定點問題、定值問題、定直線問題-2025屆高三數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練（含答案）

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練-2025屆高三數(shù)學(xué)

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

考點一定點問題

1.（24-25高三上?北京朝陽?期末）已知橢圓￡：:+二=1（。>6>0）的離心率為“，右頂點為（2,01.

4rb3

⑴求橢圓E的方程；

⑵過原點。且與「軸不重合的直線與橢圓￡交于M,T兩點.已知點。（0,21,直線PM與橢圓E的另一個交點

分別為1.8.證明：直線.■（8過定點.

22

2.（24-25高三上?山東青島?階段練習(xí)）已知。為坐標(biāo)原點，與、￡是橢圓C:二+二=1（。>/>>0）的左、右焦點，C

bL

的離心率為:，點”是C上一點，"與的最小值為1.

（1）求橢圓C的方程；

⑵已知兒8是橢圓C的左、右頂點，不與.1,軸平行或重合的直線交橢圓C于匕。兩點，記直線皿，的斜率為大，

直線80的斜率為上，且刈=2勺.

①證明：直線過定點；

②設(shè)’二，的面積為S,求S的取值范圍.

1

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

3.(24-25高三上?湖北?期末)已知橢圓M1+/=1的左，右焦點為小區(qū)，點P是橢圓上任意一點，用；灰的

a'

最小值是-2.

⑴求橢圓”的方程；

⑵設(shè)L8為橢圓的上，下頂點，C」)為橢圓上異于.4.8的兩點，記直線的斜率分別為勺色，且)=3.

(i)證明：直線C0過定點；

(ii)設(shè)直線.4C與直線80交于點0,直線0S的斜率為上，試探究;滿足的關(guān)系式.

K.kfk、

22

4.Q4-25高三上?湖南長沙?階段練習(xí))已知橢圓E：二+二=1口>/>>0)與拋物線-=4'有相同的焦點，A/為橢圓

4rb,

上一點，小區(qū)分別為橢圓E的左、右焦點，且.VFf'的面積的最大值為右，過點F做斜率之和為3的兩條直線

和Y與橢圓￡交于九8兩點，L與橢圓￡交于C.C兩點，線段48,CD的中點分別為P、。.

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線也是否過定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請給出理由.

2

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

22

5.(24-25高三上?遼寧?階段練習(xí))已知橢圓￡：t+二=l|a>6>0,的長軸長是4,。為右頂點，P,Q,M，N

a'bl

是橢圓￡上異于頂點的任意四個點，當(dāng)直線也經(jīng)過原點。時，直線PO和的斜率之積為

4

⑴求橢圓E的方程；

(2)當(dāng)直線和的斜率之積為定值-2時，直線“、是否過一個定點？若過定點，求出該定點坐標(biāo)；若不過定點,

請說明理由.

3

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

考點二定值問題

1.（24-25高三上?河北?階段練習(xí)）已知雙曲線Q:二-二=l（a>0力>0）的焦點到漸近線的距離為1,右頂點到點

a/>,

P（L】］的距離是屹■.動圓P（點尸為圓心）與。交于四個不同的點九8.（：。，且直線的斜率分別為勺&

（1）求。的方程.

（2）設(shè)直線1H.

①判斷點（2hMI是否在雙曲線/一丁=1上，并說明理由.

②若￡=，求直線,48的一般式方程.

③試問依￡是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

2.（24-25高三上?天津濱海新?階段練習(xí)）已知/"ITO）為橢圓］+/l［a>6>0］的左焦點，小.|］為橢圓上一

點.

（1）求橢圓的方程；

⑵直線（不與x軸重合）經(jīng)過00,0）并且交橢圓于C,。兩點（點C在點。的右側(cè)），橢圓右頂點為A,若N為線段

0」的中點，過點N作與x軸垂直的直線交直線于￡,直線.■（￡與橢圓相交于點8,設(shè)直線XC與直線8。的斜率分

別為L1,請問4+魚是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

4

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

3.Q4-25高三上?黑龍江大慶?期中）在平面直角坐標(biāo)系xOr中有兩個定點43,（）1,8[3,0）,已知動點M在平面

xO.r中且M到A,8兩點的斜率乘積為-點。為定點（1,0|

（1）求動點M的軌跡方程

⑵如圖，在空間中有一點C在平面X。：上方，滿足CAJ_平面xO.r,且|CD|=4,探究直線CO與CM的夾角是否為

定值？若是定值，求出夾角角度，若不是定值，說明理由.

