2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：最值模型之瓜豆模型（原理）曲線解讀與提分訓(xùn)練（解析版）

專題38最值模型之瓜豆模型（原理）曲線

動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識(shí)的局限和思維能力的束縛，該

壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個(gè)坎，致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型

的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個(gè)重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原

理（動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓弧型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

目錄導(dǎo)航］

例題講模型

........................................................................................................................................................1

模型1.瓜豆模型（圓弧軌跡類）.................................................................1

習(xí)題練模型］

12

例題講模型］

模型L瓜豆模型（圓弧軌跡類）

模型解讀

“主從聯(lián)動(dòng)”模型也叫“瓜豆”模型，出自成語“種瓜得瓜，種豆得豆”。這類動(dòng)點(diǎn)問題中，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨另一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，我們把它們分別叫作從動(dòng)點(diǎn)和主動(dòng)點(diǎn)，從動(dòng)點(diǎn)和主動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一致的，即所謂“種”

線得線，“種”圓得圓（而當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)軌跡是其他圖形時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)軌跡必然也是）。解決這一類問題通常用到旋

轉(zhuǎn)、全等和相似。

模型證明

模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧

模型LL如圖，P是圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,。為AP中點(diǎn).。點(diǎn)軌跡是？

分析：如圖，連接A。，取中點(diǎn)任意時(shí)刻，均有AAM。QM,PQ=AQ：AP=1：2。

則動(dòng)點(diǎn)。是以M為圓心，MQ為半徑的圓。

P

模型1-2.如圖，P是圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,作AQLAP且AQ=AP,當(dāng)點(diǎn)尸在圓。上運(yùn)動(dòng)

時(shí)，。點(diǎn)軌跡是?

分析：如圖，連結(jié)A。，作AM_LA。，AO=AM；任意時(shí)亥!|均有△APO0AAQM,MMQ=PO.

則動(dòng)點(diǎn)。是以M為圓心，M。為半徑的圓。

模型1-3.如圖，AAP。是直角三角形，乙陰。=90。且AP=EAQ,當(dāng)尸在圓。運(yùn)動(dòng)時(shí)，。點(diǎn)軌跡是？

分析：如圖，連結(jié)A。，作AM_LA。，AO:AM=/:1；任意時(shí)亥lj均有△AP0SA40M,且相似比為聯(lián)

則動(dòng)點(diǎn)。是以M為圓心，MQ為半徑的圓。

模型1-4.為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)尸、Q,可稱P為“主動(dòng)點(diǎn)”，。為“從動(dòng)點(diǎn)”。

此類問題的兩個(gè)必要條件：①主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（NHL0是定值）；②主動(dòng)點(diǎn)、從

動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP：4。是定值）。

分析：如圖，連結(jié)A。，^ZOAM=ZR\Q,AO:AM=AP：AQ；任意時(shí)刻均有△APOS/XAQM。

則動(dòng)點(diǎn)。是以M為圓心,MQ為半徑的圓。

特別注意：很多題目中主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡并未直接給出，這就需要我們掌握一些常見隱圓的軌跡求法。

（1）定義型：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動(dòng)態(tài)翻折中）

如圖，若P為動(dòng)點(diǎn),AB=AC=AP,則3、C、P三點(diǎn)共圓，則動(dòng)點(diǎn)尸是以A圓心，A3半徑的圓或圓弧。

（2）定邊對(duì)定角（或直角）模型

1）一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.

如圖，若尸為動(dòng)點(diǎn)，A3為定值，ZAPB=9Q°,則動(dòng)點(diǎn)尸是以A3為直徑的圓或圓弧。

2）一條定邊所對(duì)的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓弧.

如圖，若尸為動(dòng)點(diǎn)，為定值，NAPB為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓弧。

模型運(yùn)用

例1.（2024.河南南陽三模）如圖，點(diǎn)P（3,4）,。尸半徑為2,A（2.8,0）,B（5.6,0）,點(diǎn)M是0尸上的動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)C是MB的中點(diǎn)，則AC的最小值為（）

【答案】A

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形、三角形中位線定理、勾股定理，連接OP交。尸于連接OM,由題意

得出AC是AO&W的中位線，則=從而得到當(dāng)。加最小值，AC最小，即當(dāng)加運(yùn)動(dòng)到卜時(shí)，OM

最小，此時(shí)AC也為最小，求出的長(zhǎng)即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接。尸交于連接

：4(2.8,0),8(5.6,0),/.OA=2.8,AB=2.8,：.OA=AB,

丁點(diǎn)C是MB的中點(diǎn)，3C=C0,AC是AOBM的中位線，AC=；OM,

.?.當(dāng)OM最小值，AC最小，，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到M'時(shí)，最小，此時(shí)AC也為最小，

._____13

vOM'=OP-PM'=yl?r+42-2=5-2=3-；?AC的最小值為5x3=5,故選：A.

