黑龍江省牡丹江市普通高中協(xié)同發(fā)展共同體第四子共同體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第頁，共頁第15頁，共15頁牡丹江市普通高中協(xié)同發(fā)展共同體第四子共同體2024--2025學(xué)年度第一學(xué)期高二年級期末考試試題數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘滿分150分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由直線的一般式得到其斜率，再利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€可化為，則其斜率為，設(shè)其傾斜角為，則，所以.故選：B.2.已知，分別是平面法向量，若，則（）A. B. C.1 D.7【答案】B【解析】【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解【詳解】因?yàn)?，分別是平面的法向量，且，所以，即，解得故選：B3.已知，，且，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由求出，再利用空間向量的夾角公式求解即可【詳解】設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)椋?，且，所以，得，所以，所以，因?yàn)?，所以，故選：A4.如圖，已知空間四邊形OABC，其對角線OB，AC，M，N分別是對邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且，現(xiàn)用向量，，表示向量，設(shè)，則x，y，z的值分別為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件用，，表示，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，結(jié)合，得，故選：C5.直線是雙曲線的一條漸近線，則（）A1 B.2 C.4 D.16【答案】A【解析】【分析】首先表示出雙曲線的漸近線，即可得到方程，解得即可.【詳解】雙曲線的漸近線為，又是雙曲線的一條漸近線，即，解得.故選：A6.已知拋物線的準(zhǔn)線為，則與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)準(zhǔn)線方程，代入直線方程即可求解.【詳解】的準(zhǔn)線方程為：，當(dāng)時(shí)，，解得，故交點(diǎn)為，故選：D7.如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量夾角的余弦公式求解即可．【詳解】分別以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，所以設(shè)向量與的夾角為，則，所以直線和夾角的余弦值為，故選：C．8.已知雙曲線，過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)是，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】求出直線方程，代入雙曲線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，利用中點(diǎn)坐標(biāo)得出的關(guān)系式，整理后求得離心率．【詳解】由已知直線的方程為，即，設(shè)，由得，則即，則，，線段的中點(diǎn)是，則，，整理得，即，故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知圓和圓，則（）A.相交 B.相離C.公共弦所在的方程式 D.公共弦長是【答案】ACD【解析】【分析】A，B選項(xiàng)，求出兩圓的圓心，進(jìn)而求圓心距利用圓心距與兩半徑之差和半徑之和比較，確定位置關(guān)系；C選項(xiàng)，兩圓相減即為公共弦所在直線方程；D選項(xiàng)，利用C選項(xiàng)的結(jié)果，利用點(diǎn)到直線距離公式求出圓心到的距離，進(jìn)而利用垂徑定理求出公共弦長.【詳解】圓即，圓心，半徑，圓即，圓心，半徑，圓心距，又因?yàn)?，，所以，所以兩圓相交，故A正確，B錯誤；兩圓相減得：，故兩圓的公共弦所在直線方程為，C正確；圓心到的距離為，由垂徑定理得：兩圓的公共弦長為，D正確.故選：ACD.10.已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則（）A.橢圓C的長軸為B.橢圓C的離心率為C.D.拋物線上與焦點(diǎn)距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】BCD【解析】【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)條件得到，從而求出長軸，即可判斷A；由可得，求出離心率即可判斷B，求出橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得，判斷C；利用拋物線的焦半徑定義即可判斷D.【詳解】橢圓，則，所以長軸，則，故A錯誤，B正確；因?yàn)榈淖笥医裹c(diǎn)分別為，由題知，拋物線的焦點(diǎn)，所以，得到，故C正確，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)拋物線上與焦點(diǎn)距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線的定義可得：，則，代入拋物線方程可得，則，故D正確；故選：BCD.11.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為，AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)B到直線的距離為B.直線CF到平面的距離為C.直線與平面所成角的余弦值為D.直線與直線所成角的余弦值為【答案】ABD【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解．