2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：三角形中的重要模型之弦圖模型、勾股樹模型解讀與提分訓(xùn)練（原卷版+解析）

專題08三角形中的重要模型之弦圖模型、勾股樹模型

弦圖分為內(nèi)弦圖與外弦圖，內(nèi)弦圖是中國古代數(shù)學(xué)家趙爽發(fā)現(xiàn)，既可以證明勾股定理，也可以此命題，

相關(guān)的題目有一定的難度，但解題方法也常常是不唯一的。弦圖之美，美在簡(jiǎn)約，然不失深厚，經(jīng)典而久

遠(yuǎn)，被譽(yù)為“中國數(shù)學(xué)界的圖騰”。弦圖蘊(yùn)含的割補(bǔ)思想，數(shù)形結(jié)合思想、圖形變換思想更是課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)

思想滲透的絕佳載體。一個(gè)弦圖集合了初中平面幾何線與形，位置與數(shù)量，方法與思想，小身板，大能量，

它就是數(shù)學(xué)教育里的不老神話。廣受數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)愛好者研究，近年來也成為了各地中考的熱點(diǎn)問題。

大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中

提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每

一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！

目錄導(dǎo)航

例題講模型

.......................................2

模型1.弦圖模型......................................................................2

模型2.勾股樹模型....................................................................7

習(xí)題練模型一

................................................................................................................................................................11

例題講模型］

模型1.弦圖模型

模型解讀

“弦圖”就是我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽，利用面積相等，形象巧妙的證明方法。所謂弦圖模型就是四個(gè)全等

直角三角形的弦互相垂直圍成了一個(gè)正方形圖形，當(dāng)弦在圍成的正方形之內(nèi)叫內(nèi)弦圖模型，當(dāng)弦恰恰是圍

城正方形的邊長時(shí)就叫外弦圖模型。

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，考試中有時(shí)候不會(huì)直觀明了的出現(xiàn)弦圖模型，所以學(xué)習(xí)中我們要抓住弦圖本質(zhì)靈

活變形，從而增強(qiáng)數(shù)學(xué)的變化性，培養(yǎng)思維靈活性，為學(xué)生提供思維的廣泛聯(lián)想空間，使其在面臨問題時(shí)

能夠從多種角度進(jìn)行考慮，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“舉一反三”。

模型證明

(1)內(nèi)弦圖模型：

條件：如圖1,在正方形A8CD中，于點(diǎn)E,BE_LCG于點(diǎn)RCG_L?！庇邳c(diǎn)G,DHLAE于點(diǎn)、H,

結(jié)論：4ABE名ABCF色ACDG名ADAH；

證明：VZABC=ZBFC=ZAEB=90°,：.ZABE+ZFBC=ZFBC+ZFCB=90°.：.ZABE=ZFCB.

又；AB=BC,：.4ABE"ABCF,同理可得AABE之△BCV絲△COG絲△ZMH.

(2)外弦圖模型:

條件：如圖2,在正方形ABC。中，E,F,G,H分別是正方形A8CO各邊上的點(diǎn)，EFGH是正方形,

結(jié)論：4AHE會(huì)ABEF當(dāng)ACFG當(dāng)ADGtl；

證明：VZB=ZEFG=ZC=90°,ZBEF+ZEFB=ZEFB+ZGFC=90°,:./BEF=/GFC.

又,：EF=FG,:ZBF^AFCG.同理可得會(huì)△GQ”也△HAE.

(3)內(nèi)外組合型弦圖模型：

條件：如圖3、4,四邊形ABC。、EFGH、PQMN,均為正方形；結(jié)論：2S正方彩EFGH=S正方彩ABC￡>+S正方形PQMN.

證明：由(1)(2)中的證明易得：圖3和圖4中的八個(gè)直角三角形均全等，并用SA表示他們的面積。

S正方形ABC0=S正方形PQWN+8sA;S正方形EFGH=S正方形PQWN+4sA;

?*.S正方彩ABCO+S正方彩PQMN=S正方形PQWN+8SA+S正方形PQMN=2S正方形P°MN+8sA=2S正方彩EFGH

上述三類弦圖模型除了考查相關(guān)證明外，也常和完全平方公式(知二求二)結(jié)合考查。

(4)半弦圖模型

條件：如圖5,EA_LAB于點(diǎn)A,GB_LA2于點(diǎn)2,EF1FG,EF=FG,結(jié)論：AAFE94BGF；EA+GB=AB。

證明：,.,EA_LAB于點(diǎn)A,GB_LA8于點(diǎn)B,EF1FG,；.NA=/B=NEFG=90。

：.ZAFE+NAEF=ZAEF+ZBFG=90°.：./AFE=ZBFG.

