高考備考資料之數(shù)學(xué)人教A版全國用課件95橢圓第1課時

§9.5

橢圓第九章平面解析幾何基礎(chǔ)知識

自主學(xué)習課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習1.橢圓的概念平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做

.這兩個定點叫做橢圓的

，兩焦點間的距離叫做橢圓的

.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：(1)若

，則集合P為橢圓；(2)若

，則集合P為線段；(3)若

，則集合P為空集.知識梳理焦距焦點a＝ca>c橢圓a<c2.橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程(a>b>0)

(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－a≤y≤a－b≤x≤b對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點2a2ba2＝b2＋c2性質(zhì)頂點坐標A1(－a,0)，A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為

；短軸B1B2的長為__焦距|F1F2|＝____離心率e＝

∈(0,1)a，b，c的關(guān)系__________2c【知識拓展】題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.(

)(2)橢圓上一點P與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距).(

)(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.(

)(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲線是橢圓.(

)基礎(chǔ)自測×√×123456√71234567×√題組二教材改編12456答案32.[P80A組T3(1)]橢圓

的焦距為4，則m等于A.4 B.8C.4或8 D.12√解析解析

當焦點在x軸上時，10－m>m－2>0，10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.當焦點在y軸上時，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.712456答案37√解析4.[P49A組T6]已知點P是橢圓

＝1上y軸右側(cè)的一點，且以點P及焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的面積等于1，則點P的坐標為______________________.解析1245637答案解析設(shè)P(x，y)，由題意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，則F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0).由題意可得點P到x軸的距離為1，所以y＝±1，1245637題組三易錯自糾5.若方程

表示橢圓，則m的取值范圍是A.(－3,5) B.(－5,3)C.(－3,1)∪(1,5) D.(－5,1)∪(1,3)解得－3<m<5且m≠1.解析1245637答案√解析124563答案7√解析1245637答案√1245637題型分類深度剖析第1課時橢圓及其性質(zhì)題型一橢圓的定義及應(yīng)用自主演練答案解析1.如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點P，則點P的軌跡是A.橢圓

B.雙曲線C.拋物線

D.圓√解析由條件知|PM|＝|PF|，∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.∴P點的軌跡是以O(shè)，F(xiàn)為焦點的橢圓.幾何畫板展示2.過橢圓4x2＋y2＝1的一個焦點F1的直線與橢圓交于A，B兩點，則A與B和橢圓的另一個焦點F2構(gòu)成的△ABF2的周長為A.2 B.4

C.8

D.2解析答案√∴橢圓長軸長2a＝2，∴△ABF2的周長為4a＝4.解析答案√4.(2017·呼和浩特模擬)已知F是橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點，P是此橢圓上的動點，A(1,1)是一定點，則|PA|＋|PF|的最大值為________，最小值為________.解析設(shè)F1是橢圓的右焦點，則F1(2,0)，答案又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(當P，A，F(xiàn)1共線時等號成立)，橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標準方程，求焦點三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等.(2)通常定義和余弦定理結(jié)合使用，求解關(guān)于焦點三角形的周長和面積問題.思維升華典例(1)(2018·濟南調(diào)研)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為題型二橢圓的標準方程多維探究命題點1利用定義法求橢圓的標準方程解析答案√幾何畫板展示解析設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，(2)在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周長是18，則頂點C的軌跡方程是解析答案√解析由|AC|＋|BC|＝18－8＝10>8知，頂點C的軌跡是以A，B為焦點的橢圓(A，B，C不共線).則a＝5，c＝4，從而b＝3.由A，B，C不共線知y≠0.命題點2利用待定系數(shù)法求橢圓方程典例

(1)已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點

，

，

則橢圓方程為____________.解析答案解析設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).答案解析由c2＝a2－b2可得b2＝4，∴其焦點在y軸上，且c2＝25－9＝16.∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ①由①②得b2＝4，a2＝20，(1)求橢圓的標準方程多采用定義法和待定系數(shù)法.(2)利用定義法求橢圓方程，要注意條件2a>|F1F2|；利用待定系數(shù)法要先定形(焦點位置)，再定量，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.思維升華跟蹤訓(xùn)練

