北師大版中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：圓的最值模型之阿氏圓模型（含答案及解析）

因的最值模型之阿氏圓模型

一、模型說明

背景故事：“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點，點P滿足PA：PB=k（k，l）,則

滿足條件的所有的點P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓.這個軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿

氏圓”.

模型建立：當點P在一個以。為圓心，r為半徑的圓上運動時，如圖所示:

pACiArpA4c

易證：ABOP^APOA,-=778，:?對于圓上任意一點P都有石石=萬方=k.

PHrOBPB

對于任意一個圓，任意一個k的值，我們可以在任意一條直徑所在直線上，在同側(cè)適當?shù)奈恢眠x取A、B點,

則需=k

rOB

【技巧總結(jié)】計算+的最小值時，利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似三角形

問題：在圓上找一點P使得+的值最小，解決步驟具體如下：

①如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點與圓心相連即OP,0B

0P

②計算出這兩條線段的長度比—^k

0B

OCPC

③在OB上取一點C,使得上二=3即構(gòu)造APOMsABOP,則,=鼠PC=k?PB

OPPB

④則++當A、P、C三點共線時可得最小值

二、例題精講

例1.如圖1,在R72U2C中，^ACB=90Q,CB=4,CA=6,圓C的半徑為2,點尸為圓上一動點，連接

①/尸+；液,

②24P+BP,

③9尸+8P,

④AP+35尸的最/］、值.

例2.如圖，正方形48CD的邊長為4,08的半徑為2,尸為。3上的動點，則收。一池的最大值是

例3.如圖，在邊長為4的正方形/3CD內(nèi)有一動點尸，且連接CP,將線段尸C繞點尸逆時針

旋轉(zhuǎn)90。得到線段尸0.連接CQ、DQ,則的最小值為一

例4.如圖，Rt^ABC,乙4c8=90。，AC=BC=2,以C為頂點的正方形CD斯(C、D、E、尸四個頂點按

逆時針方向排列)可以繞點。自由轉(zhuǎn)動，且CD=0,連接/尸，BD

(1)求證：^BDC=^AFC

(2)當正方形CZ)E尸有頂點在線段上時，直接寫出HD+或的值;

2

(3)直接寫出正方形CD斯旋轉(zhuǎn)過程中，的最小值.

2

例5.如圖，拋物線了=依2+樂+。與x軸交于/(石，0),B兩點(點3在點A的左側(cè))，與7軸交于點C,

且OB=3OA=6OC，/CMC的平分線4D交7軸于點。，過點A且垂直于4D的直線/交V軸于點E,點尸

是x軸下方拋物線上的一個動點，過點尸作尸尸lx軸，垂足為尸，交直線AD于點

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)點尸的橫坐標為加，當尸77=小時，求加的值；

(3)當直線尸尸為拋物線的對稱軸時，以點77為圓心，,HC為半徑作。〃，點。為?！ㄉ系囊粋€動點，

2

求+的最小值.

【變式訓(xùn)練1].如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為。。，P是。。上一動點，則④山+尸8的最小值

為.

【變式訓(xùn)練2】.如圖，已知正方相。的邊長為6,圓8的半徑為3,點P是圓8上的一個動點，則尸叫尸C

的最大值為.

【變式訓(xùn)練3】.問題提出：如圖①，在Rt^ABC中，NC=90°，CB=4,CA=6,OC的半徑為2,P為

圓上一動點，連接AP、BP,求4P+28P的最小值.

(1)嘗試解決:為了解決這個問題，下面給出一種解題思路:如圖①,連接CP,在CB上取一點D,使CZ)=1,

CDCP1PDCD1

貝1」上上=上二=_1.又"CD=/BCP,所以/CD?ABCP.所以*=*=

CPCB2BPCP2

所以尸D=J尸8,所以+

22

請你完成余下的思考，并直接寫出答案：/尸+13尸的最小值為;

(2)自主探索：在"問題提出"的條件不變的前提下，求:4尸+8尸的最小值；

(3)拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，/COD=90。，0C=6,OA=3,05=5,P是c。上一點，

求2尸/+尸8的最小值.

