導數(shù)及其應用（講義）-2025年北京高考數(shù)學二輪復習（原卷版）

專題04導數(shù)及其應用

目錄

01考情透視?目標導航............................................................

07軍nt口旦囪.田姓己I白吉q

03知識梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準預測............................................................9

05核心精講?題型突破...........................................................11

題型一：求已知函數(shù)的極值或最值11

題型二：由函數(shù)在區(qū)間上的單調性求參數(shù)13

題型三：利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間（含參與不含參）15

題型四：求曲線上一點處的切線方程17

重難點突破：利用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調性18

0

考情透視?目標導航

有關導數(shù)的北京高考試題，導數(shù)小題一般以課程學習情境為主，突出基礎性;大題一般以探索創(chuàng)新情境為

主，突出綜合性，作為載體的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)應引起足夠的重視.在備考時應注意以下兩點：

⑴利用導數(shù)的幾何意義解決與函數(shù)的切線有關的問題、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值與最值問題要側

重通性通法，含參的討論要準確把握住分類標準,有條不紊地進行分類討論;(2)不等式恒(能)成立問題、利用導

數(shù)證明不等式、利用導數(shù)研究零點或方程解的問題，要側重函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類討論的思想方法的

滲透,加強邏輯思維能力、運算求解能力、創(chuàng)新能力的訓練，突出理性思維和數(shù)學探索的學科素養(yǎng)的培養(yǎng)

考點要求目標要求考題統(tǒng)計考情分析

熟練掌握導數(shù)的

2021年北京卷第15題，5分

導數(shù)小題切線、極值、最值

問題預測2025年高考，導

數(shù)小題一般切線最值及極

值,突出基礎性，大題一般

側重單調性、恒成立問題'

2024年北京卷第20題，15分利用導數(shù)證明不等式、利

2023年北京卷第20題，15分用導數(shù)研究零點或方程解

掌握恒成立、單調2022年北京卷第20題，15分的問題

導數(shù)大題

性及證明不等式2021年北京卷第19題，15分

2020年北京卷第19題，15分

2019年北京卷第19題，15分

〃用識導圖?思維引航\\

牛nt口捺理?右法怙,

L導數(shù)運算問題

技巧總結

幽幾個常用函數(shù)的導數(shù)1

/(x)=c(c為常數(shù))=/'(x)=0/(x)=/n/'(x)=2x

XX

項基本初等函數(shù)的導數(shù)公歪)

/(x)=x"(acQ+)nax.'(2-1f(x)=sinx=，'(x)=cosx

/(x)=cosx=>f'(x)=一sinx/(x)=ax=>f'(x)=axIna(a〉0,aw1)

/(x)=log?Xn尸(x)=-(a>0,aw1)

xina

/(x)=lnx^/,(x)=-

X

(鬲簡單函數(shù)導數(shù)的運算法匝)

[/U)±g(*)]'=f'(x)±gG)

兩個函數(shù)的和(或差)的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(或差)

[/(*),g(。]=/'(ag(尤)+/W-gQ)

兩個函數(shù)的積的導數(shù)，等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘上第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘上第二個函數(shù)的導數(shù)

J1八八，(g(無)=0)

J[g(x)f

兩個函數(shù)的商的導數(shù)，等于分子的導數(shù)乘上分母減去分子乘上分母的導數(shù)，再除以分母的平方

@)復合函數(shù)的導藪)

定義：一般地，對于兩個函數(shù)y=/(a)和M=g(x),如果通過變量”,y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個

函數(shù)為y=/(")和u=g(x)的復合函數(shù)，記作y=f(g(x))

求導：復合函數(shù)y=/(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y=f(a),M=g(x)的導數(shù)間的關系為y#=坨?%,,即y對x

的導數(shù)等于y對“的導數(shù)與"對x的導數(shù)的乘積

簡稱：由外到內依次求導

2.利用導數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點：

技巧總結

(1)函數(shù)在切點處的導數(shù)值是切線的斜率，即已知切點坐標可求切線斜率，已知斜率可求切點坐標.