又；EF=FG,:AAFE義ABGF,：.AE=BF,AF=BG,：.EA+GB=BF+AF=ABo

條件：如圖6,EA_LAB于點(diǎn)A,GB_LAB于點(diǎn)8,EFLFG,EF=FG,結(jié)論：4AFE與ABGF；EA-GB=AB。

證明：同圖5證明可得：4AFE會(huì)ABGF,：.AE=BF,AF=BG,：.EA-GB=BF-AF=ABo

條件：如圖7,在R/AABE和RaBC。中，AB=BC,AE±BD,結(jié)論：AABE^ABCD；AB-CD=EC。

證明：:△ABE和△BCD是AELBD,：.ZABE=ZC^ZAFB=90°o

：.ZA+NABF=ZABF+/DBC=90°.：.ZA^ZDBC.

又,：AB=BC,：.&ABE沿ABCD,：.BE=CD,：.AB-CD=BC-BE=ECa

上面三類半弦圖模型的共同特點(diǎn)是兩個(gè)直角三角形，他們的弦互相垂直。所以做題中見著這樣的關(guān)鍵字眼

就要想到用弦圖的相關(guān)知識(shí)解決問題。

模型運(yùn)用

例1.(23-24八年級(jí)下.北京門頭溝.期末)我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用一幅“弦圖”，證明了勾股定理，后人稱

該圖為“趙爽弦圖”.如圖，“趙爽弦圖”是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案.如

果該大正方形面積為49,小正方形面積為4,用x,V表示直角三角形的兩直角邊(x>y),

下列四個(gè)推斷：①尤2+/=49；②尤-y=2；③2孫+4=49；④x+y=7.

其中所有正確推斷的序號(hào)是（）.

A.①②C.①③④D.①②③④

例2.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，圖1是北京國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，它取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽

的“弦圖”，是由四個(gè)全等的直角三角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24,小正方形的面積為4,現(xiàn)將這

四個(gè)直角三角形拼成圖2,則圖2中大正方形的面積為（）

C.40D.44

例3.（2023?山東棗莊?二模）勾股定理被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了

證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖圖②由弦圖變化得到，它是由八

個(gè)全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MAXT的面積分別為

S?S2,S3.若正方形EFGH的邊長為2,則S|+S2+S3=

圖①圖②

例4.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的圖案是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》中“趙爽弦圖”

經(jīng)修飾后的圖形，四邊形ABCD與四邊形EFGH均為正方形，點(diǎn)H是DE的中點(diǎn)，陰影部分的面積為27,

則AD的長為.

例5.（23-24八年級(jí)下?福建龍巖?階段練習(xí)）如圖中左圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四

個(gè)全等的直角二角形圍成的，若AC=6,BC=5,將四個(gè)直角二角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一

倍，得到如圖2中右圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長是（）

C:，J'

A.74D.80

例6.（2023?河北?八年級(jí)期末）如圖所示的是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，

它是由4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的邊長為5,小正方形的邊

長為1.（1）如圖1,若用a,b表示直角三角形的兩條直角邊（a<6）,則.

（2）如圖2,若拼成的大正方形為正方形ABCD中間的小正方形為正方形E/汨，連接AC,交BG于點(diǎn)

P,交。E于點(diǎn)S4AFP-S&CGP=______?

例7.（2024?山東濟(jì)南?二模）公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出了“趙爽弦圖”.將

兩個(gè)大小相同的“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個(gè)小正方形和八個(gè)直角三角形按圖2方式擺放圍成邊長為10

的正方形"CD,則空白部分面積為

A

圖2

例8.(23-24八年級(jí)上?浙江溫州?期中)如圖，在VABC中，ZACB=90°,AC=BC,AE是8c邊上的中

線，過點(diǎn)C作垂足為凡過點(diǎn)8作8c的垂線交CF的延長線于點(diǎn)O.

⑴求證：AE=CD.(2)若巫)=1,求AE.

例9.(23-24八年級(jí)下?廣東揭陽?期末)綜合實(shí)踐：我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，制作了如圖1

所示的“趙爽弦圖”，弦圖中四邊形ABC。，四邊形和四邊形〃KL都是正方形.某班開展綜合與實(shí)踐

活動(dòng)時(shí)，選定對(duì)“趙爽弦圖”進(jìn)行觀察、猜想、推理與拓展.

圖1圖2

(1)小亮從弦圖中抽象出一對(duì)全等三角形如圖2所示，請(qǐng)你猜想線段AE,BG,A3之間的數(shù)量關(guān)系:

(2)小紅從弦圖中抽象出另一對(duì)全等三角形如圖3所示，請(qǐng)你猜想線段出,JK,KG之間的數(shù)量關(guān)系:

⑶小明將圖3中的KG延長至點(diǎn)使得KM=KR，連接與K尸相交于點(diǎn)N,請(qǐng)你在圖3中畫出圖形.若

FN=3NK,求線段即與JK之間的數(shù)量關(guān)系.