⑶在平面xOy上過點*0,2而）做直線/,交點M的軌跡于尸，。兩點，設(shè)。點關(guān)于y軸對稱的點為連接HP,

求當(dāng)點C到直線HP距離最大時，直線族與平面A3C夾角的正切值.

4.Q4-25高三上?上海?期中）在平面直角坐標(biāo)系xO.r中，已知拋物線C:「二人的焦點為尸，點**八匕）是拋物

線C上的一點.

⑴若求點A的坐標(biāo)；

⑵己知"/,（））是x軸上的點，若線段X7"的最小值為4,求實數(shù)的值；

（3）如圖，已知乂=2點在拋物線C上，滿足W一作4D1.1/.\,。為垂足.問：是否存在定點0,

使得|/卻為定值？若存在，求出點。坐標(biāo)以及|聞的值；若不存在，說明理由.

5

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

5.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）已知拋物線￡:尸=2p.x[p>0]的焦點為尸，過尸作傾斜角為H的動直線交E于

A,8兩點.當(dāng)6=60時，\AB告.

（1）求拋物線￡的方程；

（2）證明：無論H如何變化，（可。0是定值（。為坐標(biāo)原點）；

⑶點直線AM與￡交于另一點C,直線8弘與￡交于另一點。，證明：-8"與CD.W的面積之比為定

值.

6

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

考點三定直線問題

，2

1.（24-25高三上?河北邯鄲?階段練習(xí)）已知點TE分別為雙曲線C:二-二=lia>0力>0|的左、右焦點，過

（Tb1

M-f.O的直線交雙曲線（,于P.0兩點，當(dāng)直線的斜率不存在時，/0卜班.

（1）求雙曲線C的離心率；

（2）過雙曲線的右焦點向該雙曲線的一條漸近線作垂線，垂足為“，若占。"的面積為白，求該雙曲線的方程；

⑶在（2）的條件下，若點上8分別為雙曲線C的左、右頂點，直線P,4與直線。8相交于點N,證明：點N在一條

定直線上.

2.（24-25高三上?上海?期中）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，TE是C的兩個焦點，其中左焦點為（-2石,0），

離心率為&.

（1）求C的方程；

（2）雙曲線C上存在一點尸，使得ZFfE=120,求三角形PF%的面積；

⑶記C的左、右頂點分別為4,4，過點（-4,0；，的直線與C的左支交于V,N兩點，”在第二象限，直線與

凡4交于點P.證明：點?在定直線上.

7

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

3.(24-25高三上?江蘇?階段練習(xí))已知圓C：/+｛尸1「=5,過點*1.1)的直線交圓C于A,8兩點.

⑴若.*:儼8=1:2,求此時直線的方程；

⑵過A,8分別作圓C的切線，L,設(shè)直線和J的交點為A7,求證：點A/在定直線上.

4.Q4-25高三上?廣東東莞?期中)已知A,2分別是雙曲線C：￡-二=l(a>0.b>0)的左、右頂點，點是

a'b1

雙曲線C上的一點，直線B4,尸2的斜率分別為A,1,且母2=58(=4.

(1)求雙曲線C的方程；

⑵已知過點(4.仙的直線/一-4,交C的左，右兩支于D,E兩點(異于A,B).

(i)求相的取值范圍；

(ii)設(shè)直線AD與直線?交于點Q,求證：點Q在定直線上.

8

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練_________________________________________________________________

5.(24-25高三上?福建泉州?期中)已知點。為坐標(biāo)原點，/(。,.h)為橢圓(7:二+匚=1上任一點，直線與橢圓C

63

相交于九8兩點.