例2.（2023?黑龍江大慶?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的。。與無軸的正半軸交于點(diǎn)A,

3

點(diǎn)B是。。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線＞=^了-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)則點(diǎn)C到直線DE

【答案】C

【分析】先確定C點(diǎn)的軌跡是。P,則C到直線。E的最小距離為根據(jù)相似得到邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系，列

方程直接求解即可.

;點(diǎn)C為弦A3的中點(diǎn)，?,.ZACO=90。，.?.點(diǎn)C在以Q4為直徑的圓上（點(diǎn)O、A除外），

以。4為直徑作。尸，過尸點(diǎn)作直線于H,交0P于M、N,

當(dāng)x=0時(shí)，y=-x-3=-3,則E(0,—3),當(dāng)y=0時(shí)，-x-3=0,解得了=4,則0(4,0),

44

???勿二4,；?DE=EK=5';。。的半徑為2,???A(2,0),???P(1,O),??.OP=1,??.上。=0?！猀P=3,

?：ZPDH=ZEDO,/PHD=/EOD=90。,：,QPHsQEO,：?PH:OE=DP:DE,

Q144

即777:3=3:5,解得PH=-,/.MH=PH+1=—,NH=PH-\=-.

555

4

.?.點(diǎn)C到直線DE的最小距離為彳.故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查圓與三角形的綜合，解題關(guān)鍵是先確定C點(diǎn)的軌跡是圓，則C到直線DE的最小距離為NH,

根據(jù)相似列方程直接求解即可.

例3.(2023春?湖北黃石?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，四邊形ABCD為正方形，P是以邊AD為直徑的。。

上一動(dòng)點(diǎn)，連接“，以3P為邊作等邊三角形BP。，連接。。，若AB=2,則線段。。的最大值為.

【答案】宕+1/1+行

【分析】連接。3、0P,將。3繞點(diǎn)2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到05,連接。'。，通過證明AaBP/AO'BQ(SAS),

得出。尸=。'。=1,從而得出點(diǎn)。在以點(diǎn)。為圓心，。'。為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)；則當(dāng)點(diǎn)0,O',P三點(diǎn)在同

一直線上時(shí)，OQ取最大值，易證△080'為等邊三角形，求出。0，=。8=若，即可求出

OQ=OO'+O'Q=y/5+l.

【詳解】解：連接。3、0P,將。3繞點(diǎn)2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到。'8,連接O'Q,

；03繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到。8,05=05,408(7=60。,

；VBPQ為等邊三角形，PB=QB,ZPBQ=60°,

：.ZOBO'-NPBO'=NPBQ-ZPBO',即NOBP=NO'BQ,

OB=O'B

在AOBP和氯）'BQ中，＜NOBP=ZO'BQ,△O3%AO'3Q（SAS）,

PB=QB

'：AB=2,四邊形ABC。為正方形，AD=AB=2,則Q4=OP=1,

.?.O尸=00=1,.?.點(diǎn)。在以點(diǎn)。為圓心，OQ為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)；

...當(dāng)點(diǎn)。，O',P三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，取最大值，

在RM。旬中，根據(jù)勾股定理可得：OB=do從+AB?=行，

VOB=O'B,/。8。=60。，...△050'為等邊三角形，OO'=OB=s[5,

：.OQ=OO'+O'Q=45+1,故答案為：昌1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查看瓜豆模型——圓生圓模型，解題的關(guān)鍵是確定從動(dòng)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡，以及熟練掌

握全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì).

例4.（23-24九年級(jí)上?江蘇南京?階段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-3,4）,點(diǎn)8

是0A上一點(diǎn)，0A的半徑為2,將繞。點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得。C,連接AC,則線段AC的最小值

為（）

A.5A/2-2B.372-1C.5D.6

【答案】A

【分析】把。4繞。點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得04’,過點(diǎn)A作AF軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AGLx軸于點(diǎn)G,

以點(diǎn)A為圓心作。A',使。A'的半徑為2,點(diǎn)8是。A上一點(diǎn)，則點(diǎn)C是。A'上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A,O,A三點(diǎn)共

線，即點(diǎn)C在AA上時(shí)，AC最小.