模型2.勾股樹模型

模型解讀

勾股樹，也叫“畢達(dá)哥拉斯樹”。是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理所畫出來的一個(gè)可以無限重復(fù)的樹形圖形，如

下圖。又因?yàn)橹貜?fù)多次后的形狀好似一棵樹，所以被稱為勾股樹。

模型特征：在直角三角形外，分別以三條邊作相同的圖形，則兩直角邊所作圖形面積之和等于斜邊所作圖

形的面積。該模型主要根據(jù)勾股定理的關(guān)系及等式性質(zhì)求解，常用來解決相關(guān)面積問題。

條件：如圖，在直角三角形外，分別以直角三角形三邊為元素向外作形狀相同的圖形，若分別以兩直角邊

為元素所作圖形的面積為Sl，S2,以斜邊為元素所作的圖形的面積為加。結(jié)論：S1+S2=S3

證明：設(shè)圖中兩直角邊為。、b,斜邊為C；且“b、C三邊所對(duì)應(yīng)的等邊三角形面積分別為Sl、$2、S3。

由等邊三角形和勾股定理易得：S1的高為：顯a；

2

.?.Sl」“走同理：S、；邑

2242434

由題意可得：4+62=。2；.?.51+52=必/+且/=且（/+/）=3^2=53

444174

由于該類模型的證明基本相同，故此只證明等邊三角形。除了圖中的三類圖形，也常考等腰直角三角形。

E

B第一代勾股樹第二代勾股樹第三代勾股樹

條件：如圖，正方形A3CD的邊長為。，其面積標(biāo)記為以8為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角

三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為其，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，結(jié)論：。

證明：???正方形A5CD的邊長為a,ACDE為等腰直角二角形，

222

DE+CE=CD,DE=CE,：.S2+S2=St.觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

22222

St=a>5,=—=—a>S3=—S,=—a?S4=—S3=—a>…，S=a-f

22'2324238“⑵

條件：如圖，“勾股樹”是以邊長為根的正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角

邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一一棵樹而得名.假設(shè)

下圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，

結(jié)論:第"代勾股樹中正方形的個(gè)數(shù)為：幣=2向-1;第n代勾股樹中所有正方形的面積為：Sn=5+1）?加2。

證明：由題意可知第一代勾股樹中正方形有1+2=3=22-1（個(gè)），

第二代勾股樹中正方形有1+2+2?=7=23-1（個(gè)），

第三代勾股樹中正方形有1+2+22+23=15=24-1（個(gè)），

由此推出第n代勾股樹中正方形有1+2+2?+23+…+2"=2向-1（個(gè)）。

設(shè)第一代勾股樹中間三角形的兩直角邊長為。和b，斜邊長為c,根據(jù)勾股定理可得：a2+b2=c2=m2,

：.第一代勾股樹中所有正方形的面積為=a2+b2+c2=c2+c2=2m2;

同理可得：第二代勾股樹中所有正方形的面積為=2/+2〃+°2=302=3〃/；

第三代勾股樹中所有正方形的面積為=4/=W；

第〃代勾股樹中所有正方形的面積為=5+1）C?=（力+1）.加。

模型運(yùn)用

例1.（23-24八年級(jí)下.河北承德?期末）如圖，已知直角三角形的直角邊分別為a、b,斜邊為c,以直角三

角形的三邊為邊（或直徑），分別向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形.那么，這四個(gè)圖形

中，直角三角形外，其他幾個(gè)圖形面積分別記作H、s人邑.

(4)

結(jié)論I：5、S］、凡滿足工+$2=$3只有(4)；

結(jié)論H：.?.國+昆＞邑的有（1）（2）（3）.

對(duì)于結(jié)論I和II,判斷正確的是（）.

A.1對(duì)n不對(duì)B.I不對(duì)II對(duì)c.［和n都對(duì)D.I和II都不對(duì)

例2.（23-24八年級(jí)下?河南開封?期中）如圖，在四邊形ABCD中，ZDAB=NBCD=90°，分別以四邊形ABCD

的四條邊為邊向外作四個(gè)正方形，面積分別為a,b,c,d.若6+c=12,則a+d=

例3.（23-24九年級(jí)上.遼寧盤錦?開學(xué)考試）如圖，正方形A3CD的邊長為2,其面積標(biāo)記為S「以為斜

邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為$2....按照

此規(guī)律繼續(xù)下去，則S刈的值為.

例4.（23-24八年級(jí)下?山東日照?期中）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三

角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而

得名.假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果

第一個(gè)正方形面積為1,則第2024代勾股樹中所有正方形的面積為.

第一代勾股樹第二代勾股樹第三代勾股樹

例5.（2023春?重慶?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”:

經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個(gè)正方形，圖（2）在圖（1）的基礎(chǔ)上增加了4個(gè)正方形，圖（3）在

圖（2）的基礎(chǔ)上增加了8個(gè)正方形，……，照此規(guī)律“生長”下去，圖（6）應(yīng)在圖（5）的基礎(chǔ)上增加的正

方形的個(gè)數(shù)是（）

A.12B.32C.64D.128

例6.（2023春?廣西南寧?八年級(jí)統(tǒng)考期中）勾股定理是平面幾何中一個(gè)極為重要的定理，世界上各個(gè)文明

古國都對(duì)勾股定理的發(fā)現(xiàn)和研究做出過貢獻(xiàn)，特別是定理的證明，據(jù)說有400余種.如圖是希臘著名數(shù)學(xué)家