(2)切點既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點.

(3)曲線〉=〃到"在”點尸(%,%)處的切線與“過”點尸(為,%)的切線的區(qū)別：曲線y=〃x)在點

P(x0,%)處的切線是指點尸為切點，若切線斜率存在，切線斜率為左=/'(%),是唯一的一條切線；曲線

y=f(x)過點尸(.%,%)的切線，是指切線經過點尸，點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可

能有多條.

@在點的切線方程)

切線方程y-/(%0)=f\x0)(%-%0)的計算：函數(shù)y=/(x)在點A(x0,/(x0))處的切線方程為

,

y-/(x0)=f(x0)(x-x0),抓住關鍵.

[k=f(x0)

0過點的切線方程)

設切點為P(x(,,%),則斜率左=/'(Xo),過切點的切線方程為：y-y0=f'(x0)(x-x0),

又因為切線方程過點ii),所以根-尤0)然后解出/的值.(%有幾個值，就有幾條切線)

3.有關可導函數(shù)單調性問題

麥道

⑥「求可導函數(shù)單調區(qū)間的一般蚓)

(1)確定函數(shù)/(x)的定義域；

(2)求了'(x),令/'(幻=0,解此方程，求出它在定義域內的一切實數(shù)；

(3)把函數(shù)/(x)的間斷點(即/(x)的無定義點)的橫坐標和((?=0的各實根按由小到大的順序

排列起來，然后用這些點把函數(shù)/(x)的定義域分成若干個小區(qū)間；

(4)確定了'(X)在各小區(qū)間內的符號，根據(jù)/'(x)的符號判斷函數(shù)/(x)在每個相應小區(qū)間內的增減性.

注①使f\x)=0的離散點不影響函數(shù)的單調性，即當/'(x)在某個區(qū)間內離散點處為零，在其余點處

均為正(或負)時，/(%)在這個區(qū)間上仍舊是單調遞增(或遞減)的例如，在(-oo,+oo)上，/(%)=%3,

當x=0時，/'(x)=0；當xwO時，f\x)>0,而顯然/(x)=x3在(―8,+oo)上是單調遞增函數(shù).

②若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。力)上單調遞增，則/'(x)20(7'(x)不恒為0),反之不成立.因為

f'(x)20,即/⑺>0或八x)=0,當/'(x)>0時，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。/)上單調遞增.當/'(%)=0

時，/(%)在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。力)上單調遞減，則/'(x)<0(/'(x)

不恒為0),反之不成立.這說明在一個區(qū)間上函數(shù)的導數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調遞增的充分不

必要條件.于是有如下結論：

/(x)>0n/(x)單調遞增；/(x)單調遞增n/'(x)20；/'(x)<0n/(%)單調遞減；/(%)單調遞減

=>/'(%)<0.

邈用函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍的解題避)

①由函數(shù)在區(qū)間以句上單調遞增(減)可知/(x)20(r(x)V0)在區(qū)間［他切上恒成立列出不等式；

②利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質求解恒成立問題；

③對等號單獨檢驗，檢驗參數(shù)的取值能否使廣(x)在整個區(qū)間恒等于0,若/(%)恒等于0,則參數(shù)的這

個值應舍去；若只有在個別點處有了'(x)=0,則參數(shù)可取這個值.

4討論單調區(qū)間問題

技巧總結

住型一：不含參數(shù)單調性討愛

(1)求導化簡定義域(化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)；

(2)變號保留定號去(變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒

負，無需單獨討論的部分)；

(3)求根做圖得結論(如能直接求出導函數(shù)等于0的根，并能做出導函數(shù)與x軸位置關系圖，則導函數(shù)

正負區(qū)間段己知，可直接得出結論)；

(4)未得結論斷正負(若不能通過第三步直接得出結論，則先觀察導函數(shù)整體的正負)；

(5)正負未知看零點(若導函數(shù)正負難判斷，則觀察導函數(shù)零點)；

(6)一階復雜求二階(找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導)；

求二階導往往需要構造新函數(shù)，令一階導函數(shù)或一階導函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導.