【變式訓(xùn)練4].如圖1,在平面直角坐標系中，直線y=-5x+5與x軸，y軸分別交于A,C兩點，拋物線

y=x?+bx+c經(jīng)過A,C兩點，與x軸的另一交點為B

(1)求拋物線解析式及B點坐標；

(2)若點M為X軸下方拋物線上一動點，連接MA、MB、BC,當點M運動到某一位置時，四邊形AMBC

面積最大，求此時點M的坐標及四邊形AMBC的面積；

(3)如圖2,若P點是半徑為2的OB上一動點，連接PC、PA,當點P運動到某一位置時，PC+gpA的值

最小，請求出這個最小值，并說明理由.

三、課后訓(xùn)練

1.如圖，在MA4BC中，41C3=9O。，CB=7,AC=9,以C為圓心、3為半徑作OC,P為OC上一動點,

連接/P、BP,則;NP+2P的最小值為()

A.7B-5血C.4+V10D.2而

2.如圖所示，ZACB=60°,半徑為2的圓O內(nèi)切于-4C3.尸為圓。上一動點，過點P作尸70、PN分別

垂直于/ACB的兩邊，垂足為M、N,則尸M+2PN的取值范圍為.

3.如圖，在。。中，點/、點8在。O上，ZAOB=90°,04=6,點C在ON上，且OC=2/C,點。是

的中點，點M是劣弧48上的動點，則CM+2OM的最小值為.

4.如圖，在“8C中，ZB=90°,AB=CB=2,以點2為圓心作圓8與NC相切，點P為圓2上任一動點,

則尸工+正尸。的最小值是.

2

5.如圖，在AABC中，乙4c2=90。，BC=12,AC=9,以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D連接

BD、CD,則2AD+32D的最小值是.

ID

B

6.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,OB的半徑為2,點P是。B上的一個動點，則PD-gPC的最大

值為—.

7.如圖，在RtA48c中，AB=AC=4,點E,尸分別是48,/C的中點，點尸是扇形/￡尸的"上任意一

點，連接AP,CP,則的最小值是.

8.如圖，點/、2在。。上，且。4=02=6,且。點C是。/的中點，點。在03上，且。。=4,

動點尸在。。上.求2PC+PO的最小值.

9.已知ACDE與“8C有公共頂點C,ACDE為等邊三角形，在AZBC中，ABAC=120°.

(1)如圖1,當點￡與點8重合時，連接/。，已知四邊形/ADC的面積為2#,求/B+/C的值；

(2)如圖2,AB=AC,A,E、。三點共線，連接4￡、BE,取5E中點M,連接4W,求證：AD=2AM；

(3)如圖3,AB=AC=4,CE=2,將ACDE以。為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，取中點尸，當AF+走/廠的值最小

4

時，求tanN/8尸的值.

因的最值模型之阿氏圓模型

一、模型說明

背景故事：“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點，點P滿足PA：PB=k（k，l）,則

滿足條件的所有的點P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓.這個軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿

氏圓”.

模型建立：當點P在一個以。為圓心，r為半徑的圓上運動時，如圖所示:

pACiArpA4c

易證：ABOP^APOA,-=778，:?對于圓上任意一點P都有石石=萬方=k.

PHrOBPB

對于任意一個圓，任意一個k的值，我們可以在任意一條直徑所在直線上，在同側(cè)適當?shù)奈恢眠x取A、B點,

則需=k

rOB

【技巧總結(jié)】計算+的最小值時，利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似三角形

問題：在圓上找一點P使得+的值最小，解決步驟具體如下:

①如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點與圓心相連即OP,0B

②計算出這兩條線段的長度比—=k

0B

OCPC

③在OB上取一點C,使得上二=3即構(gòu)造APOMsABOP,則,=鼠PC=k?PB

OPPB

④則++當A、P、C三點共線時可得最小值

二、例題精講

例1.如圖1,在尺7及45c中，^ACB=90°,CB=4,CA=6,圓C的半徑為2,點尸為圓上一動點，連接

AP,BP,求：

②2AP+BP,

④AP+35P的最小值.