歐幾里得證明這個(gè)定理使用的圖形.以RtAABC（/ABC=90。）的三邊。,仇。為邊分別向外作三個(gè)正方形：正方

形ACE。、正方形M仍、正方形BCMW,再作垂足為G,交A3于尸，連接3。，CF.則結(jié)論:

CD^DAB—Z.CAF,②ADAB絲ACAF,③$正方形ACEO=2SVAZ>B，④S矩形AFGP=2SVACF.正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

習(xí)題練模型

1.（2023秋?湖北?九年級(jí)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)其原型是

我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股弦圖》,它是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成如.如果大正方形的面積是16,

直角三角形的直角邊長分別為mb,且片+/=曲+10,那么圖中小正方形的面積是（）

2.（2024?廣西?中考真題）如圖，邊長為5的正方形ABC。，E,F,G,X分別為各邊中點(diǎn)，連接AG,BH,

CE,DF,交點(diǎn)分別為N,P,Q,那么四邊形MNPQ的面積為（）

Gc

D.10

3.（2024?江西吉安.二模）如圖，“趙爽弦圖”是一個(gè)由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼接成的大正

方形，若E是"的中點(diǎn)，AD=5,連接3F并延長交C￡＞于點(diǎn)則DM的長為（）

EF

D.叵

2

4.（2024?廣東汕頭?一模）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是數(shù)形結(jié)合的重要紐帶.數(shù)

學(xué)家歐幾里得利用如圖驗(yàn)證了勾股定理：以直角三角形A3C的三條邊為邊長向外作正方形正方形

ABED,正方形BCGP,連接3/,CD,過點(diǎn)C作C7，DE于點(diǎn)J,交于點(diǎn)K.設(shè)正方形AS?的面積

為H，正方形3CG尸的面積為S2,長方形AK/D的面積為邑，長方形K/EB的面積為見，下列結(jié)論：①

2SiA8=Sl；②51=§3；③S[+$4=$2+&；④，S[+邑=邪3+S*.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.（2024?浙江?中考真題）如圖，正方形ABCD由四個(gè)全等的直角三角形尸,△C￡>G,Z\ZM8）和

中間一個(gè)小正方形EFG”組成，連接DE.若AE=4,8E=3,則止=（）

6.（2024?云南九年級(jí)一模）如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”:

經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個(gè)正方形，圖（2）在圖（1）的基礎(chǔ)上增加了4個(gè)正方形，圖（3）在

圖（2）的基礎(chǔ)上增加了8個(gè)正方形，……,照此規(guī)律“生長”下去，圖（6）應(yīng)在圖（5）的基礎(chǔ)上增加的正

方形的個(gè)數(shù)是（）

A.12B.32C.64D.128

7.（2024?福建?中考真題）如圖，正方形A3CD的面積為4,點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,

AD的中點(diǎn)，則四邊形石取汨的面積為

8.（2024?北京?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，AF1DE于點(diǎn)尸，CGLDE于點(diǎn)G.若

9.（23-24九年級(jí)上.山西晉中.期末）如圖，標(biāo)號(hào)為①，②，③，④的四個(gè)直角三角形和標(biāo)號(hào)為⑤的正方形

恰好拼成對(duì)角互補(bǔ)的四邊形ABCD，相鄰圖形之間互不重疊也無縫隙，①和②分別是等腰RJABE和等腰

RtABCF,③和④分別是RbCDG和RtMMH,⑤是正方形EFG”，直角頂點(diǎn)E,F,G,H分別在邊由L

S

CG,DH,AE上.若——=一,AH=3cm,則龐;的長是_________cm.

GH4

10.（23-24九年級(jí)上?湖南長沙?期中）素有“千古第一定理”之稱的勾股定理，它是人類第一次將數(shù)與形結(jié)合

在一起的偉大發(fā)現(xiàn)，也是人類最早發(fā)現(xiàn)并用于生產(chǎn)、觀天、測(cè)地的第一個(gè)定理，它導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，

引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，它使數(shù)學(xué)由測(cè)量計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)橥评碚撟C.在中國，也被稱為“商高定理”，西方則稱其

為“畢達(dá)哥拉斯定理”，幾千年來，太多的溢美之詞給了這一定理，由于它迷人的魅力，人們冥思苦索給出了

數(shù)百種證明方法，成為了證明方法最多的定理，其中，利用等面積法證明勾股定理最為常見，現(xiàn)有四名網(wǎng)

友為證明勾股定理而提供的圖形，其中提供的圖形（可以作輔助線）能證明勾股定理的網(wǎng)友是（填

寫數(shù)字序號(hào)即可）.

①。（懂得都懂）②yyos（永遠(yuǎn)的神）③ZW）（覺醒年代）④。G7少（強(qiáng)國有我）

13.（2024?浙江?二模）如圖，AB1.即于點(diǎn)8,CDLBD于點(diǎn)、D,尸是8。上一點(diǎn)，且AP=PC,APIPC.