(1)求點P到點7(1,0)距離的最小值；

(2)求面積的最大值；

⑶當(dāng)3=;，直線斜率為1,且點P在直線的上方時，aPX8的內(nèi)心是否在定直線上？若是，求出該定直線,

不是，請說明理由.

9

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

考點一定點問題

1.C24-25高三上?北京朝陽?期末)已知橢圓￡：二+二=1(”6>0的離心率為凡右頂點為(2,01

4rb3

(1)求橢圓E的方程;

⑵過原點。且與「軸不重合的直線與橢圓￡交于M,T兩點.已知點。(0,2),直線PM與橢圓E的另一個交點

分別為1.8.證明：直線.■(8過定點.

【答案】⑴:+=1；

⑵證明見解析.

c_V6

廠T

【詳解】(1)由題意可得了，=2,解得2G

a2=力+c2~T~

所以橢圓E的方程為二+二匚=L

44

(2)設(shè)點，則N(T0,-y。),且工；+3y：=4,毛工0.

直線PM:.「2=左匚|1-0),即匚■x+2.

X。一。X。

由彳與，得［x：+3E-2)、?+12x/yll-2|x+8x：=(l.

x2+3y2=4

8x：_2x：2X(,

所以則x.

*；+3("-2『4-3沙。4-3打

+2=2^-x2x"-2=4二”工

所以L=+

x0%4-3汽4-3y0

所以4氐鐐［同理《儡版

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

4+4y04-4y0

依題意和，〃，所以扁3=8二三=土獸￥^=-普.

X’，口-2xfl242.r0

4+3%4-3%

所以直線48的方程為卜緊&=-番￡-/一]，整理得F=-?x+l.

4-3.%2xn{4-3,yJ2%

所以直線48過定點（0,1）?

2.（24-25高三上?山東青島?階段練習(xí)）已知。為坐標(biāo)原點,￡,尸是橢圓=1（。>方>0的左、右焦點,C

的離心率為g,點A/是C上一點，國七|的最小值為1.

（1）求橢圓C的方程;

⑵已知4.8是橢圓C的左、右頂點，不與X軸平行或重合的直線交橢圓C于P.0兩點，記直線皿，的斜率為大，

直線80的斜率為上，且刈=2勺.

①證明：直線過定點;

②設(shè)’的面積為S,求S的取值范圍.

【答案】⑴二+匚=1

43

⑵①證明見解析；②地.

9

【詳解】（1）設(shè)橢圓c：￡+t=im>/,>o的半焦距為。，貝U￡=L。-

irb】a2

解得。二？,i二I,b=\[a2-c2=-^3'

所以橢圓c的方程為二+E=i.

43

（2）①設(shè)直線的方程為1=（「+"（〃，土2）,田內(nèi),乂）,。（天，乃），

?y_]

由，43，得（31：+4）/+6w+3（。-41:0，

x=ty^n

A=（6?/）2-4（3/:+4）x3（r-4）>0,即3/-/+4>0，

則】；+二—31、=^^7———,8（2,0）,直線/3斜率L=」、,

,1-3/+4/?，3「+43-2

人=」4/、=上門由打.乂）在橢圓C上，得工1+日=1，即*=3（4,1；）,

.tj+2'x2-2.434

因此/k_凡-_3,3=24=-白，即七Am=Y，

73K二一=一一412%2

2

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

由p（M，.n）.0（.士.”）在直線上，得L=加+■，

則娼『8/M=_______yji_________=_____________一心

x2-2X|-2((y,+〃-2)(沙|+〃-2)/PM+，("-2)(乂+j2)+(n-2)

3(/i*—4)

“，八2￥：+4,\2--------=21^,于是解得〃/

3(/-4*6n(n-2)/',、、，4(〃-2)4(”2)23

-：-----T~i~~；-+(〃―/)

止匕時3b一，/+4=3產(chǎn)+三>0,

9

=16。?------------

，2獷+32+-7，

127r+32

_______"1664

令"二yjllt2+32€[4近,+8)，則'=一三，函數(shù)y="+-在[40,+oo)上單調(diào)遞增,

U

“16拒16>/6

所以當(dāng)"=4百，即，=0時，"+2取最小正值，取得最大值；"鼻一~~9~

u4V2+—產(chǎn)

4V2

3.Q4-25高三上?湖北?期末）已知橢圓“：二+/=的左，右焦點為00點尾橢圓上任意一點,兩歷的

q.

