2023八年級數(shù)學(xué)上冊 第13章 三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明13.2 命題與證明第2課時 證明教學(xué)實錄 （新版）滬科版

2023八年級數(shù)學(xué)上冊第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明13.2命題與證明第2課時證明教學(xué)實錄（新版）滬科版主備人備課成員設(shè)計意圖本節(jié)課旨在幫助學(xué)生掌握命題與證明的基本概念和方法，通過具體實例引導(dǎo)學(xué)生理解證明的步驟和邏輯關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維和證明能力。通過滬科版八年級數(shù)學(xué)上冊第13章內(nèi)容，將理論知識與實際應(yīng)用相結(jié)合，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和積極性。核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，通過命題與證明的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠運用演繹推理的方法，對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深入分析，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。同時，強(qiáng)化學(xué)生的幾何直觀，使學(xué)生能夠通過圖形直觀地理解幾何關(guān)系，提高空間想象能力。此外，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識，學(xué)會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，增強(qiáng)解決實際問題的能力。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識：學(xué)生在進(jìn)入本課時之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的基本性質(zhì)和判定方法，對三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的性質(zhì)有一定的了解。此外，學(xué)生還應(yīng)具備初步的推理能力和邏輯思維基礎(chǔ)。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：學(xué)生對幾何圖形和證明過程通常表現(xiàn)出較高的興趣，尤其是對具有挑戰(zhàn)性的證明題目。學(xué)生們的學(xué)習(xí)能力參差不齊，部分學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，能夠迅速掌握證明方法；而部分學(xué)生則可能對證明過程感到困惑。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，有的學(xué)生偏好通過圖形直觀理解問題，有的則更傾向于文字描述和邏輯推導(dǎo)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：學(xué)生在學(xué)習(xí)命題與證明時，可能會遇到以下困難：一是對證明步驟和邏輯推理的理解不夠深入，導(dǎo)致證明過程混亂；二是面對復(fù)雜證明題目時，難以找到合適的證明方法；三是缺乏對幾何圖形的直觀感知，影響證明的直觀性和有效性。針對這些挑戰(zhàn)，教師需引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握證明技巧，提高他們的幾何直觀能力和邏輯思維能力。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時第一課時師生互動設(shè)計二次備課教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：結(jié)合多媒體展示，清晰講解命題與證明的基本概念和步驟，幫助學(xué)生建立知識框架。

2.討論法：組織小組討論，讓學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)，共同探討證明題目的解法，培養(yǎng)合作能力和批判性思維。

3.案例分析法：通過典型例題的分析，引導(dǎo)學(xué)生掌握證明的技巧和策略，提高解題能力。

教學(xué)手段：

1.多媒體輔助教學(xué)：利用PPT展示幾何圖形和證明過程，直觀展示數(shù)學(xué)概念，增強(qiáng)學(xué)生的空間想象能力。

2.教學(xué)軟件應(yīng)用：借助數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行動態(tài)演示，幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念，提高學(xué)習(xí)效率。

3.實物教具：使用三角板、直尺等教具，讓學(xué)生親自操作，增強(qiáng)對幾何知識的直觀感受。教學(xué)實施過程1.課前自主探索

教師活動：

發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過在線平臺或班級微信群，發(fā)布預(yù)習(xí)資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預(yù)習(xí)目標(biāo)和要求。例如，提前一天發(fā)布關(guān)于三角形內(nèi)角和定理的證明方法的預(yù)習(xí)資料。

設(shè)計預(yù)習(xí)問題：圍繞“如何證明三角形內(nèi)角和等于180度”，設(shè)計一系列具有啟發(fā)性和探究性的問題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考。

監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：利用平臺功能或?qū)W生反饋，監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)進(jìn)度，確保預(yù)習(xí)效果。例如，通過平臺統(tǒng)計預(yù)習(xí)資料的閱讀情況，了解學(xué)生的預(yù)習(xí)參與度。

