導(dǎo)數(shù)?？冀?jīng)典壓軸小題全歸類-2025高考數(shù)學(xué)重難點

導(dǎo)數(shù)常考經(jīng)典壓軸小題全歸類

【新高考專用】

導(dǎo)數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是高考必考的重點、熱點內(nèi)容，主要涉及導(dǎo)數(shù)的運算及幾何意義，利用

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，函數(shù)零點問題、不等式恒（能）成立問題等，考查分類討論、數(shù)形

結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想.

從近幾年的高考情況來看，導(dǎo)數(shù)的運算和幾何意義是高考命題的熱點，多以選擇題、填空題形式考查,

難度較?。焕脤?dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值多在選擇題、填空題靠后的位置考查，難度中等偏上,

屬綜合性問題，解題時要靈活求解.

?知識梳理

【知識點1導(dǎo)數(shù)的運算的方法技巧】

1.導(dǎo)數(shù)的運算的方法技巧

(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo).

(2)抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.

(3)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進(jìn)行換元.

【知識點2切線方程的求法】

1.求曲線“在”某點的切線方程的解題策略：

①求出函數(shù)y=/U)在廣無。處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y/尤)在點(尤o次尤o))處切線的斜率；

②在已知切點坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=y0+f(x0)(x-x0).

2.求曲線“過”某點的切線方程的解題通法：

①設(shè)出切點坐標(biāo)T(xo<xo))(不出現(xiàn)加)；

②利用切點坐標(biāo)寫出切線方程：y=flxo)+f(xo)(x-xo)；

③將已知條件代入②中的切線方程求解.

【知識點3導(dǎo)數(shù)中函數(shù)單調(diào)性問題的解題策略】

1.確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟；

(1)確定函數(shù)五尤)的定義域；

(2)求了(尤);

(3)解不等式/(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；

(4)解不等式了(無)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

2.含參函數(shù)的單調(diào)性的解題策略：

(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.

(2)若導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項系數(shù)的正負(fù)及兩根的大小；若不能因

式分解，則需討論判別式△的正負(fù)，二次項系數(shù)的正負(fù)，兩根的大小及根是否在定義域內(nèi).

3.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：

(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：在m◎上單調(diào)，則區(qū)間m力)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.

(2求x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的xG(a,6)都有/(x)>0(/(x)<0),且在3/)內(nèi)的任一非空子區(qū)間

上，/(x)不恒為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.

(3)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.

【知識點4函數(shù)的極值與最值問題的解題思路】

1.運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)/(x)極值的一般步驟：

(1)確定函數(shù)八元)的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)/(x)；

(3)解方程/(x)=0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；

(4)列表檢驗/(x)在/(無)=0的根xo左右兩側(cè)值的符號；

(5)求出極值.

2.根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)的一般思路：

已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：根據(jù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方

程組，利用待定系數(shù)法求解.

3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的解題策略：

（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)1x）在［a用上的最值的一般步驟：

①求函數(shù)在（a,b）內(nèi)的極值；

②求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值八a）,fib）;

③將函數(shù)?。┑母鳂O值與穴a），火6）比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

（2）求函數(shù)在無窮區(qū)間（或開區(qū)間）上的最值的一般步驟：

求函數(shù)在無窮區(qū)間（或開區(qū)間）上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和

極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.

【知識點5導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用】

1.導(dǎo)數(shù)中函數(shù)的零點（方程的根）的求解策略

（1）利用導(dǎo)數(shù)研究方程根（函數(shù)零點）的技巧

①研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等.

②根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極（最）值的位置.

③利用數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn).

（2）已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的常用方法

①分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建

關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.

②分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意,

將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍.

2.導(dǎo)數(shù)中恒成立、存在性問題的求解策略

恒成立（或存在性）問題常常運用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值問題.

如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)性質(zhì)求解，常見的是利用函數(shù)

單調(diào)性求解函數(shù)的最大、最小值；當(dāng)不能用分離參數(shù)法或借助于分類討論解決問題時，還可以考慮利用函

數(shù)圖象來求解，即利用數(shù)形結(jié)合思想解決恒成立（或存在性）問題，此時應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象，

利用導(dǎo)數(shù)來求解.