最小值是_2-

⑴求橢圓”的方程；

⑵設(shè)九8為橢圓的上，下頂點，C.C為橢圓上異于1.8的兩點，記直線.".8D的斜率分別為勺魚，且￥=3.

（i）證明：直線CO過定點；

（ii）設(shè)直線,4C與直線8。交于點°，直線外的斜率為上，試探究滿足的關(guān)系式.

【答案】⑴三+F=i

4-

3

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

(2)(i)證明見詳解；(ii)廠+廠=1

k\k2A

j

【詳解】(1)由橢圓M:二+/=網(wǎng)，b=\c:=(i-

_2,

麗?用=(而+d7MM+甌卜而二萬片=PO1-c2>b:-c:,

所以『-廠=|_「=一2,所以1=3,/=4,

所以橢圓A/的方程為三+F=1;

4-

(2)(i)若直線C隔率不存在，則g<0不符合題意；

當(dāng)直線C0斜率存在時，設(shè)直線(力方程為.y=fcc+m,(mH±l),C(x,，x),Z)(x：Jl，

y=kx+m

聯(lián)立直線C。與橢圓”方程x2、，得(1+44」),/+XA心+4用‘一4=0,

—+y=1

4

一8G加4/-4

由韋達(dá)定理可得A=64A)〃--4(1+4A「)(4〃廠-4)〉0,?+v.=----,x.Xi=----

1+4/r「1+4&

1-

所以上*工=m

2m

又因為—,

1-m

~.h、+m?1kx占+(/w+l)x12ni(占+與)+(加+1)七(m2+2?；+1)為+(1一旭2)與

所以3

/、/八(l-w2)x,+(m2-2/w+l^

(x(+x)+(m-l)x'1f

2m22

又因為加H±l,所以"J+2加+1=,1-病=3,解得切=」，

1-m*m*-2m+12

即直線CO方程為p=+；,

故直線co過定點s(o,g)；

(ii)由(i)可知，直線XC方程為)，=工」-1,直線8。方程為F==?l，

8x2

所以二■=』?一=?=：,解得「=：!,即點。在直線「=2上，

v+1x,v,+1A,3

記尸2與y軸的交點為7(0,2),

則|*i|=hl=|Q=而，=畫"?

陽=|%|=%|=制=扁,

4

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

恒/2即

112

又因為廂4,內(nèi)同號,所以晨十葭二葭.

K、A1

22

4.Q4-25高三上?湖南長沙?階段練習(xí)）已知橢圓E：:+二=1（°>6>0月拋物線）戶=4函相同的焦點，做橢圓

a1b'

上一點，與總分別為橢圓E的左、右焦點，且,VFF的面積的最大值為石，過點P做斜率之和為3的兩條直線

和，4與橢圓E交于九8兩點，L與橢圓￡交于C.0兩點，線段18,CD的中點分別為P.0.

（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵直線也是否過定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請給出理由.

【答案】（1）二+二=I

43

⑵過定點，（-L2）

【詳解】（1）拋物線爐=4.的焦點坐標(biāo)為（1.01則橢圓焦點F.-Ui.Ml.IU

設(shè)點A/的縱坐標(biāo)為F”，則0<|?\|$b,5.曄=；1尸內(nèi)II1=1yu，

于是/）=>/?，a=\/b24I2=2?

所以￡的標(biāo)準(zhǔn)方程為匚+E=1.