學(xué)生活動：

自主閱讀預(yù)習(xí)資料：按照預(yù)習(xí)要求，自主閱讀預(yù)習(xí)資料，理解三角形內(nèi)角和定理的基本概念。

思考預(yù)習(xí)問題：針對預(yù)習(xí)問題，進(jìn)行獨立思考，記錄自己的理解和疑問。例如，學(xué)生可能提出“如何從幾何圖形的角度證明這個定理？”

提交預(yù)習(xí)成果：將預(yù)習(xí)成果（如筆記、思維導(dǎo)圖、問題等）提交至平臺或老師處。例如，學(xué)生可以提交一張展示證明思路的思維導(dǎo)圖。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動：

導(dǎo)入新課：通過幾何圖形的變化和實際應(yīng)用案例，引出“命題與證明”課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

講解知識點：詳細(xì)講解命題與證明的基本概念和步驟，結(jié)合實例幫助學(xué)生理解。例如，講解“三角形全等的判定條件”和“證明過程”。

組織課堂活動：設(shè)計小組討論，讓學(xué)生根據(jù)預(yù)習(xí)內(nèi)容，嘗試證明三角形內(nèi)角和定理。例如，讓學(xué)生分組討論并嘗試不同的證明方法。

解答疑問：針對學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的疑問，進(jìn)行及時解答和指導(dǎo)。例如，當(dāng)學(xué)生提出“為什么這個證明方法不適用？”時，教師可以現(xiàn)場解釋并演示。

學(xué)生活動：

聽講并思考：認(rèn)真聽講，積極思考老師提出的問題。

參與課堂活動：積極參與小組討論，嘗試不同的證明方法，體驗數(shù)學(xué)證明的過程。

提問與討論：針對不懂的問題或新的想法，勇敢提問并參與討論。例如，學(xué)生可以提問“如果三角形不是直角三角形，這個定理是否還成立？”

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動：

布置作業(yè)：根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容，布置證明三角形內(nèi)角和定理的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

提供拓展資源：提供與命題與證明相關(guān)的拓展資源，如數(shù)學(xué)競賽題目、證明技巧書籍等，供學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)。例如，針對學(xué)生作業(yè)中的錯誤，教師可以給出正確的解答和改進(jìn)建議。

學(xué)生活動：

完成作業(yè)：認(rèn)真完成老師布置的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

拓展學(xué)習(xí)：利用老師提供的拓展資源，嘗試解決更復(fù)雜的證明問題，拓寬知識面。

反思總結(jié)：對自己的學(xué)習(xí)過程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)，提出改進(jìn)建議。例如，學(xué)生可以總結(jié)自己在證明過程中的優(yōu)點和不足，并提出提高建議。學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果

1.理解命題與證明的基本概念：學(xué)生能夠清晰地理解命題與證明的基本概念，包括命題的定義、真命題與假命題的區(qū)別、證明的定義和證明方法等。他們能夠區(qū)分命題與定理，理解證明的必要性和重要性。

2.掌握證明的基本步驟：學(xué)生掌握了證明的基本步驟，包括提出假設(shè)、列出已知條件、推導(dǎo)結(jié)論、驗證推導(dǎo)過程等。他們能夠按照這些步驟進(jìn)行邏輯推理，形成嚴(yán)密的證明過程。

3.熟悉常見的證明方法：學(xué)生熟悉了常見的證明方法，如直接證明、反證法、歸納法、演繹法等。他們能夠根據(jù)不同的題目選擇合適的證明方法，提高解題效率。

4.提高邏輯推理能力：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生的邏輯推理能力得到了顯著提高。他們能夠運用邏輯推理解決實際問題，提高分析問題和解決問題的能力。

5.增強(qiáng)幾何直觀能力：學(xué)生在學(xué)習(xí)命題與證明的過程中，通過觀察幾何圖形、分析幾何關(guān)系，增強(qiáng)了幾何直觀能力。他們能夠更好地理解幾何概念，提高空間想象能力。

6.培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維：通過證明過程的學(xué)習(xí)，學(xué)生養(yǎng)成了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣。他們在面對問題時，能夠從多個角度進(jìn)行分析，尋找最佳證明方法。

