導數(shù)與函數(shù)的極值、最值（十一大題型+模擬練）-2025年高考數(shù)學一輪復習（新高考專用）

專題15導數(shù)與函數(shù)的極值、最值（十一大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01函數(shù)極值的辨析

?題型02求已知函數(shù)的極值

?題型03根據(jù)極值求參數(shù)

?題型04函數(shù)（導函數(shù)）圖像與極值的關(guān)系

?題型05由導數(shù)求函數(shù)的最值

?題型06已知函數(shù)最值求參數(shù)

?題型07根據(jù)極值點求參數(shù)

?題型08由導數(shù)求函數(shù)的最大值（含參）

?題型09恒成立問題

?題型10零點問題

?題型11導數(shù)的綜合應用

?題型01函數(shù)極值的辨析

1.（2024高三?全國?專題練習）下列函數(shù)中，存在極值的函數(shù)為（）

,2,

A.y=eB.y=lnxC.y=—D.y=x~-2x

x

【答案】D

【分析】根據(jù)極值的定義進行求解即可.

【解析】A：因為函數(shù)〉=產(chǎn)是實數(shù)集上的增函數(shù)，所以函數(shù)＞="沒有極值；

B：因為函數(shù)＞=lnx是正實數(shù)集上的增函數(shù)，所以函數(shù)＞=lnx沒有極值;

22

c：因為函數(shù)V=—在區(qū)間(0,+s)、(-8,0)上是減函數(shù)，所以函數(shù)了=—沒有極值；

xx

D：因為y=/-2x=(x-l)2-l,所以該函數(shù)在(1,+s)上是增函數(shù)，在(-*1)上是減函數(shù)，因此x=l是函數(shù)

的極小值點，符合題意，

故選：D

2.(2024高三?全國?專題練習)下列結(jié)論中，正確的是()

A.若一(X)在［。,目上有極大值，則極大值一定是6］上的最大值.

B.若/(x)在團句上有極小值，則極小值一定是卜力］上的最小值.

C.若“X)在［見句上有極大值，則極大值一定是在x=a和x=b處取得.

D.若〃x)在用上連續(xù)，則〃無)在用上存在最大值和最小值.

【答案】D

【分析】根據(jù)極值和最值的定義逐一分析判斷即可.

【解析】函數(shù)在［生闿上的極值不一定是最值，最值也不一定是極值，故AB錯誤；

函數(shù)/(x)在目上的極值一定不會在端點處取得，故C錯誤；

若/(%)在［a,6］上連續(xù)，則/(x)在［a,6］上存在最大值和最小值，故D正確.

故選：D.

3.(2024高三?全國?專題練習)如圖是危)的導函數(shù)/(x)的圖象，則於)的極小值點的個數(shù)為()

【答案】A

【分析】根據(jù)極值點的定義，結(jié)合導函數(shù)的圖象判斷即可.

【解析】由導函數(shù)/(x)的圖象知

在尤=—2處八-2)=0,且其兩側(cè)導數(shù)符號為左正右負，x=-2是極大值;

在x=—1處八一1)=0,且其兩側(cè)導數(shù)符號為左負右正，x=—1是極小值;

在X=-3處/(2)=0,且其兩側(cè)導數(shù)符號為左正右負，x=2是極大值；

所以於)的極小值點的個數(shù)為1,

故選：A

【點睛】本題主要考查極值點的定義以及數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于基礎(chǔ)題.

4.(22-23高二上?河南許昌?期末)函數(shù)/(x)的導函數(shù)/(X)的圖象如圖所示，則()

A.%=1為函數(shù)/(到的零點

B.〃-3)是函數(shù)〃x)的最小值

C.函數(shù)〃x)在(1,3)上單調(diào)遞減

D.x=3為函數(shù)的極大值點

【答案】C

【分析】根據(jù)r(x)的圖象，得到函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，極值點和極值，以及零點的

概念，逐項判定，即可求解.

【解析】由/'(x)的圖象，可得：

當xe(-8,-3)時，r(x)<0,單調(diào)遞減；

當xe(-3,l)時，((x)>0,〃x)單調(diào)遞增;

當xe(l,3)時，/'(x)<0,單調(diào)遞減；

當xe(3,+s)時,r(x)>0,〃x)單調(diào)遞增，

A中，x=l是函數(shù)/(x)的一個極大值點，不一定是函數(shù)的零點，所以A不正確；

B中，〃-3)是函數(shù)/(x)一個極小值，不一定是函數(shù)/(x)的最小值，所以B錯誤;

C中，函數(shù)/(X)在(1,3)上單調(diào)遞減，所以C正確；

D中，x=3為函數(shù)〃無)的極小值點，所以D錯誤.

故選：C.

?題型02求已知函數(shù)的極值

5.(2024?黑龍江?模擬預測)已知函數(shù)=e^(aeR).

⑴當a=3時，求“X)在點(2,〃2))處的切線方程；

(2)討論/(x)的單調(diào)性，并求出/(x)的極小值.