3.導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題

導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題往往以雙參數(shù)不等式的形式呈現(xiàn)，要想解決雙變量問題，就需要掌握破解雙參數(shù)

不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的

不等式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.

?舉一反三

【題型1導(dǎo)數(shù)的運算】

【例1】(2024?湖北.一模)已知函數(shù)/(%)=湖—尸(l)x,則(J

A./⑴=-1B.ra)=-|

C./(2)=e2-eD./，(2)=e2—e

【變式1-1](2024.全國.模擬預(yù)測)已知函數(shù)/?(%)的定義域為R,若f(2x-l)+3,尸(％-2)都是奇函數(shù),

旦尸⑴=-2/(-1),則￡鑿5尸㈤=()

A.6B.-9C.3D.-12

【變式1-2X2024?山東?二模)已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),設(shè)/(%)為/O)的導(dǎo)函數(shù)，若/(%)=/(2-%)+

4%-4,則廣(2023)=()

A.1B.-2023C.2D.2023

【變式1-3](2024?山西晉中?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=2%(x-2)(久-22)(x-23)(x-24)(x-25)(x-

26),則/(0)=()

A.220B.221C.222D.223

【題型2函數(shù)的切線問題】

【例2】(2024.江西景德鎮(zhèn).一模)過點4(0,1)且與曲線/(%)=爐+2%相切的直線方程是()

A.y=5x+1B.y=2x+1

C.y—x+1D.y——2x+1

【變式2-1](2024?山東?模擬預(yù)測)若過點(1,巾)可以作y=(x+l)e，的三條切線，則實數(shù)m的取值范圍是

()

A.(―4e-2,o)B.(-6e-3,0)C.(-6e-3,2e)D.(e,2e)

【變式2-2](2024?廣東佛山?一模)若直線y=質(zhì)與曲線y=lnx+或相切，則/c=.

【變式2-3](2024.四川成都.模擬預(yù)測)已知函數(shù)y=聲的圖象與函數(shù)y=alnx的圖象在公共點處有相同

的切線，則公共點坐標(biāo)為.

【題型3導(dǎo)數(shù)中函數(shù)的單調(diào)性問題】

【例3】(2024?黑龍江佳木斯?模擬預(yù)測)若函數(shù)/⑴=|/—3x—41nx,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(4,+8)B.(0,1)C.(0,4)D.(1,4)

【變式3-1](2024?湖北?一模)已知函數(shù)f(%)=一]n%+2%是減函數(shù)，貝Ua的取值范圍為()

A.(—00,0]B.(-oo,-1]C.D.(-8,—]

【變式3-2］（2024.吉林長春.模擬預(yù)測）已知a=sin3b=ln|,c=3-5,貝lj（）

A.c<b<aB.a<c<b

C.a<b<cD.b<a<c

ex--x2+3a,0<x<2,

【變式3-3］（2024?河南?模擬預(yù)測）若函數(shù)/（%）=/°,在(0,+8)上單調(diào)遞增，則實

ex+-x—2a,x>2

數(shù)Q的取值范圍是（）

A.一丁B.C.D-[-pf]

【題型4導(dǎo)數(shù)中函數(shù)的極值問題】

【例4】（2024.遼寧?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（%）=%?（%-c）2在久=1處有極大值，則。=（）

A.1B.2C.3D.4

【變式4-1］（2024?吉林?模擬預(yù)測）若函數(shù)f（x）=alnx+:-％既有極大值也有極小值，則實數(shù)a的取值范

圍為（）

A.(0,2⑸B.(-oo,-2V3)U(2V3,+oo)

C.(-co,-2V3)D.(2V3,+00)

x2

【變式4-2］（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（%）=e-|x-ax-小恰有兩個極值點，則a的取值

范圍是（）

A.[0,1]B.(0,1)C.[l,+oo)D.(1,+oo)

【變式4-3］（2024?江西宜春?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（%）=e*+e2T+a（%一1/有3個極值點汽力冷,冷，則

/+%3=(

A.2aB.3aC.2D.3

【題型5導(dǎo)數(shù)中函數(shù)的最值問題】

【例5】（2024.陜西西安.二模）函數(shù)/（%）=品在［—3,3］上的最大值和最小值分別是（）

.66~11

A.——,-----Bc.D-5,一5

1313-l-l10io

【變式5-1］（2024.陜西渭南.模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（%）=%e%+a在區(qū)間［0,1］上的最小值為1,則實數(shù)〃的

