2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：三角形中的重要模型之特殊三角形中的分類討論模型解讀與提分訓(xùn)練（全國版）

專題10三角形中的重要模型之特殊三角形中的分類討論模型

特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分類討論模型，是初中各類考試中幾何壓軸題的常客，并

且形式多樣，內(nèi)容新穎，能較好地考查同學(xué)們的應(yīng)用意識和思維能力。在歷年中考當(dāng)中，很多考生因?yàn)樵?/p>

處理等腰三角形和直角三角形有關(guān)的多解問題時(shí)，常?？紤]不全面，導(dǎo)致漏解丟分。在學(xué)習(xí)等腰或直角三

角形的性質(zhì)和判定時(shí)，分類討論的思想尤為重要，希望大家要認(rèn)真對待。本專題將把特殊三角形分類討論

情形作系統(tǒng)的歸納與介紹，方便大家對它有個(gè)全面的了解與掌握。

目錄導(dǎo)航

例題講模型

........................................................................................2

模型1.等腰三角形中的分類討論模型-對角（邊）與高的分類討論模型........................2

模型2.等腰三角形中的分類討論模型-對邊的分類討論模型..................................3

模型3.直角三角形中的分類討論模型-斜邊（或直角）不確定的直角三角形模型................5

模型4.直角三角形中的分類討論模型-直角三角形存在性模型................................6

習(xí)題練模型

10

例題講模型］

模型1.等腰三角形中的分類討論模型-對角（邊）與高的分類討論模型

模型解讀

1）若等腰三角形沒有明確角的種類，要分類討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角度入手分頂角

與底角兩種情況進(jìn)行分類討論。當(dāng)然有時(shí)候已知條件是以邊的形式給出，我們討論頂角和底角與討論底和

腰的原理相同。

2）若等腰三角形沒有明確高的位置，要分類討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角度入手分腰上

高與底邊高、界內(nèi)高與界外高兩種情況進(jìn)行分類討論。

模型運(yùn)用

例1.（24-25九年級上?山東?期末）若等腰VABC內(nèi)接于：。，AB=AC,ZBOC=100°,則VABC底角的

度數(shù)為（）

A.65°B.25°C.65°或25°D.65°或35°

例2.（2023?四川廣元?八年級校聯(lián)考期中）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°,那么這個(gè)等

腰三角形的頂角等于（）

A.40°B.140。或40°C.15。或75°D.140°

例3.（2023春?山東棗莊?八年級?？计谥校┮阎?，y滿足|4-尤|+亦=i=0,則以i,,的值為兩邊長的等

腰三角形的周長是（）

A.20或16B.20C.16D.以上答案均不對

例4.（2024八年級上.湖北?專題練習(xí)）等腰三角形三邊長分別為。，2a-3,3a-5,則等腰三角形的周長

為（）

A.10B.7或10C.7或4D.10或7或4

例5.（24-25八年級上?浙江嘉興?階段練習(xí)）等腰三角形一腰上的中線將這個(gè)等腰三角形的周長分為6cm和

15cm兩部分，那么這個(gè)等腰三角形的底邊長是.

模型2.等腰三角形中的分類討論模型-對邊的分類討論模型

模型解讀

1）等腰三角形沒有明確邊的種類，要分類討論；結(jié)合三角形三邊關(guān)系分腰與底邊兩種情況進(jìn)行分類討論。

2）坐標(biāo)系中的等腰三角形的分類討論。

模型證明

等腰三角形的兩種分類討論方法

方法1.“兩圓一線”；（一般符合“兩個(gè)定點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”的等腰三角形）。

如圖：已知A,。兩點(diǎn)是定點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)尸構(gòu)成等腰△OAP。

①以已知線段0A為底作它的垂直平分線，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)尸（有2個(gè)）；

②以已知線段。4為腰：用線段的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，線段長為半徑，分別作圓。（以。為圓心的有4個(gè),

以A為圓心的有2個(gè)）。具體題目要通過計(jì)算這些點(diǎn)的坐標(biāo)來考慮是否出現(xiàn)重疊現(xiàn)象。

方法2.“三邊兩兩相等分三種情況”討論，先列出三種情況，再首先選最簡單的那種情況先解答。

若是“兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn)”，多采用第二種方法分類討論。但就算是用第二種方法分類討論，也可以先用“兩

圓一線”確定符合等腰三角形的點(diǎn)可能有幾個(gè)及這些點(diǎn)的大致位置。

模型運(yùn)用

例1.（2024?山東?統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,右），若Af為x軸上一

點(diǎn)，且使得為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)M有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

例2.（2023?福建南平?八年級?？计谥校┮阎?，如果過頂點(diǎn)2的一條直線把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)

三角形，其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)為直角三角形，則稱這條直線為AABC的關(guān)于點(diǎn)8的二分割線.如

圖1,RfAABC中，顯然直線8。是AABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線.在圖2的AA8C中，ZABC=110°,若直

線BD是“BC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，貝IjNCDB的度數(shù)是.