(7)借助二階定區(qū)間(通過二階導正負判斷一階導函數(shù)的單調性，進而判斷一階導函數(shù)正負區(qū)間段)；

尊型二：含參數(shù)單調性討論2)

(1)求導化簡定義域(化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連

續(xù)的區(qū)間)；

(2)變號保留定號去(變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒

負，無需單獨討論的部分)；

(3)恒正恒負先討論(變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負)；然后再求有效根；

(4)根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內和多根之間的大小關系)；

(5)導數(shù)圖像定區(qū)間；

5.函數(shù)的極值

技巧總結

函數(shù)/(X)在點x0附近有定義，如果對無。附近的所有點都有了(無)<f(x0),則稱/(x0)是函數(shù)的一個極大值,

記作y極大值=/(修).如果對不附近的所有點都有y(x)>y(xo),則稱/(/)是函數(shù)的一個極小值，記作

%

>極小值=/(0)?極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱Xo為極值點.

⑥可導函數(shù)極值的一般步Q

(1)先確定函數(shù)y(x)的定義域；(2)求導數(shù)((x)；(3)求方程-0)=0的根；

(4)檢驗((x)在方程/(x)=0的根的左右兩側的符號，如果在根的左側附近為正，在右側附近為負，那

么函數(shù)y=/(x)在這個根處取得極大值；如果在根的左側附近為負，在右側附近為正，那么函數(shù)y=/(x)在

這個根處取得極小值.

6.函數(shù)的最值

技巧總結

函數(shù)y=/(x)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)/(X)最小值為極小值與靠近極

大值的端點之間的最小者.

導函數(shù)為/(x)=cue+bx+c=。(尤—%)(x-x,)(加<無］<x,<ri)

(1)當a>0時，最大值是/(占)與/(〃)中的最大者；最小值是了小)與/(附中的最小者.

(2)當a<0時，最大值是/(々)與/(他)中的最大者；最小值是/(西)與/(〃)中的最小者.

一般地，設y=/(x)是定義在即，網上的函數(shù)，y=/(x)在(m,n)內有導數(shù)，求函數(shù)y=/(x)在刖，加上

的最大值與最小值可分為兩步進行：

(1)求y=f(x)在(m,ri)內的極值(極大值或極小值);

(2)將y=/(x)的各極值與/(㈤和/(〃)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

7.函數(shù)恒成立問題

技固總結______

(恒成工問題一)

(1)若函數(shù)/(九)在區(qū)間。上存在最小值/(工).和最大值/(%),貝U

J\J\/minJ\/max

不等式/(x)>。在區(qū)間。上恒成立=/>a；

不等式在區(qū)間。上恒成立。/(可強>a；

不等式/(x)<匕在區(qū)間。上恒成立=/(x)1rax<b；

不等式在區(qū)間。上恒成立=/(x)ma，Wb；

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，且值域為(加，〃)，貝。

不等式/(x)>a(或f(x)Na)在區(qū)間。上恒成立omNa.

不等式y(tǒng)(x)<M或在區(qū)間。上恒成立=加《6

(3)若函數(shù)在區(qū)間。上存在最小值“XL和最大值即/(4)?力,小，則對不等式

有解問題有以下結論：

不等式a<八%)在區(qū)間￡>上有解oa</(x)max；

不等式aW在區(qū)間。上有解=aW/(x)2；

不等式a>/(x)在區(qū)間。上有解=a>/(x)血門；

不等式a2/(x)在區(qū)間。上有解oa2/(x)1n；

(4)若函數(shù)/(x)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，如值域為(根，n),則對不等式有解問題有以下