【詳解】解：如圖，把。4繞。點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得04,，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)尸，過點(diǎn)A作AGLx

軸于點(diǎn)G,以點(diǎn)A為圓心作0A',使。A'的半徑為2,

：OA=OA',ZAOA'=90°,ZAFO=ZOGA=90°,

ZAOF+ZA'OG=180O-ZAOA'=90°,ZAOF+ZOAF=90°,

ZOAF=ZA'OG,...VAFO至VOGA'(AAS),AF=OG=4,OF=A'G=3,A(4,3),

過A‘作A'"LA歹于點(diǎn)8，AW=4-(-3)=7,AH=4-3=l,

在RtVAHA中，AA'=yJ(AH)2+(AH'y=712+72=572,

點(diǎn)2是。A上一點(diǎn)，則點(diǎn)C是。A'上一點(diǎn)，AC=2,

當(dāng)點(diǎn)A。,A三點(diǎn)共線，即點(diǎn)C在AA上時(shí)，AC最小，

:.AC=AA!-CA!=542-2,故線段AC的最小值為5五-2.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本概念，動(dòng)點(diǎn)問題，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是作出

正確的輔助線，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.

例5.(2024?江蘇南通??？寄M預(yù)測(cè))如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,以點(diǎn)A為圓心，1為半徑作

圓，E是。A上的任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。并縮短到原來的一半，得到線段DF,

【答案】而-;

【分析】通過證VGDb:VADE可得G尸=g,由勾股定理可得AG=）452+002=5根據(jù)三角形三邊關(guān)

系求AF的最小值即可；

【詳解】解：如圖，取CD中點(diǎn)G,連接AE、GF、AG,

VEDXDF,ZEDF=90°,:四邊形ABCD是正方形，.,.ZGDA=90°,

,/ZGDF+ZFDA=90°,ZFDA+ZADE=90°,NGDF=NADE,

??必"」，2GDF.VADE,

DADE2AE2

又AE=1,解得G尸=g,由勾股定理可得，AG=VAD2+DG2=722+12=75>

由三邊的關(guān)系可得，AF的最小值為：AG-GF=V5-j；故答案為：V5-

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，掌握相似三角形的判定

與性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

例6.（2023?四川廣元?統(tǒng)考一模）如圖，線段A3為。。的直徑，點(diǎn)C在A3的延長(zhǎng)線上，AB=4,BC=2,

點(diǎn)尸是。。上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,以CP為斜邊在PC的上方作RJPCD,且使4>CP=60。，連接則QD

【答案】2石+1/1+2指

【分析】作ACOE,使得/CEO=90。，ZECO=60°,貝l]CO=2CE,OE=2垂>,Z.OCP=ZECD,由

npCPi

△COPs/^CED,推出；^==1=2,即￡Q=/P=1（定長(zhǎng)），由點(diǎn)石是定點(diǎn)，。石是定長(zhǎng)，點(diǎn)。在半徑

EDCD2

為1的。E上，由此即可解決問題.

【詳解】解：如圖，作ACOE,使得NCEO=90。，ZECO=60°,則CO=2CE,OE=2^，^OCP=ZECD,

■：ZCDP=90°,ZDCP=60°,:.CP=2CD,—=—=2,.^COP^^CED,

CECD

OPCPi

.---=--=2,即￡D）QP=1（定長(zhǎng)），???點(diǎn)E是定點(diǎn)，OE是定長(zhǎng)，.??點(diǎn)。在半徑為1的。石上，

EDCD2

-.■OD<OE+DE=2^+\,二。/）的最大值為2代+1,故答案為：26+1.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系、軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常

用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題.

例7.（23-24九年級(jí)上.安徽合肥?期末）如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,平面上

有一點(diǎn)P,AP=1,連接AP,BP,取BP的中點(diǎn)G.連接CG,在AP繞點(diǎn)A的旋轉(zhuǎn)過程中，則CG的最大

值是（）

A.3B.4C.372D.5

【答案】A

【分析】本題考查的是三角形的中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，圓的

確定，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵；如圖，取A8的中點(diǎn)。，連接GQ,CQ,證明G在以。為圓心,

《為半徑的圓上，即可得到答案.

【詳解】解：如圖，取48的中點(diǎn)Q,連接GQ,CQ,

,；G為B尸的中點(diǎn)，AP=1,；?QG=JAP=弓‘G在以。為圓心，；為半徑的圓上，

c

當(dāng)C,。，G三點(diǎn)共線時(shí)，CG最大，CG=CQ+QG,

,：ZACB=90°,AC=3,BC=4,小二招+不=5,**-CC=1-

CG=Ce+eG=j+1=3,即CG的最大值為3.故選A

例8.(2024北京海淀.一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于圖形”與圖形N給出如下定義：P為圖形N

上任意一點(diǎn)，將圖形/繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AT,將所有AT組成的圖形記作AT,稱是圖形/關(guān)

于圖形N的“關(guān)聯(lián)圖形”.⑴已知4-2,0),2(2,0),C(2J),其中垓0.①若r=l,請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)A關(guān)于