圖1圖2

例3.（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考中考真題）如圖，.ABC中，AB=AC,ZA=30°,射線CP從射線C4開始繞點(diǎn)

C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角（0。＜々＜75。），與射線相交于點(diǎn)。，將沿射線CP翻折至△ACD處，射線C4'與

射線48相交于點(diǎn)E.若..ADE是等腰三角形，則/a的度數(shù)為.

例4.（2023春?四川達(dá)州?八年級?？计谥校┰谥苯亲鴺?biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A（1,2）,點(diǎn)P是

y軸正半軸上的一點(diǎn)，且AAO尸為等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

例5.（2024.江蘇泰州?八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1,AABC中，于￡?,且瓦）AD:8=2:3:4,

（1）試說明AABC是等腰三角形；（2）已知5AMe=40cm?,如圖2,動(dòng)點(diǎn)〃從點(diǎn)8出發(fā)以每秒1cm的速度沿線

段取向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以相同速度沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)

運(yùn)動(dòng)都停止.設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f（秒），①若ADMV的邊與3c平行，求t的值；②若點(diǎn)E是邊AC的中

點(diǎn)，問在點(diǎn)“運(yùn)動(dòng)的過程中，AMDE能否成為等腰三角形？若能，求出/的值；若不能，請說明理由.

例6.（2024?四川成者B?八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過A（-2,6）的直

線交x軸正半軸于點(diǎn)2,交y軸于點(diǎn)COB=OC,直線AD交尤軸負(fù)半軸于點(diǎn)若△ABD的面積為27

（1）求直線的表達(dá)式和點(diǎn)。的坐標(biāo)；（2）橫坐標(biāo)為機(jī)的點(diǎn)尸在線段A3上（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x

軸的平行線交AD于點(diǎn)E,設(shè)PE的長為y（ywO）,求y與機(jī)之間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出相應(yīng)的機(jī)取值范

圍；（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)R使！際為等腰直角三角形？若存在求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

模型3.直角三角形中的分類討論模型-斜邊（或直角）不確定的直角三角形模型

模型解讀

若直角三角形沒有明確誰直角（斜邊），要分類討論；從直角（斜邊）入手分三種情況進(jìn)行討論。

模型運(yùn)用

例1.（2024?浙江嘉興?三模）已知直角三角形兩邊長為3,4,則該直角三角形斜邊上的中線長為（）

D.2.5或且

A.2或2.5B.5或幣C.2.5或近

2

例2.（2023春?河南關(guān)B州?八年級?？计谥校┤鐖D，AD是ABC的角平分線，CE是一ABC的高，Zfi4c=60。,

NACB=78。，點(diǎn)/為邊A3上一點(diǎn)，當(dāng)VBD尸為直角三角形時(shí)，則NAZ*的度數(shù)為.

例3.（2023?遼寧葫蘆島?二模）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=2,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

點(diǎn)￡是斜邊4B上一動(dòng)點(diǎn)，沿OE所在直線把VADE翻折到ADE的位置，AO交AB于點(diǎn)R若△朗尸為

直角三角形，則AE的長為.

模型4.直角三角形中的分類討論模型-直角三角形存在性模型

模型解讀

直角三角形存在性的問題，首先需要觀察圖形，判斷直角頂點(diǎn)是否確定。若不確定，則需要進(jìn)行分類討論,

如下面模型構(gòu)建。直角三角形存在性的問題?？急尘坝蟹郏ㄕ郫B）、動(dòng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)等。

模型證明

“兩定一動(dòng)”直角三角形存在性問題：（常見與坐標(biāo)系綜合、或結(jié)合翻折（折疊）、動(dòng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)等）。

問題：已知點(diǎn)A,8和直線/,在/上求點(diǎn)P,使△E48為直角三角形.

----

IPF「…一-'匕P.i

分三種情況，如圖：

①以A為直角頂點(diǎn)，即入BAP=90。：過點(diǎn)A作AB的垂線，與已知直線1的交點(diǎn)Pi即為所求;

②以8為直角頂點(diǎn)，即NA8P=90。：過點(diǎn)8作A2的垂線，與已知直線/的交點(diǎn)2即為所求；

③以P為直角頂點(diǎn)，即NAPB=90。：以AB的中點(diǎn)Q為圓心，QA的長為半徑畫圓，與已知直線/的交點(diǎn)

尸3,P4即為所求.

代數(shù)法計(jì)算：分別表示出點(diǎn)A,B,尸的坐標(biāo)，再分別表示出AB,AP和8尸的長，由①即2=&4+”2；②

AP2^AB2+BP2；③44=4尸2+8尸2分別列方程求解.若方程有解，則此情況存在；若方程無解，則此情況

不存在。

幾何法計(jì)算：找相似，利用相似三角形求解，如果圖中沒有相似三角形，可通過添加輔助線構(gòu)造相似三角

形。特殊地，若有30。，45?；?0。角可考慮用勾股定理或銳角三角函數(shù)求解.