43

（2）設(shè)直線,48的方程為「二“，直線。。的方程為了=魚（x+1），點N（x””）,8（?七』），

由｛NW肖去「得（3+4叱+**2=0,

—3426左

則*+士=己'""/+.也+1)=我

5

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

于是點栽)’同理點&喘T矗)’而「』，…

34也

3+44；3+4A;9（t1—k-,）—\2kyki{k-A-,）4A—3

因此直線電的斜率為t

—12（A]—A、）“?一人、）

3+4A;-3+4*;

直線⑷的方程2號i看+會

即「竺絲3冬+上

12123+4A；3+4公

鼠-34燈3k.（4斤后—3）&；+9k]3無]（3+4A;）—無;（3+44；）

而一--------+——L-y=

123+4A；3+4A：3（3+44：）3（3+44）

_尤（3-占）_k、k?_4k4-3I4板「3

+一，因此直線也：(x+1)+—過定點(一!,一)，

3312444

j2

已知橢圓E:二+==1|°>6>0]的長軸長是4，次/右頂點，BQ,MN

a*bl

是橢圓￡上異于頂點的任意四個點，當(dāng)直線也經(jīng)過原點。時，直線P。和。。的斜率之積為

4

⑴求橢圓E的方程；

(2)當(dāng)直線”。和V。的斜率之積為定值-2時，直線是否過一個定點？若過定點，求出該定點坐標(biāo)；若不過定點,

請說明理由.

【答案】⑴二/=1

4

(2)直線“Y過定點(9,0)

【詳解】(1)由已知2a=4即。=2所依橢圓方程為—+-

當(dāng)直線P。過原點時，設(shè)/”兒川，則。(-肛-〃|,所以匯+[=1

4b

6

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

所以，/=〃又。(2,0),

n

所以A%,二，所以nn1，則b：=1，

m-2m-2m+2k

m-26+24

所以橢圓方程為二+/=1;

4

(2)

①當(dāng)直線A/N斜率不存在時，設(shè)直線方程為一院，點〃(%,?%)，N(%f)(-2<%<2]

則口。=士，%=三，且￥■+)，；=1，即｝，：=1-吠，

X。一/題一/44

2

1匯1/1

所以Kk-九-)。--及--了-2,解得蜀=坦，即此時直線方程為x=E

k.m-j------r-r-;------77T;-------rr-299

見-2x0-2(x0-2)(x0-2)

②當(dāng)直線MN斜率存在時，由題可設(shè)直線方程為y=h+“A工0),舍)，N(y

\2

聯(lián)立直線與橢圓方程?J+l"=?得|1+46)/+85+4-4=0,

y=kx-￥t

則A=(8*Z)2-4(l+4*2j(4r-4)=16(4*2-/I+l)>0，即/：<41+1，

則八告后登?巖誓翟需

即優(yōu)+2卜內(nèi)+(右-4心+了?)+/+8=0,即|4+24)-%+/+8=0,

"+4卜1+4―

化簡可得+32h-28L-0>解得I=-2k或，=」九，

9

當(dāng)uU時，直線方程為y=kx-2k=k(x-2)，過點。(2,0)，不成立;

當(dāng)/=-與，時，直線方程為；Ar--k=ifx-—L過定點(20)；

99I9[9J

7

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

8

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

考點二定值問題

1.(24-25高三上?河北?階段練習(xí))已知雙曲線Q：二-二=l(a>04>0的焦點到漸近線的距離為1,右頂點到點

a1/>,

P(L】］的距離是屹■.動圓P(點尸為圓心)與。交于四個不同的點九8.(：。，且直線的斜率分別為勺&

(1)求。的方程.

(2)設(shè)直線1H.

①判斷點(2hMI是否在雙曲線/一丁=1上，并說明理由.

②若￡=，求直線,48的一般式方程.

③試問依￡是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

【答案】⑴二-『=1;

4

⑵①不在，理由見解析；②I6i-4.63=。；③］.

4

【詳解】(1)令雙曲線煙右焦點為((,01,而其漸近線方程為打士"；=。，

依題意，j［卜：=。=，，又右頂點(見0)到點尸。J)的距離+1=>/1，而。>0,解得a=2,

所以C的方程為二--=1.

4

(2)①點d)不在雙曲線x?-/=1上.