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋

＝1(0<b<1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點.若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為___________.解析答案解析設(shè)點B的坐標為(x0，y0).解析題型三橢圓的幾何性質(zhì)師生共研答案√解析答案√解析由題意知，A(－a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(－c,0).(1)利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點及技巧①注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系在求與橢圓有關(guān)的一些范圍問題時，經(jīng)常用到x，y的范圍，離心率的范圍等不等關(guān)系.②利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時，理清頂點、焦點、長軸、短軸等基本量的內(nèi)在聯(lián)系.(2)求橢圓的離心率問題的一般思路求橢圓的離心率或其范圍時，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個關(guān)于a，b，c的等式或不等式，即可得離心率或離心率的范圍.思維升華跟蹤訓(xùn)練(1)(2017·德陽模擬)已知橢圓

(0<b<2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，若|BF2|＋|AF2|的最大值為5，則b的值是_____.解析答案解析由橢圓的方程可知a＝2，由橢圓的定義可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，解析答案解析因為|PT|＝(b>c)，而|PF2|的最小值為a－c，所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0. ①又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，所以2e2<1. ②課時作業(yè)1.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓

的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM|＝3，則P點到橢圓左焦點的距離為A.4

B.3 C.2 D.5基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.解析答案√A.長軸長相等

B.短軸長相等C.離心率相等

D.焦距相等答案12345678910111213141516所以c1＝c2，所以兩個曲線的焦距相等.解析√答案12345678910111213141516解析√解析由題意得，橢圓的右焦點F為(c,0)，上頂點B為(0，b).因為圓(x－1)2＋(y－1)2＝2經(jīng)過右焦點F和上頂點B，12345678910111213141516解析答案所以P，F(xiàn)1，F(xiàn)2在以點O為圓心的圓上，且F1F2為直徑，√123456789101112131415165.(2017·河北衡水中學(xué)二調(diào))設(shè)橢圓

的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，且滿足

＝9，則|PF1|·|PF2|的值為A.8 B.10

C.12

D.15解析答案√1234567891011121314151612345678910111213141516所以|F1F2|＝2c＝4，根據(jù)橢圓定義，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝64，所以34＋2|PF1|·|PF2|＝64，所以|PF1|·|PF2|＝15.故選D.6.(2018·昆明調(diào)研)2016年1月14日，國防科工局宣布，嫦娥四號任務(wù)已經(jīng)通過了探月工程重大專項領(lǐng)導(dǎo)小組審議通過，正式開始實施.如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，給出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③

；④c1a2>a1c2.其中正確式子的序號是A.①③

B.①④

C.②③

D.②④解析答案12345678910111213141516√解析觀察圖形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正確；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正確；12345678910111213141516解析答案123456789101112131415167.焦距是8，離心率等于0.8的橢圓的標準方程為____________________.又b2＝a2－c2，∴b2＝9，123456789101112131415168.若橢圓

(a>0，b>0)的焦點在x軸上，過點(2,1)作圓x2＋y2＝4的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程為____________.解析答案即m2＋n2－n－2m＝0.∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，即直線AB的方程為2x＋y－4＝0.∵直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，∴2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4，∴a2＝b2＋c2＝20，解析設(shè)切點坐標為(m，n)，12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516又由題意知a2＝b2＋2，將其代入(*)式整理得3b4－2b2－8＝0，所以b2＝2，則a2＝4，1234567891011121314151610.(2017·湖南東部六校聯(lián)考)設(shè)P，Q分別是圓x2＋(y－1)2＝3和橢圓

＋y2＝1上的點，則P，Q兩點間的最大距離是________.解析12345678910111213141516答案解析由圓的性質(zhì)可知，P，Q兩點間的最大距離可以轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上點的距離的最大值加上圓的半徑

，1234567891011121314151611.(2017·陜西西北大學(xué)附中期末)已知橢圓的長軸長為10，兩焦點F1，F(xiàn)2的坐標分別為(3,0)和(－3,0).(1)求橢圓的標準方程；解答12345678910111213141516(2)若P為短軸的一個端點，求△F1PF2的面積.12345678910111213141516解答解易知|yP|＝4，又c＝3，12.已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的離心率e＝

，求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點坐標、頂點坐標.12345678910111213141516解答1234567891011121314151612345678910111213141516∴橢圓的長軸長和短軸長分別為2a＝2和2b＝1，技能提升練答案12345678910111213141516解析13.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，現(xiàn)以F2為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓中心并且交橢圓于點M，N，若過F1的直線MF1是圓F2的切線，則橢圓的離心率為√12345678910111213141516解析∵過F1的直線MF1是圓F2的切線，∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|