2025年新高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：棱錐相關(guān)解答題十大題型（原卷版）

專題1-3棱錐相關(guān)解答題十大題型匯總

。?？碱}型目錄

題型1平行關(guān)系..................................................................1

題型2垂直關(guān)系..................................................................3

題型3長度問題..................................................................6

題型4距離體積問題..............................................................8

題型5線線、線面角問題.........................................................10

題型6二面角問題...............................................................13

題型7線面角與動點問題.........................................................15

題型8二面角與動點問題.........................................................18

題型9體積與動點問題...........................................................20

題型10最值取值范圍問題........................................................22

U題型分類

題型1平行關(guān)系

【例題1】（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐P-48c中,AB1BC,AB=2,BC=

2版，PB=PC=遍，BP、AP.8C的中點分另（J為D、E、0，點F在AC上,BFLAO.求證：

EF〃平面2。。.

【變式1-1]1.（2023?全國?高二專題練習(xí)）如圖，在三棱錐P-48C中，PA，底面ABC,

^BAC=90。.點D,E,%分別為棱PA.PC,8C的中點，M是線段4。的中點，P4="=2,

AB=1.求證：MN〃平面BDE；

p

【變式1-1J2.(2023?高二課時練習(xí))如圖，在三棱錐P-ABC中,PA1平面力8c,AB1AC.

(1)求證：AC1PB；

(2)設(shè)0、D分別為4C、AP的中點，點G為A04B內(nèi)一點，且滿足函=式布+函)，求

【變式1-1]3.(2023?全國?高二專題練習(xí))如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABP

所在的平面互相垂直，S.AB//CD,AB1BC,AP1PB,AB=2,BCCD=1.

(1)求證：AB1PD；

(2)求直線PC與平面ABP所成角的余弦值；

(3)線段PA上是否存在點E,使得PC〃平面EBD?若存在，求出節(jié)的值；若不存在，請說

明理由.

【變式1-1J4.(2023春?湖南長沙?高二長沙一中?？计谀?如圖，在四棱錐P-48CD中，

CDJ_平面PAD,APAD為等邊三角形，AD//BC,AD=CD=2BC=2,平面PBC交平面

PAD直線I,E、F分別為棱PD,PB的中點.

(1)求證：BCIIZ；

(2)求平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值；

(3)在棱PC上是否存在點G，使得DGII平面AEF?若存在，求得的值，若不存在，說明理

由.

【變式2023?全國?高二專題練習(xí)如圖，在三棱錐P-ABC中,PA1底面ABC尸4=2,

AB=AC=1,將4P4B繞著24逆時針旋轉(zhuǎn);到4P2。的位置，得到如圖所示的組合體，M為

PD的中點.

(1)當(dāng)NBAC為何值時，該組合體的體積最大，并求出最大值；

(2)當(dāng)PC〃平面M48時，求直線PC與平面PBD所成角的正弦值.

題型2垂直關(guān)系

【例題2](2023?全國?高二專題練習(xí))如圖,在三棱錐P-ABC中，AB=AC,D為BC的

中點，P0,平面ABC,垂足。落在線段AD上.已知BC=8,P0=4,A0=3,0D=2.

⑴證明：AP^BC;

⑵若點M是線段AP上一點，目AM=3,試證明AM，平面BMC.

【變式2-1]1.(2023秋?全國?高二隨堂練習(xí))如圖，在三棱錐P-ABC,AB=AC,D

是BC的中點，P0,平面ABC,垂足0落在線段AD上,已知BC=8,P。=4,4。=

3,0D=2.

⑴求證：AP^BC；

⑵若點M是線段AP是一點，S.AM=3.試證明平面AMC,平面BMC.

【變式2-1]2.(2023?全國?高二專題練習(xí))如圖，在三棱錐P-ABC中，PB，平面A8C,

ABLBC,AB=PB=2,BC=273,E、G分另為PC、PA的中點.

(1)求證：平面BCG1平面P4C；

(2)在線段4c上是否存在一點N，使PN1BE?證明你的結(jié)論.

【變式2-1]3.(2023秋?全國?高二隨堂練習(xí))如圖，在三棱錐P-ABC中，MBC是邊

長為2的正三角形，PA=2,1底面ABC于點D,2。，DB,且DB=1.

(1)求證:4C〃平面PDB.