由一一消去得(1一4%2).《一8七小一4〃/-4二0,

X-4廠=4

A=64k2m2+16(1-442)(/+1)=I6(zw2-4-1-4A2)>0,因此4/-加？<1,

所以點(2￡,朋I不在雙曲線V—爐二1上.

②設(shè).4(*,I」BN.v,),貝！+.v,二&",Vj+.%=女(3+.*)+2m=,

1-4K'1-4?,

m

―2-\

則線段48中點M(當(dāng)7,—由/81MP，得7,

1-4公I(xiàn)-4A4人加

整理得44'+4A二+(5加一1)4一1=0,當(dāng)*二4時，m=,滿足

4

所以當(dāng)*二4時，直線的一般式方程為161-力-63二(I.

9

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

③由ffi=y,-Ax,得+(1-工*)+(―\\--)k--=0,

4444

由直線』(.4D過點.4(.%n),得A；+(1--X])4；+(-F[--)*1—二0,

4444

h+(1-亍匚沙；一；)勺一;二0，

4444

因此％4人是關(guān)于工的方程1+(1-葭)/+(工打」).■Lo的三個不同實根,

4444

即此方程可化為(.T-AXx-勺Xx-刈)=0,對比常數(shù)項得-kk&=-L,

4

P(l,|步橢圓上一

2.(24-25高三上?天津濱海新?階段練習(xí))已知片-1,0內(nèi)橢圓二十二=1|.>6>0的左焦點,

a-b2'

點.

(1)求橢圓的方程;

⑵直線(不與x軸重合)經(jīng)過00,0)并且交橢圓于C,。兩點(點C在點。的右側(cè))，橢圓右頂點為A,若N為線段

0.』的中點，過點N作與x軸垂直的直線交直線于E，直線我與橢圓相交于點8,設(shè)直線XC與直線80的斜率分

別為匕L,請問4+總是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

【答案】⑴三+二=1

43

(2)3+&為定值,0

【詳解】(1)由H-1,0的橢圓[+，?=[[“>/)>()的左焦點，川二為橢圓上一點

22

a-b=1(2_A

可得，19，解得:，=、，

—+—=1b'=3

la24b72

故橢圓方程為二+匚=I；

43

(2)由(1)知/(2,0),N(l,0),且直線/的斜率存在不為0,

10

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

y=kx

設(shè)其方程為F=聯(lián)立/y2，則31?411=12，

43

Bn,12mil26fflll2?Bn?f2G2瓜\

即A-=-_—,則,v=/，貝h*=-T=-------，即(/，，/,，

3+4K(V3+4A-2/3+4k21,3+4產(chǎn)J3+4KJ

呵—)

L-0

又直線dE的方程為y=7(x-2)=-*(.r-2(,

1—2

y=-k{x-l]

2

聯(lián)立，fv貝|」(3+41卜'-16/\+16--12=0,

—+—=1

(43

由于該方程有一根為2,故x=生二°，

3+4公*3+4公

8^-6.12%8K-6\2k

則y=-kMie'1W即8

B、3+4/'3+4公

J3+4公

12"*k

3+4公I(xiàn)2k+25kd3+41

8k'-6+268父-6+2可3+4r

3+41S+4l

百k121+2四J3r4公

故A：+兒=

g-44F8--6+2亞/3+4公

由于網(wǎng)86-6+2氐/3+4公)-(6-)3+4公)(12&+2?j3+4k]

=86^-6?+6地+4、+12?-1223+4、+623+4/-2炳3+4/)

故4+&=o為定值.

U

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

3.(24-25高三上?黑龍江大慶?期中)在平面直角坐標(biāo)系中有兩個定點，4(3,(“8|3,0),已知動點M在平面

xO.r中且M到A,8兩點的斜率乘積為-點。為定點(1,0|

(1)求動點M的軌跡方程

(2)如圖，在空間中有一點C在平面xO：上方，滿足CAL平面xOr,且|CD|=4,探究直線CO與CM的夾角是否為

定值？若是定值，求出夾角角度，若不是定值，說明理由.