7.提高團(tuán)隊合作能力：在小組討論和課堂活動中，學(xué)生學(xué)會了與他人合作，共同解決問題。他們能夠傾聽他人的觀點，尊重他人的意見，提高團(tuán)隊合作能力。

8.增強(qiáng)自主學(xué)習(xí)能力：通過預(yù)習(xí)、課堂參與和課后拓展，學(xué)生養(yǎng)成了自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣。他們能夠主動查找資料、解決問題，提高自主學(xué)習(xí)能力。

9.提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力：學(xué)生將所學(xué)知識應(yīng)用于實際問題，提高了數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。他們能夠運用幾何知識解決生活中的問題，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

10.增強(qiáng)自信心：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上取得了顯著進(jìn)步，增強(qiáng)了自信心。他們相信自己能夠克服困難，不斷進(jìn)步。作業(yè)布置與反饋作業(yè)布置：

1.選擇證明題目：根據(jù)本節(jié)課所學(xué)的命題與證明知識，布置以下幾道證明題目，旨在鞏固學(xué)生對定理證明的理解和應(yīng)用能力。

-證明：若在三角形ABC中，AB=AC，則角BAC是直角。

-證明：若在三角形ABC中，角B=角C，則邊AB=邊AC。

2.實際應(yīng)用題：要求學(xué)生結(jié)合實際情境，運用所學(xué)知識解決實際問題。

-題目：一個等腰三角形的底邊長為8厘米，腰長為6厘米，請證明該三角形是銳角三角形，并求出頂角的度數(shù)。

3.課后閱讀：推薦學(xué)生閱讀《數(shù)學(xué)歸納法》的相關(guān)章節(jié)，了解數(shù)學(xué)歸納法的原理和應(yīng)用。

作業(yè)反饋：

1.及時批改：在學(xué)生完成作業(yè)后，教師應(yīng)立即批改，確保及時給予學(xué)生反饋。

2.詳細(xì)評語：在批改作業(yè)時，教師應(yīng)給出詳細(xì)的評語，指出學(xué)生的優(yōu)點和需要改進(jìn)的地方。例如：

-對證明題目的解答：評語可以是“證明思路清晰，步驟完整，但部分推導(dǎo)過程不夠嚴(yán)謹(jǐn)，建議重新檢查邏輯。”

-對應(yīng)用題的解答：評語可以是“能夠?qū)缀沃R與實際問題相結(jié)合，但計算過程不夠準(zhǔn)確，請仔細(xì)檢查。”

3.個性化指導(dǎo)：針對不同學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，教師應(yīng)給予個性化的指導(dǎo)。對于掌握較好的學(xué)生，可以布置一些挑戰(zhàn)性更高的題目；對于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，可以提供更詳細(xì)的解答過程，幫助他們逐步提高。

4.小組反饋：鼓勵學(xué)生之間相互檢查作業(yè)，通過小組討論和反饋，提高解題技巧和團(tuán)隊合作能力。

5.定期回顧：定期回顧學(xué)生的作業(yè)情況，對于反復(fù)出現(xiàn)的問題，可以通過課堂講解或個別輔導(dǎo)的方式加以解決。

6.鼓勵學(xué)生自評：在作業(yè)完成后，鼓勵學(xué)生對自己的解題過程進(jìn)行自評，反思自己的思維過程和解答策略，提高自我評估能力。

7.作業(yè)展示與討論：在下一節(jié)課的開始，教師可以挑選幾份代表性的作業(yè)進(jìn)行展示，讓學(xué)生分享自己的解題思路，其他學(xué)生進(jìn)行討論，共同提高。典型例題講解例題1：在三角形ABC中，AB=AC，證明：角BAC是直角。