(1)求證：AABP^APDC；(2)若AB=1,CD=2,求AC的長.

14.（23-24八年級(jí)下?浙江杭州?期末）綜合與實(shí)踐

問題情境:第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)合徽的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”.如圖1,

在綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們繪制了“弦圖”并進(jìn)行探究，獲得了以下結(jié)論：該圖是由四個(gè)全等的直角三角形

（ADAE,2BF,ABCG,△&）"）和中間一個(gè)小正方形￡FG〃拼成的大正方形ABC。，且NABQNBAF.

特殊化探究：連接設(shè)3/=a,AF=b.

“運(yùn)河小組”從線段長度的特殊化提出問題：（1）若AB=5,FG=1,求△樹的面積.

“武林小組”從a與b關(guān)系的特殊化提出問題：（2）若6=2°,求證:ZBAE=ZBHE.

深入探究：老師進(jìn)一步提出問題：（3）如圖2,連接BE,延長E4到點(diǎn)/,使4=作矩形跳7J.設(shè)矩形

的面積為工，正方形A3。的面積為$2,若旗平分NAB尸，求證：SyS?.請(qǐng)你解答這三個(gè)問題.

15.（23-24八年級(jí)下?湖北武漢?期中）問題發(fā)現(xiàn)：梓航在學(xué)完勾股定理后，翻閱資料，發(fā)現(xiàn)《幾何原本》中

有一種很好的勾股定理的證法：如圖1,作CGJLF”于點(diǎn)G,交于點(diǎn)尸，通過證明S正方形MEC=S長方形AFGP，

S正方形=S長方形5HGP的方法來證明勾股定理.

愛思考的梓航發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論，如圖2,若以Rt^ABC的直角邊AC,為邊向外任意作口ADEC,口BCNM,

斜邊上的口ABHV,延長OE,肱V交于點(diǎn)。，直線QC被口ABHF所截線段為尸G,當(dāng)CQ=PG時(shí)，此

時(shí)^aADEC+SBCNM=SABHF成立.請(qǐng)你幫他完成證明.

FGHFGHJFGTHFGH

圖1圖2圖3圖4

問題證明：（1）先將問題特殊化，如圖3,當(dāng)四邊形ADEC,四邊形3OVM,四邊形岫小均為矩形，且

CQ=PG時(shí)，求證：Sjg^DEC+S矩BCNM=,（按梓航的分析，完成填空）

分析：過A作K/〃交直線D。，HF于K,J,過B作RT〃PQ交Q”,HF于R,T■,

=

可證^VeADEC^aAKQC=^aAPGJ；F0理可證S矩BCNM=^aBCQR=^aBTGP；

=

另外易得△AFJ/________________可得S^tDEC+S矩BCNAf=^oABJT^^eABHF成".

（2）再探究一般情形，如圖2,當(dāng)四邊形ADEC,四邊形3cMW,四邊形ABHF均為平行四邊形，且。。=PG

時(shí)，求證：SBQEC+S口BCNM=SDABHF-

問題探索：（3）將圖2特殊化，如圖4,若NO=NQVM=N"=60。，AD=〃z,CN=〃，AF=t，且NQPB=75。，

請(qǐng)你直接寫出t的值_______________（用含加，〃的式子表示）.

16.（24-25八年級(jí)上?湖北荊州?階段練習(xí)）通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：

【模型呈現(xiàn)】某興趣小組從漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖（如圖1,由外到內(nèi)含三個(gè)正方形）中提煉出兩個(gè)三角形

全等模型圖（如圖2、圖3）,即“一線三直角”模型和“K字”模型.

【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖2,已知，VABC中，CA^CB,ZACB=90°,一直線過頂點(diǎn)C,過A,B分別作其

垂線，垂足分別為E,F.求證：EF=AE+BF：

【問題提出】（2）如圖3,改變直線的位置，其余條件與（1）相同，若3尸=4AE,EF=3,求V3B的面

積；（3）如圖4,四邊形ABC。中，ZABC=ZCAB=ZADC=45°,AACD的面積為20,且C。的長為8,

求△3CD的面積.

17.（2020?山西?模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐：正方形內(nèi)“奇妙點(diǎn)”及性質(zhì)探究

定義：如圖1,在正方形中，以2c為直徑作半圓。，以。為圓心，DA為半徑作AC，與半圓。交

于點(diǎn)P.我們稱點(diǎn)尸為正方形ABCD的一個(gè)“奇妙點(diǎn)”.過奇妙點(diǎn)的多條線段與正方形"CD無論是位置關(guān)系

還是數(shù)量關(guān)系，都具有不少優(yōu)美的性質(zhì)值得探究.

（圖1）（圖2）

性質(zhì)探究：如圖2,連接。尸并延長交于點(diǎn)E,則DE為半圓。的切線.

證明：連接OP,OD.由作圖可知，DP=DC,OP=OC,

X-：OD=OD.:.AOPD%OCD.（SSS）:.NOPD=NOCD=90°,DE是半圓。的切線.