(2)在棱PC上是否存在一點E,使得DE1平面PAB?若存在，求出青的值；若不存在，請

說明理由.

【變式2-1]4.(2021?高二課時練習(xí))如圖，在三棱錐P-48C中，底面A2BC為等邊三

角形，^APC=90。,4C=2PA=4,且平面PAC1平面ABC.

(1)求三棱錐P-ABC的體積；

(2)求二面角B-AP-C的余弦值；

(3)判斷在線段2C上是否存在點Q,使得△PQB為直角三角形？若存在，找出所有符合要

求的點Q,并求黑的值；若不存在，說明理由.

P

AC

B

【變式2-1]5.(2023?全國?高二專題練習(xí))如圖，已知四棱推P-28CD的底面是平行四

邊形，側(cè)面P4B是等邊三角形,BC=2AB,AC=^3AB,PB1AC.

(1)求證：平面PAB_L平面4BCD；

(2)設(shè)Q為側(cè)棱PD上一點，四邊形BEQF是過B,Q兩點的截面，目2C||平面BEQF,是否存在

點Q，使得平面BEQF，平面P2。？若存在，求照的值；若不存在，說明理由.

題型3長度問題

【例題3](2023?四川綿陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，在三棱錐P-48c中，PA1底面4BC,

^BAC=90。.點。、E、N分別為棱PA、PC、BC的中點，M是線段4。的中點，P4="=4,

AB=2.

(1)求證：MN〃平面BDE；

(2)已知點”在棱P4上，且直線N”與直線BE所成角的余弦值為宏,求線段4"的長.

【變式3-1]1.(2023?全國?高三專題練習(xí))在三棱錐P-48c中,PA=BC,PB=PC,

AB=AC.

(1)證明：PA1BC；

(2)若PB=五PA=2V2,AB=V10,M在棱PB上，當(dāng)直線2M與平面P8C所成的角最大時,

求PM的長.

【變式3-1】2.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖，等腰梯形A8CD中2D〃BC,BE1AD,BC=

BE=4,DE=8,沿班將4ABE折起至與平面BCDE成直二面角得到一四棱錐，M為4E中

點，過C、D、M作平面a.

請畫出平面COM截四棱錐A-BCDE的截面,寫出作法，并求其周長；

【變式3-1]3.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在三棱錐D—ABC中,G是^ABC的

重心，E,F分另1J在BC,CD上，S.BE=\EC,DF=\FC.

(1)證明：平面GEFII平面ABD;

(2)若CD，平面/XBC,AB1BC,AC=CD2,BC=1,P是線段EF上一點，當(dāng)線段GP

長度取最小值時，求二面角P-4。-C的余弦值.

D

題型4距離體積問題

【例題412023春?高二單元測試如圖，在三棱錐P-ABC中,PA_L平面ABC^BAC=90°,

D,E,F分別是棱AB,BC,CP的中點,AB=AC1,PA=2.

⑴求直線PA與平面DEF所成角的正弦值；

⑵求點P到平面DEF的距離；

⑶求點P到直線EF的距離.

【變式(2023?全國?高二假期作業(yè))如圖，在三棱錐P-中,ABIBC,AB=2,

BC=2V2,PB=PC=y[6,BP,2P,BC的中點分別為。,E,。,點F在AC上,BF1AO.

(1)求證：EF〃平面AD。；

(2)若NPOF=120°,求三棱錐P—ABC的體積.

【變式4-1]2.(2023春?天津河西?高三天津市第四十二中學(xué)校考階段練習(xí))如圖所示，

在三棱錐S-ABC中，SC_L平面ABC,SC=3,AC±BC,CE=2EB=2,AC=\,CD=

ED.

⑴求證:DE_L平面SCD;

(2)求二面角4-SD-C的余弦值；

(3)求點A到平面SCD的距離.

【變式4-1]3.(2023?全國?高二假期作業(yè))如圖，在三棱錐4-BCD中/BCD=90°,AB=

力C=的中點為G.

(1)證明：直線2G1平面BCD；

(2)若BD=2,BC=1,當(dāng)直線48與平面AC。所成的角最大時，求三棱錐4-BCD的體積

C

【變式4-l】4.(2023春?云南昆明?高二安寧中學(xué)校考階段練習(xí)衽三棱錐P-28C中,PA=

PB"BAC=90°,M為棱BC的中點.

