2025年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)突破講義：冪函數(shù)與二次函數(shù)（含解析）

專題08幕函數(shù)與二次函數(shù)

【考點(diǎn)預(yù)測】

1、幕函數(shù)的定義

一般地，y=x"(aeR)(。為有理數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，幕為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱

為幕函數(shù).

2、幕函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是事函數(shù)

①/的系數(shù)為1;②x"的底數(shù)是自變量；③指數(shù)為常數(shù).

(3)幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)

3、常見的募函數(shù)圖像及性質(zhì)：

-1

函數(shù)y=xy=x2y=x3y=x^y=x

kVy

圖象(1/-

kbxLOx

pi7r

定義域RRR{x|x>0}|%w0}

值域R3玲0}R{y|j>0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在(-0)上單調(diào)遞在(—oo,0)和

在R上單在R上單調(diào)遞在［0,+與上單調(diào)

單調(diào)性減，在(0,+8)上單(0,+8)上單調(diào)遞

調(diào)遞增增遞增

調(diào)遞增減

公共點(diǎn)(1,1)

4、二次函數(shù)解析式的三種形式

(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0);

(2)頂點(diǎn)式：f(x)=a{x-m)2+n{a0)；其中，(〃?,〃)為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，x="?為對(duì)稱軸方程.

(3)零點(diǎn)式：f(x)=a{x-X1)(x-x2)(a0)＞其中，%,馬是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

5、二次函數(shù)的圖像

二次函數(shù)〃切=辦2+區(qū)+々。*0)的圖像是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為x=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為

(1)單調(diào)性與最值

①當(dāng)。＞0時(shí)，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在(-8,-2］上遞減，在［-2,+oo)上遞增，當(dāng)x=-2

2a2a2a

時(shí)，/(X)1nto="二以；②當(dāng)。＜0時(shí)，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在(_00,一2］上遞增，在［_2,+◎

4a2a2a

上遞減，當(dāng)x=-2時(shí)，；/(無)x=4碇-J

c1Ilmldx?

2a4〃

2

當(dāng)A=〃-4“c＞0時(shí)，二次函數(shù)f(x)=ax+bx+c("0)的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)Mx(%,0)和Af2(x2,0),

XX=X+X2-

I1=1l~2\7(12)4X］X2=---.

\a\

6、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處.

對(duì)二次函數(shù)/⑴=加+及+通力。)，當(dāng)。＞0時(shí)，“X)在區(qū)間［),幻上的最大值是M,最小值是機(jī)，

(1)若-■—＜p,則〃?=y(p),M=f(q);

2a

(2)若。＜一；＜%,則〃?=/(-?),/=/(q)；

2a2a

(3)若與(-，＜?，貝!J機(jī)==/(p)；

2a2a

(4)若__—＞q,貝?。菁?f(q),M=f(p).

2a

【方法技巧與總結(jié)】

1、基函數(shù)歹=/(〃￡&)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下:

①當(dāng)。＜0時(shí)，其圖象可類似y=xT畫出；

②當(dāng)0＜。＜1時(shí)，其圖象可類y似一九畫出；

③當(dāng)a＞1時(shí)，其圖象可類似y=d畫出.

2、實(shí)系數(shù)一元二次方程?2+云+。=05彳0)的實(shí)根符號(hào)與系數(shù)之間的關(guān)系

A=Z>2-Aac>0

(1)方程有兩個(gè)不等正根Xi，/Ob.

X[+九2=------>0

a

c

xx=—>0

x2a

A=b2-4ac>0

(2)方程有兩個(gè)不等負(fù)根國,々0，b

X]+%=-----<。

a

c?

xx=—>0

{2a

(3)方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為國，馬O=￡<0

a

3、一元二次方程a?+fox+c=0(aw0)的根的分布問題

一般情況下需要從以下4個(gè)方面考慮:

(1)開口方向；(2)判別式；(3)對(duì)稱軸x=-2與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；(4)區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù).