結論：

不等式a</(%)(或。4/(%))在區(qū)間￡)上有解oa<〃

不等式b>f(x)(或人>f(%))在區(qū)間D上有解ob>m

(5)對于任意的花e[a,可，總存在馬目現(xiàn)n\,使得K目(馬)=/(%)111ax?目(9)1rax；

(6)對于任意的％e[a,可，總存在％e[m,〃],使得/(%)Ng(%)O/(七心之；

(7)若存在西e[a,可，對于任意的馬目取同，使得了(西卜8仁)=〃%)*Vg(%)1n

(8)若存在花e[a,b],對于任意的馬egn\,使得/(石)*(%2)0/(花)皿會仁心；

(9)對于任意的須e[a,b],e[m,月使得/(%)<g(%)。/(M儂Wg?).；

(10)對于任意的石e[a,句,%?m,〃]使得/(%)冷(%2)0〃不可々(為2)皿；

(11)若存在不e[a,可，總存在％e[m,〃]，使得/(石)WgG)=4%)一分(%)厘

(12)若存在石>[a,句，總存在9e[m,可,使得/&)*(%)石)-Ng?)1nto.

8.函數(shù)零點問題

技巧總結

函數(shù)零點問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點或者求零點的個數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點情況，求參

數(shù)的值或取值范圍.

求解步驟：

第一步：將問題轉化為函數(shù)的零點問題，進而轉化為函數(shù)的圖像與X軸(或直線丁=左)在某區(qū)間上的

交點問題；

第二步：利用導數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調性、極值、端點值等性質，進而畫出其圖像；

第三步：結合圖像判斷零點或根據(jù)零點分析參數(shù).

9.導數(shù)證明不等式問題

技巧總結

(1)直接構造函數(shù)法：證明不等式〃x)>g(x)(或〃x)<g(x))轉化為證明/⑺-g(x)>0(或

/(x)-g(x)<0),進而構造輔助函數(shù)/z(x)=/(x)-g(x)；

(2)適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；

(3)構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù).

(4)對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友

1.(2021?北京?高考真題)已知函數(shù)，幻言旭X-直-2,給出下列四個結論：

①若％=0,/⑺恰有2個零點；

②存在負數(shù)左，使得"X)恰有1個零點；

③存在負數(shù)k,使得/(%)恰有3個零點；

④存在正數(shù)k,使得/(%)恰有3個零點.

其中所有正確結論的序號是.

2.(2020?北京?高考真題)為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治理，排放未達

標的企業(yè)要限期整改，設企業(yè)的污水排放量W與時間f的關系為W=/(r),用一"①的大小評價在

b-a

［。,切這段時間內企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關系如下

圖所示.

①在［%這段時間內，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；

②在G時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；

③在4時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；

④甲企業(yè)在也這三段時間中，在［0,河的污水治理能力最強.

其中所有正確結論的序號是.

3.(2024.北京.高考真題)設函數(shù)2(x)=x+Ain(l+x)化味0),直線/是曲線y=/(x)在點⑺)(/>0)處

的切線.

(1)當上=一1時，求“X)的單調區(qū)間.

⑵求證：/不經過點(0,0).

(3)當k=1時，設點(少(t>0),C(0,/(?)),0(0,0),8為/與y軸的交點，與與枷分別表示

△ACO與AABO的面積.是否存在點A使得2s△ACO=15S-B。成立？若存在，這樣的點A有幾個？

(參考數(shù)據(jù)：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)

4.(2023?北京?高考真題)設函數(shù)/(尤)=苫-丁產+〃，曲線y=〃尤)在點(1J⑴)處的切線方程為y=f+1.

⑴求a,6的值；

(2)設函數(shù)g(x)=7'(x),求g(x)的單調區(qū)間；

⑶求“X)的極值點個數(shù).

5.(2022?北京?高考真題)已知函數(shù)/(x)=e'ln(l+x).

(1)求曲線y=/(%)在點(0,7(0))處的切線方程；

⑵設g(x)=/'(x),討論函數(shù)g(x)在［0,M)上的單調性；

(3)證明:對任意的s,re(0,+℃),有/(s+t)>/(s)+/?).