2西

【答案】①,37；@2737.③?。虎?折.

【分析】①在CB上取點D,使。=1,連接CP、DP、AD.根據(jù)作圖結(jié)合題意易證AOCP~APC8,即可得

PD=-BPAP+-BP=AP+PD

出2，從而推出2，說明當A、P、D三點共線時，月尸+尸。最小，最小值即為

長.最后在MA/C。中，利用勾股定理求出AD的長即可；

2AP+BP=2(AP+-BP)

②由2,即可求出結(jié)果；

CE=—EP=-AP

③在CA上取點E,使3,連接CP、EP、BE.根據(jù)作圖結(jié)合題意易證AECP~APC4,即可得出3,

-AP+BP=EP+BP.一

從而推出3，說明當B、P、E三點共線時，EP+8P最小，最小值即為3E長.最后在

中，利用勾股定理求出BE的長即可；

AP+3BP=3(-AP+BP)

④由3,即可求出結(jié)果.

【詳解】解：①如圖，在CB上取點D,使8=1,連接CP、DP、AD.

VCD=1,CP=2,CB=4,

CDCP

...序—而

又/DCP=/PCB,

...GCPfPCB,

PD

PD=-BP

：.BP~2,即2

AP+-BP=AP+PD

2

???當A、P、D三點共線時，4P+PD最小,最小值即為4。長.

...在Rt^ACD中，AD=VAC2+CD2=,6、+12=A/37.

1+）的最小值為月

O2AP+BP=2（AP+：BP）

...2NP+BP的最小值為2x4=2月；

丁2

(r.—__

③如圖，在CA上取點E,使3,連接CP、EP、BE.

CE=—

...3,CP=2,CA=6,

CECP

：.~CP~CA~3.

又...NECP=APCA,

.sECPsPCA,

EP_1

EP=-AP

/.AP~3,即3

-AP+BP=EP+BP

-3

???當B、P、E三點共線時，EP+BP最小,最小值即為成長.

2A/37

BE=YJBC2+CE2

...在RtABCE中,3

國

-AP+BP2

.-.3的最小值為丁

AP+3BP^3(-AP+BP)

④3

3x^1=2737

.?"+35P的最小值為3

【點睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.正確的作出輔助線，并且理解三

點共線時線段最短是解答本題的關(guān)鍵.

例2.如圖，正方形43co的邊長為4,06的半徑為2,尸為。8上的動點，則夜的最大值是.

【答案】2

【分析】解法1,如圖：以為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形△尸DM,連接吹，BD,連接9、DM,推

亞PC-PD=ePC--PD\=42{PC-PM)

得<2V,因為尸C-PMWMC,求出MC即可求出答案.

BMV2

解法2：如圖：連接8。、BP、PC,在池上做點使右一彳，連接兒根，證明在

BN_1__

8c上做點N,使而一2,連接雙尸，證明接著推導(dǎo)出0PC-如=2而W,最后證明

ABMN~4BCD,即可求解.

【詳解】解法1

如圖：以尸〃為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形△尸DM,連接MC,BD,

???四邊形"BCD正方形

里坨

NBDC=45°,DC

又APDM=NPDB+MDB,NBDC=ZMDB+MDC

：,ZPDB=ZMDC

吧=也=近

在ABPD與AMPC中,ZPDB=ZMDC,DCDM

：.ABPD~AMPC

...器=3

BP=2

:.MC=6

亞PC-PD=6PC-=yfi(PC-PM)

PC-PM<MC

.亞PC-PD=?1PC-PM)M垃MC=2

故答案為：2.