⑴證明：4B1PM；

(2)若平面P481平面ABC,PA=PB=y/2ABAC=2.,E為線段PC上一點2PE=EC,

【變式4-1]5.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在三棱錐P-4BQ中，PB，平面ABQ,

BA=BP=BQ=2,D,C,E,F分另U是2Q,BQ,AP,BP的中點,ABJ.BQ,PD與EQ交

于點G,PC與FQ交于點H,連接GH.

(1)求證：AB//GH；

(2)求平面P28與平面PCD所成角的余弦值；

(3)求點4到平面PCD的距離.

題型5線線、線面角問題

【例題5](2023春?吉林長春?高二長春市解放大路學(xué)校?？计谀?如圖，在三棱錐P-ABC

中，平面P48_L平面ABC,P4=2或，PB=&,4B=返，AC1PC,D是棱PC的中點.

(1)求證■.BC1AC；

(2)若AC=V3,求直線BC與平面ADB所成角的正弦值.

【變式5-1]1.(2022秋?安徽合肥?高二?？茧A段練習(xí))如圖所示，在三棱錐P-ABC中,

PC1平面力BC,4C1BC,AC=3,BC=6,點分別在棱上,滿足劣=饕="且

ADDC

DE1PD.

(1)求實數(shù)4的值；

(2)若PC=2,求直線與平面PDE所成角的正弦值.

【變式5-1]2.(2022秋?全國?高三統(tǒng)考階段練習(xí))如圖，在三棱錐P-力BC中,PA1底

面4BC,AB=AP,PC=BC,D為P8的中點.

(1)求證：PB1AC；

(2)若4B=AC,求直線4P與平面PBC所成角的正弦值.

B

【變式5-1]3.（2023秋?高二單元測試）如圖，在五棱錐P-ABCDE中，PA，平面

ABCDE.AB||CD,AC||ED,AE||BC,乙ABC=45°,AB=2/,BC=2AE=4、三角形P力B是

等腰三角形.

⑴求證：平面PCD1平面P4C：

（2）求直線PB與平面PCD所成角的大小；

【變式5-1]4.（2023?全國?高二專題練習(xí)）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)

過適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個頂點處的小棱錐所得的多面體.現(xiàn)將棱長為3的正四

面體沿棱的三等分點分別作平行于各底面的截面，截去四個頂點處的小棱錐，得到所有棱長

均為1的截角四面體，如圖所示.

⑴求證：BDLEF；

⑵求直線8。與平面"K所成角的正弦值.

【變式5-1]5.（2023?全國?高二專題練習(xí)）如圖，在三棱錐P-A8C中，4818C,48=

BC=kPA,點。、。分另U是4C、PC的中點,OP1底面48C.

⑴求證。。〃平面P4B；

（2）當(dāng)k=/寸，求直線P4與平面PBC所成角的正弦值；

⑶當(dāng)k取何值時，。在平面P8C內(nèi)的射影恰好為4PBC的重心?

題型6二面角問題

【例題6】（2023?全國?高三專題練習(xí)）在三棱錐S-4BC中，底面ABC是邊長為4的正三

角形，側(cè)面S4C1底面ABC,SA=SC,SB=2V5，點E在線段SB上,且工=|.

⑴證明:SB1平面ACE;

（2）求二面角4-SB-C的正弦值.

【變式6-1]1.（2023?四川自貢統(tǒng)考二模）如圖，在三棱錐P-48C中,H為△4BC的內(nèi)

心，直線4H與BC交于M,4PAB=/.PAC,/.PCA=乙PCB.

⑴證明：平面PAM1平面4BC；

(2)若AB_LBC,P4=28=3,BC=4,求二面角M-PA-C的余弦值.

【變式6-1]2.(2023?全國模擬預(yù)測)如圖，球O是正三棱錐P-ABC和Q-4BC的外接

球，M為4力8c的外心,直線AM與線段BC交于點D,D為BC的中點，兩三棱錐的高之

比為PM:QM=3:1,E為PA上一點，且PE:E4=5:3.

(1)證明：PE1EC；

(2)求二面角E-BC-Q的正弦值.