線段BC的“關(guān)聯(lián)圖形”；②若點(diǎn)A關(guān)于線段BC的“關(guān)聯(lián)圖形”與坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)，直接寫出/的取值范圍；(2)

對(duì)于平面上一條長(zhǎng)度為。的線段和一個(gè)半徑為『的圓，點(diǎn)S在線段關(guān)于圓的“關(guān)聯(lián)圖形”上，記點(diǎn)S的縱坐標(biāo)

的最大值和最小值的差為d,當(dāng)這條線段和圓的位置變化時(shí)，直接寫出d的取值范圍(用含。和廠的式子表

【答案】⑴①見詳解；②"T或叱2⑵20rWdV20r+a

【分析】(1)①根據(jù)新定義找出關(guān)鍵點(diǎn)3、C的旋轉(zhuǎn)90。后連接BC’即可；②同上理分情況討論即可；

(2)畫出分析圖，如圖所示，線段AB的長(zhǎng)度為。，圓N的半徑為人易得ABNPSABN?且相似比為1：0,

再移動(dòng)圖形即可求出d;本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上

知識(shí)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：①如圖所示：線段BC即為所求;

②如圖：當(dāng)f=2時(shí)，點(diǎn)A關(guān)于線段BC的“關(guān)聯(lián)圖形”與V軸恰有公共點(diǎn),

.?.整2時(shí)，點(diǎn)A關(guān)于線段BC的“關(guān)聯(lián)圖形”與y軸有公共點(diǎn)；

當(dāng)f=T時(shí)，點(diǎn)A關(guān)于線段BC的“關(guān)聯(lián)圖形”與X軸恰有公共點(diǎn),

(2)如圖，畫出分析圖，如圖所示，線段的長(zhǎng)度為。，圓N的半徑為「，

點(diǎn)A、B分別繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得至UNpNZ,分析可知ABNPSABNQ且相似比為1：0,

可得圓Nr、的半徑均為立,，隨意轉(zhuǎn)動(dòng)圖，可得+

習(xí)題練模型

1.（2024.安徽淮北?三模）如圖，線段AB=4,點(diǎn)M為A3的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)/的距離是1,連接尸8,

線段尸B繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PC,連接AC,則線段AC長(zhǎng)度的最大值是（）

C.20D.372

【答案】D

【分析】以AB為斜邊向上作等腰直角AAZB,連接C7,BC.利用相似三角形的性質(zhì)證明兀=加,推出點(diǎn)

C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以J為圓心，夜為半徑的圓，根據(jù)ACVA/+JC=3夜，可得結(jié)論.

【詳解】解：以A3為斜邊向上作等腰直角AA/B,連接C7,BC.

=.?.■=■=A?,，/WB是等腰直角三角形，APBC是等腰直角三角形，

ZMBJ=ZPBC=45°BJ=-BM=-J2BM,同理=:.ZMBP=ZJBC,—=—,

cos45°MBBP

:.AJBCs^MBP,:.與=黑=叵，；PM=1,:.JC=j2,

PMBM

二點(diǎn)c的運(yùn)動(dòng)軌跡是以J為圓心，0為半徑的圓，

AJ=^AB=2AC<AJ+JC=3y/2,故線段AC長(zhǎng)度的最大值為3VL故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,

三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓

軸題.

2.（2023?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）如圖，VABC中，NABC=90。，tanNBAC=：,點(diǎn)。是的中點(diǎn)，尸是以

A為圓心，以AO為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接尸8、PC,則名PB的最大值為（）

AMn3710RA/13-1nV13+1

31044

【答案】D

【分析】此題考查了解直角三角形，根據(jù)阿氏圓的定義，分別固定成，分別確定A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為阿氏圓

PB

O,C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為阿氏圓O',,由此可知，當(dāng)PC最最小時(shí)，器|的值最大，進(jìn)行求解即可.

Rd

【詳解】解：固定3尸，則不=2,.?那點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為阿氏圓。，

AP

設(shè)OP=a,貝ijAO=2a,BO=4a,貝U=OP=3a,

Afi

,：ZABC=90°,R=2,.?.（7點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為阿氏圓O',NO3O'=90。，

/NB

PB士曰一

：.OB=2a,O'C=a,.,.當(dāng)PC最小時(shí)的值取大，

22.PBPB3aV13+1痂啾n

PO'=4PB+OB=1(3aj+(Zap=J[3a,??——=——-———=—f=----=------,故選：D.