【答案】⑴尸。

⑵在引單調(diào)遞減，在小，得心］和仁，單調(diào)遞增；0.

【分析】(1)欲求曲線在點(2,7(2))處的切線方程，只需求出斜率左=/'(2)和42)的值，利用直線的點斜

式方程求解切線的方程；

(2)利用函數(shù)/(x)的導數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可.

【解析】(1)當°=3時，/(X)=QX-3^e\

則小)=生2一■!》，，

所以斤=/(2)=0,

又知"2)=0,

所以〃x)在點(2/(2))處的切線方程為y=0.

「9/9、~|1

(2)因為/'(%)=-x2+\—-3a\x+a2-3aex=—(3x-26z)(3x-26z+6)ex,

令/'(x)=0,

2a2a-6

W\x=—^x=--一,

33

所以當時，r(x)<0,

當或x>苛時,rw>o.

綜上，/(x)在(出1，子［上單調(diào)遞減，在18,，^和上單調(diào)遞增;

所以〃X)極小值

6.(23-24高二下?湖南?期中)已知函數(shù)/(x)=(x+a)ln|x|(aeR)為奇函數(shù).

⑴求。的值；

(2)當x>0時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

【答案】(1)。=。

(2)答案見解析

【分析】(1)由已知結(jié)合奇函數(shù)的定義即可求解；

(2)先化簡/(無)的解析式，對其求導，結(jié)合導函數(shù)與單調(diào)性及極值的關(guān)系即可求解.

【解析】⑴定義域：S，O)U(O,+⑼.

由己知：函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，所以知(一x)=—/(x),

gp(-x+(2)ln|-x|=一(x+Q)ln國，解得a=0.

⑵由⑴得：/(x)=xln|x|=]，(。：<0,

xlwc,x>0

當x>0時，因為/(x)=xlnx,所以/[x)=lnx+l.

令廣(x)=0,解得x=L

e

/'(x)J(X)變化情況如下表：

￡

X

e

/'(X)-0+

“X)單調(diào)遞減極小值-,單調(diào)遞增

e

所以/(X)在［o，：］上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

因此/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為1：,，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，：]，

當尤=L時，/(X)有極小值，并且極小值為/口)=-』，無極大值.

ekeye

?題型03根據(jù)極值求參數(shù)

7.(22-23高二下?北京?期中)若函數(shù)/(幻="3_3/+、+1恰好有兩個極值，則實數(shù)。的取值范圍是

()

A.(-<?,3)B.(-<?,3]C.(-oo,0)u(0,3]D.(-℃,0)U(0,3)

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，利用函數(shù)/(x)恰好有兩個極值，說明導函數(shù)有兩個不同的零點，從而求出。

的取值范圍.

【解析】因為，(無)=ax3-3/+無+1,所以/''(X)=Bax?-6x+1,

由函數(shù)/(x)恰好有兩個極值，得/'(x)=3a?_6x+l有兩個不相等的零點，

故方程Sax?-6x+l=0有兩個不相等的實根，

貝！Ja*0,JELA=(―6)2—4x3ax1=36—12a>0,解得。<0或0<a<3,

所以實數(shù)a的取值范圍是(-8,0)U(0,3).

故選：D.

InY

8.(2023?貴州遵義?三模)已知函數(shù)〃無)=依+丁+1在無=1處取得極值0,貝|a+b=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)極值點的意義，列式求解.

【解析】尸(x)=a+3，

bx

/⑴=a+l=0

有1八，得。=T,6=1,

所以a+b=0.

故選：B

9.(21-22高三下?廣西?階段練習)已知函數(shù)/")=達詈在其定義域的一個子區(qū)間(e,e?)上有極值，則實

數(shù)a的取值范圍是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(0,2)

【答案】A

【分析】求導函數(shù)，分析導函數(shù)的符號，得出原函數(shù)的單調(diào)性和極值，由已知建立不等式，求解即可.

【解析】解：-(x)=lT?-a,令尸(x)=0,即l-lnx-a=O,解得x=e1,且0<x<e~,/'(x)>0；

x>e~,/'(x)<0,

(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e?,+s)上單調(diào)遞減，

."(x)有極大值/(/")=%+丁齊,

???e<e1-a<e2，

-1<?<0,

故選：A.

?題型04函數(shù)(導函數(shù))圖像與極值的關(guān)系

10.(23-24高二下?江西贛州?階段練習)已知函數(shù)/(x)的導函數(shù)/''(X)的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的

是()

斗

A.函數(shù)/''(x)在(6,c)上單調(diào)遞增B.函數(shù)/(x)至少有2個極值點

C.函數(shù)〃x)在(a,e)上單調(diào)遞減D.函數(shù)〃x)在x=c處取得極大值

【答案】D

【分析】根據(jù)/'(X)的圖象判斷其符號，進而可知/(x)的單調(diào)性和極值，結(jié)合選項分析判斷即可.

