三角形.

第一次變化后得到等腰三角形4。打，點(diǎn)4（1,0）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4（-1,6）,

第二次變化后得列等腰三角形4。鳥，點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A(-g，孚);

22

0A3=0B3=J(-|)+(|^3)=3；

第三次變化后得到等腰三角形點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A4(4,0)；

由圖可知：

△4。用繞點(diǎn)0每次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,并且腰長(zhǎng)增加1,

二旋轉(zhuǎn)三次完成一周，故點(diǎn)耳，B&,B1,……在第三象限,

OBt=l,=4,OB1=7,.......

OB2o23=2023,ZB2O23(94O23=120°,

/.ZB2023Oy=30°,

六點(diǎn)B2O23到y(tǒng)軸距離為W,到X軸距離為2023幣

22

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中

考?？碱}型.

二、填空題

13.(2023