2a

設(shè)國,當(dāng)為實(shí)系數(shù)方程依2+樂+c=0(a>0)的兩根，則一元二次ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布

與其限定條件如表所示.

根的分布圖像限定條件

y

fA>0

b

m<x<x〈---->m

x22a

XJ(m)>0

x<m<x/(⑼<0

x2D

A>0

b

a-----<m

2a

xr<x2<m0

1

A<0

1A

￡mnx

4y

1，Q?A=0

I//

y■i\/t

x1=x2<m

或%]=x2>m

1wnI

1r

A>0

fb

《-----<m

2a

在區(qū)間(m,n)內(nèi)???/(心0

mn

沒有實(shí)根*t

y

A>0

AMb

1《----->n

2a

/(?)>o

o\RHX

1""J.

《

丁.、/(〃)W0

（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題——?jiǎng)虞S定區(qū)間

和定軸動(dòng)區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對(duì)稱軸.即注意對(duì)對(duì)

稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：①軸處在區(qū)間的左側(cè)；②軸處在區(qū)間的右側(cè)；③軸

穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對(duì)參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.

（2）對(duì)于二次方程實(shí)根分布問題，要抓住四點(diǎn)，即開口方向、判別式、對(duì)稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值

正負(fù).

【典型例題】

例I.（2024?高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/'（x）=a*+6尤+c,若a>b>c且a+6+c=0,則它的圖象可能

【答案】D

【解析】由。>6>（:且.+6+0=0,得。>0,c<0,

所以函數(shù)/（x）是二次函數(shù)，圖象開口向上，排除A,C；

又/（0）=c<0,所以排除B；只有D符合.

故選：D.

例2.（2024?高三?河南?開學(xué)考試）已知正數(shù)利〃滿足以+1=2%,若小+2〃4力〃”2恒成立，則實(shí)數(shù)2的最

n

小值為（）

12_14

A.-B.-C.-D.-

4525

【答案】D

12

【解析】因?yàn)榧印?,〃>0,所以加+2〃（丸冽〃2n+——<x,

nmn

因?yàn)?也m+1=2"?,所以1上=2受m—」1，

nn3m

2m-1Y22m-1.4nf+8加一5,。

故-----+----------<Zn----------7------《丸，

\3mJm3m9m

2

Hn4m+8m-55（1Y81414丫4/

9m之9\mJ9m99（加5）55

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)時(shí)，等號(hào)成立，

4

故424^,實(shí)數(shù)4的最小值為4

故選：D

例3.（2024?江蘇徐州?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（工）=/+（0_1h-1的單調(diào)遞增區(qū)間是［1,+8）,則實(shí)數(shù)。的值

是（）

A.-3B.3C.-1D.1

【答案】C

(-J—1

【解析】函數(shù)“X)=d+(°-l)x-1的單調(diào)遞增區(qū)間是［-；一,+8),

a—1q—1

因此口,+如=［一?,+s),即=1,解得a=-l,

所以實(shí)數(shù)。的值是-1.

故選：C

例4.(2024?高三?北京?階段練習(xí))若函數(shù)/(x)=/-4，+(Z-l>2工有最小值，貝心的取值范圍是()

A.'JB.陷C.D.

【答案】A

【解析】設(shè)加=23則機(jī)>0,/(x)=g(m)=f?加2+(2-1)機(jī)，(加>0)有最小值.

當(dāng)/<0時(shí)，二次函數(shù)g?)開口向下，無最小值；

當(dāng)/=0時(shí)，g(加)=-加無最小值；

2/_11

當(dāng)/>0時(shí)，若g(M在(0,+。)上有最小值，則對(duì)稱軸-e7>0,解得0</<1

故選：A

例5.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知二次函數(shù)/(可滿足對(duì)于任意的x,"R,f(x)f(y)=f(xy),且/⑵=4.