值為（）

A.-2B.2C.-1D.1

【變式5-2](2024?寧夏固原?一模)函數(shù)/(%)=sinx-(%+2)cosx-1在區(qū)間上的最小值、最大值分

別為()

A.-21T—3,TC+1B.—21T—3,-3C.-3,n+1D.-3,2

【變式5-3](2024?福建?三模)函數(shù)/(久)的定義域為(0,+8),廣(久)為人行的導(dǎo)函數(shù)，滿足2(/(久)+/)=

%(r(x)+x),f(l)=-|,則/(久)的最小值為()

,e2

A.-eB.eC.—eD.---

2

【題型6利用導(dǎo)數(shù)解不等式】

【例6】(2024?四川瀘州?一模)已知函數(shù)/(久)=e，+x,則滿足/。)〉/(2x—1)的x的取值范圍是()

A.(一8,—1)B.(—oo,l)C.(—1,+8)D.(1,+oo)

【變式6-1](2024?吉林長春.一模)己知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(%),尸(%)是/(%)的導(dǎo)函數(shù)，滿足x尸(x)-

2/(%)<0,且/(2)=4,則不等式/(2專—空>0的解集是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,+00)D.(-oo,l)

【變式6-2](2024.廣東佛山.一模)設(shè)尸0)是函數(shù)/0)的導(dǎo)數(shù)，/(I一久)+f(l+K)=0,f⑵=0,當(dāng)x>1

時，(x-1)尸0)-/(%)>0,則使得/(%)<0成立的x的取值范圍是()

A.(0,1)U(1,2)B.(0,1)U(2,+oo)C.(-00,0)U(1,2)D.(-oo,0)U(2,+oo)

【變式6-3](2024.海南海口.模擬預(yù)測)已知定義在[-3,3]上的函數(shù)/(久)=二一6--2%+1,若/(m?)+

f(m-2)<2,則ni的取值范圍是()

A.[-2,1]B.[-1,2]

C.[-1,V3]D.[-1,1]

【題型7導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(方程根)問題】

[例7](2024.黑龍江大慶.三模)己知函數(shù)/O)=llmcl---2有2個零點，則實數(shù)k的取值范圍是()

A.(~e譚)B.[o,2)C.(-1,0]UD.(—e,0]u圖

【變式7-1](2024.河北衡水.模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=In%+1-<2%有兩個零點%1，%2，且%1<%2，則下

列命題正確的是()

2

A.a>1B.xr+x2<-

i

C.?冷<1D.x2—xr>--1

f|3-2x\+l,x>0,

【變式7-2](2024?四川?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(%)=(x+2)2/八若函數(shù)y=有5

---<0.

個不同的零點，貝必的取值范圍是（）

A.(0,1]B.(1,4]C.(1,4)D.(1,4-00)

【變式7-3］（2024?四川南充?一模）已知函數(shù)/（%）=1n%—：+2|-m（0<m<3）有兩個不同的零點比i，

%2，下列關(guān)于久1，&的說法正確的有（）個

①二<e2m②％1>---③eW<x<---④％i%2>1

771+223-tn

A.1B.2C.3D.4

【題型8導(dǎo)數(shù)中的不等式恒成立問題】

【例8】（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/(%)=-ln(x-1)-Ina+1,若/(%)>。對任意的％E

（1,+8）恒成立，貝必的取值范圍是（)

A.(0,,]B.(0,e]C.0,QD.(0,e2]

【變式8-1］（2024?河南?模擬預(yù)測）已知4>0,對任意的x>1,不等式e?"-（ine對Inx>0恒成立，則

實數(shù)4的取值范圍為（）

A.卜+8）B.區(qū)+8)

C.[2e,+oo)D.[e,+8)

【變式8-2］（2024?陜西商洛?三模）已知4>0,對任意的久>1,不等式e2菽-等20恒成立，貝版的取值

2Z

范圍為（）

A.[2e,+oo)B.后,+8)C.[e,+oo)D.[…)