模型運(yùn)用

例1.（2023九年級?廣東?專題練習(xí)）如圖，已知4（2,6）、3（8,-2）,C為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且.ABC是直角三

角形，則滿足條件的C點(diǎn)有（）個(gè).

“A

~O

A.6B.7C.8D.9

例2.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知44,0）,3（0,3）,以A3為一邊在AOB

外部作等腰直角ABC.則點(diǎn)C的坐標(biāo)為—.

例3.（22-23八年級下?安徽阜陽?期末）如圖所示，在VABC中，AB=BC=8,OA=OB,ZAOC=60°,點(diǎn)、M

是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）當(dāng)aAOM為直角三角形時(shí)，A〃的長為

（2）若點(diǎn)M在邊A3的下方，當(dāng).ABM為直角三角形時(shí)，40的長為

例4.（23-24九年級上?江西景德鎮(zhèn)?期末）如圖，等邊VABC的邊長為4cm,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)尸

以2cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿4一3一A方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，連接PQ,當(dāng)△APQ是直角三角形

時(shí)，則r的值為秒.

例5.（23-24九年級上?湖北武漢?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,2）,AABO為等邊

三角形，P是無軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與。點(diǎn)重合），將線段A尸繞A點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，P點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)

Q,連接。0,BQ。（1）點(diǎn)8的坐標(biāo)為二（2）①如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在無軸負(fù)半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：ZABQ=90°；

②當(dāng)點(diǎn)P在無軸正半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請補(bǔ)全圖②，并作出判斷（不需要說明理由）；

（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，若AOB。是直角三角形，直球?qū)懗鳇c(diǎn)P的坐標(biāo).

圖①圖②

例6.（2023秋?遼寧錦州?八年級統(tǒng)考期末）【模型構(gòu)建】

如圖，將含有45。的三角板的直角頂點(diǎn)放在直線/上，過兩個(gè)銳角頂點(diǎn)分別向直線/作垂線，這樣就得到了

兩個(gè)全等的直角三角形.由于三個(gè)直角的頂點(diǎn)都在同一條直線上，因此我們將其稱為“一線三直角”，這模型

在數(shù)學(xué)解題中被廣泛使用.

【模型應(yīng)用】（1）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線>=芯-4與x軸，y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，①則=

；②C,。是正比例函數(shù)、=履圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接A。，BC,若BCLCDBC=3,貝ijAD

的最小值是;（2）如圖2,一次函數(shù)y=-2x+2的圖像與>軸，無軸分別交于A,8兩點(diǎn).將直線A3繞

點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到直線/,求直線/對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

【模型拓展】（3）如圖3,點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，。4=8,過點(diǎn)A作AB/x軸交直線y=-2x-3于點(diǎn)8,尸是

直線y=-2x-3上的動(dòng)點(diǎn)，。是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若△APQ是以其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

習(xí)題練模型］

1.（2023秋?廣東八年級課時(shí)練習(xí)）若..ABC是等腰三角形，ZA=36°,則NC的度數(shù)是（）

A.72°或108°B.36°或72°C.108°或36°D.36°或72°或108°

2.（2024.安徽亳州?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知點(diǎn)尸（T,3）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P',

點(diǎn)?！?0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)&PQ。是等腰三角形時(shí)，f值個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.（23-24九年級上,廣東深圳,階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系尤中，過原點(diǎn)。及點(diǎn)A（0,2）、C（6,0）作長方

形Q4BC,NAOC的平分線交A3于點(diǎn)。.點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒0個(gè)單位長度的速度沿射線方向移

動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿x軸正方向移動(dòng).設(shè)移動(dòng)時(shí)間為，秒，當(dāng)△PQB為直

A.2或5+若B.2或5-6C.5+若或5-括D.2或5+占或5-若

4.（23-24八年級下.江西九江.期末）如圖，在VABC中，ZA=30°,將一塊足夠大的直角三角尺

（ZM=90°,NMPN=30。）按如圖放置，頂點(diǎn)尸在邊AC上滑動(dòng)，三角尺的直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)3,斜

邊PN交AB于點(diǎn)、D,若點(diǎn)尸在滑動(dòng)中恰能使與△PBC均為等腰三角形，則/C的度數(shù)為.

5.（2023春?湖北襄陽?九年級?？计谥校┑妊切我谎系母吲c另一腰的夾角為15。，則等腰三角形的底

角的度數(shù)是.

6.（23-24九年級上?江蘇常州?階段練習(xí)）如圖，在VAOB中，AO=2BO=4,NAOB=90。，點(diǎn)C,。分別

是04的中點(diǎn)，在射線C。上有一動(dòng)點(diǎn)尸，若,AB尸是直角三角形，則尸。的長為.

7.（2024?河南鄭州三模）在矩形ABCD中，AB=1,E為CD的中點(diǎn)，取AE的中點(diǎn)尸，連接BE,BF,3ABEF

為直角三角形時(shí)，3c的長為.