解法2：如圖：連接3D、BP、PC

根據(jù)題意正方形/BCD的邊長為4,OB的半徑為2

BP=2,BD=4BC2+CD2=^42+42=472

BP_2_y/2

...BD4724

BM_y[2夜

------......BAd-------

在助上做點M,使BP4,則2,連接MP

BPBM

在ABMP與△&尸。中，NMBP=NPBD,BDBP

：.ABMP~4BPD

PM_y[2

~PD4,則

BP_2_\

vSC-4-2

BN

在8c上做點N,使標—5,則BN=1,連接NP

在△BNP與△2PC中

BNBP

ZNBP=ZPBC,~BP~~PC

ABNP~ABPC

PN_1

~PC~2,則尸C=2PN

，如圖所示連接MW

.0PC-PD母x2PN-2丘PM=2皿PN-PM)

PN-PM<NM

.yf2PC-PD=242(PN-PM)<2yf2NM

在ABMN與/\BCD中

BM41BN_1_V2

ZNBM=ZDBC~BC一~4BD4728

BMBN

BCBD

.“BMN?ABCD

MN

：.~CD-r

CD=4

MN=—

2

242MN=2yf2x—=2

2

yf2PC-PD<25M=2

故答案為：2.

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形，勾股定理等知識，難度較大，熟悉以上知識點運用是解題

關(guān)鍵.

例3.如圖，在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)有一動點尸，且BP=&.連接CP,將線段PC繞點尸逆時針

旋轉(zhuǎn)90。得到線段尸Q.連接CQ、DQ,則的最小值為_.

【答案】5

理_=亙

【分析】連接AC、AQ,先證明ABCPsAACQ得3尸2即AQ=2,在AD上取AE=1,證明△QAE-ADAQ

得EQ=5QD,故5DQ+CQ=EQ+CQ2CE,求出CE即可.

【詳解】解：如圖，連接AC、AQ,

???四邊形ABCD是正方形，PC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PQ,

???4ACB=4PCQ=45°,

BCy/2=也

???4BCP=4ACQ,cos4ACB=AC2,cosZPCQ=QC2

.-.ZACB=ZPCO,

???△BCP?△ACQ,

AQ

BP2

?1?BP=V2,

??.AQ=2,

；.Q在以A為圓心，AQ為半徑的圓上,

在AD上取AE=1,

AE1AQ_1

???AQ2,AD2,NQAE=NDAQ,

*e?AQAE^ADAQ,

EQ1,

QD2即EQ=2QD,

：.2DQ+CQ=EQ+CQ>CE,

連接CE,

.CE=^DE2+CEr=5,

；.5DQ+CQ的最小值為5.

故答案為：5.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵

在于能夠連接AC、AQ,證明兩對相似三角形求解.

例4.如圖，RMABC,乙4c8=90。，AC=BC=2,以。為頂點的正方形CD斯（C、D、E、尸四個頂點按

逆時針方向排列）可以繞點。自由轉(zhuǎn)動，且CD=亞,連接/尸，BD

(2)當正方形CD斯有頂點在線段上時，直接寫出。0+立40的值；

2

(3)直接寫出正方形CD斯旋轉(zhuǎn)過程中，區(qū)0+它/。的最小值.

2

【答案】(1)見解析；(2)血+1或血+石；(3)逐

【分析】(])利用SAS,即可證明AFCAmADCB；

(2)分兩種情況當點D,E在AB邊上時和當點E,F在邊AB上時，討論即可求解；

72

(3)取AC的中點M.連接DM,BM.則CM=1,可證得ADCMSAACD,可得DM=2AD,從而得到當B,

V2

D,M共線時，BD+2AD的值最小，即可求解.

【詳解】(1)證明：???四邊形CDEF是正方形，

??.CF=CD,ZDCF=ZACB=90°,

???4ACF=Z_DCB,

??,AC=CB,

/.△FCA=ADCB(SAS)；

(2)解：①如圖2中，當點D,E在AB邊上時，

???AC=BC=2,ZACB=90°,

AB=AC=242

sin45°,

???CD1AB,

...AD=BD==/Cxsin45o=逝，

顯=3+交X及=0+1

.■.BD+2AD=2；

②如圖3中，當點E,F在邊AB上時.