PCPO'-O'C屈a-a4

3.(2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè))如圖，分別經(jīng)過原點(diǎn)。和點(diǎn)A（8,0）的動(dòng)直線°,b,其夾角/。班=30。,

點(diǎn)M是02中點(diǎn)，連接AM,則AM的最小值是（）

C.4A/3-4D.46+4

【分析】作VA03的外接圓0尸，連接OP,PA,PB,取OP的中點(diǎn)Q,連接QM,證明AOAP是等邊三角形,

求出QM=；2=4,得到點(diǎn)M在以。為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，畫出0。，當(dāng)M在0Q與QA的交點(diǎn)時(shí),

連接QA交。。于此時(shí)AM有最小值，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理即可求解.

【詳解】解：作VAOB的外接圓。尸，連接ORPA,PB,取OP的中點(diǎn)。，連接

VZAPO=2.ZABO=60°,PO=PA,AOAP是等邊三角形，VA（8,0）,:.PO=PA=PB=8,

?：OQ=QP,=二。河=：8=4,.?.點(diǎn)M在以。為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，畫出。Q,

當(dāng)加在。。與QA的交點(diǎn)時(shí)，連接QA交。。于M,此時(shí)AM有最小值，

???△OR4是等邊三角形，OQ=PQ,/.AQLOP,

：0A=8,OQ=4,：.782-42=443-二AM的最小值是4君-4,故選：C.

AQ=

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，點(diǎn)到圓上的距離，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性

質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造三角形外接圓是解題的關(guān)鍵.

4.（23-24九年級(jí)上.江蘇連云港?階段練習(xí)）等邊VABC的邊長(zhǎng)為6,尸是AB上一點(diǎn)，AP=2,把AP繞點(diǎn)

A旋轉(zhuǎn)一周，P點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P,連接BP,的中點(diǎn)為2,連接CQ.則CQ長(zhǎng)度的最小值是（）

A

A.373-1B.3A/3-2C.3^+1D.36+2

【答案】A

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)及三邊關(guān)系，取AB

中點(diǎn)。，連接CD,AP',利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出CO=3g,根據(jù)三角形中位線定理得

到。。=1,再利用三角形三邊關(guān)系CQ2OC-。。即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：；AP=2,把AP統(tǒng)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，,2,

等邊VABC的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)。是A8中點(diǎn)，，8D=AD=3,CD1AB,：.CD==762-32=373-

:點(diǎn)。是3P的中點(diǎn)，，8Q=QP,5L'：AD=BD,：.DQ=^AP'=1,

在ACDQ中，CQ2Z>C-Z>Q=3g-l,c。的最小值為36-1,故選：A.

5.(23-24九年級(jí)上.安徽合肥?期末)如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,平面上有一

點(diǎn)P,AP=1,連接轉(zhuǎn)，BP,取3P的中點(diǎn)G.連接CG,在AP繞點(diǎn)A的旋轉(zhuǎn)過程中，則CG的最大值是

()

A.3B.4C.372D.5

【答案】A

【分析】本題考查的是三角形的中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，圓的

確定，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵；如圖，取48的中點(diǎn)。，連接GQ,CQ,證明G在以。為圓心,

|■為半徑的圓上，即可得到答案.

【詳解】解：如圖，取48的中點(diǎn)Q,連接GQ,CQ,

為3尸的中點(diǎn)，AP=1,，QG=5A尸=5,G在以。為圓心，■為半徑的圓上，

當(dāng)C,Q,G三點(diǎn)共線時(shí)，CG最大，CG=CQ+QG,

VZACB=90°,AC=3,BC=4,：.AB=^32+42=5>

/.CG=Ce+eG=|+1=3,即CG的最大值為3.故選A

6.(2024.河南關(guān)B州?三模)如圖，點(diǎn)M是等邊三角形A3C邊BC的中點(diǎn)，尸是三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接AP,將

線段AP以A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AQ，連接MQ.若AB=4,MP=1,則MQ的最小值為.

【答案】26-1

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓的有

關(guān)定義以及和性質(zhì)等知識(shí)，得到點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路線是解答的關(guān)鍵.連接尸M,AM,將線段AM繞著點(diǎn)A逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段連接QH,MH,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可推導(dǎo)鰻△的4P(SAS),是等邊三角

形，則a2=MP=l,=AM,根據(jù)圓的定義可得點(diǎn)。在以X為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而可知

當(dāng)M、。、〃共線時(shí)，最小，最小值為根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得AM值即可求解.

【詳解】解：連接PM,AM,將線段A"繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AH,連接MH,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得4。=4尸，AH=AM,ZMAH=ZPAQ=60°,即NHA0=/MAP=60。一NQAM,

^HAQ=/^MAP（SAS）,AMA?/是等邊三角形，；?HQ=MP=1,MH=AM,

則點(diǎn)。在以X為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

?:MQNMH-HQ,：.當(dāng)M、。、H共線時(shí)，河。最小，最小值為MH—1,

:點(diǎn)M是等邊三角形ABC邊BC的中點(diǎn)，AB=4,：.AM±BC,BM=-BC=-AB=2,

22

AM=\lAB2-BM2=742-22=2A/3>即MY=2而，，MQ的最小值為2道-1,故答案為：2道-1.