6.(2021?北京?高考真題)已知函數(shù)

(1)若a=0,求曲線y=/(x)在點(L〃l))處的切線方程；

(2)若在尸-1處取得極值，求“力的單調區(qū)間，以及其最大值與最小值.

7.(2020?北京?高考真題)已知函數(shù)/(x)=12-/.

(I)求曲線V=/(x)的斜率等于-2的切線方程；

(II)設曲線y=/(x)在點匕/⑺)處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為SQ),求S⑺的最小值.

葡5

核心精法題型突破

題型一：求已知函數(shù)的極值或最值

【典例1-1】設函數(shù)/。)=/_3以+b,若函數(shù)/(X)在x=2處取得極小值8.

⑴求。涉的值；

⑵求函數(shù)f(x)在［。,3］上的最大值和最小值，以及相應x的值；

(3)證明：曲線>=/(幻是中心對稱圖形.

【典例1-2】如果〃力=依-3在區(qū)間(-1,0)上是單調函數(shù)，那么實數(shù)。的取值范圍為()

A.(—℃,—］U［1,+°°)B.［―,1］C.(-<?,—］D.［1,+℃)

eee

一般地，設函數(shù)/(尤)在點x=x。及其附近有定義

(1)若對于X。附近的所有點，都有/(x)</(x0),則/(x0)是函數(shù)/(x)的一個極大值,記作y極大值=/(%0)

(2)若對.%附近的所有點，都有/(x)>/(%),則Ax。)是函數(shù)/(x)的一個極小值，記作y極小值=/(%)

用導數(shù)求函數(shù)極值的的基本步驟：

①確定函數(shù)的定義域②求導數(shù)f\x)③求方程f\x)=0的根④檢查f\x)在方程根左右的值的符號，如

果左正右負，則在這個根處取得極大值；如果左負右正，則“X)在這個根處取得極小值

求函數(shù)最值的的基本步驟

若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［凡切有定義，在開區(qū)間3力內有導數(shù)，則求函數(shù)y=/(x)在［a,b］上的最大值

和最小值的步驟如下

(1)求函數(shù)/(X)在3,力內的導數(shù)尸(x)(2)求方程/(?=0在(a,b)內的根(3)求在(a,6)內使((x)=0

的所有點的函數(shù)值和/(幻在閉區(qū)間端點處的函數(shù)值/(a),于3)(4)比較上面所求的值，其中最大者為函

數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的最大值，最小者為函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a,句上的最小值

【變式1-1］若函數(shù)/(x)=xex-ax,則根據(jù)下列說法選出正確答案是()

①當ae?e,-e—1時，/(x)在尤eR上單調遞增；

②當。€(--2,0)時，f(x)有兩個極值點；

③當時，f(x)沒有最小值.

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【變式1-2】已知函數(shù)y=〃尤)的導函數(shù)、=((龍)圖象如圖所示，則下列說法正確的是()

A./(^)>/(%3)6.%是極大值點

C.f(x)的圖象在點》=工處的切線的斜率等于0

D.在區(qū)間(。㈤內一定有2個極值點

【變式1-3】函數(shù)“X)的定義域為開區(qū)間SM，導函數(shù)/⑺在(a,6)內的圖象如圖所示，則函數(shù)“X)在開

區(qū)間(a,6)內有極小值點()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1-4】已知函數(shù)/(x)=(ar2—2x+2)e'—X,則下列命題不正確的是()

A.當a=l時，〃x)有唯一極小值B.存在定直線始終與曲線y=〃x)相切

C.存在實數(shù)a,使/(X)為增函數(shù)D.存在實數(shù)a,使/(x)為減函數(shù)

1命題預測二|

1.設函數(shù)/(x)=e*-lnx的極值點為尤°,且/wM,則M■可以是()

A.（ofB.［1，ljC.（1,2）D.（2,4）

2.已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)。的取值范圍（）

2e

A.0<Q<—B.0vavln2C.〃<eD.0<<2<In—

e2

3.已知函數(shù)FQ）=尤（皿尤-辦）有兩個極值點，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.I-<?AIB.|7-，+0°I

4.已知函數(shù)/（x）=x-sin無，下列敘述中不正確的一項是（）

A./（x）在R上單調遞增B.7（x）無極值點

C.f（x）有唯一零點D.曲線>=/（尤）只有一條斜率為0的切線

7T

5.實數(shù)/（x）=2cos尤+尤在0,-上的極大值點為（）

題型二：由函數(shù)在區(qū)間上的單調性求參數(shù)

【典例2-1】已知/（x）=av+2co&x+Asin%M￡R.