【變式8-3］（2024?甘肅蘭州?三模）已知函數(shù)f（%）=9五一X3,對于任意的x￡（1,2］,不等式f（含）+

<1恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為（）

A.(1,+oo)B.[-1,1]c.STD.(-00,-1)

【題型9導(dǎo)數(shù)中的能成立問題】

【例9】（2024?全國?模擬預(yù)測）若關(guān)于％的不等式（e-l）（lnX+a%）2-1在久E悖,1］內(nèi)有解，則正實

數(shù)a的取值范圍是（）

A.(0,2+21n2]B.e,e]C.(0,4]D-[加

【變式9-1］（2024?重慶?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（%）=?,g（%）=axe-?！?若存在/E（0,1）,第2E（-8,0）使

得人叼)=9(*2)，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(—oo,-2)B.(—2,—1)C.(—L+8)D.(0,+8)

【變式9-2](2024?吉林延邊?一模)若對任意工€(e,+8),存在實數(shù)九使得關(guān)于％的不等式ln(%-e)+4%+

1NO成立，則實數(shù)4的最小值為.

【變式9-3](2024?浙江?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=9+2/,^(%)=2m-In%,若關(guān)于%的不等式/(%)4

有解，則他的最小值是.

【題型10雙變量問題】

【例10】(23-24高二下?福建福州?期末)已知居y為正實數(shù)，ln%+lny=(—汽，貝U()

A.x>yB.x<yC.%+y>1D.%+y<1

【變式10-1】(2024.四川廣安.模擬預(yù)測)已知且e'sin%=e'siny,其中e為自然對數(shù)的底

數(shù)，則下列選項中一定成立的是()

A.cosx+cosy<0B.cos%+cosy>0

C.cosx>sinyD.sinx>siny

【變式10-21⑵-24高二下?四川遂寧?期中)已知函數(shù)/(%)==|x+1,若f(%i)=93)，則久i一x2

的最小值為.

【變式10-3](2024.湖南郴州.模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=12+(1一q)%一有兩個極值點V

%2)，則實數(shù)a的取值范圍為;若3/>&，貝+lnx2+2a的最大值為.

?課后提升練(19題】

一、單選題

1.(2024.河南新鄉(xiāng).一模)函數(shù)/(%)=/_+5的圖象在點(1)(1))處的切線方程是()

A.y=5x—1B.y=x+1C.y=—x+5D.y=x+3

2.(2024.山西呂梁二模)已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)的定義域為R,f仔-1)為奇函數(shù)，設(shè)儀久)是/(久)的導(dǎo)函數(shù)，若

g(2x+1)為奇函數(shù)，且g(0)=貝皮松1kgQk)=()

A.-B.--C.-D.--

2222

3.(2024?山東.模擬預(yù)測)"a>「戛”函數(shù)”x)=[2丫一?在R上單調(diào)遞增”的()

+a%-a+2,%>0

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.（2024?四川眉山?一模）若函數(shù)/（久）=萬合篤在％=2時取得極小值，則f（x）的極大值為（）

A.-B.1C.-D.e

e8

5.（2024.河北邯鄲?模擬預(yù)測）己知/0）在（1,+8）上單調(diào)遞增，若/（X+1）為偶函數(shù),a=/（￡），b=

c=則（）

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

6.（2024?河南?模擬預(yù)測）已知/（*）=X3]n善，則八x+2）>/（3x—2）的解集為（）

A.(-3,3)B.C.(0,2)D.(0,1)

7.(2024■黑龍江大慶?一模)已知函數(shù)/'(x)=21nx-ax+b—1,若對任意的久G(0,+oo),/(%)<0,則b—2a

的最大值為()

A.21n2-1B.3-21n2C.1-21n2D.21n2-3

8.(2024?湖南郴州?模擬預(yù)測)已知/(久)=memx-lnx(m>0),若f(x)有兩個零點，則實數(shù)小的取值范圍

為()

C.&+8）D.區(qū),+8）

9.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）若存在久6（0,+8）,使得不等式a?—+xNe。/+久成立，則實數(shù)a的取

值范圍為（）

10.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）已知函數(shù)X+L貝U（）

A.f（x）有三個極值點B.f（x）有三個零點

C.點（0,1）是曲線y=/（*）的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=/（久）的切線

二、多選題

11.（2024?全國?模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)/（久）=ax-