8.（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=30°,AC=3,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，

點(diǎn)E是邊A8上一動(dòng)點(diǎn)，沿DE所在直線把VBDE翻折到，的位置，B，D交AB于點(diǎn)F,若人4尸為直

角三角形，則AE的長為.

9.（2024?江西南昌?模擬預(yù)測）在,ABCD中，AB=3,ZA=120°,AD=6,點(diǎn)尸為平行四邊形ABCZ）邊上

的動(dòng)點(diǎn)，且滿足△PBC是直角三角形，則3尸的長度是.

10.（2024-江西南昌.模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，Rt/XOBC的頂點(diǎn)B,C的坐標(biāo)分別為（。,4）,（46,4）,

點(diǎn)3繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0*a4180。）到點(diǎn)尸，連接尸0,PC,若△POC為直角三角形，則點(diǎn)P到了軸的距

離為.

11.（24-25九年級上?貴州貴陽?期中）如圖，已知在矩形紙片ABC。中，AB=2,BC=2肥,點(diǎn)E是的

中點(diǎn)，點(diǎn)廠是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將AAEF沿EF所在直線翻折,得到AA'E產(chǎn)，連接AC,AD，則當(dāng)*ADC

是等腰三角形時(shí)，AF的長是

12.（2023春?河南開封?八年級校考期中）有一面積為5省的等腰三角形，它的一個(gè)內(nèi)角是30。，則以它的

腰長為邊的正方形的面積為.

13.（2023?安徽?九年級專題練習(xí)）在矩形ABC。中，AB=3,BC=4,點(diǎn)E,尸分別為BC,AC上的兩個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿EF折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為G,若點(diǎn)G落在射線上，且_AG/恰為直角三角形，則線

段CF的長為.

14.（2023春?浙江紹興?八年級校聯(lián)考期中）如圖，4￡4N=90。，點(diǎn)C在邊40上，AC=2,點(diǎn)、B為邊AN

上一動(dòng)點(diǎn)，連接3C,A'BC與AABC關(guān)于3c所在的直線對稱，點(diǎn)。，E分別為AB,3C的中點(diǎn)，連接DE

并延長交AC所在直線于點(diǎn)尸，連接AE,當(dāng)△4'中為直角三角形時(shí)，A3的長為

15.（23-24八年級上.江蘇南京?階段練習(xí)）定義：如果1條線段將一個(gè)三角形分割成2個(gè)等腰三角形，我們

把這條線段叫做這個(gè)三角形的“雙等腰線”.如果2條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這2

條線段叫做這個(gè)三角形的“三等腰線”.如圖1,BE是的“雙等腰線”，AD.8E是VABC的“三等腰

圖1

（1）請?jiān)趫D2三個(gè)圖中，分別畫出VABC的“雙等腰線”，并做必要的標(biāo)注或說明.

①NC=90°；②NB=70°,ZA=35°；③N3=81°,ZA=27°

C

(2)如果一個(gè)等腰三角形有“雙等腰線”，那么它的底角度數(shù)是.

3

(3)如圖3,VABC中，NC=qNB,ZB<45°.畫出VABC所有可能的“三等腰線”，使得對取值范圍內(nèi)

的任意值都成立，并做必要的標(biāo)注或說明.(每種可能用一個(gè)圖單獨(dú)表示，如果圖不夠用可以自己補(bǔ)充)

圖3

16.(2024?寧夏銀川??？级?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有矩形AO3C,AO=6,80=8,連接OC,

點(diǎn)P從頂點(diǎn)A出發(fā)以1.5個(gè)單位/秒的速度在線段AC上向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從頂點(diǎn)8出發(fā)以1個(gè)單位/秒的

速度在線段5。上向。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，只要有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)就停止運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)。作交OC

于點(diǎn)E,連接尸E,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r秒.(1)當(dāng)7=2時(shí)，tanZCPE=.

(2)設(shè)PEC的面積為S,寫出S關(guān)于f的函數(shù)表達(dá)式，并寫出；PEC的面積最大時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中，PEC為等腰三角形時(shí)f的值.

17.(2023春?重慶渝中?八年級?？计谀?如圖，一ABC中，以AB,AC為邊，分別在各自的上方作等邊三

角形△ABD,等腰三角形△ACE,AE=CE,ZAEC=120°,連接DE,BC；

(1)如圖1,若AB〃CE,AB=AC=12,求的面積

(2)如圖2,點(diǎn)產(chǎn)為3C中點(diǎn)，求證：DE=2EF

(3)如圖3,DE=；AB,NADE=32。，點(diǎn)N為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接作"CE關(guān)于。N所在直線的

對稱圖形，記作VACE,連接BE',當(dāng)直角三角形時(shí)，請直接寫出ZAOV的度數(shù).

18.(2023?八年級重慶?？计谥?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=3x+6&與無軸交于點(diǎn)A,與>軸交

于點(diǎn)8.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(。,2應(yīng))，點(diǎn)。在x軸上，CD=AB.