【變式6-1]3.(2023?全國?高二假期作業(yè))如圖，在三棱錐P-4BC中，P2=PB,48=

BC=2,乙APB=^ABC=90°,平面，平面48c,點E是線段P4上的動點.

(1)證明：平面4PC1平面PBC；

(2)若點Q在線段BC上,BQ=l，且異面直線EQ與PB成30。角，求平面EBC和平面ABC夾角

的余弦值.

【變式6-1]4.(2023?全國?模擬預(yù)測)如圖,在三棱錐P-2BC中,PB，平面ABC,PB=

AC-1,AB—45,BC—2V2,D,E,F分別為BC,PA,AB的中點.

(1)證明：平面ADE1平面DEF;

(2)求二面角。-AP-C的余弦值.

【變式6-1]5.(2023?全國?高二專題練習(xí))如圖，在三棱錐C-48。中,AB1BD,S.AADB=

30°,BCLCD,BC=CD,E是4。的中點,AB=CE.

(1)求證：平面48。1平面BCD；

(2)求平面2CD與平面BCD的夾角的余弦值.

題型7線面角與動點問題

【例題7](2023?全國?高二專題練習(xí))在三棱錐P-ABC中，若已知P2IBC,PB1AC,

點P在底面ABC的射影為點H,則

(1)證明:PC1AB

(2)設(shè)PH=HA=HB=HC=2，則在線段PC上是否存在一點M，使得與平面P4B所成

角的余弦值為，若存在，設(shè)詈="求出入的值，若不存在，請說明理由.

【變式7-1]1.(2022?全國?高二期末)已知三棱錐P-ABC(如圖一)的平面展開圖(如

圖二)中，四邊形4BCD為邊長等于魚的正方形，△43石和小BCF均為正三角形，在三棱錐

P—A8C中：

⑴證明：平面PNC1平面ABC；

(2)若點M在棱PA上運動，當(dāng)直線BM與平面P4C所成的角最大時，求二面角M-BC-4的余

弦值.

圖一圖二

【變式7-1]2.(2023秋?天津河西?高三北京師范大學(xué)天津附屬中學(xué)?？计谀?如圖，在

三棱錐P—48c中，PA1底面48c,Z.BAC=90。.點。、E、N分別為棱PA、PC、8C的中

點，M是線段4。的中點，PA=2C=4,A8=2.

(1)求證：MN〃平面BDE；

(2)求平面CEM與平面MNE夾角的正弦值；

(3)點H在棱PA上,直線NH與BE所成角余弦值為手,求線段長.

【變式7-1]3.(2023?全國?高二假期作業(yè))如圖，在三棱錐P-48C中，PA，底面A8C,

血C=90°，點D,E4分別為棱P4,PC,BC的中點,M是線段4。的中點,PA=AC=4,

AB=2.

Q)求證：MN〃平面BDE.

(2)已知點”在棱P2上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為手,求線段AH的長.

【變式7-1]4.(2022秋?重慶南岸?高二重慶第二外國語學(xué)校?？计谥?蓮花山位于鄂州

市洋瀾湖畔.蓮花山，山連九峰，狀若金色蓮初開，獨展靈秀，故而得名.這里三面環(huán)湖,

通匯長江，山巒疊翠，煙波浩渺.旅游區(qū)管委會計劃在山上建設(shè)別致涼亭供游客歇腳，如圖

①為該涼亭的實景效果圖，圖②為設(shè)計圖，該涼亭的支撐柱高為3V3m，頂部為底面邊長為

2的正六棱錐，且側(cè)面與底面所成的角都是45。.

(1)求該涼亭及其內(nèi)部所占空間的大??；

(2)在直線PC上是否存在點M，使得直線MA與平面BD/i所成角的正弦值為f?若存在，

請確定點M的位置；若不存在，請說明理由.

圖①圖②

題型8二面角與動點問題

【例題8]（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐P-4BC中，平面PBC1平面4BC,

APBC為等邊三角形,D,E分別為PC,PB的中點，8。1PA,BC=2,AC=1.

⑴求證：AC1平面PBC；

⑵在線段4c上是否存在點F,使得平面DEF與平面A8C的夾角為，若存在，求出CF的長；

若不存在，請說明理由.

【變式8-1]1.（2023?上海虹口?上海市復(fù)興高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱錐P-

4BC中,AB=BC=2笆，PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點.

