湖北省“高中名校聯(lián)盟圓創(chuàng)教育”高三第三次聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題

湖北省“高中名校聯(lián)盟圓創(chuàng)教育”屆高三第三次聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，得到，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：C.2.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由交集、補(bǔ)集的運(yùn)算即可求解；【詳解】解：因?yàn)榧?，所以或，又?故選：C3.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為若，，則為（）A.88B.77C.66D.55【答案】B【解析】第1頁(yè)/共21頁(yè)【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得：故選：B.4.已知，，則的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用平方關(guān)系，即可求解.【詳解】由，，可得，故選：B.5.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則的值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算及賦值即可求解.【詳解】解：，則，第2頁(yè)/共21頁(yè)故選：A6.在測(cè)量降雨量的實(shí)踐活動(dòng)中，某小組利用現(xiàn)有儀器，將一個(gè)玻璃漏斗固定在一個(gè)較大的錐形瓶上，漏斗直徑為，玻璃漏斗口直徑為，收集完畢后測(cè)得水面距瓶底，水面直徑，則平地降雨量大約為（）注：平地降雨量等于收集到的雨水體積與收集雨水玻璃漏斗口的面積之比A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用圓臺(tái)的體積公式，求出收集到的雨水體積，再求出收集雨水的玻璃漏斗口面積，即可求解.【詳解】設(shè)收集到的雨水體積為，收集雨水的面積為，則，，故平地降雨量為，故選：D.7.已知一個(gè)等比數(shù)列的前項(xiàng)的和分別為，，）A.B.C.D.【答案】D第3頁(yè)/共21頁(yè)【解析】【分析】ABC通過(guò)反例即可判斷，D通過(guò)等比數(shù)列求和公式可判斷.【詳解】解：前三個(gè)選項(xiàng)舉反例，令，等比數(shù)列為1，2，4，則，，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，，故D正確．故選：D8.過(guò)拋物線上的一點(diǎn)作切線與軸相交于點(diǎn)為交于另一點(diǎn)，則面積的最小值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)條件得到，從而得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的最小值，即可求解.【詳解】設(shè)，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，設(shè)直線，由，消得，因直線與拋物線相切，得到，得到，故直線的方程為，第4頁(yè)/共21頁(yè)令，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，所以有，于是，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，得到在區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，得到在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，所以的最小值為故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于，設(shè)，根據(jù)條件得到，再構(gòu)造函數(shù)，求出的最值，即可求解.二、多選題：本題共3小題，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法正確的有（）第5頁(yè)/共21頁(yè)A.若樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為B.若隨機(jī)變量，且，則C.若隨機(jī)變量，則D.若隨機(jī)變量，設(shè)，則【答案】AB【解析】AB公式和方差的性質(zhì)判斷CD.【詳解】若樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，則，所以數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，A正確；若隨機(jī)變量，則正態(tài)分布曲線關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)?，所以，B正確；若隨機(jī)變量，則，C錯(cuò)誤；若隨機(jī)變量，，又，則，D錯(cuò)誤．故選：AB10.已知點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則（）A若，則B.若，且，則為等邊三角形C.若，，則D.若，且，則的面積是面積的第6頁(yè)/共21頁(yè)【答案】BCD【解析】ABC，，進(jìn)而有M為的垂心，即可求解；對(duì)于D，根據(jù)條件，可得，令，從而可得Q點(diǎn)在直線BC上，再利用比值，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，又，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，又，則，所以為等邊三角形，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，若，，則，，故點(diǎn)M為的垂心，所以，則，故選項(xiàng)C正確，對(duì)選項(xiàng)D，由于，而，所以，其中，不妨設(shè)，則Q點(diǎn)在直線BC上，由于與同底，而高線之比等于MQ與AQ的比，即比值為，所以的面積是面積的，故選項(xiàng)D正確，第7頁(yè)/共21頁(yè)故選：BCD.