⑴當〃=0時，求曲線,=/（%）在點（。"（0））處的切線方程；

JTTT

⑵若函數(shù)“X）在區(qū)間-于5上為增函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

【典例2-2】已知函數(shù)=/一ar?—1.

⑴若。=1,求“X）的極值；

（2）直接寫出一個。值使在區(qū)間［-1,0］上單調遞減.

利用導數(shù)法解決取值范圍問題的兩個基本思路

①將問題轉化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即尸（無）20（或（（x）V0）恒成立，利用分離參數(shù)

或函數(shù)性質求解參數(shù)范圍，然后檢驗參數(shù)取“=”時是否滿足題意

②先令尸(x)>0(或尸(x)<0),求出參數(shù)的取值范圍后，再驗證參數(shù)取“=”時/(無)是否滿足題意

【變式2-1]若函數(shù)“無)=佇電竺在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)0的取值范圍是_____.

cosx162)

【變式2-2】如果=7九Le”在區(qū)間(TO)上是單調函數(shù)，那么實數(shù)機的取值范圍為.

【變式2-3】已知函數(shù)/("=加-2了2+1在區(qū)間(0,1)上存在增區(qū)間，貝ija的取值范圍是.

【變式2-4]設函數(shù)〃％)=2x-在(1,2)上單調遞減，則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.[4,5]B.(5,+oo)C.[4,+co)D.[5,+co)

【變式2-5]若函數(shù)=在區(qū)間(Qi)內為增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.[2,+00)B.(0,2)C.(-00,2)D.

命題預測

1.若函數(shù)/(x)=3-lnx在(。,心上不單調，則實數(shù)上的取值范圍是()

A.[1,+co)B.(1,+8)C.(0,1)D.(0,1]

2.若f(x)=sinx-cosx在[0,a]上單調遞增，則a的最大值是()

?！肛3兀一

A.-B.-C.—D.兀

424

IT1T

3.若函數(shù)/(x)=e/+cosx)在[-3萬]上單調遞減，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.B.[1,+<?)C.夜]D.F-V2,+OO)

題型三：利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間(含參與不含參)

【典例3-1】設函數(shù)/(尤)=：次2—(2。+1)尤+ln(x-l)+4.其中a>0.

(1)求函數(shù)〃尤)的單調區(qū)間；

(2)當a時.對于可，&e(2,〃z],不等式〃尤?)42〃石)-:恒成立，求機的取值范圍.

綜上所述：加的取值范圍為(2,5].

【典例32］已知函數(shù)”尤)=

⑴求的圖象在點(1J⑴)處的切線方程;

⑵討論〃%)的單調區(qū)間.

不含參數(shù)單調性討論

(1)求導化簡定義域(化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)

(2)變號保留定號去(變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或

恒負，無需單獨討論的部分)

(3)求根做圖得結論(如能直接求出導函數(shù)等于0的根，并能做出導函數(shù)與x軸位置關系圖，則導函

數(shù)正負區(qū)間段己知，可直接得出結論)

(4)未得結論斷正負(若不能通過第三步直接得出結論，則先觀察導函數(shù)整體的正負)

(5)正負未知看零點(若導函數(shù)正負難判斷，則觀察導函數(shù)零點)

(6)一階復雜求二階(找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導)

(7)借助二階定區(qū)間(通過二階導正負判斷一階導函數(shù)的單調性，進而判斷一階導函數(shù)正負區(qū)間段)

含參數(shù)單調性討論

(1)求導化簡定義域(化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個

連續(xù)的區(qū)間)

(2)變號保留定號去(變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或

恒負，無需單獨討論的部分)

(3)恒正恒負先討論(變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負)；然后再求有效根

(4)根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內和多根之間的大小關系)

(5)導數(shù)圖像定區(qū)間

【變式3-1】設函數(shù)/(x)=x2-2x+alnx.