(1)點(diǎn)E在CO上，其橫坐標(biāo)為4a,點(diǎn)/、G分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接即，將/E尸沿EF翻

折得O'EF，點(diǎn)P是直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)-尸。最大時(shí)，求PG+GD的最小值；

(2)將8繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得直線CZ),點(diǎn)M、N分別是直線C7)與直線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CMN是

以CN為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

專題10三角形中的重要模型之特殊三角形中的分類討論模型

特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分類討論模型，是初中各類考試中幾何壓軸題的?？?，并

且形式多樣，內(nèi)容新穎，能較好地考查同學(xué)們的應(yīng)用意識和思維能力。在歷年中考當(dāng)中，很多考生因?yàn)樵?/p>

處理等腰三角形和直角三角形有關(guān)的多解問題時(shí)，常?？紤]不全面，導(dǎo)致漏解丟分。在學(xué)習(xí)等腰或直角三

角形的性質(zhì)和判定時(shí)，分類討論的思想尤為重要，希望大家要認(rèn)真對待。本專題將把特殊三角形分類討論

情形作系統(tǒng)的歸納與介紹，方便大家對它有個(gè)全面的了解與掌握。

目錄導(dǎo)航

例題講模型

........................................................................................2

模型1.等腰三角形中的分類討論模型-對角（邊）與高的分類討論模型........................2

模型2.等腰三角形中的分類討論模型-對邊的分類討論模型..................................3

模型3.直角三角形中的分類討論模型-斜邊（或直角）不確定的直角三角形模型................5

模型4.直角三角形中的分類討論模型-直角三角形存在性模型................................6

習(xí)題練模型

10

例題講模型

模型1.等腰三角形中的分類討論模型-對角（邊）與高的分類討論模型

模型解讀

1）若等腰三角形沒有明確角的種類，要分類討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角度入手分頂角

與底角兩種情況進(jìn)行分類討論。當(dāng)然有時(shí)候已知條件是以邊的形式給出，我們討論頂角和底角與討論底和

腰的原理相同。

2）若等腰三角形沒有明確高的位置，要分類討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角度入手分腰上

高與底邊高、界內(nèi)高與界外高兩種情況進(jìn)行分類討論。

模型運(yùn)用

例1.（24-25九年級上?山東?期末）若等腰VABC內(nèi)接于：。，AB=AC,ZBOC=100°,則VABC底角的

度數(shù)為（）

A.65°B.25°C.65°或25°D.65°或35°

【答案】C

【分析】畫出相應(yīng)圖形，分VABC為銳角三角形和鈍角三角形2種情況解答即可.本題考查的是三角形外

接圓和外心，三角形圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)，分情況探討是解決本題的易錯(cuò)點(diǎn)；用到的知識點(diǎn)為：

同弧所對的圓周角等于圓心角的一半；圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).

【詳解】解：（1）圓心。在VABC外部，

在優(yōu)弧2C上任選一點(diǎn)O,連接3D,CD.

'：CB=CB，"DC=1NBOC=50°,ZBAC=180°-ZBDC=130°；

AB=AC,ZABC=(180°-ABAC)4-2=25°；

(2)圓心。在VABC內(nèi)部.???C8=CB，AZBAC=|ZBOC=50°,

A

AB=AC,：.ZABC=（180°-ABAC）2=65°,綜上所述，VABC底角的度數(shù)為65。或25。，故選：C.

例2.（2023?四川廣元?八年級校聯(lián)考期中）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°,那么這個(gè)等

腰三角形的頂角等于（）

A.40°B.140°或40°C.15?；?5°D.140°

【答案】B

【分析】分三角形是銳角三角形時(shí)，利用直角三角形兩銳角互余求解；三角形是鈍角三角形時(shí)，利用三角

形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.

【詳解】如圖1,三角形是銳角三角時(shí)，.?/ACD=50。，.?.頂角/4=90。-50。=40。；

如圖2,三角形是鈍角時(shí)，；，48=50。，，頂角254。=50。+90。=140。，

綜上所述，頂角等于40。或140。.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，難點(diǎn)在于分情況討論，作出圖形更

形象直觀.

例3.（2023春?山東棗莊?八年級?？计谥校┮阎獂,y滿足|4-工+方及=0,則以，，?的值為兩邊長的等

腰三角形的周長是（）

A.20或16B.20C.16D.以上答案均不對

【答案】B

【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出x,y的值，利用分類討論的思想思考問題即可.

【詳解】解：|4-x|+Vw=0,X,.|4-%|>0,:.x=4,y=8,

當(dāng)?shù)妊切蔚倪呴L為4,4,8時(shí)，不符合三角形的三邊關(guān)系；

當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?,8,4時(shí)，周長為20,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的概念、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

基本知識，屬于中考?？碱}型.

例4.（2024八年級上?湖北?專題練習(xí)）等腰三角形三邊長分別為“，2a-3,3a-5,則等腰三角形的周長

為（）

A.10B.7或10C.7或4D.10或7或4

【答案】B

【分析】本題考查了等腰三角形的定義、一元一次方程的應(yīng)用、三角形三邊關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的定義，

分三種情況，分別得出一元一次方程，解方程結(jié)合三角形三邊關(guān)系判斷即可得解.