已知函數(shù)，則（）A.B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.若在區(qū)間上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是D.若在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則取值范圍是【答案】ABD【解析】AB的范圍即可判斷，對(duì)于C，通過(guò)，確定的范圍，再結(jié)合恰有一個(gè)極值點(diǎn)得到即可判斷，對(duì)于D，先確定的范圍，再由和兩類討論即可.【詳解】解：，A正確；因?yàn)?，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，B正確；因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，所以，第8頁(yè)/共21頁(yè)所以，C錯(cuò)誤；，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，，則，則，取，；，則，解得：，取，；綜上可知：的取值范圍是，D正確．故選:ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________．第9頁(yè)/共21頁(yè)【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得的系數(shù)為，故答案為：13.設(shè)點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)與的內(nèi)切圓半徑分別為、，則的值為_(kāi)_________．【答案】3【解析】【分析】設(shè)圓與三邊分別切于點(diǎn)，根據(jù)圓的切線性質(zhì)、雙曲線的定義得，進(jìn)而確定、，且，利用相似比求.【詳解】由，得，則，設(shè)圓與三邊分別切于點(diǎn)，如圖：由圓的切線的性質(zhì)可得，由雙曲線的定義可知，即，設(shè)，則，得，所以，則，第10頁(yè)/共21頁(yè)同理，設(shè)圓與切于點(diǎn)P，則，故，因?yàn)閳A心、都在的角平分線上，所以點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，則，可得故答案為：14.已知函數(shù)的方程實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】作出圖象，令，得，再對(duì)分類討論，數(shù)形結(jié)合，利用二次函數(shù)根的分布問(wèn)題及復(fù)合函數(shù)根的問(wèn)題，即可求解.【詳解】作出圖象，如圖所示，令，則原方程即為，記方程的兩根為，，可知，，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，不滿足題意；②當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)，不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，，第11頁(yè)/共21頁(yè)則方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程和各有一個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩根不相等，滿足題意；綜上可知，實(shí)數(shù)k的取值范圍為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于作出的圖象，令，得，先討論的根，再結(jié)合圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求解.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，D為BC邊上的點(diǎn)．（1）若，求角A的平分線AD的長(zhǎng)；（2）求BC邊上中線AD長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】1）應(yīng)用余弦定理可得，再由及已知列方程求；（2）根據(jù)線段的關(guān)系及向量加減、數(shù)乘的幾何意義有，整理并應(yīng)用基本不等式求最小值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，由，且是角A的平分線，第12頁(yè)/共21頁(yè)所以，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以，兩式平方，并代換得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以AD長(zhǎng)的最小值為.16.如圖，AC是的直徑，PA垂直于所在的平面，B，D是圓周上不同于A，C的兩點(diǎn)．（1）求證：平面平面（2）若，，直線CD與平面PBC所成的角的正弦值為，求【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）1【解析】1）利用題目給的幾何關(guān)系先證明平面在證明平面平面（2CD與平面PBC所成的角的正弦值為建立關(guān)于線段長(zhǎng)度的方程，然后再利用，得到關(guān)于線段長(zhǎng)度的另外一個(gè)方程，進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：平面ABCD，平面ABCD，，第13頁(yè)/共21頁(yè)又是直徑AC所對(duì)的圓周角，，，平面PAD，平面平面PCD，平面平面【小問(wèn)2詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，由，，，得，則，設(shè)，得，，設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，則，取，得，因?yàn)橹本€CD與平面PBC所成角的正弦值為，所以，得，得，第14頁(yè)/共21頁(yè)由，得，當(dāng)時(shí)，代入式得，，即，得，此時(shí)，則，故，當(dāng)時(shí)，代入式得，，即，得或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，得，則，故，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，C，D重合，不符題意綜上知，AD的長(zhǎng)為17.