問題解決：⑴如圖3,在圖2的基礎(chǔ)上，連接OE請(qǐng)判斷/BQE和/CDO的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（圖4）（圖5）

（2）在（1）的條件下，請(qǐng)直接寫出線段DE,BE,CD之間的數(shù)量關(guān)系;

（3）如圖4,已知點(diǎn)尸為正方形的一個(gè)“奇妙點(diǎn)”，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，連接DP并延長交A3于點(diǎn)E,

連接CP并延長交A3于點(diǎn)/，請(qǐng)寫出班和A3的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（4）如圖5,已知點(diǎn)E,F,G,H為正方形ABCO的四個(gè)“奇妙點(diǎn)”.連接AGBH,CE,，恰好得到一

個(gè)特殊的“趙爽弦圖”.請(qǐng)根據(jù)圖形，探究并直接寫出一個(gè)不全等的幾何圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系.

18.（2024?上海?中考真題）同學(xué)用兩幅三角板拼出了如下的平行四邊形，且內(nèi)部留白部分也是平行四邊形

（直角三角板互不重疊），直角三角形斜邊上的高都為心

（1）直接寫出：①兩個(gè)直角三角形的直角邊（結(jié)果用丸表示）；

②小平行四邊形的底、高和面積（結(jié)果用。表示）；

（2）請(qǐng)畫出同學(xué)拼出的另一種符合題意的圖，要求：①不與給定的圖形狀相同；②畫出三角形的邊.

19.（2024?廣東?中考模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)閱讀下列材料：

小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1,在邊長為。（。>2）的正方形ABC。各邊上分別截取AE=*=CG=DH=1,當(dāng)

/4B。=/83知=/0/心/。石尸=45。時(shí)，求正方形MNPQ的面積.

小明發(fā)現(xiàn)，分別延長QE,MF,NG,PH交FA,GB,HC,ED的延長線于點(diǎn)R,S,T,W,可得△RQP,&SMG,

△TNH,AWPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形（如圖2）.

請(qǐng)回答:（1）若將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形（無縫隙不重疊）,則這個(gè)新正方形的邊長為

（2）求正方形MNP。的面積；（3）參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3,在等邊AABC各邊上分別截

^LAD=BE=CF,再分別過點(diǎn)￡>,E,尸作BC,AC,AB的垂線，得到等邊ARP。.若求的

3

長.

20.（2022?寧夏?中考真題）綜合與實(shí)踐

知識(shí)再現(xiàn)：如圖1,HAABC中，ZACB=90°,分別以BC、C4、4B為邊向外作的正方形的面積為加、邑、

S3.當(dāng)S]=36,S3=100時(shí)，S2=

圖1圖2圖3

(1)如圖2,分別以BC、CA.為邊向外作的等腰直角三角形的面積為H、邑、S3,則跖、邑、S3之

間的數(shù)量關(guān)系是.(2)如圖3,分別以BC、C4、AB為邊向外作的等邊三角形的面積為$八S5、S$,

試猜想$4、$5、$6之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

實(shí)踐應(yīng)用(1)如圖4,將圖3中的ABCD繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度至ABG”，AACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一

定角度至AAMV,GH、M/V相父于點(diǎn)P.求證：=S四邊形PMFG;

(2)如圖5,分別以圖3中心AABC的邊BC、C4、aB為直徑向外作半圓，再以所得圖形為底面作柱體，BC、

CA.AB為直徑的半圓柱的體積分別為匕、％、匕.若45=4,柱體的高九=8,直接寫出乂+匕的值.

圖4圖5

專題08三角形中的重要模型之弦圖模型、勾股樹模型

弦圖分為內(nèi)弦圖與外弦圖，內(nèi)弦圖是中國古代數(shù)學(xué)家趙爽發(fā)現(xiàn)，既可以證明勾股定理，也可以此命題，

相關(guān)的題目有一定的難度，但解題方法也常常是不唯一的。弦圖之美，美在簡(jiǎn)約，然不失深厚，經(jīng)典而久

遠(yuǎn)，被譽(yù)為“中國數(shù)學(xué)界的圖騰”。弦圖蘊(yùn)含的割補(bǔ)思想，數(shù)形結(jié)合思想、圖形變換思想更是課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)

思想滲透的絕佳載體。一個(gè)弦圖集合了初中平面幾何線與形，位置與數(shù)量，方法與思想，小身板，大能量，

它就是數(shù)學(xué)教育里的不老神話。廣受數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)愛好者研究，近年來也成為了各地中考的熱點(diǎn)問題。

大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于己有知識(shí)、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中

提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每

一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！

目錄導(dǎo)航

例題講模型

模型1.弦圖模型......................................................................2

模型2.勾股樹模型....................................................................7

習(xí)題練模型一

......................................................................................................................................................11

20

例題講模型

模型1.弦圖模型

模型解讀

“弦圖”就是我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽，利用面積相等，形象巧妙的證明方法。所謂弦圖模型就是四個(gè)全等