⑶在平面X。>上過點7弧2卡)做直線/,交點M的軌跡于尸，。兩點，設(shè)。點關(guān)于y軸對稱的點為//,連接HP,

求當(dāng)點C到直線HP距離最大時，直線”P與平面ABC夾角的正切值.

【答案】⑴二+二=1(r*0)

96

⑵是定值，7

6

VV2

【詳解】(1)設(shè)點“在平面直角坐標(biāo)系工。.，中坐標(biāo)為(x,y)則--=

x+3x-33

解得點M的軌跡方程為二+—=I(r*0>

96

(2)如圖，過點。做與向量；(7方向做二軸，與原坐標(biāo)系中》軸，3'軸組成空間直角坐標(biāo)系，

點C在平面xOy上方，且門1平面x?v,

設(shè)C(-3,00,則。(-1,0,0),

因為|CD|=4,所以J-3+1)'+O'+|，-())L4,解得,=26.

設(shè)點M坐標(biāo)為1工),,0),

CD=(2,0,-2>/3),CM=(.r+,

12

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

Fn.CM2x+18

設(shè)向量（下與向量乂/夾角6,則cosO=

4，"+31+/+12

2x+182x+182x+18

代入得cos。==

4點+6x+27'觸+"2'

y+6x+27

所以角8=9；

（3）在平面直角坐標(biāo)系xO.r中，設(shè)直線的方程為），=仙+2而，

與點M的軌跡方程上+廣=1（"。）聯(lián)立，得卜卜+2）/+12#h+54=0,

設(shè)點尸，。的坐標(biāo)為（々jJ,則點點坐標(biāo)為（-七,月）,

有1.+.￥,=山查，中，=丁二，尸打直線方程為）'=五』（、"）+,，

'23A+2-3K+2』+七

令…，得廣丑3L=2#+生上=返

X[+X2X]+X22

所以直線尸X過定點K0*,

\/

點C到直線HP距離國，當(dāng)且僅當(dāng)CK1HP時成立，

此時因為11平面X，r,〃Pu平面r0「，

所以C,41HP,.4Cu平面C4K,CK匚平面C4B,AC[]CK=C,

所以P"，平面CAK,

又因為XKc平面CAK,所以P〃1AK,

此時_°-2V6,3=「=-?,

M~-3-0~~移

又直線HP與平面ABC夾角為銳角,

所以直線HP與平面ABC夾角的正切值為限

4.（24-25高三上?上海?期中）在平面直角坐標(biāo)系xO.r中，已知拋物線C.「二八的焦點為Q點川.v”,是拋物

線C上的一點.

13

定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

⑴若|."1=4求點A的坐標(biāo)；

（2）已知”4。是x軸上的點,若線段”的最小值為4,求實數(shù)的值；

（3）如圖，已知乂=2點M..V在拋物線C上，滿足仙/一仆，作」屋,。為垂足.問：是否存在定點。，

使得|/卻為定值？若存在，求出點。坐標(biāo)以及|聞的值；若不存在，說明理由.

【答案】⑴祚,2回.4（3「2G）

⑵答案見解析

（3）存在，03,0）,2力

【詳解】（1）由拋物線的性質(zhì)可知，尸（1，。1準(zhǔn)線方程為x=I

所以x：+1=|"|=4nX”=3,代入拋物線『一=y；=3x4=12=＞）□=±2A

[3,2々）,4（3,-26）

令=IT=卜+1，對稱軸為"1-8+41,

當(dāng)-8+4/40,BP/<2,當(dāng)w=0時取最小值，.47*=>/?*=4n/=±4，

,12f,1V

當(dāng)?即/當(dāng)用二?時取最小值，)，

8M/>0,>2,8ATmin=t__—_____1___2=4n/=5

14x—

I16

(3)設(shè)“(*,J』，兇七，.匕|,川12|,

AM=(X]-I,”-2),4V=|&-1,.-2),又AM1AN,

.?.|為-川與-1)+"「2||4-2)"工-(演+與)+兒匕-2(凹+乃|+5=0，