【詳解】解：①當(dāng)。為底邊長時(shí)，腰長為2a-3,3a-5,

?.?三角形為等腰三角形，.二〃—3=3a—5,解得。=2,...。=2,3。-5=1,；1+1=2,...構(gòu)不成三角形;

②當(dāng)2a-3為底邊長時(shí)，腰長為。，3“-5,?.?三角形為等腰三角形，,a=3a-5,解得。=:，

A3a-5=|,2a-3=2,符合三角形三邊關(guān)系，，等腰三角形的周長為1+：+2=7；

③當(dāng)3a-5為底邊長時(shí)，腰長為。，2a-3,二?三角形為等腰三角形，a=2a-3,解得a=3,

/.2a-3=3,3a-5=4,符合三角形三邊關(guān)系，，等腰三角形的周長為3+3+4=10.

綜上，等腰三角形的周長為7或10,故選：B.

例5.（24-25八年級上?浙江嘉興?階段練習(xí)）等腰三角形一腰上的中線將這個(gè)等腰三角形的周長分為6cm和

15cm兩部分，那么這個(gè)等腰三角形的底邊長是.

【答案】1。〃/1厘米

【分析】本題考查了等腰三角形的定義（至少有兩邊等長或相等的三角形）、二元一次方程組的幾何應(yīng)用、

三角形的三邊關(guān)系定理；依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.如圖（見解析），分①

AB+AD=6cm,BC+CD=15cm-②AB+AD=15cm,3C+CD=6cm兩種情況，再分別根據(jù)等腰三角形

的定義建立二元一次方程組，解方程組可得等腰三角形的三邊長，然后利用三角形的三邊關(guān)系定理進(jìn)行檢

驗(yàn)即可得.

【詳解】解:如圖，VABC是等腰三角形，是腰AC上的中線，

BC

設(shè)5C=劉AD=y,貝iJ8=y，AB=AC=2yf由題意，分以下兩種情況：

f2y+y=6fx=13

①當(dāng)AB+AD=6cm,5C+CD=15cm時(shí)，貝，解得《,

[x+y=15及=2

此時(shí)等腰三角形的三邊長分別為4cm,4cm,13cm,不滿足三角形的三邊關(guān)系定理，舍去;

解得x-1

②當(dāng)AB+AD=15cm,1BC+C￡>=6cm時(shí)，則

x+y=6y=5'

此時(shí)等腰三角形的三邊長分別為10cm,10cm,1cm,滿足三角形的三邊關(guān)系定理,

因此，這個(gè)等腰三角形的底邊長為1cm.故答案為：1cm.

模型2.等腰三角形中的分類討論模型-對邊的分類討論模型

模型解讀

1）等腰三角形沒有明確邊的種類，要分類討論；結(jié)合三角形三邊關(guān)系分腰與底邊兩種情況進(jìn)行分類討論。

2）坐標(biāo)系中的等腰三角形的分類討論。

模型證明

等腰三角形的兩種分類討論方法

方法1.“兩圓一線”；（一般符合“兩個(gè)定點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”的等腰三角形）。

如圖：已知A,。兩點(diǎn)是定點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)尸構(gòu)成等腰△OAP。

①以已知線段OA為底作它的垂直平分線，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)尸（有2個(gè)）；

②以已知線段。4為腰：用線段的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，線段長為半徑，分別作圓。（以。為圓心的有4個(gè),

以A為圓心的有2個(gè)）。具體題目要通過計(jì)算這些點(diǎn)的坐標(biāo)來考慮是否出現(xiàn)重疊現(xiàn)象。

方法2.“三邊兩兩相等分三種情況”討論，先列出三種情況，再首先選最簡單的那種情況先解答。

若是“兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn)”，多采用第二種方法分類討論。但就算是用第二種方法分類討論，也可以先用“兩

圓一線”確定符合等腰三角形的點(diǎn)可能有幾個(gè)及這些點(diǎn)的大致位置。

模型運(yùn)用

例1.（2024?山東.統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（L括），若Af為無軸上一

點(diǎn)，且使得為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)M有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】A

【分析】分別以。、A為圓心，以。4長為半徑作圓，與無軸交點(diǎn)即為所求點(diǎn)再作線段04的垂直平分

線，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也是所求的點(diǎn)作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解即可.

【詳解】解：如圖，

滿足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為2.故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)及等腰三角形的判定；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒

有明確哪邊是底哪邊是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論.

例2.（2023?福建南平?八年級校考期中）已知AA8C中，如果過頂點(diǎn)8的一條直線把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)

三角形，其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)為直角三角形，則稱這條直線為AABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線.如

圖1,R3A8C中，顯然直線3。是AABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線.在圖2的“8C中，ZABC=U0°,若直

線BD是AABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，貝INCDB的度數(shù)是.