直角三角形的弦互相垂直圍成了一個(gè)正方形圖形，當(dāng)弦在圍成的正方形之內(nèi)叫內(nèi)弦圖模型，當(dāng)弦恰恰是圍

城正方形的邊長時(shí)就叫外弦圖模型。

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，考試中有時(shí)候不會(huì)直觀明了的出現(xiàn)弦圖模型，所以學(xué)習(xí)中我們要抓住弦圖本質(zhì)靈

活變形，從而增強(qiáng)數(shù)學(xué)的變化性，培養(yǎng)思維靈活性，為學(xué)生提供思維的廣泛聯(lián)想空間，使其在面臨問題時(shí)

能夠從多種角度進(jìn)行考慮，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“舉一反三”。

模型證明

(1)內(nèi)弦圖模型：

條件：如圖1,在正方形ABCZ)中，AELLBP于點(diǎn)E,B/UCG于點(diǎn)RCG_LOH于點(diǎn)G,DH_LAE于點(diǎn)H,

結(jié)論：4ABE出LBCF會(huì)LCDG出△DAH；

證明：VZABC=ZBFC=ZAEB^9Q°,：.ZABE+ZFBC^ZFBC+ZFCB=90°.:./ABE=NFCB.

又：.XABE會(huì)/\BCF,同理可得AABE名ZVeC尸名△CDGg/sZMH.

(2)外弦圖模型：

條件：如圖2,在正方形ABC。中，E,F,G,H分別是正方形ABC。各邊上的點(diǎn)，EEGH是正方形,

結(jié)論：AAHE2ABEF咨ACFG安功仃口；

證明：VZB=ZEFG=ZC=90°,：.ZBEF+ZEFB=ZEFB+ZGFC=90°,:./BEF=/GFC.

又,；EF=FG,:4EBF94FCG.同理可得△助/之△/CG絲四△/ME.

21

(3)內(nèi)外組合型弦圖模型：

條件：如圖3、4,四邊形ABC。、EFGH、PQMN、均為正方形；結(jié)論：2s正方形EFGH=S正方形ABC?+S正方形P°MN.

證明：由(1)(2)中的證明易得：圖3和圖4中的八個(gè)直角三角形均全等，并用SA表示他們的面積。

S正方彩ABC0=S正方舟8sA;S正方形EFGH=S正方形PQMN+4sA;

S正方形ABCO+S正方形PQVCV=S正方形P°MN+8SA+S正方形P°MN=2S正方形P°MN+8sA=2S正方形EFGH

上述三類弦圖模型除了考查相關(guān)證明外，也常和完全平方公式(知二求二)結(jié)合考查。

(4)半弦圖模型

條件：如圖5,EA_LA3于點(diǎn)A,GB_LAB于點(diǎn)8,EFLFG,EF=FG,結(jié)論：4AFE沿LBGF；EA+GB=AB.

證明：；EA_L4B于點(diǎn)A,GB_LA8于點(diǎn)B,EF1FG,；.NA=/B=NEFG=90。

：.ZAFE+ZAEF=ZAEF+ZBFG=90°.：.NAFE=ZBFG.

又；EF=FG,.?.△AFE沿ABGF,：.AE=BF,AF=BG,：.EA+GB=BF+AF=ABo

條件：如圖6,EA_L48于點(diǎn)A,G2_L4B于點(diǎn)8,EF±FG,EF=FG,結(jié)論：4AFE會(huì)ABGF；EA-GB=AB.

證明：同圖5證明可得：4AFE沿ABGF,：.AE=BF,AF=BG,：.EA-GB=BF-AF=AB.

條件：如圖7,在放AABE和RaBC。中，AB=BC,AELBD,結(jié)論：AABE2ABCD；AB-CD=EC.

證明：:△ABE和△BCD是Rf△,AELBD,：.ZABE=ZC=ZAFB=90°o

：.ZA+ZABF=ZABF+ZDBC=90°.：.ZA=NDBC。

又；AB=BC,:.XABE會(huì)/\BCD,：.BE=CD,:.AB-CD=BC-BE=EC。

上面三類半弦圖模型的共同特點(diǎn)是兩個(gè)直角三角形，他們的弦互相垂直。所以做題中見著這樣的關(guān)鍵字眼

就要想到用弦圖的相關(guān)知識(shí)解決問題。

模型運(yùn)用

例1.(23-24八年級(jí)下?北京門頭溝?期末)我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用一幅“弦圖”，證明了勾股定理，后人稱

該圖為“趙爽弦圖”.如圖，“趙爽弦圖”是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案.如

22

果該大正方形面積為49,小正方形面積為4,用無，y表示直角三角形的兩直角邊（X>y）,

下列四個(gè)推斷：@x2+y2=49；@x-y=2.③2沖+4=49；④無+y=7.

其中所有正確推斷的序號(hào)是（）.

A.①②B.①②③C,①③④D.①②③④

【答案】B

【分析】本題考查了勾股弦圖、完全平方公式等知識(shí)點(diǎn)，正確運(yùn)用完全平方公式變形求值成為解題的關(guān)鍵.