若〃p+q)+〃g)=i，則/+2/的最大值與最小值之和是()

A.4+20B.2V2C.4D.41

【答案】C

【解析】設(shè)/(x)=辦?+6x+c(a片0),

因?yàn)?(x)/(y)=/(9)，令尸0,得/(尤)/(0)=〃0),故〃。)=0,所以c=0，

令y=l,得〃x)〃l)=/(x),故/(1)=1,即a+6=l,

又/'(2)=4,即4a+26=4,故0=1,6=0,所以/(x)=/,

由〃P+q)+/(g)=1，得(p+q『+/=l,設(shè)p+q=cos。，q=sin0,即p=cos6-sin。，q=sin6,

貝!Ip2+2q2=(cos。一sin。)2+2sin20=l-2sin0cos0+Zsin?8=1-sin2。+(1-cos26)

=2-sin261-cos26?=2-V2sin^26>+^e[2-V2,2+V2],

所以p2+2q2的最大值與最小值之和為2+0+2=4,

故選：C

例6.(2024?高三?全國?期末)已知函數(shù)/k)=/+4?在(-00,6)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.a>3B.a<3C.a<-3D.a<-3

【答案】D

【解析】函數(shù)/(x)=/+4ax的圖象是開口向上的拋物線，其對(duì)稱軸是直線x=-2a,

由函數(shù)〃x)在(-叱6)上單調(diào)遞減可得-2026,解得a<-3,

故選：D.

例7.（2024?高三?全國?專題練習(xí)）若函數(shù)〃尤）=加+2尤-3在（-94）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

（）

A.，:，+［B.>a）［C.一mD.—,0

【答案】D

【解析】當(dāng)。=0時(shí)，〃x）=2尤-3,“X）在定義域R上單調(diào)遞增，符合題意；

當(dāng)aw0時(shí)，/（X）的圖象的對(duì)稱軸為直線x=

因?yàn)閒（x）在（-*4）上單調(diào)遞增，所以a<。且-：24,解得-;4a<0.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為-：,0.

故選：D

例8.（2024?高一?浙江?單元測試）設(shè)函數(shù)/（x）=/+2（4-a）x+2在區(qū)間（一叫3］上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是（）

A.a>-7B.a>1C.a>3D.a<-1

【答案】B

【解析】函數(shù)/（x）=/+2（4-a）x+2的對(duì)稱軸方程為：x=a-4,

因?yàn)楹瘮?shù)〃乃=/+2（4-辦￥+2在區(qū)間（-00,3］上是減函數(shù)，

所以。-423,解得。27,

故選：B

例9.（2024?高三?上海靜安?期末）下列幕函數(shù)在區(qū)間（0,+"）上是嚴(yán)格增函數(shù)，且圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

的是（請(qǐng)?zhí)钊肴空_的序號(hào)）.

1121

①y=x5；②,=/；③y='④y=X'

【答案】②

【解析】因?yàn)槟缓瘮?shù)y=x"在區(qū)間（0,+”）上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以a>0,故④不滿足題意，

因?yàn)樵撃缓瘮?shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以>=/為奇函數(shù)，

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)=

因?yàn)閥=的定義域?yàn)椋?,+8）,所以圖象不關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故①不滿足題意；

因?yàn)?gt;=%=狐的定義域?yàn)椋‵,+8）,且/（-x）=卉=-&=-/（冷，故②滿足題意；

因?yàn)閥=戶=#/的定義域?yàn)椋?8,+°°）,且〃-x）=#（-尤）2==f（X）,故③不滿足題意.

故答案為：②.

例10.（2024?高一?重慶?期末）已知幕函數(shù)y=x。是奇函數(shù)，且在（0,+9）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的值可以

是.

【答案】-1（答案不唯一）

【解析】舉例。=-1，則_y=xT,根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)知其為奇函數(shù)，

且在（0,+8）上單調(diào)遞減，滿足題意.

故答案為：-1（答案不唯一）.