B

圖1圖2

【答案】40?；?0?；?40°

【分析】分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：①如圖，當(dāng)NDBC=90°,AD=BD^,直線題＞是的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線,

'/ZABC=110°,ZDBC=9Q°,：.ZABD=2Q°,

,/AD=BD,NA=ZABD=20°,：.ZCDB=ZA+ZAB￡>=40°；

②如圖，當(dāng)NBr＞C=90。，AD=BD^,直線BD是AABC的關(guān)于點(diǎn)2的二分割線，或當(dāng)/MC=90。，CD=BD

時(shí)，直線是AABC的關(guān)于點(diǎn)8的二分割線，；

③如圖，當(dāng)NAM=90。，CD=BD^,直線8。是AABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，

VZABC=U0°,ZABD=90°,：.ZDBC=20°,；CD=BD,：.ZC=ZDBC=20°,：.ZBDC=14O°.

綜上所述：當(dāng)NBDC的度數(shù)是40?；?0?；?40。時(shí)，直線2D是AABC的關(guān)于點(diǎn)2的二分割線.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，理解二分割線是本題關(guān)鍵.

例3.（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考中考真題）如圖，一MC中，AB=AC,ZA=30°,射線CP從射線C4開始繞點(diǎn)

C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角（0。＜夕＜75。），與射線相交于點(diǎn)。，將,.ACD沿射線CP翻折至△ACD處，射線。!’與

射線45相交于點(diǎn)E.若是等腰三角形，則/a的度數(shù)為.

【分析】分情況討論，利用折疊的性質(zhì)知NA=NA'=30。，ZACP=ZACP'=a,再畫出圖形，利用三角形

的外角性質(zhì)列式計(jì)算即可求解.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知/A=NA'=30。，ZACP=ZACP'=a,

當(dāng)AO=DE時(shí)，NDE4'=NA'=30。，

c

由三角形的外角性質(zhì)得NDE4'=/A+/ACD+NA'CD,即30。=30。+2。，此情況不存在;

當(dāng)=時(shí)，NA=30°,ZD￡A'=ZEDA'=1(180°-30°)=75°,

當(dāng)￡A'=DE時(shí)，Z￡ZM'=ZA'=30。，ZDEA1=180°-30°-30°=120°,

由三角形的外角性質(zhì)得120。=30。+20,解得a=45。；

當(dāng)=時(shí)，ZA'DE=ZA'ED=15°,：.ZADC=ZA,￡>C=1(180o-15°)=82.5°,

?.(z=ZAC￡>=180°-30°-82.5°=67.5°；

綜上，/a的度數(shù)為22.5?；?5?；?7.5。.故答案為：22.5。或45。或67.5。.

【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵.

例4.(2023春?四川達(dá)州?八年級?？计谥?在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A(1,2),點(diǎn)P是

y軸正半軸上的一點(diǎn)，且AAOP為等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【答案】(0,百),(0,4)(0,；j

【分析】有三種情況：①以。為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧交y軸于D,求出OA即可；②以A為圓心，以

OA為半徑畫弧交y軸于P,求出OP即可；③作OA的垂直平分線交y軸于C,貝UAC=OC,根據(jù)勾股定

理求出OC即可.

【詳解】有三種情況：

①以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧交y軸于D,則OA=OD=衽+22=岔；.-.D(0,如);

②以A為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧交y軸于P,OP=2xyA=4,；.P(0,4)；

③作OA的垂直平分線交y軸于C,則AC=OC,由勾股定理得：OC=AC="+（2一OC）?

勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知

識點(diǎn)的理解和掌握，能求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵.

例5.（2024.江蘇泰州?八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1,AABC中，SLAB于Q,且2D:A￡>:CD=2:3:4,

（1）試說明AABC是等腰三角形；（2）已知5AA^=40?1?,如圖2,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)8出發(fā)以每秒1cm的速度沿線

段54向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以相同速度沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)

運(yùn)動(dòng)都停止.設(shè)點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為八秒），①若的邊與3c平行，求/的值；②若點(diǎn)E是邊AC的中

點(diǎn)，問在點(diǎn)"運(yùn)動(dòng)的過程中，AMDE能否成為等腰三角形？若能，求出r的值；若不能，請說明理由.

49

【答案】⑴見解析⑵①5或6；②9或10或下

6

【分析】（1）設(shè)BD=2X,AD=3X,CD=4X,則AB=5X,由勾股定理求出AC,即可得出結(jié)論;

（2）由AABC的面積求出3D、AD.CD、AC；①當(dāng)時(shí)，AM=AN■,當(dāng)DN〃BC時(shí)，AD=AN；

得出方程，解方程即可;

②由直角三角形的性質(zhì)得出OE=5,,根據(jù)題意得出當(dāng)點(diǎn)M在。A上，即4<tV10時(shí)，^MDE為等腰三角形,

有3種可能：DE=DM；ED=EM；MD=ME=t-4；分別得出方程，解方程即可.