SCxsin45°=2x—=

BD=CF=2

22

AD=YJBD+AB=底,

顯也+在x廂=0+逐

.?.BD+2AD=2

V2

綜上所述，BD+2AD的值正+1或夜+君;

(3)如圖4中.取AC的中點M.連接DM,BM.貝I」CM=1,

.*.CD2=CM*CA,

CDCM

：.~CA=~CD,

vZDCM=ZACD,

.,?△DCM-AACD,

DMCDV2

AD=AC=2,

顯

.?.DM=2AD,

立

?-?BD+2AD=BD+DM,

變

.,.當B,D,M共線時，BD+2AD的值最小，

最小值BM=ylCB-+CM1=石.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，銳角三角

函數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

例5.如圖，拋物線了=依2+樂+。與x軸交于/(石，0),B兩點(點3在點A的左側(cè))，與了軸交于點C,

且OB=3OA=6OC，/CMC的平分線40交7軸于點。，過點A且垂直于4D的直線/交V軸于點￡,點尸

是x軸下方拋物線上的一個動點，過點尸作尸尸lx軸，垂足為尸，交直線AD于點

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)點尸的橫坐標為加，當切時，求切的值；

(3)當直線尸尸為拋物線的對稱軸時，以點H為圓心，為半徑作?！?，點。為?！ㄉ系囊粋€動點，

2

求」/。+￡。的最小值.

4

=1+乙也M7

【答案】(1)y3x23X-3；(2)Y；(3)4.

【分析】對于(1)，結(jié)合已知先求出點B和點C的坐標，再利用待定系數(shù)法求解即可；

對于(2),在RtAOAC中，利用三角函數(shù)的知識求出NOAC的度數(shù)，再利用角平分線的定義求出NOAD的度

數(shù)，進而得到點D的坐標；接下來求出直線AD的解析式，表示出點P,H,F的坐標，再利用兩點間的距離

7石15

公式可完成解答；對于(3),首先求出OH的半徑，在HA上取一點K,使得HK=14,此時K(-8,-￥).

然后由HQ2=HK-HA,得至IJAQHKSZXAHQ,再利用相似三角形的性質(zhì)求出KQ=AQ,進而可得當E、Q、K共

線時，4AQ+EQ的值最小，據(jù)此解答.

【詳解】([)由題意A(6,0),B(-3邪,0),C(0,-3),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3^3)(x->/3),

=i=i+工6

把C(0,-3)代入得到a3,...拋物線的解析式為y3x23x-3.

=生=石

(2)在RtAAOC中，tanzOACOA,.-,zOAC=60°.

力

???AD平分NOAC,.??ZOAD=30°,.?.OD=OA?tan30°=l,；.D(0,-1),二直線AD的解析式為y3x-1,由

12石V3

-H--------------

題意P(m,3m23m-3),H(m,3m-1),p(m,0).

612V3

------m—-H---------

???FH=PH,/.I33m-1-(3m23m-3)

解得m=-君或6(舍棄)，???當FH=HP時，m的值為一百.

(3)如圖，:PF是對稱軸，J.F(一石,0),H(-^3,-2).

???AH1AE,.-.ZEAO=60°,.?正0=括0人=3,.-.E(0,3).

\

???C(0,-3),.?.HC=J(6>+r=2,AH=2FH=4,.,.QH2cH=1,在HA上取一點K,使得HK4,此時

HQ_KH

???HQ2=1,HK?HA=1,.■.HQ2=HK?HA,.-.AHHQ.

KQ=HQ=\」,

???ZQHK=ZAHQ,.-.AQHK-AAHQ,：.AQAH4,.-.KQ4AQ,4AQ+QE=KQ+EQ,.?.當E、Q、K共線時,

1"+3)2=①

4AQ+QE的值最小，最小值V884.

