《正定矩陣的應(yīng)用分析》1400字

正定矩陣的應(yīng)用分析綜述1.1正定矩陣在凸函數(shù)判定中的應(yīng)用定理5REF_Ref23023\r\h[3]設(shè)是定義在非空凸集上的二階連續(xù)可微函數(shù),則若的Hesse矩陣在上正定,則是上的嚴格凸函數(shù).例9判斷是否為凸函數(shù)

解的Hesse矩陣

由于一階和二階順序主子式都大于零,故的Hesse矩陣正定的,從而是嚴格凸函數(shù).1.2正定矩陣在求解函數(shù)極值點中的應(yīng)用.定理6REF_Ref25145\r\h[8]設(shè)二元函數(shù)在點具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，記則在數(shù)學(xué)分析中有如下結(jié)論：當而時，函數(shù)在點有極大值；當而時，在點有極小值；當時，此時函數(shù)無極值.若令則上述結(jié)論中的條件可以簡單的歸結(jié)為該矩陣是正定的、負定的、不定的.更一般的，對于任意元的多元函數(shù)，也可以依據(jù)相應(yīng)的矩陣的正定性判斷其極值.哈森矩陣定義設(shè)元函數(shù)在點具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，我們就稱矩陣為函數(shù)在點的哈森矩陣.由二階偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性得知矩陣是對稱矩陣，則有以下定理.定理7REF_Ref25145\r\h[8]設(shè)元函數(shù)在點的某領(lǐng)域內(nèi)具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又有，則：矩陣是正定矩陣時，函數(shù)在點取極小值；矩陣是負定矩陣時，函數(shù)在點取極大值；矩陣是不定矩陣時，函數(shù)在點不取極值；例8求多元函數(shù)的極值.解由，求解得則可求得點.再求哈森矩陣.因為則由且對角線元素皆為正，所以矩陣是正定的，則是的極小值，且在點的極小值為.1.3正定矩陣在積分中的運用正定矩陣在積分中的運用，一般地須先由矩陣正交變換后得到的行列式，并且得出其特征值大于零.然后由正交變換后的到的行列式再進行等價變化后得到一個行列式.最后根據(jù)積分的公式，將之前所求對應(yīng)的行列式代入可證.例9證明：橢球體的體積等于其中是正定矩陣.證是正定矩陣，正交矩陣，使得為的特征值，令作等價變換,則由此變換的行列式為所以.1.4正定矩陣在普通不等式中的應(yīng)用定理8階實對稱矩陣是正定矩陣是由于其對應(yīng)的實二次型其中而二次型正定是指對任意因此可以利用此性質(zhì)來證明不等式是否成立.例10證明不等式(其中是不全為零的實數(shù))成立.證令其系數(shù)矩陣為，的各階順序主子式為,則為正定矩陣.因此對于任意一組不全為零的都有,故原不等式成立.例11證明不等式成立證令則二次型為則A的各階順序主子式=0,=所以是半正定的，那么二次型是半正定的，即所以原不等式成立.1.5正定矩陣在解決矩陣問題中的運用由已知的正定矩陣的性質(zhì)定理去證明其他矩陣問題，去解決與證明與正定矩陣相關(guān)的矩陣問題，例12REF_Ref25860\r\h[9]若都是階實對稱矩陣，且是正定矩陣.證明存在一個階實可逆矩陣使與同時為對角型.證因為是正定的，所以合同于，即存在可逆矩陣使且是階實對稱矩陣，則存在正交矩陣使則取則為所求.例13若是實對稱的正定矩陣，則存在使均是正定矩陣.證若的特征值為，則的特征值為所以存在使得特征值大于零，其余同理可證.例14若是階正定矩陣，有.證與都是階實對稱正定矩陣，所以存在一階實可逆矩陣使其中為的特征值且大于零.所以為的特征值，也是大于零的，因此.1.6正定矩陣在柯西不等式中的運用定理9REF_Ref23023\r\h[3]形如的不等式就是柯西不等式，我們將它用內(nèi)積來表示為，下面用正定矩陣來表示柯西不等式.設(shè)是一個階正定矩陣，存在對任意向量與，定義表示為從而可以證明由定義的一定是維向量間的內(nèi)積，反之，對于維向量間的任意一種內(nèi)積，一定存在一個階正定矩陣，使得對任意向量、可由來定義，因此給定一個階正定矩陣，在維向量間就可以由該矩陣定義一個內(nèi)積，從而得到相應(yīng)的柯西不等式：當時，就變成了.例15證明不等式對于所有