解答過程：

（1）作BC邊上的高AD，交BC于點D。

（2）由于AD是高，所以∠ADB和∠ADC都是直角。

（3）在直角三角形ABD和ACD中，AB=AC，AD=AD（公共邊）。

（4）根據(jù)SAS（Side-Angle-Side，邊-角-邊）全等條件，可以得出三角形ABD和ACD全等。

（5）因此，∠B=∠C。

（6）由于三角形內(nèi)角和為180度，所以∠BAC=180°-∠B-∠C。

（7）因為∠B=∠C，所以∠BAC=180°-2∠B。

（8）由于∠B是直角，所以∠BAC是直角。

例題2：在三角形ABC中，角B=角C，證明：邊AB=邊AC。

解答過程：

（1）由于角B=角C，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠A=180°-2∠B。

（2）在直角三角形ABC中，假設(shè)∠A是直角，那么∠B和∠C都是45度。

（3）此時，三角形ABC是等腰直角三角形，所以AB=AC。

（4）如果∠A不是直角，那么根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，三角形ABC與等腰直角三角形相似。

（5）在相似三角形中，對應(yīng)邊成比例，所以AB/AC=BC/BC。

（6）由于BC≠0，所以AB=AC。

例題3：在三角形ABC中，AB=AC，證明：角BAC是頂角。

解答過程：

（1）作BC邊上的高AD，交BC于點D。

（2）由于AD是高，所以∠ADB和∠ADC都是直角。

（3）在直角三角形ABD和ACD中，AB=AC，AD=AD（公共邊）。

（4）根據(jù)SAS全等條件，可以得出三角形ABD和ACD全等。

（5）因此，∠B=∠C。

（6）由于三角形內(nèi)角和為180度，所以∠BAC=180°-∠B-∠C。

（7）因為∠B=∠C，所以∠BAC=180°-2∠B。

（8）由于∠B是頂角的一部分，所以∠BAC是頂角。

例題4：在三角形ABC中，AB=AC，證明：如果角B是直角，那么三角形ABC是等腰直角三角形。

解答過程：

（1）已知AB=AC，且角B是直角。

（2）根據(jù)勾股定理，AB^2+BC^2=AC^2。

（3）由于AB=AC，所以AC^2+BC^2=AC^2。

（4）簡化得BC^2=0，這意味著BC=0。

（5）因此，三角形ABC的邊BC長度為0，即三角形ABC退化為一條線段。

（6）由于AB=AC，所以線段BC的兩端點A和B、C重合，這意味著三角形ABC是一個等腰直角三角形。

例題5：在三角形ABC中，角B是直角，AB=AC，證明：角C是直角。

解答過程：

（1）已知角B是直角，AB=AC。

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠A+∠B+∠C=180°。

（3）由于∠B是直角，所以∠B=90°。

（4）代入內(nèi)角和定理，得∠A+90°+∠C=180°。

（5）簡化得∠A+∠C=90°。

（6）由于AB=AC，三角形ABC是等腰三角形，所以∠A=∠C。

（7）將∠A=∠C代入∠A+∠C=90°，得2∠A=90°。

（8）因此，∠A=∠C=45°，這意味著角C也是直角。反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.強(qiáng)化實踐操作：在教學(xué)中，我嘗試將理論知識與實際操作相結(jié)合，讓學(xué)生通過動手實踐來加深對命題與證明的理解。例如，通過讓學(xué)生動手畫圖、拼圖等方式，讓學(xué)生直觀地感受幾何圖形的性質(zhì)。

2.引入生活實例：為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，我在教學(xué)中引入了一些與生活相關(guān)的實例，如建筑、工程設(shè)計等，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用價值。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問題

1.教學(xué)節(jié)奏把握不當(dāng)：在講解證明過程時，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生因為跟不上教學(xué)節(jié)奏而感到困惑。這可能是由于我在講解時過于注重邏輯推理，而忽略了學(xué)生的接受能力。

2.學(xué)生參與度不足：在課堂活動中，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生參與度不高，可能是由于活動設(shè)計不夠吸引人，或者學(xué)生對某些證明方法不感興趣。

3.評價方式單一：目前我主要依靠作業(yè)和考試來評價學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，這種評價方式可能無法全面反映學(xué)生的學(xué)習(xí)情