【點睛】本題考查了相似三角形對應(yīng)邊成比例、兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似、待定系數(shù)法求

二次函數(shù)的表達式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、數(shù)軸上兩點間的距離公式，熟練掌握該知識點是本題解題的

關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練1].如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為O。，尸是OO上一動點，則血為+P8的最小值

為.

【答案】2君

V|V|

【分析】0PA+PB=0(PA+2PB),利用相似三角形構(gòu)造2PB即可解答.

【詳解】解：設(shè)OO半徑為r,

0P=r=2BC=2,OB=3r=20,

取OB的中點I,連接PI,

...OI=IB=0,

迫=與=也些=巫=6

OIV2,OP2,

OPOB

.-.~oi~op,NO是公共角，

???△BOP-APOI,

PI_OI

也

；.PI=2PB,

也

???AP+2PB=AP+PI,

旦

.?.當A、P、I在一條直線上時，AP+2PB最小,

作IE1AB于E,

??ZABO=45°,

.?JE=BE=2Bl=l,

；.AE=AB-BE=3,.-,Al=v32+12=710,

變

.?.AP+2PB最小值=AI=W,

正

■.■V2PA+PB=V2(PA+2PB),

.-.V2PA+PB的最小值是A/2A|=V2x710=275.

故答案是2行.

【點睛】本題是"阿氏圓"問題，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形.

【變式訓(xùn)練2】.如圖，已知正方N2的邊長為6,圓5的半徑為3,點尸是圓8上的一個動點，則尸叫尸C

的最大值為.

【答案】2

3

【分析】如圖，連接3尸，在上取一點M，使得進而證明加尸則在點p運動的

-PC

任意時刻，均有PM=2,從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值.連接PD,在APDM中，PD-PM<DM,

故當D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值，勾股定理即可求得

3

【詳解】如圖，連接在8c上取一點使得5M=5,

"_3_J_.BM_BP

?/一二萬，6"2,"~BP~~BC

■：NPBM=ZCBP,ABPM^ABCP

MPBM_1

"^C~BP~2

:.MP=-PC

2

:.PD--PC=PD-MD

2

在APDM中，PD-PM<DM,

當D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值,

.??四邊形48。是正方形，AZC=90°

DM=ylDC2+MC2=J62=—"

在MAC中，VUJ2,故答案為：2.

-PC

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造2是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3】.問題提出：如圖①，在中，ZC=90°>CB=4,CA=6,OC的半徑為2,P為

圓上一動點，連接AP、BP,求4?+!2尸的最小值.

2

(1)嘗試解決:為了解決這個問題，下面給出一種解題思路:如圖①，連接CP,在CB上取一點D,使。=1,

CDCP1PDCD1

貝lj±==士.又"CD=/BCP,所以八PCD?ABCP.所以U=±=

CPCB2BPCP2

所以也>=工尸8,所以/2+48尸=42+尸。.

22

請你完成余下的思考，并直接寫出答案：的最小值為;

(2)自主探索：在"問題提出"的條件不變的前提下，求+的最小值；

(3)拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，ZCOD=90\0C=6,0A=3,。8=5,P是CD上一點，

求2P/+P8的最小值.

后-y/i/

【答案】(1)737.(2)3；(3)13.

【分析】(1)根據(jù)題意可知最小值為AD長度，利用勾股定理即可求出AD長度.

CDqPD=-AP

(2)連接CP,在CA上取一點D,使3,即可證明APCD得到3,即

-AP+BP=PD+BP-AP+BP

3，所以3的最小值為BD長度，利用勾股定理即可求出BD長度.

(3)延長。C到E,使以=6,連接PE,0P,即可證明△CMP“^OPE,得到EP=2PA,即2尸/+PB=EP+PB,

所以24+尸3的最小值為BE長度，利用勾股定理即可求出BE長度.

AP+-BP

【詳解】(1)根據(jù)題意可知，當A、P、D三點共線時，2最小，最小值

=AD=-JCD2+AC2=712+62=A/37.