7.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）如圖，/是正方形ABCD邊CD的中點(diǎn)，P是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接3P,

線段“以8為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段8。，連接MQ.若AB=4,MP=\,則/。的最小值為—

【答案】2麗-1

【分析】連接將以8中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，/點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,由P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以/為圓

心，1為半徑的半圓，可得：。的運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心，1為半徑的半圓，再根據(jù)“圓外一定點(diǎn)到圓上任一

點(diǎn)的距離，在圓心、定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)，三點(diǎn)共線時(shí)定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間的距離最短"，所以當(dāng)M、Q、E三點(diǎn)共線時(shí)，

MQ的值最小，可求ME=4iBM=2曬,從而可求解.

【詳解】解，如圖，連接BM,將以8中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，M點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,

,?,P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的半圓，，。的運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心，1為半徑的半圓，

如圖，當(dāng)/、。、E三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，

,四邊形45co是正方形，:.CD=AB=BC=4,ZC=90°,

?.,M是CM的中點(diǎn)，.?.CM=2,BM=JCM。+3c2=［乎+4?=2癡,

由旋轉(zhuǎn)得：BM=BE,ME=y/2BM=2>J10,

.?.MQ=ME-EQ=2M-1,的值最小為2河一1.故答案：2廂一1.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段最小值問題，掌握相關(guān)的性

質(zhì)，根據(jù)題意找出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

8.（2024年成都市樹德實(shí)驗(yàn)中學(xué)西區(qū)中考數(shù)學(xué)診斷試題）如圖，AB=AC=4,/B4C=90。，點(diǎn)M是線

段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接將線段仍沿直線進(jìn)行翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)N處，連接CN,以CN為斜邊

在直線CN的左側(cè)（或者下方）構(gòu)造等腰直角三角形CND,則點(diǎn)M從A運(yùn)動(dòng)到C的過程中，線段CO的最小

值是,當(dāng)M從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)總路徑長(zhǎng)是.

【答案】472-4岳

【分析】由BN=AB=4,可得N在以8為圓心，4為半徑的,圓上運(yùn)動(dòng)（從A運(yùn)動(dòng)到N）,當(dāng)C、N、B共

4

線時(shí)，CN最??；連接BC,AD,可證明△BCWSAACD,從而得出AO=旺8"=2后，故點(diǎn)。在以A為

2

11

圓心，2夜為半徑的I圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)/從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)4。人，進(jìn)一步求得結(jié)果.

【詳解】解：如圖，連接BC,而AS=AC=4,/R4C=90。，

BC=J42+42=40，由折疊得：BN=AB=4,

.?.點(diǎn)N在以B為圓心，4為半徑的L圓上運(yùn)動(dòng)（從A運(yùn)動(dòng)到N，），

4

.,.當(dāng)C、N、B共線時(shí)，CN最小，CV最小=BC-4=40-4,連接4D,

?.?AB=AC,ZBC4=90°,:.ZACB=ZABC=45°,同理：NDCN=45°,

:.ZACB=NDCN,ZACB-ZACN=ZDCN-ZACN,:.ZBCN=ZACD,

BCCN穴ADAC1吏廠

——=-—=v2,:.&BCNs,■?~~==~~f=,AD=—BN=2A/2,

ACCDBNBCV22

???點(diǎn)。在以A為圓心，2血為半徑的;圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，

，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)JoA,

?.?；、2%-2夜=岳，；.點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：岳，故答案為：40-4，區(qū).

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，確定圓的條件，圓的周

長(zhǎng)公式等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形.

9.（2023?深圳外國(guó)語學(xué)校中考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作

圓，E是。A上的任意一點(diǎn)，將線段。E繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。并縮短到原來的一半，得到線段D尸,

連接AF,則AF的最小值是.