由題意可得大正方形的邊長為7,小正方形的邊長為2,再結(jié)合圖形和勾股定理可得/+9=49、x-y=2

可判定①②；然后通過完全平方公式變形求值可判定③④.

【詳解】解：：大正方形面積為49,小正方形面積為4,

二大正方形的邊長為7,小正方形的邊長為2,；.x2+y2=49,x-y=2,即①、②正確；

25

/.（x-y）9=x2+-2xy=49-2xy=4,貝!j：xy=—,2冷+4=49,即③正確；

；.（尤+=x?+y2+2個(gè)=49+2孫=49+45=94,/.x+y=A/94,即④錯(cuò)誤；

綜上，正確的有①②③.故選B.

例2.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，圖1是北京國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，它取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽

的“弦圖”，是由四個(gè)全等的直角二角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24,小正方形的面積為4,現(xiàn)將這

四個(gè)直角三角形拼成圖2,則圖2中大正方形的面積為（）

【答案】D

【分析】本題考查勾股定理，設(shè)直角三角形的兩直角邊為。，b,斜邊為c,根據(jù)圖1,結(jié)合已知條件得

23

至=°2=24,(a—=〃2+/一2m=4,進(jìn)而求出必的值，再進(jìn)一步求解即可.

<1、正方形的面積是4,/.(<2—Z?)2=a2+b2—lab=4,/.ab=10,

???圖2中最大的正方形的面積=。2+4*工仍=24+2*10=44；故選：D.

2

例3.(2023?山東棗莊?二模)勾股定理被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了

證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖圖②由弦圖變化得到，它是由八

個(gè)全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形ABC。，正方形EFGH,正方形MAXT的面積分別為

St,S2,S3.若正方形EFGH的邊長為2,貝i]S[+S2+S3=.

圖①圖②

【答案】12

【分析】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式的變形求值，設(shè)全等的直角三角形的兩條直角邊為a、b

22

且則Si=(a+Z?y,S2=a+b,S3=(a-b^,再由正方形EFGH的邊長為2得到/+廿=4,據(jù)此

可得答案.

【詳解】解：設(shè)全等的直角三角形的兩條直角邊為服b且，>>，

222

由題意可知：Si=(a+b)2,S2=a+b,S3=(6Z-Z?),

222222

Si+S2+S3,=(a+Z?y+々2+)2=a+2ab+b+a-^-b+a-2ab+b=3(/+加)，

24

?正方形瓦6"的邊長為2,，52=1+斤=22=4,.?.岳+$2+53=3（/+k）=12故答案為：12.

例4.（2024?陜西西安.模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的圖案是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》中“趙爽弦圖”

經(jīng)修飾后的圖形，四邊形ABCD與四邊形EFG”均為正方形，點(diǎn)”是DE的中點(diǎn)，陰影部分的面積為27,

則的長為.

:s

【答案】3#）

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理.由四邊形ABC3與四邊形EFGH均為正方形，點(diǎn)H是QE

的中點(diǎn)，可知E、F、G分別為AF、BG、C”的中點(diǎn)，可推出陰影部分的四個(gè)直角三角形面積相等，每

一個(gè)都為正方形EFGH面積的一半，從而陰影部分總面積為正方形EFGH面積的3倍,即可得正方形EFGH

面積為9,繼而得D"=EH=AE=3,由勾股定理可求得AD的長.

【詳解】解：由四邊形ABCD與四邊形EFG”均為正方形，點(diǎn)H是。E的中點(diǎn)，可知E、F、G分別為AF、

BG、C”的中點(diǎn)，且AE=EH=DH=HG=CG=FG=BF=EF=BE,

=S八DHG=&CGF=Z^BFE=]S正方形f尸GH，?二陰影=3XS正方形后打汨二27,

?.S正方形EFGH=9,：.EH=DH=3,:.DE=2EH=6,

又ZAED=90。，ADZDE?+AE?=&2+32=3下.故答案為：3君.

例5.（23-24八年級(jí)下.福建龍巖.階段練習(xí)）如圖中左圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四

個(gè)全等的直角三角形圍成的，若AC=6,BC=5,將四個(gè)直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一

倍，得到如圖2中右圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長是（）

A.74B.76C.78D.80

25

【答案】B

【分析】通過勾股定理可將“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的斜邊求出，然后可求出風(fēng)車外圍的周長.

【詳解】如圖，根據(jù)題意，AD=AC=6,CD=6x2=12,BC=5,

,：ZBCD=90°,：.BC2+CD2=BD2,即52+12?=BD1,

BD=13,：.AD+5D=6+13=19,...這個(gè)風(fēng)車的外圍周長是19義4=76,故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理在實(shí)際情況中應(yīng)用，并注意隱含的已知條件來解答此類題.

例6.（2023?河北?八年級(jí)期末）如圖所示的是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，

它是由4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的邊長為5,小正方形的邊

長為1.（1）如圖1,若用a,b表示直角三角形的兩條直角邊則必=.

（2）如圖2,若拼成的大正方形為正方形ABC。，中間的小