故答案為：而.

CD=-

(2)連接CP,在CA上取一點D,使3,

CDCP1

則有于一曰一3,

...NPCD=NACP,

PDCD

...APCDSAACP,得一于一3,

PD^-AP-AP+BP=PD+BP

3,故3,

僅當B、P、D三點共線時，

^AP+BP=助="+叱=+#=即

3的最小值3.

(3)延長0C到E,使國=6,連接PE,OP,

OAOP1

則而一頡一］,ZAOP=ZPOE,

OAOPAP1

..A.OAP^AOPE,.-.~OP~OE~^P~2,

EP=2PA,.-,IPA+PB^EP+PB,

僅當E、P、B三點共線時，

EP+PB=BE=y/OE2+OB2=752+122=13,

即2P/+P8的最小值為13.

【點睛】本題考查圓的綜合，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì).根據(jù)閱讀材料的思路構(gòu)造出APCDS

△/CP和△O/P-AOPE是解題的關(guān)鍵.本題較難.

【變式訓(xùn)練4].如圖1,在平面直角坐標系中，直線y=-5x+5與x軸，y軸分別交于A,C兩點，拋物線

y=x2+bx+c經(jīng)過A,C兩點，與x軸的另一交點為B

(1)求拋物線解析式及B點坐標；

(2)若點M為X軸下方拋物線上一動點，連接MA、MB、BC,當點M運動到某一位置時，四邊形AMBC

面積最大，求此時點M的坐標及四邊形AMBC的面積；

(3)如圖2,若P點是半徑為2的OB上一動點，連接PC、PA,當點P運動到某一位置時，PC+^PA的值

最小，請求出這個最小值，并說明理由.

【答案】(1)y=x2-6x+5,B(5,0)；(2)當M(3,-4)時，四邊形AMBC面積最大，最大面積等于

18；(3)PC+5PA的最小值為歷，理由詳見解析.

【分析】(1)由直線y=-5x+5求點A、C坐標，用待定系數(shù)法求拋物線解析式，進而求得點B坐標.

(2)從X軸把四邊形AMBC分成AABC與AABM；由點A、B、C坐標求AABC面積；設(shè)點M橫坐標為m,

過點M作x軸的垂線段MH,則能用m表示MH的長，進而求AABM的面積，得到AABM面積與m的二次

函數(shù)關(guān)系式，且對應(yīng)的a值小于0,配方即求得m為何值時取得最大值，進而求點M坐標和四邊形AMBC

的面積最大值.

BDBP1

(3)作點D坐標為(4,0),可得BD=1,進而有第AB2,再加上公共角"BD=NABP,根據(jù)兩邊對

PD

±±

應(yīng)成比例且夾角相等可證APBDSAABP,得尸/等于相似比2,進而得PD=2AP,所以當C、P、D在同一

直線上時，PC+萬PA=PC+PD=CD最小.用兩點間距離公式即求得CD的長.

【詳解】解：(])直線y=-5x+5,x=0時，y=5

.-.C(0,5)

y=-5x+5=0時，解得：x=l

.■.A(1,0)

「拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A,C兩點

Jl+Z)+c=0\b=-6

.J°+°+c=5解得：Ic=5

??.拋物線解析式為y=x2-6x+5

當y=x2-6x+5=0時，解得：xl=l,x2=5

.?.B(5,0)

(2)如圖1,過點M作MHlx軸于點H

si

vA(1,0),B(5,0),C(0,5),??.AB=5-1=4,OC=5

j_J_

.-.SAABC=2AB?OC=2x4x5=10

???點M為x軸下方拋物線上的點，.??設(shè)M(m,m2-6m+5)(l<m<5)