例11.（2024?四川宜賓?模擬預(yù)測）已知函數(shù)y=a（x-4）+2（a>0,且a21）的圖像恒過定點(diǎn)尸，且P在幕函數(shù)

/□）的圖像上，貝U/（x）=.

【答案】G

【解析】當(dāng)x=4時(shí)，V的值與。無關(guān)，且y=2,故尸（4,2）,設(shè)/（》）=/

將尸（4,2）代入/（x）,解得,"《，故〃幻=￡

故答案為：%

例12.（2024?高三?上海普陀?期中）若幕函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（后,3）,則此幕函數(shù)的表達(dá)式為/■（》）=.

【答案】x4

【解析】設(shè)此幕函數(shù)的表達(dá)式為了（力=丁，

依題意可得，（招『=3,即1=3,解得&=4，

所以此幕函數(shù)的表達(dá)式為/（尤）=/.

故答案為：x4.

例13.（2024?高一?吉林長春?期末）已知幕函數(shù)f（x）=（療一在區(qū)間（。,+8）上單調(diào)遞減，則

m=.

【答案】-1

【解析】由幕函數(shù)的定義知，蘇-2加-2=1,即蘇-2機(jī)-3=0，解得m=3或機(jī)=-1,

當(dāng)加=3時(shí)，/0）=/在區(qū)間（0,+功上單調(diào)遞增，不符合題意，

當(dāng)機(jī)=T時(shí)，〃x）=x-2在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減，符合題意，所以加=一1.

故答案為；-1

7+3-2，

例14.（2024?高一?全國?課時(shí)練習(xí)）幕函數(shù)是偶函數(shù)，且在（0,+8）上為增函數(shù)，則

函數(shù)解析式為.

【答案】/（X）=X3或/'（X）=必

l+3t-2t2

【解析】??./(x)=?3_f+l)是嘉函數(shù)，也是偶函數(shù),

且在（0,+8）上為增函數(shù),

Z3-/+1=1

且7+3/一2〃為偶數(shù),

7+3r-2/>0

解得/=1或，=-1,

8

當(dāng)，=1時(shí)，/(%)=/,

2

當(dāng)￡二一1時(shí)，/(x)=Q.

2、8

故答案為：/(%)=/或/(%)=/

例15.(2024?江蘇南京?二模)幕函數(shù)/(%)=￡(〃wR)滿足:任意xeR有/(-%)=/(%),且/(-1)<〃2)<2,

請(qǐng)寫出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)/（%）=.

【答案】）（答案不唯一）

222

【解析】取/卜）=/，則定乂域?yàn)镽,且/（—%）=（一工尸=/=/（x），

2

〃T）=1，/（2）=23=V4-滿足/（T）＜〃2）＜2.

故答案為：J.

例16.（2024?貴州畢節(jié)?模擬預(yù)測）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的非常值函數(shù)/（"=.

①/'（力40在R上恒成立;②/'（X）是偶函數(shù);③再）/（々）=0.

【答案】（答案不唯一，形如f2"T（〃eN*）均可）

【解析】由②知，函數(shù)/（x）可以是奇函數(shù)，由①知，函數(shù)Ax）在R上可以是減函數(shù)，

由③結(jié)合①②，令顯然/■'。）=-3/40,滿足①；/'（尤）=-3/是偶函數(shù)，滿足②；

Vx15x2eR,/（x1x2）+/（Xi）/（x2）=-（X1X2j+（-^）（-^2）=（,滿足③，

所以/（尤）=-x3.

故答案為：-x，

例17.（多選題）（2024?高三?海南海口?開學(xué)考試）如圖是二次函數(shù)y=ax2+6x+c（a/0）圖像的一部分，圖

像過點(diǎn)/（-3,0）,對(duì)稱軸為尸一1,給出下面四個(gè)結(jié)論正確的為（）

1C.ci—b+c<0D.5a<b

【答案】AD

【解析】因?yàn)閳D像與X軸交于兩點(diǎn)，所以62一4℃>0，即〃>4%,故A正確;

對(duì)稱軸為x=-l,B|J=-1,所以2a-b=0,故B錯(cuò)誤;

2a

結(jié)合圖像，當(dāng)尤=-1時(shí)，y>0,即a-b+c>0,故C錯(cuò)誤;

由對(duì)稱軸為x=-l知，b=2a,根據(jù)拋物線開口向下，知。<0,所以5a<2。=6,

即5a<6,故D正確.