【解析】由/''(X)的圖象可知：當無<?；騲>e時，r(x)>0；當a<x<e時，/(%)<0;

可知/(x)在(-8,。)，3+功上單調(diào)遞增，在(a,e)上單調(diào)遞減，

則函數(shù)/(x)有且僅有兩個極值點a,e,

結(jié)合選項可知：ABC正確；D錯誤；

故選：D.

11.(23-24高二下?四川廣元?期中)函數(shù)J=/(x)(xN-3)的導函數(shù)/'(X)的圖象如圖所示，則下列判斷中正

確的是()

A.在(-3,0)上單調(diào)遞減B./⑴在(-U)上單調(diào)遞減

C./(x)在(2,4)上存在極小值點D.，(x)在［-3,+co)上有最大值

【答案】B

【分析】結(jié)合導數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系，以及題圖即可得解.

【解析】xe(-3,-1)時，r(x)>0,xe(-l,0)時，/'(x)<0,故/⑴在(-3,0)上不單調(diào)，A選項錯誤；

xe(T,l)時，r(x)<0,故f(x)在上單調(diào)遞減,B選項正確;

xe(2,4)時，/,(x)<0,故/⑴在(2,4)上單調(diào)遞減，無極值點，C選項不正確；

xe(4,+s)時，r(x)>0,/(尤)在(4,+功上單調(diào)遞增,雖然確定了的單調(diào)性，但沒有/(x)的解析式,

故無法確定/'(x)在［-3,+s)上是否有最大值，D選項不正確.

故選：B.

?題型05由導數(shù)求函數(shù)的最值

12.(23-24高二下?四川成都?期中)己知函數(shù)=g(x)=x+l,若/(xj=g(x?),則占-29

的最小值為()

A.5-2ln2B.3+21n2C.e+1D.e2-4

【答案】A

【分析】由題意，設(shè)/'3)=g(X2)=/，則玉-2%=1-2"3=砧)，利用導數(shù)討論函數(shù)設(shè)t)的性質(zhì)求出距溫

即可.

【解析】設(shè)/(X］)=g(x2)=t,貝1］玉=3+1,%=-1,

以&—2%2=e'+1—2/+2=e'—2/+3,

令牝)=e'-2t+3,則〃⑺=e'-2,

令”0)<0n/<ln2,函數(shù)以。單調(diào)遞減，

令"⑺>0nf>ln2,函數(shù)以。單調(diào)遞增，

所以〃。）而"=如n2）=eln2-21n2+3=5-21n2,

即無i-2無2的最小值為5-2In2.

故選：A

13.（2024?江西鷹潭?二模）已知函數(shù)〃x）=/,xe（0,+oo）,則下列命題不正確的是（）

A.有且只有一個極值點B.在上單調(diào)遞增

11

C.存在實數(shù)ae（0,+co）,使得〃a）=—D.有最小值工

eee

【答案】C

【分析】由條件可得函數(shù)z=xlnx可以看作為函數(shù)z=lny與函數(shù)>=的復合函數(shù)，然后求導判斷其單調(diào)

性與極值，即可得到結(jié)果.

【解析】由〉=X，得lny=xlnx,令z=xlnx,

則函數(shù)z=xln尤可以看作為函數(shù)z=lny與函數(shù)了=/的復合函數(shù)，

因為z=lny為增函數(shù)，所以2=兄!^與了=工，單調(diào)性、圖象變換等基本一致，z'=hu+l,

由，=0得x=L,列表如下：

j_2

X

e

zr—0+

Ze

由表知，z=xlnx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

在x=，時，取得極小值（最小值）」，

ee

所以/（x）=x“在］上單調(diào)遞增，即B正確；

111

在工=-時，取得唯一極值（極小值，也是最小值）ee>-,即A、D都正確，C錯誤.

ee

故選：C

14.（23-24高二下?北京海淀?期中）關(guān)于函數(shù)/（x）=（2x-Me，，下列結(jié)論錯誤的是（）

A.〃x)>0的解集是{x[0<x<2}B.〃-亞）是極小值，/（行）是極大值

C.7(x)沒有最小值，也沒有最大值D./(X)有最大值，沒有最小值

【答案】C

【分析】解不等式判斷A；利用導數(shù)探討函數(shù)/(幻的極值、最值判斷BCD.

【解析】函數(shù)/。)=(2》-龍2河的定義域為R,

對于A,/(x)>0o2x-x2>0,解得0<x<2,即>0的解集是{x10<x<2},A正確；

對于BCD,/'(x)=(2-x2)e\當無<一行或x>a時，/'(x)<0,當一行<x<應時，f'(x)>0,

則函數(shù)f(x)在(-oo,-V2),(&,+8)上單調(diào)遞減，在(-V2,收)上單調(diào)遞增,

因此/?(-行)是極小值，〃也)是極大值，B正確；

顯然當x<0時，/(x)<0恒成立，當x>3時，2x-/<-3,(2x-x2)eJ<-3e\

而當x>3時，函數(shù)y=-3e"的值域為(-oo,-3e3),而八及)=2(&-1卜返>0,因此/(x)有最大值/■(亞卜

沒有最小值，C錯誤，D正確.