E

【答案】2乖-1

【分析】通過證AEZMSAFOT可得口=1,由勾股定理可得人7=加歹匚BF=2若，根據(jù)三角形三邊關(guān)

系求AF的最小值即可;

T,連接AE、FT、AT,

???四邊形ABCD是正方形，AD=CE>=4,/ADC=90。,

VDT=CT=-CD=ZDE=2DF,—=2,

2DFDT

AEED

?：ZEDF=ZADC=90°：.ZEDA=AFDT,：.^EDA^FDT,.*.—=—=2,AFT=1,

fTFFD

AT=VAD2+DT-=2>/5-AF>AT-7F,/.AF>2^-1,二?的最小值為2指一1

10.（24-25九年級(jí)上?四川成都?期中）如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=4,。是矩形45CD左側(cè)一

連接。Q,E為。。的中點(diǎn)，連接CE,則CE的最大值為

【答案】3

【分析】延長(zhǎng)。C至R使CD=CF,連接82,點(diǎn)。為A3的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，為直徑作圓，連

接PO,PO延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)。'，交BC于點(diǎn)G,連接。。；由NAQB=90。且點(diǎn)。在矩形的左側(cè)知，點(diǎn)。

是在AOB上運(yùn)動(dòng)，由題意及輔助線作法知，CE為△。。產(chǎn)的中位線，則產(chǎn)QWR9+OQ,當(dāng)尸、。、。三點(diǎn)

共線時(shí)，尸。最長(zhǎng)，最大值為尸Q'的長(zhǎng)度；利用相似三角形的性質(zhì)可求得BG、CG的長(zhǎng)，從而求得OG、FG,

最后求出尸。的長(zhǎng)，從而可求得CE的最大值.

【詳解】如圖，延長(zhǎng)。C至尸，使CD=CF,連接產(chǎn)。，點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，為直徑作

圓，連接尸0,尸O延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)Q',交2C于點(diǎn)G,連接。。'，

VAB=2,ZAQ8=90。，.?.點(diǎn)。是在以點(diǎn)。為圓心，A3為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

?..。是矩形左側(cè)一點(diǎn)，.?.點(diǎn)。是在408上運(yùn)動(dòng)，

??,CD=Cb,.?.點(diǎn)C為DF的中點(diǎn)，?.?點(diǎn)￡為。。的中點(diǎn)，CE為△。?？诘闹形痪€，=

?.?尸QW產(chǎn)O+OQ,.?.當(dāng)R0、。三點(diǎn)共線時(shí)，尸。最長(zhǎng)，此時(shí)產(chǎn)。的最大值為尸Q'的長(zhǎng)度，

VAB=2,：.OQ'=OA=OB=\,二?四邊形ABC。為矩形，AB=2,BC=4,

：.AB=CD=2,AD=BC=4,AB//CD,ZABC=90°,：.CF=CD=2,

VAB//DF,：.AOBGS*CG,=—=—=：.FG=2OG,CG=2BG,

FGCGCF2

448

設(shè)8G=x,則CG=2x,x+2x=4,角軍得：x=—,BG=—,CG=—,

333

在RtAOBG中,由勾股定理得0G=JW+BG-=卜+用=|,

：.FG=2OG=^,：.FQ'=OQ'+OG+FG=l+^+y=6,:.CE最大=；F0=3.故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓的基本知

識(shí)，確定出點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路徑、求CE的最大值轉(zhuǎn)化為求網(wǎng)2的最大值是解題的關(guān)鍵與難點(diǎn).

11.（2024?四川瀘州?二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5,以C為圓心，2為半徑作。C,點(diǎn)尸為。。上

的動(dòng)點(diǎn)，連接3P,并將3P繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到3P,連接CP,在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的過程中，CP長(zhǎng)度的

最大值是.

【答案】5應(yīng)+2/2+50

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和最大值問題.連

接AP',CP,證明△?小△。5尸(SAS),得到AP'=CP=2,點(diǎn)P在以A為圓心，2為半徑的上，當(dāng)P，

在對(duì)角線C4延長(zhǎng)線上時(shí)，CP最大，再利用勾股定理求對(duì)角線C4的長(zhǎng)，即可得出CP長(zhǎng)度的最大值.

【詳解】解：連接AP',CP,?.,正方形ABCD,AB=3C,ZABC=90°,

將BP繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BP',：.BP,=BP,NPBP=90°,ZABP'=90°-ZABP=ZCBP,

△ABPNACBP(SAS),AP=CP=2,.,.點(diǎn)P在以A為圓心，2為半徑的。A上，

如圖，當(dāng)P在對(duì)角線C4延長(zhǎng)線上時(shí)，CP最大,

在RtAABC中，AB=BC=5,：.AC=^AB2+BC2=572-

即CP長(zhǎng)度的最大值為AC+AP=5亞+2，故答案為：55/2+2.

12.(23-24九年級(jí)上?江蘇無錫?期中)如圖，A是。8上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在。8外，已知AB=2,BC=4,AACD

是等邊三角形，則△BCD的面積的最大值為

D

【答案】46+4

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，找出點(diǎn)。的位置變換是解題的關(guān)鍵.