故選：AD

例18.（多選題）（2024?高二,山東濱州?階段練習(xí)）對(duì)數(shù)函數(shù)y=a>0且"1）與二次函數(shù).v=（"l）d-x

在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象不可能是（）

【答案】BCD

【解析】選項(xiàng)A,B中,由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象得。>1,則二次函數(shù)中二次項(xiàng)系數(shù)其對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根

由圖象得工>1,從而1<。<2,選項(xiàng)A可能;

為0,-----,選項(xiàng)A中,

a-\a-\

選項(xiàng)B中，由圖象得一二

<0,與a>1相矛盾，選項(xiàng)B不可能.

a-1

選項(xiàng)C,D中，由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象得則二次函數(shù)圖象開口向下，D不可能;

選項(xiàng)C中，由圖象與x軸的交點(diǎn)的位置得工>1,與0<。<1相矛盾，選項(xiàng)C不可能.

a-\

故選：BCD.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.(2024?遼寧?一模)若函數(shù)/(x)=3-g在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，則。的取值范圍是()

A.(-8,4]B.[4,16]C.(16,+00)D.[16,+8)

【答案】A

【解析】設(shè)/(")=3",-2/+公，.則在(YO,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)?(x)=33能在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)"=-2x2+ax在區(qū)間4)內(nèi)單調(diào)遞減，

結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得：^<1,解得。44.

4

故選：A

2.(2024?高三?安徽?階段練習(xí))已知幕函數(shù)/(無)=(加2-5加+5)尤"-2是R上的偶函數(shù)，且函數(shù)

g(x)=/(x)-(2a-6)x在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-<?,4)B.(-ao,4]

C.[6,+co)D.(-00,4]U[6,+oo)

【答案】B

【解析】因?yàn)槟缓瘮?shù)/(》)=(川-5帆+5K”2是R上的偶函數(shù)，

則用2一5次+5=1,解得加=1或加=4,

當(dāng)掰=1時(shí)，/(x)=xT,該函數(shù)是定義域?yàn)椋鹸|xwo｝的奇函數(shù)，不合乎題意；

2

當(dāng)加=4時(shí)，f(x)=x,該函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，合乎題意.

所以，/(x)=x2,則g(x)=》2-(2a-6)x,其對(duì)稱軸方程為尤=a-3,

因?yàn)間(x)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增，貝解得aW4.

故選：B.

3.(2024?高三?全國?專題練習(xí))若幕函數(shù)>=/(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,亞)，則/(16)=()

A.V2B.2C.4D.y

【答案】C

【解析】設(shè)幕函數(shù)y=/(x)=x.,因?yàn)?(X)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,收)，所以2。=應(yīng)，解得a=；,

所以/(尤)=/,所以/"(16)=16：=4-

故選：C

4.（2024?高一嘿龍江雙鴨山潮中）/（x）=（蘇-加-1）”3-3是幕函數(shù)，且在x€（0,+s）上是減函數(shù)，則實(shí)

數(shù)加=（）

A.2B.-1C.4D.2或-1

【答案】A

【解析】由于/（%）=（蘇-加-1卜混一2二是基函數(shù)，所以病—加_1=1,解得加=2或加=-1,

由于/（x）在％￡（。,+°°）上是減函數(shù)，所以加2-2加一3＜0,故-1＜機(jī)＜3,

因此加=2,

故選：A

5.（2024?高?云南曲靖?期中）已知幕函數(shù)〃月=（/+2”2卜"7"（°€陽的圖象在（（）,+8）上單調(diào)遞減，

則a的取值是（）

A.1B.-3C.1或-3D.2

【答案】A

【解析】,../'（X）為幕函數(shù)，.,./+2.-2=1=＞。=1或。=-3；

當(dāng)0=1時(shí)，W，在（0,+8）上單調(diào)遞減;

當(dāng)°=-3時(shí)，/（x）=x14,在（0,+⑹上單調(diào)遞增，不滿足題意.