故選：C

?題型06已知函數(shù)最值求參數(shù)

15.(23-24高二下?四川內(nèi)江?階段練習)已知/(x)=；x3-x在區(qū)間(加,6一加2)上有最小值，則實數(shù)加的取值

范圍是()

A.^—oo，V5jB.V5,ljC.[-2，V^)D.卜2,1)

【答案】D

YYI<]<6—加2

【分析】求得/'(x)=/-l,得出函數(shù)/(X)的單調(diào)性，結(jié)合題意，得到、、，/八，即可求解.

【解析】由函數(shù)〃x)=$3-x,可得r(x)=f-l=(x+l)(x-D，

當尤<T時,r(x)>o,/(X)單調(diào)遞增；

當T<X<1時,/，(x)<0,〃x)單調(diào)遞減；

當x>l時，r(x)>0,單調(diào)遞增，

要使得函數(shù)J=/(x)在區(qū)間(機,6-加)上有最小值,

—y/5<m<1

m<\<6-m2

則滿足＜即《132>

/(?7)>/(l)—m—m>——

133

12

因為§加,—加2—］，PJW/w3-3m+2>0,HP(m—I)2(x+2)>0,解得機2,

所以-2W加＜1,即實數(shù)機的取值為『2,1）.

故選：D.

16.（23-24高二下?四川遂寧?階段練習）若函數(shù)〃村=（》-3道+；--2彳+1在區(qū)間（2加-2,3+加）上存在最

值，則加的取值范圍是（）

A.m<-\B.m>2C.-1<m<2D.掰＜一1或加＞2

【答案】c

【分析】借助導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性即可得其在何處取得最值，即可得解.

【解析】/'(x)=(x-2)e，+x-2=(x-2乂e，+l),

貝U當x＞2時，r（x）＞0,當x＜2時，r（x）＜o,

即在（-嗎2）上單調(diào)遞減，在（2,+“）上單調(diào)遞增,

即/（無）在x=2處取得最值，則有2加-2＜2＜3+"，

解得一1＜加＜2.

故選：C.

/、\x-2a,x＜0/、/、/、

17.（23-24高二下?湖北武漢?階段練習）設(shè)函數(shù)〃無）=,若/（%）=/伉）（玉＜切，且29-西

Ilux,x＞U

的最小值為ln2,則。的值為（）

A.卜B,山:亞）c出（出后）D.￡

2222

【答案】B

【分析】作出/（x）的大致圖象，令/（xj=/（x2）=f,結(jié)合圖象得到f的范圍，再將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于/的表

達式，構(gòu)造函數(shù)g（t）=2e'T-2a,利用導數(shù)即可得解.

.,c/、\x-2a,x＜0/、

【解析】因為〃X）=刷;＞0，作出〃X）的大致圖象，如圖,

令，（演）=/（々）=/,由圖象可得te（—oo,-2a],

因為王<X2，所以再一2a=/,lnx2=/,即%=f+2。,々=e'，

l

則2X2-x1=2e-t-2a,

令g（%）=2e'-f-2a,t<-2a,

則g'?）=2e'-l,令g'?）=0,解得t=-ln2,

當-2aV-ln2,即殍時，Z<-ln2,貝|g'（f）40,g（。單調(diào)遞減，

則g⑺疝n=g（-2"）=2e-2"=ln2,解得。=_上?0,符合；

，2

1c

當-2a>-In2,即a<——時，

2

當t<-ln2時，g'（f）<0；當一1112Vt<-2a時，g'?）>0；

故g（。在（-叫-ln2）單調(diào)遞減，在（Tn2,-2a）單調(diào)遞增，

則g（/L=g（Tn2）=l+ln2_2a=ln2,解得a=g,不符合；

綜上，

2

故選：B.

【點睛】方法點睛：本題考查雙變量問題的函數(shù)與方程的應用，解決這種題的常見方法是利用換元法將變

量轉(zhuǎn)化為只有1個變量，注意利用數(shù)形結(jié)合考慮變量的取值范圍.

?題型07根據(jù)極值點求參數(shù)

18.（23-24高二上?江蘇鹽城?期末）已知函數(shù)外力的導函數(shù)/'（。=（*-。（》+函1。）,若x=l是函數(shù)

的極大值點，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.(-8,1)B.(1,+(?)

C.(-05,1］D.［l,+oo)

【答案】B

【分析】分析得導函數(shù)必有2個零點，并且1必為小的零點，據(jù)此列不等式求解.