【詳解】在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，,2,，,0,，,2,，,2,，,2,，則點(diǎn)到直線的距離為：，故A正確；,0,，,1,，,1,，,2,，,,，,1,，,2,，,1,，設(shè)平面的法向量,,，則，取，得2,，由于分別為的中點(diǎn)，所以且，因此四邊形為平行四邊形，故,又平面,平面,所以平面，直線到平面的距離為，故B正確；設(shè)直線與平面所成角為，則，故C錯誤；,2,，,,，設(shè)直線與直線所成角為，則，故D正確．故選：ABD．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.兩平行直線：與：之間的距離是_____．【答案】##【解析】【分析】借助兩平行線間距離公式計(jì)算即可得.【詳解】.故答案為：.13.若，且，則實(shí)數(shù)______________.【答案】【解析】【分析】利用已知條件求出，然后，求出即可.【詳解】，,,,即，解得：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.如圖是一座拋物線型拱橋，拱橋是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．當(dāng)水位下降，水面寬為6米時(shí)，拱頂?shù)剿娴木嚯x為______米．【答案】4.5##【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，求出拋物線的方程，再代點(diǎn)的坐標(biāo)即得解.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，將代入，得，所以．設(shè)，代入，得．所以拱橋到水面的距離為．故答案為：4.5.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知直線l：，點(diǎn)．（1）求過點(diǎn)A且與l垂直的直線方程；（2）求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)利用垂直的條件求出所求方程的直線斜率，再利用點(diǎn)斜式方程求解即得；(2)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)中的對稱條件列出方程組求解即得.【詳解】(1)依題意，直線l的斜率為1，則與l垂直的直線斜率為-1，于是得：，化簡得：，所以過點(diǎn)A且與l垂直的直線方程是；(2)設(shè)，顯然點(diǎn)A與的中點(diǎn)必在直線l上，且直線斜率為-1，因此，，即，解得，則點(diǎn)，所以點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.16.如圖，過雙曲線的右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，求【答案】【解析】【分析】由雙曲線方程求出右焦點(diǎn)，進(jìn)而得到直線方程，直曲聯(lián)立，結(jié)合距離公式計(jì)算即可.【詳解】雙曲線方程可化為，所以，故，所以直線的方程為，設(shè)，，由得，，所以，，所以.17.已知向量，且.（1）求向量與的夾角；（2）求的值；（3）若向量與互相垂直，求的值．【答案】（1）（2）4（3）【解析】【分析】（1）由向量模的坐標(biāo)運(yùn)算得出，再根據(jù)向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求解即可；（2）由及已知條件求得，即可求模；（3）由已知得，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知條件代入求解即可．【小問1詳解】因?yàn)椋?得，所以由，可得，因?yàn)?，所以向量與的夾角為.【小問2詳解】，故4.【小問3詳解】由向量與互相垂直，得，，整理得，解得.18.如圖，是邊長為3的正方形，平面，，，與平面所成角為．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）先利用線面角求出的長度，然后利用空間向量法求解即可.【小問1詳解】因?yàn)槭钦叫?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平?【小問2詳解】因?yàn)檎叫?，平面，平面，所以兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槠矫?，所以即為與平面所成角，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，，，設(shè)平面的法向量，平面的法向量，平面與平面的夾角為，則，令得，令得所以，即平面與平面夾角的余弦值為.19.已知橢圓C：過點(diǎn)M（2，3）,點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為，（1）求C的方程；（2）點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.【答案】（1）；（2）18.【解析】【分析】(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；(2)首先利用幾何關(guān)系找到三角形面積最大時(shí)點(diǎn)N的位置，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合判別式確定點(diǎn)N到直線AM的距離即可求得三角形面積的最大值.【詳解】(1)由題意可知直線AM的方程為：，即.當(dāng)y=0時(shí)，解得，所以a=4，橢圓過點(diǎn)M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為：，如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為N，此時(shí)△AMN的面積取得最大值.聯(lián)立直線方程與橢圓方程，可得：，化簡可得：，所以，即m2=64