綜上可知：a=l.

故選：A.

6.（2024?四川成都一模）已知幕函數(shù)〃6=小的圖象過點(diǎn)尸（3,9）,則a=（）

A.1B.IC.2D.3

【答案】C

【解析】因?yàn)槟缓瘮?shù)/（同=X。的圖象過點(diǎn)尸（3,9）,所以3。=9,解得a=2.

故選：C.

7.（2024?高一?廣東深圳?期中）已知塞函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)尸（8,4）,則該幕函數(shù)在第一象限的大致圖象是（）

【答案】B

7

【解析】設(shè)/(X)=x",則8“=4O23〃=22,所以3a=2,所以。=：,

22

所以〃》)=戶=行，因?yàn)?<§<1，

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)在(0,+8)上遞增，且增加的速度越來越緩慢，

故該寨函數(shù)在第一象限的大致圖象是B選項(xiàng).

故選：B.

【答案】C

【解析】設(shè)幕函數(shù)的解析式為/(x)=x\

由幕函數(shù)了=/(尤)的圖象過點(diǎn)(16,4),;.4=16,解得a=g

:.y=f(x)=&,其定義域?yàn)椋?,+"),且是增函數(shù)，

當(dāng)0<x<l時(shí)，其圖象在直線>=x的上方，故C滿足題意.

故選：C

9.(2024?海南?模擬預(yù)測)已知/("=(心2+加-5卜為為幕函數(shù)，則().

A.f(x)在(-e,0)上單調(diào)遞增B.f(x)在(-嗎0)上單調(diào)遞減

C.在(0,+力)上單調(diào)遞增D.7(x)在(0,+1%>)上單調(diào)遞減

【答案】B

【解析】因?yàn)椤▁)=(蘇+機(jī)-5卜”‘是暴函數(shù)，所以療+〃.5=1,解得加=2或加=-3,

所以/(無)=/或/(x)=/,

對(duì)于〃X)=V函數(shù)在(0,+力)上單調(diào)遞增，在(-8,0)上單調(diào)遞減；

對(duì)于/(x)=x-3,函數(shù)在(O,+e)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，故在(一%0)上單調(diào)遞減;

故只有B選項(xiàng)"/(x)在(-鞏0)上單調(diào)遞減”符合這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì).

故選：B

10.(2024?四川南充二模)已知函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，則/(x)的解析式可能是()

【答案】D

()

【解析】對(duì)于A：函數(shù);;=工3=?的定義域?yàn)椋郏?8)，顯然不符合題意，故A錯(cuò)誤;

1

對(duì)于B：函數(shù))=X5的定義域?yàn)?0,+“)顯然不符合題意，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：函數(shù)了=x?的定義域?yàn)镽,又了=/為奇函數(shù)，又了=X3在(o,+e)上函數(shù)是下凸遞增，故不符合題

意，故C錯(cuò)誤;

111/\

對(duì)于D：函數(shù)了='=近的定義域?yàn)镽，又y=/為奇函數(shù)，且>=/在(0,+。)上函數(shù)是上凸遞增，故D

正確.

故選：D

二、多選題

11.(2024?高三?黑龍江齊齊哈爾?期末)設(shè)0<〃<b,a+b=\,貝lj()

A.2ab〉一B.2ab<—C.6z2+Z?2>—D.tz2+Z?2<—

4224

【答案】BC

【解析】由0<Q<Z）且Q+6=l,

111

0+6=122而，即貝當(dāng)且僅當(dāng)。=6=5取等號(hào)，故取不至IJ,

所以2ab<—,A錯(cuò)，B對(duì)；

2

=〃2+（1-02二2/一2〃+1=2（"；）2+；,且

所以〃2+〃￡(于］),C對(duì)，D錯(cuò).