［解析］令r(x)=(xT)(x+lnx_a)=0,則x=］或x+ltu-a=0,

明顯函數(shù)>=x+lnx在(0,+s)上單調(diào)遞增，且值域為R,

所以方程x+lnx-a=0必有根，設(shè)為：J>0,

即/'(x)=(x-l)(x+lnx-a)=O的木艮為x=l或x=f,

又x=l是函數(shù)/(x)的極大值點，

則函數(shù)/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，(1,上單調(diào)遞減，(,+8)上單調(diào)遞增,

即方>1,所以l+lnl-a<0,得a〉l.

故選：B.

19.(23-24高三上?河南南陽?期末)若函數(shù)/(x)=e，-ox?一x有兩個不同的極值點，則實數(shù)0的取值范圍為

()

A.(-<?,0)U(0,+oo)B.(0,+oo)

C.mg+jD.(0,l)U(l+co)

【答案】c

【分析】轉(zhuǎn)化為/'("=砂一2"-1有兩個變號零點，令力(x)=e*-2ax-l,求導，分aW0和。>0兩種情況，

得到其單調(diào)性，極值和最值情況，從而得到不等式2a-2aln2叱l<0,再構(gòu)造函數(shù)g(a)=2a-2aln2a-1,

求導得到其單調(diào)性，極值最值情況，求出答案.

【解析】由題意得/'(耳=二-2辦-1有兩個變號零點，

令"x)=e，-2ax-1,定義域為R,

貝lj=ex-2a,

當a?0時，％'("〉0恒成立，“X)在R上單調(diào)遞增，不會有兩個零點，舍去，

當〃〉0時，令/(%)〉。得，x>\n2af令〃'(x)<0得，x<\n2af

所以MH在(-8,In2a)上單調(diào)遞減，在(In22+8)上單調(diào)遞增,

故〃(X)在％=In2a處取得極小值，也是最小值，

貝|J<0,BP2(7-2(2In2tz-1<0,

令g(Q)=2a-2aln2a-l,Q〉0,貝！Jg'(〃)=2-21n2〃-2=-21n2〃，

令g1a)>0得令g<a)<0得a>；,

g(a)在(0,￡|上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

故g(a)=2a-2aIn2a-1在。=；處取得極大值，也是最大值，

又g［；］=0,故2a-2011120—1<0的解集為10,；111(；,+<?1，

此時當無趨向于負無窮時，〃(必趨向于正無窮，

當x趨向于正無窮時，〃(可趨向于正無窮，

滿足Mx)=e*-2ax-l有2個變號零點.

故選：C

【點睛】結(jié)論點睛：導函數(shù)處理零點個數(shù)問題，由于涉及多類問題特征(包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值

符號，隱零點的探索、參數(shù)的分類討論等)，需要學生對多種基本方法，基本思想，基本既能進行整合，注

意思路是通過極值的正負和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點個數(shù)，較為復雜和綜合的函數(shù)零

點個數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進行分類討論，分類的標準，及分類是否全面，

都是需要思考的地方

20.(22-23高三下?江西贛州?階段練習)已知函數(shù)〃x)=2e工-"2+2存在兩個極值點玉玉<%),則以

下結(jié)論正確的為()

A.0<Q<eB.0<^1<x2<1

C.若馬=2再，則a=21n2D.1叫+馬〉。

【答案】D

【分析】由題可得方程a=J有兩個不相等的實數(shù)根再,馬(再<￡),構(gòu)造函數(shù)g(x)=三，利用導數(shù)研究函數(shù)

XX

的性質(zhì)畫出函數(shù)的大致圖象，然后結(jié)合條件逐項分析即得.

【解析】函數(shù)/(x)的定義域為R,求導得r(x)=2e-2G,由r(x)=O,得/-◎=(),顯然x*0,

由函數(shù)/(x)=2e，-辦2+2存在兩個極值點再,3(再<%),得方程e-ax=0,即a=1兩個不相等的實數(shù)根

X

于是函數(shù)g(x)=《的圖象與直線V=a有兩個交點，且橫坐標分別為和％(再<工2)，

X

求導得g'(x)=《F，由g'(x)<0得xe(-叫O)U(O,l),由g'(x)>0得xe(l,+co),

因此函數(shù)g(x)在(一叼0),(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增，且當x<0時，g(x)<0,當x>0時，

g(x)>0,

對于A,要使函數(shù)〃力=2/-0?+2存在兩個極值點為玉,血(西<工2),貝I]a>g6=e,A錯誤;

對于B,當a>e時，由函數(shù)g(x)的圖象知，0<%,<l<x2,B錯誤;

e^2

對于C,若％=2X],貝！]a=—=—=——,得X]=ln2,則ci-----—,c錯誤;

X]x22xlIn2In2

e皆eg

X2X1

對于D,由一=—，XXQ=x2e,又0＜玉＜1,則e*'＞l,x2＞l,有＞1,即石戶＞1,因此

X]x2

liUj+x2＞0,D正確.

故選：D

【點睛】函數(shù)由極值、極值點求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：

1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)極值或極值點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從/(x)

中分離參數(shù)，然后利用求導的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,

再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；

2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)極值或極值點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標準，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的

參數(shù)的各個小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.