??.MH=|m2-6m+5|=-m2+6m-5

j_J_

.-.SAABM=2AB*MH=2x4(-m2+6m-5)=-2m2+12m-10=-2(m-3)2+8

.-.s四邊形AMBC=SAABC+SAABM=10+[-2(m-3)2+8]=-2(m-3)2+18

???當m=3,即M(3,-4)時，四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18

(3)如圖2,在x軸上取點D(4,0),連接PD、CD,.山口=5-4=1

BDBP_1

???AB=4,BP=2,BPAB2

,?2PBD=/ABP,.e.△PBD'-AABP

PD_PD11

???APBP2,.-.PD=2AP,.-.PC+2PA=PC+PD

??.當點C、P、D在同一直線上時，PC+5PA=PC+PD=CD最小

7CD=^]OC2+OD2=A/52+42=V41

1

【點睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的性質(zhì)、圓的性質(zhì)及相似三角形的判斷

與性質(zhì).

三、課后訓(xùn)練

1.如圖，在MA4BC中，Z^CS=90°,CB=1,AC=9,以C為圓心、3為半徑作QC,尸為。。上一動點,

連接/尸、BP,則;NP+8P的最小值為（

A.7B.572C.4+V10D.2而

【答案】B

【詳解】思路引領(lǐng)：如圖，在CA上截取CM,使得CM=1,連接PM,PC,BM.利用相似三角形的性質(zhì)證

￡

明MP3PA,可得3AP+BP=PM+PB2BM,利用勾股定理求出BM即可解決問題.

答案詳解：如圖，在CA上截取CM,使得CM=L連接PM,PC,BM.

：PC=3,CM=1,CA=9,

.■?PC2=CM?CA,

PCCM

.-.~CA~~CP,

,?2PCM=NACP,

PMPC1

■,^PA~AC~3,

?.PM3PA,

￡

?.3AP+BP=PM+PB,

vPM+PB>BM,

在RtABCM中,??2BCM=90°,CM=1,BC=7,

.?.BM=Vl2+72=572,

3AP+BP>5A/2,

]_

3AP+BP的最小值為5◎.

故選：B.

2.如圖所示，AACB=60°,半徑為2的圓O內(nèi)切于尸為圓。上一動點，過點尸作PM、PN分別

垂直于N/CB的兩邊，垂足為M、N,則尸加r+27^的取值范圍為

【分析】根據(jù)題意，本題屬于動點最值問題阿氏圓"模型，首先作V杵于H,作兒田,8C于尸，如

PN+-PM=PN+HP=NH八

圖所示，通過代換，將尸M+2PN轉(zhuǎn)化為2,得到當MP與0°相切時，兒田取得

最大值和最小值，分兩種情況，作出圖形，數(shù)形結(jié)合解直角三角形即可得到相應(yīng)最值，進而得到取值范圍.

【詳解】解：作MH'NP于〃，作兒不L8C于尸，如圖所示:

ZPMC=ZPNC=90°,

AMPN=360°-/PMC-/PNC-ZC=120°,

/.ZMPH=180?！猌MPN=60°,

HP=PM-cosZMPH=PM-cos600=-PM

2,

PN+-PM=PN+HP=NH

2,

■：MF=NH,

.?.當MP與相切時，兒團取得最大和最小，

①連接。尸，0G,OC,如圖1所示：

圖1

可得：四邊形OPMG是正方形，

MG=OP=2,

在RtiCOG中，CG=OG-tan600=2G,

CM=CG+GM=2+2y/3t

在RSCMF中，MF=CM-sm600=3+yf3,

lPM+2PN=2\-PM+PN\=2HN=6+2>/3

:.HN=MF=3Z3,即（2）

②連接OP,OG,OC,如圖2所示：

可得：四邊形OPMG是正方形,

MG=OP=2,

由上同理可知：在RLCOG中，CG=<9G-taii60°=2>/3,

:.CM=CG-GM=2S2,

在RtACW中，7WF=CA/-sm60°=3-V3,

lPM+2PN=2、工PM+PN、=2HN=6-2e

:.HN=MF=373,即U),

6-2A/3PM+2PN6+2A/3.

故答案為.6—2\/3PM+2PN6+