【詳解】(1)證明：設(shè)5。=2羽A￡>=3x,CD=4x,貝!!A5=5尤，

在RtAACD中，AC=ylAD2^CD2=5x^-.AB=AC,二AABC是等腰三角形;

(2)解：設(shè)5￡>=2羽AD=3x,C￡>=4x,則AB=5x,

%c=""=4(W,而x>。.，.-.x=2cm

則BD=4cm,AD=6cm,CD=8cm,AC=AB=10cm,

由題意可知當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)A時(shí)點(diǎn)N剛好到達(dá)點(diǎn)C,此時(shí)f=10.

①當(dāng)肱V〃3C時(shí)，AM=AN,即107=t,/./=5；

當(dāng)。V〃3C時(shí)，AD=AN,得：r=6；

.?.若A￡)初V的邊與BC平行，t值為5或6.

圖2

②：點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，CDYAB,：.DE=^AC=5cm,

當(dāng)點(diǎn)M在30上，即0Wt<4時(shí)，AMDE1為鈍角三角形，但。MwDE；

當(dāng)/=4時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。，不構(gòu)成三角形

當(dāng)點(diǎn)M在ZM上，即4<區(qū)10時(shí)，AMDE為等腰三角形，有3種可能.

如果DE=DM,貝卜一4=5,：.t=9；

如果￡D=EM,則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,；"=10；

如果MD=VE=(r-4)cm,過點(diǎn)石作EFJ_AB于尸，如圖3所示：

圖3

止匕時(shí)EF=—CD=4cm,ED=EA，.DF=AF=—AD=3cm

22

BM=Zcm,BF=4+3=7cm,FM=，一7)cm,

49

VEF=4cm,則在RtAE?中，(Z-4)2-a-7)2=42,：.t=—,

6

49

綜上所述，符合要求的f值為9或10或?.

6

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、解方程等知識；本題有一定難

度，需要進(jìn)行分類討論才能得出結(jié)果.

例6.(2024?四川成都?八年級校考期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過4(-2,6)的直

(1)求直線的表達(dá)式和點(diǎn)。的坐標(biāo)；(2)橫坐標(biāo)為”的點(diǎn)尸在線段A3上(不與點(diǎn)A、B重合)，過點(diǎn)P作無

軸的平行線交AD于點(diǎn)E,設(shè)PE的長為y(ywO),求y與機(jī)之間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出相應(yīng)的機(jī)取值范

圍；(3)在(2)的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)尸，使！尸所為等腰直角三角形？若存在求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

3

【答案】(l)y=—x+4,D(-5,0)(2)y=-m+3,(-2<m<4)

(3)存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為5,。)或卜?,。［或1T，0)

【分析】(1)據(jù)直線A3交x軸正半軸于點(diǎn)8,交y軸于點(diǎn)C,OB=OC,設(shè)直線A3解析式為y=-x+〃,

把A的坐標(biāo)代入求得〃的值，從而求得8的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積建立方程求出3。的值，求出。。的

值，從而求出。點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直接根據(jù)待定系數(shù)法求出AD的解析式，先根據(jù)&A的坐標(biāo)求出直線A3

的解析式，將尸點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入直線A3的解析式，求出尸的縱坐標(biāo)，將尸的縱坐標(biāo)代入直線4）的解析式

就可以求出E的橫坐標(biāo)，根據(jù)線段的和差關(guān)系就可以求出結(jié)論；（3）要使！PEF為等腰直角三角形，分三種

情況分別以點(diǎn)P、E、尸為直角頂點(diǎn)，據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出（2）中加的值，就可以求出尸點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】（1）解：OB=OC,.?.設(shè)直線A3的解析式為丫=一尤+",

,直線AB經(jīng)過A（-2,6）,,2+〃=6,〃=4,

直線A8的解析式為y=—x+4,.,.8（4,0）,03=4,

71SD的面積為27,A（-2,6）,.?.SASD=：XBDX6=27,

5Z）=9,=5,5,0）,.,.直線AB的解析式為y=—九+4,5,0）

（2）解：設(shè)直線AD的解析式為y=+

/、/、[—2a+b=6[a=2

A（-2,6）,D（-5,0）A,7n,解得7g.?,?直線AD的解析式為y=2x+10；

77[—5Q+Z?=0[。=10

??,點(diǎn)尸在A5上，且橫坐標(biāo)為物二。（帆+4）,PE〃x軸，??.E的縱坐標(biāo)為-m+4,

代入y=2x+10得，T〃+4=2X+10,解得尤=今），，一冽十力，

二PE的長、=加——"；6=半+3；即y=1■加+3,（-2<??1<4）；

（3）解：在x軸上存在點(diǎn)死使！尸E尸為等腰直角三角形，

3

①當(dāng)NFPE=90°時(shí)，如圖①，有PF=PE,PF=-m+4,PE=-m+3,

2

.?.-m+4=-|m+3,解得加=]■,止匕時(shí)尸（|>。]；

②當(dāng)NPEF=90。時(shí)，如圖②，有EP=EF,E廠的長等于點(diǎn)￡的縱坐標(biāo)，

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EF=-m+4,：.-m+4=—m+3,解得：m=一,

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