?題型08由導數(shù)求函數(shù)的最大值(含參)

21.(23-24高二下?海南省直轄縣級單位?階段練習)已知函數(shù)〃x)="2-g+2)x+lnx,其中aeR.

(1)當a=-l時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

⑵當。>0時,函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［l,e］上的最小值〃(冷.

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,；),單調(diào)遞減區(qū)間為+8

~2,Q21

I1111

(2"(。)=,-Ina------l,—<a<l

ae

1+etc2-(〃+2)e,0<aW-

【分析】(l)當a=-l時，求尸(x),令((x)>0,r(x)<0,求解即可；

(2)先求/'(x),令/'(x)=0,在定義域［l,e］內(nèi)解得x=L討論。的取值范圍，通過判斷函數(shù)〃x)在［l,e］

a

的單調(diào)性，即可求得最小值.

【解析】(I)當a=-l時，f(x)=-x2-x+lnx,xe(0,+oo),

((x)—+L2fx+l=(2x+l)(x+l),

XXX

因為x>0,x+l>0,

所以當/'(x)>0時，解得0<x<g,

當/'(x)<0時，解得x>),

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為13,+8)

(2)函數(shù)y=/(x)的定義域為

f(x)=2ax-(a+2)+-=2辦2-("+2)x+l=(")(2xf,0《(0,十孫

令/V)=0,得％=工或x(舍)，

a2

當0<—Wl,即時，

a

當x?l,e］時，r(x)>0,則〃x)在［l,e］上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)7=4X)在區(qū)間［l,e］上的最小值為/⑴=-2,

當l<』<e,即1<a<l時，

ae

當xe1,￡|時，則〃x)在1,：)上單調(diào)遞減，

當xe\,e時，r(x)>0,/(x)在H，e上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)7=/(x)在區(qū)間［舊上的最小值為=

當即0<aV』時，

ae

當xe［l,e］時，r(x)<0,則/(x)在［l,e］上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)J=/(x)在區(qū)間［l,e］上的最小值為〃e)=l+ae2-(a+2)e,

—2,aN1

綜上人(。)=，Tn”------

ae

1+UQ2-(〃+2)e,0<aW-

2

22.(2024?山西呂梁?二模)已知函數(shù)/(x)=a1wc-2x-—^a0).

⑴當。=1時，求“X)的單調(diào)區(qū)間和極值;

⑵求〃x)在區(qū)間(0,1］上的最大值.

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(0』，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+8),極大值為-3,沒有極小值;

-2-a2,Q>1

—2—q2,Q<—2

⑵小)皿=<a]na-3a,0<a<1

aln+3a,-2<q<0

【分析】(1)求出函數(shù)的導函數(shù)，再解關(guān)于導函數(shù)的不等式求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)求出函數(shù)的導函數(shù),(同=-("-")(產(chǎn)十"),再分。21、0<“<1、-2<。<0、。<-2四種情況討論,

得到函數(shù)“X)在區(qū)間(0,1］上的單調(diào)性，即可求出函數(shù)〃X)在區(qū)間(0,1］上的最大值.

【解析】(1)當°=1時，/(x)=lnx-2x--,xe(0,+oo),

-(2x+l)(x-l)

貝U/\x)=--2+4=~2%2tX+1

當0<x<l時，/'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,

當x>l時，/，(%)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減,

故函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0』，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+8),

函數(shù)/(x)的極大值為〃1)=-3,沒有極小值.

(2)由題意得子2+￡=一2/?一片

若當xe(O,l］時，r(x)>0,〃x)在區(qū)間(0,1］上單調(diào)遞增，

此時的最大值為/(1)=-2-/；

若0<°<1,當xw(O,a)時，/'(x)>0,單調(diào)遞增,

當時,r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

此時/(x)的最大值為/(a)="lna-3a；

若一2<a<0,貝當-時，/'(x)>0,單調(diào)遞增，

當時，r(x)<0,單調(diào)遞減，

此時/(X)的最大值為/'［?||=aln1|^+3a；

若aW-2,貝卜藍21,當xe(O,l］時，f\x)>0,/(x)在區(qū)間(0,1］上單調(diào)遞增,

此時/(x)的最大值為〃1)=-2-.

-2-/，。21

-2-/,Qv—2

綜上可得，“x/xa\na-3a,0<a<1

aln+3。,一2<Q<0

?題型09恒成立問題

23.(2024?山東煙臺?一模)已如曲線〃x)=ox2+x-21nx+b(a,6eR)在x=2處的切線與直線x+2y+1=0

垂直.

⑴求。的值；

⑵若/卜”0恒成立，求6的取值范圍.

【答案】(1)。=；

3

(2)62-5

【分析】(1)根據(jù)斜率關(guān)系，即可求導求解，

(2)求導判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值求解.