如圖所示，以3C為邊作等邊連接OE,可證△OCE/△ACB(SAS),可得DE=AB=2,點(diǎn)。在以

點(diǎn)E為圓心的圓上，且半徑DE=2,過點(diǎn)E作EF13C于點(diǎn)尸，即砂是的垂直平分線，當(dāng)點(diǎn)。在所

上其在點(diǎn)E的上方時(shí)，△BCD的面積的最大值，根據(jù)等邊三角形，含30。角的直角三角形的性質(zhì)可求出E尸，

的值，根據(jù)三角形的面積即可求解.

【詳解】解：如圖所示，以為邊作等邊連接DE,

AACD是等邊三角形,：.ZACD=ZACE+ZECD=60°,

ABCE是等邊三角形，NBCE=ZBCA+ZACE=60°,

：.ZBCA=ZECD,且OC=AC,EC=BC,AAr>CE^AACB（SAS）,：.DE=AB=2,

.?.點(diǎn)￡>在以點(diǎn)E為圓心的圓上，且半徑。E=2,過點(diǎn)E作EFI3c于點(diǎn)尸，即所是3C的垂直平分線，當(dāng)

點(diǎn)。在所上其在點(diǎn)E的上方時(shí)，△BCD的面積的最大值，

...在△■BCE中，BC=CE=BE=4,ZBCE=60°,EFJ.BC,：.CF=BF=-BC=-x4=2,

一22

?.EF=y/3CF=273,且￡）E=2,ADF=EF+DE=2y/3+2,

S&BCD=|BC.DF=1x4x（273+2）=4A/3+4,故答案為：473+4.

13.（2024?浙江紹興?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在RdABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=6,BD=2,以

點(diǎn)B為圓心，8。長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)E為上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EC,作尸CLCE,垂足為C,點(diǎn)尸在直線BC

的上方，且滿足CF=1CE,連結(jié)2足當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，2尸的值為.點(diǎn)E在。8上運(yùn)動(dòng)過程中，

8尸存在最大值為.

【答案】2M3A/5+1/1+3A/5

【分析】根據(jù)題意可知當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，點(diǎn)尸在AC上，且可求出CE的長(zhǎng)，從而可求出CF的長(zhǎng)，即

在吊ABCF中，利用勾股定理求出8b的長(zhǎng)即可；連接ARBE,由題意即可求出g=縣=1.再根據(jù)

BCCE2

ZACF+ZACE=90°,ZBCE+ZACE=90°,可得出NACF=N3CE,即證明△ACF?△BCE,得出

AF1

—從而可求出AF的長(zhǎng)，即說明點(diǎn)F在以點(diǎn)A為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng).則可知當(dāng)點(diǎn)尸在8A

BE2

的延長(zhǎng)線上時(shí)8月最大，最大值為AF+AB.在Rt&4BC中，利用勾股定理求出A3的值，即得出答案.

【詳解】根據(jù)題意可知，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，點(diǎn)尸在AC上，如圖，

VCE=BC-BD=6-2=4：.CF=-CE=2.

f2

???在及△區(qū)。尸中，BF=hc2+CF2=后+22=2M；如圖，連接A尸、BE

AC_3_j_?

CF=-CE,CF

BC-6_22

VZACF+ZACE=90°.ZBCE-^-ZACE=90°,：.ZACF=ZBCE,

;BE=BD=2,AAF=^BE=1,即AF的長(zhǎng)為定值..?.點(diǎn)尸在以點(diǎn)A為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng).

，當(dāng)點(diǎn)尸在84的延長(zhǎng)線上時(shí)8P最大，且值為AF+AB.

在RIAMC中，AB=VBC2+AC2=7^77=375-=1+3^5.故答案為：2回，1+3石.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，較難.利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵.在

解決第二個(gè)空時(shí)，證明出點(diǎn)尸在以點(diǎn)A為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)是關(guān)鍵.

14.（23-24九年級(jí).重慶.階段練習(xí)）如圖，AB=4,O為筋的中點(diǎn)，。。的半徑為1,點(diǎn)尸是0。上一

動(dòng)點(diǎn)，以PB為直角邊的等腰直角二角形PBC（點(diǎn)P、B、C按逆時(shí)針方向排列），則線段AC的長(zhǎng)的取

值范圍為.

【答案】42<AC<342

【解答】解：如圖，作OKLAB,在OK上截取==連接心、BK、KC、OP.

■.■OK=OA=OB,OKLAB,:.KA=KB,ZAKB=90°,

」.AAXB是等腰直角三角形，-.-ZOBK=ZPBC,;.NOBP=NKBC,

..空=型=顯，.bOBps^KBC,—=—=41,TOP=1,

BKBC2OPPB

，KC=0,二點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)K為圓心，KC為半徑的圓，AK=42OA=2^2,

二AC的最大值為30,AC的最小值也，，岳J4C30.

15.