(1)當a=-4時，求的極值；

(2)當a>0時，判斷了(X)的單調性.

k

【變式3-2］已知函數(shù)/'(元)=111(1+彳)一彳+5尤2(%20).

⑴當左=2時，求曲線y=在點(1J⑴)處的切線方程;

⑵求的單調區(qū)間；

1Q

(3)當4=￡時，求證：x>0時，r成立.參考數(shù)據(jù)(ln2=0.693).

11Y4

則gajWgO'u-5-v-ZV-O.OS7,可得/(x)>g(x),即當尤>0時，/(x)>—-—

zeoe/e

【變式3-3】已知函數(shù)〃x)=or-ln(x+l)(fleR).

(1)若a=l,求/(X)的最小值；

(2)若存在極小值，求。的取值范圍.

【變式3-4］已知函數(shù)〃x)=(2x+1)Inx—x2—2x.

⑴求了(%)的單調區(qū)間；

(2)若關于x的不等式廣(x)〈-x+a有解，求實數(shù)a的取值范圍.

【變式3-5】已知函數(shù)〃力=(--6+l)e*(aeR)在x=2處取得極小值.

(1)求a的值，并求函數(shù)〃x)的單調區(qū)間；

(2)求/(x)在區(qū)間［-2,0］上的最大值和最小值.

1命題預測I1

1.已知函數(shù)〃%)=竺￥.

e

⑴當。=1時，求/(X)的單調區(qū)間和極值；

(2)當a?l時，求證：/(x)<(a-l)x+l;

2.已知函數(shù)〃x)=(x-a)e*-x2.

⑴當。=0時，求“X)在x=0處的切線方程；

⑵當a=l時，求的單調區(qū)間；

(3)當/(X)有且僅有一個零點時，請直接寫出a的取值范圍.

3.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+fct-l在x=l處有極值-1.

(1)求實數(shù)a,b的值；

⑵求函數(shù)g(x)=ax+lnx的單調區(qū)間.

題型四：求曲線上一點處的切線方程

【典例4-1】設函數(shù)〃x)=x+Aln(l+x)(FO),直線/是曲線y=〃“在點⑺)(r>0)處的切線.

⑴當人=-2時，求/'(X)的單調區(qū)間.

(2)求證：/不經過點(0,0).

【典例4-2】已知函數(shù)/(x)=xlnx—d+1.

求〃x)在點(1,〃功處的切線方程；

用導數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的方法步驟：

①求出切點(%,/■(%))的坐標

②求出函數(shù)y=f(x)在點尤0處的導數(shù)于'(X。)

③得切線方程》-/(%)=f'(x)(x-x0)

【變式4-1】已知函數(shù)/(x)=

(1)求曲線y=fM在點d,/(D)處的切線方程；

(2)求的單調區(qū)間；

【變式4-2］已知函數(shù)〃力=上巴3>0).

x+a

⑴求曲線y=〃x)在點(L〃l))處的切線方程；

(2)判斷在定義域內是否為單調函數(shù)，并說明理由.

【變式4-3】已知函數(shù)〃x)=竺士口，fleR.

⑴當a=0時，求曲線y=〃x)在點(0,〃。))處的切線方程;

⑵求“X)的單調區(qū)間；

命題預測

1.曲線y=$3+1在點(-3,-8)處的切線斜率為()

A.9B.5C.-8D.10

2.已知函數(shù)/(%)=e"+cosx.

(1)求曲線y=/(x)在點(o,/(o))處的切線方程；

3.已知〃x)=e*一辦