故選：BC

12.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知二次函數(shù)/(x)滿足對(duì)于任意的xjeR,/(x)/(y)=/3)且"2)=4.若

/(p+q)+/(q)=i，則下列說法正確的是()

A.p+2q>—lB.p+2q<42

C.p2+2q2<2-42D.p2+2q2<2+42

【答案】BD

【解析】設(shè)二次函數(shù)/(x)=辦?+6x+c(aw0),

因?yàn)?(x)/(y)=/(xy),令尸0,可得〃x)〃0)=〃0),故"0)=0,所以c=0,

令y=l,得/(x)/⑴=/(x),故/⑴=1,即a+b=l；

又因?yàn)?⑵=4,即4a+26=4,解得。=1,6=0,所以/(x)=f,

由/(p+q)+/(q)=i，可得(o+qf+q?=i,

設(shè)2+4=cos0,q=sin09即2=cos。-sinq=sin0,

從而2+2q=cose+sine=V^sin[e+?]￡[—V^,亞],故A錯(cuò)誤，B正確；

又由夕之+2屋=(cos9-sine)2+2sin2^=l-2sin^cos^+2sin2^=l-sin2^+(l-cos2^)

=2-sin20-cos20=2-V2sin^20+^e[2-V2,2+V2],所以C錯(cuò)誤、D正確.

故選：BD.

13.(2024?高三?河南信陽?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=d+辦+6,一46<o,則以下正確的是()

A.3xGR,/(x)<xB.VxeR,f[x)>x

C.VXGR,/(/(%))>%D.a+b>Q

【答案】BCD

【解析】因?yàn)?(x)-x=d+(a-l)x+6,其圖象為開口向上的拋物線，

△=(4—1)2—46<0,即/(x)—x=d+(〃-1)工+6=0無實(shí)數(shù)本艮，

2

故VXER,X+(^-1)X+Z?>0,即/(X)〉X,故B正確，A錯(cuò)誤；

C：由B正確可知：/(7(x))〉/(x)〉x,故C正確；

D：因?yàn)?a--4b<0,故6〉a(Q-1)，

1i、,

所以Q+Z?>Q+-1)=4(a+l)20，故D正確.

故選：BCD

14.（2024?高三?山西晉中?階段練習(xí)）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)^=7+辦+〃—1與優(yōu)的圖象可能是（）

【解析】當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖象可能為選項(xiàng)A；當(dāng)0<。<1時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖象可能為選項(xiàng)C.

故選：AC.

15.（2024?高二?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（1）=辦2+工一3,若對(duì)任意的可,％2￡[1，+°°），且

x產(chǎn)X2,山上/應(yīng)<3恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值可以是（）

X]—x2

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】AB

【解析】不妨設(shè)1v外<三，則%一%<0,

根據(jù)題意，可得〃再）-*%）>3（玉-馬）恒成立，

即/（再）-3再>/（%2）-3%2恒成立,

令g（x）=/（x）-3x=ad-2尤-3,

則g（M）>g（Z）恒成立，所以函數(shù)g（x）在工+8）上單調(diào)遞減

當(dāng)a=0時(shí)，8（幻=-2》-3在[1,+功上單調(diào)遞減，符合題意；

當(dāng)a*0時(shí)，要使g（x）=a%2-2工一3在口,+00）上單調(diào)遞減，

a<0,

則<-2解得a<0.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（一*0].

故選：AB

16.（2024?高一?福建福州?期中）已知函數(shù)〃4+l）=2x+4-1,則（）

A./（3）=9B.f（x）=2x2-3x（x>0）

C.〃X）的最小值為-1D.〃尤）的圖象與X軸有1個(gè)交點(diǎn)

【答案】ACD

【解析】令"&+121,得石="1，貝卜=”1）2,得/（&+1）=/。）=2產(chǎn)一3乙

故/（x）=2/_3x,xe[1,+?）,/（3）=9,A正確，B錯(cuò)誤.