（1）證明：P。，平面ABC;

⑵若點M在棱BC上,且二面角M-PA-C為30。，求常勺值.

p

c

B

【變式8-1]2.(2023?全國?高二專題練習(xí))如圖，在三棱錐「一力8。中，48=灰?=

2y/2,PA=PC=AC=4：,平面ABC1平面P4C.

(1)求異面直線4c與PB間的距離；

⑵若點”在棱BC上,且二面角M-PA-C為30°,求PC與平面P2M所成角的正弦值.

【變式8-1]3.(2023?全國?高二專題練習(xí))如圖所示，在三棱錐P-ABC中，已知P41平

面4BC,平面P4B1平面PBC.

(1)證明：BC，平面P4B；

(2)若P2=AB=6,BC=3，在線段。。上(不含端點)，是否存在點。，使得二面角B-AD-C

的余弦值為?，若存在，確定點。的位置；若不存在，說明理由.

R

【變式8-1]4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在三棱錐4-ABC中,D,E,P分別在棱AC,

AB,BC上，且D為AC中點，4。=力E=A'D=A'E=2,AP1于F.

（1）證明：平面A4'P1平面4OE；

⑵當(dāng)BE=1,BC=5,二面角4——P的余弦值為|時，求直線4B與平面4DE所成角

的正弦值.

題型9體積與動點問題

【例題9]（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中,zDAB=60°,

點M,N分別是邊BC,CD的中點,ACriMN=G.沿MN將&CMN翻折到

的位置，連接PA,PB,PD,得到如圖2所示的五棱錐P-ABMND.

（1）在翻折過程中是否總有平面平面PAG?證明你的結(jié)論；

⑵當(dāng)四棱錐P-MNDB體積最大時，求直線PB和平面MNDB所成角的正弦值；

（3）在（2）的條件下，在線段PA上是否存在一點Q,使得二面角Q-MN-P的平面角的余弦

值為噂?若存在，試確定點Q的位置；若不存在，請說明理由.

B

圖1

【變式9-1】1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐4-BCD中，平面AB。1平面

BCD,AB=AD,。為8。的中點.

⑴證明：04_LCD；

(2)已知△OCD是邊長為1的等邊三角形，且三棱陶4-BCD的體積為￡,若點E在棱4。上,

O

且二面角E-BC-。的大小為45。，求答.

【變式9-1]2.(2023?全國?高二專題練習(xí))如圖所示，在三棱錐P-ABC中，已知241平

面ABC,平面/MB1平面PBC,點D為線段PC上一點，且PD=2DC,

⑴證明:BC1平面P4B；

(2)若48=6,BC=3,且三棱錐P-48C的體積為18,求二面角B-AD-C的正切值.

P

【變式9-1]3.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在三棱錐P-力BC中，側(cè)面P2C是邊長

為2的正三角形，BC=4,48=2有，分別為PC,PB的中點，平面4EF與底面A8C的

交線為I.

(1)證明：Z//平面PBC.

(2)若三棱錐P-4BC的體積為竽,試問在直線1上是否存在點Q，使得直線PQ與平面4EF所

成角為a,異面直線PQ,EF所成角為。，且滿足a+8=三？若存在，求出線段4Q的長度；若

【變式9-1]4.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在三棱錐P-力BC中，側(cè)面P2C1底面

ABC,AC1BC,AP4C是邊長為2的正三角形,BC=4,E,F分別是PC,PB的中點，記平面4EF

與平面A8C的交線Z.

(1)證明：直線11平面P4C.

(2)若Q在直線I上且N82Q為銳角，當(dāng)"TEFQ=4-4BC時，求二面角4-PQ-B的余弦值.

題型10最值取值范圍問題

【例題101(2023春?寧夏銀川?高二銀川一中?？计谥斜卣f中，乙4cB=45。,8c=3,

過點4作4。1BC,交線段BC于點。(如圖1),沿4。將44BD折起，使4BDC=90°(如圖

2),點民M分別為棱BC,AC的中點.

(1)求證：CD1ME；

(2)在①圖1中tan2B=—J②圖1中前=|國+[左，③圖2中三棱錐a-BCD的體積

最大.

這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，再解答問題.

問題：已知,試在棱C。上確定一點N，使得EN1BM,并求平面BMN與平面C8N

的夾角的余弦值.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【變式10