已知函數(shù)，其中（1）當(dāng)時(shí)，求曲線的對(duì)稱中心；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）第15頁(yè)/共21頁(yè)（2）【解析】1）利用函數(shù)的定義域，就可以初步判斷對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，再利用對(duì)稱性恒等式進(jìn)行求解，就可得對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)，從而可得對(duì)稱中心；（2）由函數(shù)的單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)值恒小于或等于0，再利用二次不等式在區(qū)間內(nèi)恒成立，轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)值成立即可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，其定義域關(guān)于對(duì)稱，則，所以函數(shù)的對(duì)稱中心是.【小問(wèn)2詳解】由，因?yàn)?，所以，所以的定義域?yàn)椋瑒t，由題可得在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間上恒成立，第16頁(yè)/共21頁(yè)則，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為：18.已知橢圓的離心率為，.橢圓的上、下頂點(diǎn)分別記為，右頂點(diǎn)為.（1）求的方程；（2作直線與的延長(zhǎng)線交于交于關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，過(guò)作x軸的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接、.①記直線與直線的斜率分別為，，求的值；②證明：.【答案】（1）（2）①；②證明見(jiàn)解析【解析】1）根據(jù)條件，直接求出，即可求解；（2i）設(shè)直線方程，聯(lián)立相應(yīng)直線與橢圓方程，直接求出ii）根據(jù)條件，利用（i）中結(jié)果，可得到四邊形為平行四邊形，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由已知，并且，所以，于是，所以橢圓的方程為：.【小問(wèn)2詳解】第17頁(yè)/共21頁(yè)如圖所示，由已知直線的斜率存在并且其斜率k滿足條件，設(shè)其方程為，由，解得或舍去，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而點(diǎn)的坐標(biāo)為，于是直線的斜率，的方程為又直線的方程為：，由，得，由，得，因?yàn)橹本€的方程為：，的方程為，由，得，（i）因?yàn)橹本€的斜率，直線的斜率，所以；（ii）由（i）知，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，因此第18頁(yè)/共21頁(yè)19.記集合，，，對(duì)于，，，定義.（1），且，記隨機(jī)變量，求（2中的元素個(gè)數(shù)最多，并說(shuō)明理由；（3）若集合，對(duì)于，且，都有，求證：集合中至多有個(gè)元素．【答案】（1）（2），中一共有個(gè)元素，理由見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】1）根據(jù)集合的定義列舉出中的元素，根據(jù)古典概型的概率公式求解即可；（2）利用反證法，假設(shè)中除了外還有個(gè)元素，利用集合元素的互異性可知這些元素中至少含有個(gè)“1”，則一定存在兩個(gè)元素之中的某一個(gè)分量同時(shí)為1，與題設(shè)矛盾即可證明；可知若，即可證明結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題意可，中的元素有，，，，，，，，共8個(gè)，從8個(gè)元素中任選兩個(gè)元素有種，其中向量和剩下7個(gè)向量的數(shù)量積均為0，有7種情況；，，這3個(gè)向量中任選兩個(gè)，它們的數(shù)量積均為0，有3種情況；，，這3個(gè)向量分別和，，的數(shù)量積為0，有3種情況，則滿足的情況共有種，第19頁(yè)/共21頁(yè)所以.【小問(wèn)2詳解】，中一共有中元素個(gè)數(shù)是最多的.理由如下：假設(shè)中除了外還有個(gè)元素，則根據(jù)集合中元素的互異性這些元素中至少含有個(gè)“1”，所以一定存在兩個(gè)元素，，，這兩個(gè)向量之中的某一個(gè)分量同時(shí)為1，即存在，使得，此時(shí)，與題設(shè)矛盾，故集合中至多有個(gè)元素．【小問(wèn)3詳解】對(duì)于，令，定義與是一組“互補(bǔ)向量”，若，則，且，所以對(duì)于集合，若，則，因?yàn)槿羟?，則，與已知對(duì)于，且，都有，矛盾，而中元素個(gè)數(shù)為個(gè)，與成對(duì)出現(xiàn)，所以集合中的元素個(gè)數(shù)至多為個(gè)，即.下面給出一種的取法：1”的個(gè)數(shù)較多的那個(gè)向量作為集合于，且，都有，第20頁(yè)/共21頁(yè)證明如下：①若，，則每一組“互補(bǔ)向量”里被選出來(lái)的向量都至少含有個(gè)“1”，可知