【解析】(1)由于x+2y+l=0的斜率為-/所以(⑵=2,

2?1

X/,(x)=2ax+l--,^/,(2)=4a+l--=2,解得

(2)由(1)知。=；,所以/，(x)=x+l-2=/+X-2=(X+2)(X-1),

故當X>1時，/'(x)>o,/(x)單調(diào)遞增，

當0<x<l時，/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減，

故當x=l時，/(x)取最小值/(1)=；+1+6,

13

要使/(x)ZO恒成立，故/⑴=5+1+620,解得62-天

故6的取值范圍為62-；

24.(2024?湖北?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=2-l其中。為常數(shù).

(1)過原點作/'(x)圖象的切線/,求直線/的方程；

(2)若丑€(0,+8),使〃X)4g⑺成立，求。的最小值.

【答案】(l)x-ey=0

【分析】(1)設(shè)切點，求導得出切線方程，代入原點，求出參數(shù)即得切線方程;

(2)由題意，將其等價轉(zhuǎn)化為aNx(lnx+l)在(0,+(?)有解，即只需求7z(x)=x(hu+l)在(0,+s)上的最小值,

利用導數(shù)分析推理即得。的最小值.

【解析】(1)r(x)=1,

設(shè)切點坐標為a1皿)，則切線方程為=,

因為切線經(jīng)過原點0,所以-lnf=l(v),解得f=e,

所以切線的斜率為工，所以/的方程為x-ey=0.

e

(2)3xe(O,+a?),/(x)<g(x),即Inxwq-l成立,

貝□得。2x(lnx+1)在(0,+8)有解，

故有xw(0,+8)時，a>\_x(\nx+-

令/z(x)=x(lnx+l),%>0,h'^x)=lnx+2,

令/z'(x)〉0得X￡(―,+oo);令〃'(x)<0得X￡(0,/),

故〃(x)在單調(diào)遞減，［：,+，!單調(diào)遞增，

所以，"?=4|=一：，

則--T,故。的最小值為--y.

ee

?題型10零點問題

25.(23-24高三下?安徽蕪湖?階段練習)已知函數(shù)/(x)=e"-2x-cosx.

(1)討論函數(shù)8(%)=/(%)+85工的單調(diào)性；

⑵求函數(shù)在上的零點個數(shù).

【答案】(1)答案見解析

(2)2

【分析】(1)求導得到g'(x)=e*-2(xeR),令gG)<O,g，(x)>。即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求導得到/'(x)=e，+sinx-2,因無法輕易求得/'(x)=0的解，故根據(jù)導函數(shù)的性質(zhì)將x的取值范圍分

為(一宗0)、[0,自、(多+動三段分別討論，結(jié)合零點的存在性定理即可求解零點個數(shù).

【解析】(1)"gW=/(^)+cosx=e':-2x,故無)=e=2(xeR),

令g'(x)<0=>x<In2,g'(x)>0=>x>ln2,

所以g(x)在(-叫In2)上單調(diào)遞減，在(ln2,+對上單調(diào)遞增；

(2)因為/(x)=e*—2x—cosx,xe1—5,+ao],

則f\x)=ex+sinx-2.

①當xe15。,寸，因為/''(x)=(e*-l)+(sinx-l)<0,

所以/(x)在上單調(diào)遞減.所以〃x)>〃0)=0.

所以/(x)在(go)上無零點.

②當xe0微時，因為/‘(X)單調(diào)遞增，且/'⑼=-1<0,/(3=出-1>0,

所以存在/?。，，使/'伉)=0.

當xe[O,x())時，f\x)<0；當時，f\x)>0.

所以/(x)在[0,*上單調(diào)遞減，在卜仁上單調(diào)遞增，且/(O)=O.

■JT

所以設(shè)，(x)=e，-2x,xe0,-,

由(1)知”x)在(0,In2)上單調(diào)遞減，在(in2,j上單調(diào)遞增.

所以〃(力皿小理地尸？一21n2>0.

所以=0一萬>0，得/|^)=一一兀>0.

所以所以〃x)在卜,胃上存在一個零點.

所以在有2個零點.

(兀、—

③當x￡,+8J時，=e"+sinx-2>-—3>0,

所以〃X)在上單調(diào)遞增.因為/(3>0,所以/(X)在上無零點.

綜上所述，〃x)在，上的零點個數(shù)為2.

【點睛】方法點睛：處理有關(guān)三角函數(shù)與導數(shù)綜合問題的主要手段有:

(1)分段處理：利用三角函數(shù)的有界性與各不同區(qū)間的值域分段判斷導函數(shù)符號；

(2)高階導數(shù)的應用：討論端點(特殊點)與單調(diào)性的關(guān)系，注意高階導數(shù)的應用，能清楚判斷所討論區(qū)

間的單調(diào)性是關(guān)鍵；

(3)關(guān)注三角函數(shù)的有界性與常用不等式放縮.