2-1,所以/（》）在[L+⑹上單調(diào)遞增,

/(X)=2x*2*-3x=2x-1

/（力礴=〃1）=-1，/（x）的圖象與X軸只有1個(gè)交點(diǎn)，c正確,D正確.

故選：ACD

現(xiàn)有4個(gè)基函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)可能成立的是（）

n=-3

1

B.2=4,m=3,n=-2

1

C.2=2,m=3,n=-3

111

D.m=—.q=-2,n=—

34

【答案】AB

【解析】對(duì)于幕函數(shù)y=x",若函數(shù)在（0,+/）上單調(diào)遞增，則夕>0,若函數(shù)在（0,+"）上單調(diào)遞減，則&<0,

所以"<0,D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)X>1時(shí)，若y=的圖象在y=x的上方，則a>l,若y=x"的圖象在y=x的下方，則a<l,

所以。>1,機(jī)>l,0<q<l,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)楫?dāng)尤>1時(shí)，指數(shù)越大，圖象越高，所以。>用，

綜上，p>m>l>q>O>n,AB選項(xiàng)正確.

故選：AB

18.（2024?高三?云南?階段練習(xí)）若。>6,則（）

A.ln(a-Z))>0B.3">3"

C.tz3—63>0D.-<T

ab

【答案】BC

【解析】加（。-6）〉0需要。-/?>1,不能滿足，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

由指數(shù)函數(shù)歹=3、的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，有3。>3°,B選項(xiàng)正確；

由基函數(shù)>的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，有Q3>〃3,即〃3一63〉0，C選項(xiàng)正確;

當(dāng)。=2,6=-1時(shí)，滿足。>6,但不成立，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

ab

故選：BC

19.（2024?高一?山東?階段練習(xí)）已知log3Q>log3b,則下列不等式一定成立的是（）

A.0<：<：B.log3（6Z-/?）>0C.3“一'>1D.

【答案】ACD

【解析】log34Z>log3Z),故3>6>0,

對(duì)選項(xiàng)A：a>b>0,同時(shí)除以“6得到1>l>0,正確；

ba

21

對(duì)選項(xiàng)B：取a=l,b=1,log3(^a—b^=log3—=—1<0,錯(cuò)誤;

對(duì)選項(xiàng)C：3j>3°=l,正確；

故"口,正確

故選：ACD

20.（2024?高三?河北滄州?階段練習(xí)）函數(shù)/■（x）=1二（aeR）的大致圖象可能是（）

1Txi

【解析】由題意知;l-|x快0,則XW±1,當(dāng)xe(0,l)時(shí)，1-1X|>0,xa>0.f(x)>0,

a

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，x>0,f(x)<0,

所以/(x)的大致圖象不可能為C,

而當(dāng)a為其他值時(shí)，A,B,D均有可能出現(xiàn)，

不妨設(shè)a=:，定義域?yàn)椋?,l)U(l,+s),此時(shí)A選項(xiàng)符合要求；

當(dāng)2=1時(shí)，定義域?yàn)閧小片±1},且=---?1=-/(可,

(>1-1-XIl-\x\

x

故函數(shù)=為奇函數(shù)，所以B選項(xiàng)符合要求，

1-田

當(dāng)1=2時(shí)，定義域?yàn)楹蝀R±1},且(言

V2

故函數(shù)=為偶函數(shù)，所以D選項(xiàng)符合要求.

1-|尤|

故選：ABD

三、填空題

21.(2024?高三?上海?專題練習(xí))請(qǐng)寫出一個(gè)函數(shù)/(%)=—使之同時(shí)具有如下性質(zhì)：

(1)函數(shù)/'(x+2)為偶函數(shù)；

(2)/'(x)的值域?yàn)椋?,+8).