26.(22-23高二下?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中)已知函數(shù)="

⑴函數(shù)/(x)在(2,〃2))處的切線與x軸平行，求a的值；

(2)若函數(shù)V=/(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

【答案】⑴。=1

(2)0<Q<—

【分析】(1)求出導數(shù)代入得/''(2)=0即可求出。值;

(2)首先排除的情況，在。>0時，根據(jù)/(x)max=lnL-l>0,解出范圍，再利用零點存在性定理證明

a

此時有兩個零點.

aX+a+}

【解析】(1)f\x)=^--a=~,則由題意得廣(2)=4T-a=0,

x—1x—12—1

解得a=1.

(2)〃x)定義域為(1,+s),f(x)=~aX+a+1,

X—1

令/'(x)=0,解得：X=—=1+-,

aa

當"。時，/'(x)>0在(1,+8)上恒成立，在(1,+8)上單調(diào)遞增；

則至多有一個零點，不符合題意；

當a>0時，若時，/'(x)>0；若時，/，(x)<0；

在卜上單調(diào)遞增，在1—，+"］上單調(diào)遞減；

若有兩個零點，則/(x)1mx=/11+」=111工-1>0,解得0<a<L

yaJae

因為/(2)=-"0,且2€1,1+十)，由零點存在定理可知，

存在玉+使得〃再)=0,

又因為/l+4]=-21na-L設(shè)8(°)=-21110」,(0<0<與，

Va)aa\eJ

因為g'(a)=g>0,所以g(。)在[0,：)單調(diào)遞增，

故g⑷<g]]=2-e<0,即/，+*[<(),

因為1+1>1+L由零點存在定理可知，存在超/1+匕1+4],使得/仁)=0.

aayaaJ

綜上可得〃的取值范圍是,,：[

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用/(Omax〉。，解出。的范圍，再利用零點存在性定義證明此

時滿足題意即可.

?題型11導數(shù)的綜合應用

27.(2024?江蘇?二模)已知函數(shù)/'(x)=^——-+aInx(aGR).

⑴當a=0時,證明：/?>1；

(2)若/(x)在區(qū)間(1,+◎上有且只有一個極值點，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

⑵ST)

【分析】(1)因為函數(shù)的定義域為(0,+8),當。=0時，f(x)=—,將問題轉(zhuǎn)化為當X>O時，e*>x+l,

X

構(gòu)造函數(shù)p{x}=e-x-\,利用導數(shù)研究o(x)的值域即可證明；

(2)求導八幻」.《-1把'+1+0,令g(x)=(xT)e'+l+a(x>i),再求導父㈤，利用放縮可知

XXX

g'(x)>0,得到g(x)在(1,+s)單調(diào)遞增，g(x)>g⑴=1+。，分類討論和。<-1時g(x)的正負，從而

確定是否有極值點以及極值點的個數(shù).

【解析】(1)因為函數(shù)的定義域為(0,+8),當。=0時，/(x)=1.

X

要證只需證：當x>0時，e%>x+1.

令P(x)=-x-1,貝!Jp\x)=ex-1>0,

則p(x)在X￡(0,+8)單調(diào)遞增，

所以。(%)＞。(0)=0,即e、＞x+L

XXXX

令g(x)=('T)e+1+a(x>1)，

x

則g，(x)J，—：+1)T〉，-X：1)T=二〉0.

XXX

所以g(x)在(1,+s)單調(diào)遞增，g(x)>g⑴=1+。，

①a2-1時，g(x)>g(l)=l+a'>0,f'(x)>0.

則/(X)在(l,+8)為增函數(shù)，/(X)在(1,+8)上無極值點，矛盾.

②當時，g(D=l+a<0.由(1)知，ex>x+l>x>

8(幻=史上上+“>止里+〃>巨二如+〃=工_1+〃，則g(l一0)>0,則大。e(1,1-a)使g(x。)=0.

XXX

當xe(l,x。)時，g(x)<0,r(x)<0,則/(x)在(1,%)上單調(diào)遞減;

當xe(xo，+a>)時，g(x)>0,f\x)>0,則/(x)在(%,+oo)上單調(diào)遞增.

因此，/(x)在區(qū)間(1,+◎上恰有一個極值點，

所以。的取值范圍為

【點睛】方法點睛：利用導數(shù)求解參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：

1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，再通過解不等式(組)確定參數(shù)的取值范圍

2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

3、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

28.(2024?黑龍江齊齊哈爾?三模)已知函數(shù)"X)="sm":6cosx(0)xw初°>o,x=?為/⑴的極值點.

(1)求a-ln6的最小值；

(2)若關(guān)于x的方程〃x)=l有且僅有兩個實數(shù)解，求。的取值范圍.

【答案】(1)1

⑵e，<a4e"

【分析】(1)求出導函數(shù)，根據(jù)極值點的定義可得。-6=0,代入a-ln6,構(gòu)造函數(shù)，利用導函數(shù)判斷單調(diào)

性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可

(2)由〃x)=l,然后分離參數(shù)得sm”;c°sx=L,設(shè)g)=sm二cosx,求出單調(diào)區(qū)間以外和極值即可

eae

【俄析】(1)