對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（6大壓軸考法）-2024-2025學年高一數(shù)學壓軸題（人教A版必修第一冊）

專題20對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

目錄

解題知識必備..............................

壓軸題型講練.......................................................3

題型一、對數(shù)式的化簡與求值..................................................3

題型二、對數(shù)函數(shù)的圖像.......................................................6

題型三、對數(shù)（型）函數(shù)過定點問題...........................................9

題型四、對數(shù)（型）函數(shù)的定義域與值域.....................................12

題型五、對數(shù)（型）函數(shù)的單調性與最值.....................................17

題型六、對數(shù)（型）函數(shù)與不等式............................................23

壓軸能力測評（15題）..............................................28

x解題知識必備??

一、對數(shù)的概念

1、定義：一般地，如果優(yōu)=N（a>0,且。/1）,那么數(shù)x叫做以。為底N的對數(shù),

記作x=log.N,其中。叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

2、對數(shù)的基本性質

①當a>0,且awl時，/=Nox=log?N.

②負數(shù)和0沒有對數(shù)，即N>0.

③特殊值：1的對數(shù)是0,即log"=0（。>0,且awl）；

底數(shù)的對數(shù)是1,即bg“a=l（。>0,且"1）.

二、常用對數(shù)與自然對數(shù)

1、常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，簡記為暗；

2、自然對數(shù)：以無理數(shù)e=2.71828…為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，簡記為In

三、對數(shù)的運算性質

1、運算性質：。>0,且aHl,M>0,N>。

⑴loga（MN）=logflM+logaN；

(2)log“R=log“M-logaN；

(3)logaAf"=nlogaM

2、換底公式

log.b=log，b(q>0,且c>0,且cWl；6>0).

‘-logca

3、可用換底公式證明以下結論：

①logab=J—；②log/.log/.logc"：!；

logf

vyi

m

③log『b"=log"b；@loga?6=—logflZ)；

⑤log/=-log/.

a

四、對數(shù)函數(shù)的概念

1、定義：函數(shù)V=logax(a>0且"1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域為(0,+幻.

2、特殊的對數(shù)函數(shù)

(1)常用對數(shù)函數(shù)：以10為底的對數(shù)函數(shù)y=lgx.

(2)自然對數(shù)函數(shù)：以無理數(shù)e為底的對數(shù)函數(shù)y=lnx.

五、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質

a>1OVaVl

y

1iX=l

1?=1

；y=logaX\i、a,o）一

圖象

/f（u）r0

=loga%

定義域（0,+oo）

值域R

過定點過定點(1,0),即x=l時，y=0

性質

當0<x<l時，y<0；當0<x<l時，y>0；

函數(shù)值的變化

當x>l時，y>Q當x>l時，y<0

單調性是(0,+co)上的增函數(shù)是(0,+oo)上的減函數(shù)

【小結】當。>1時，圖象呈上升趨勢；當0<。<1時，圖象呈下降趨勢；

當a>l時，a越大，圖象向右越靠近x軸；0<。<1時，。越小，圖象向右越靠近x軸.

六、判斷一個函數(shù)是否為對數(shù)函數(shù)的方法

判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)必須是形如y=log“x(a>0且a豐1)的形式，即必須滿足以下條件

(1)系數(shù)為1；

(2)底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；

(3)對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x

七、對數(shù)值比較大小的常用方法

1、同底：可直接利用單調性求解；

2、不同底：一種方法是化為同底，另一種方法是尋找中間量；

3、不同底單同真數(shù)：可利用圖象的高低與底數(shù)的大小關系來解決，或利用換底公式化為同底再進行比較;

4、底數(shù)和真數(shù)都不相同：常借助中間量-1,0,1來進行比較；

5、如果底數(shù)為字母：要分類討論，進行分類討論時，要做到不重不漏。

八、解簡單對數(shù)不等式的方法

1、形如log“x>log,*的不等式：借助y=log,x的單調性求解，如果。的取值不確定，需分。>1或

0<。<1兩種情況討論；

2、形如log.x>b的不等式：應將b化為以。為底的對數(shù)式的形式，再借助了=log.x的單調性求解；

3、形如log〃x>logbx的不等式：可利用圖象求解。

??壓軸題型講練2

【題型一對數(shù)式的化簡與求值】

一、單選題

1.(23-24高二下?福建南平?期末)若9"=5,log34=Z>,則32*()

A.10B.20C.50D.100

【答案】B

【分析】先根據(jù)指對數(shù)轉化，再應用指數(shù)運算律計算即可.

【詳解】因為9"=32。=5,又因為1(^4=仇可得變=4,

所以32"+"=3?"x3〃=5x4=20.

故選：B.

2.(24-25高一上?上海?隨堂練習)設方程(尼#2-坨％2_3=0的兩實根是。和6,則bgqHlog/等于

().

A.1B.-2

【答案】C

【分析】解方程得出Iga=3,尼6=-1,再由換底公式計算即可.

【詳解】方程（lgx）2-吆/-3=0可化為（lgx）2-21gx-3=0,BP（lgx-3）（lgx+l）=0,

解得lgx=3或lgx=-l,不妨設lga=3,lgb=-l

\gb!Iga-11310

\ogb+\oga==

abIgalg63-1T

故選：c

3.（23-24高一上?四川德陽?期末）當生物死亡后，它體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減

率），大約每經過5730年衰減為原來是一半，這個時間稱為“半衰期”.在最近的一次發(fā)掘中，三星堆3、4

號祭祀坑出土了170多顆象牙.某志愿者檢測到某顆象牙的碳14含量只剩下原來的57%,根據(jù)該志愿者的

檢測結果，可推斷，這頭大象大約生活在距今（）.（精確到百年，參考數(shù)據(jù)：bg2（）.57土-0.81）

A.3800年B.4200年C.4600年D.5000年

【答案】C

1A5730

【分析】設該生物的死亡時間為t,根據(jù)題意列出關于t的方程0.57.利用指數(shù)方程的求解，轉化

2)

成對數(shù)求解即可得到答案.

【詳解】設這頭大象大約生活在距今t年，則

0.57=t=5730x10g10.57=5730x1^2°,^7?5730x0.81=4643,

5log2-

這頭大象大約生活在距今約4600年，

故選：C.

4.（23-24高一下?江西贛州?期中）已知3"=11,4"=18,5。=27,則出伉。的大小關系是（）

A.a>c>bB.b>a>cC.c>b>aD.a>b>c

【答案】D

【分析】由已知求出a、b、c,然后作差計算出6>0,6-c>0,則可得到答案.

【詳解】?=log3ll^^log418,C=log527,

貝!|18,11,9

a_6=log3ll-log418=logj9xyj-logj16lo10

x——=g3--§47-

16yo

H[91911〔911119188八

因為log4T<log3T，所以log3—Tog4T>log5—Tog37=log377〉°，

ooyoyoo1

所以q—b>0；

927

Z>-c=log418-log527=log4H6x1|-1叫25X||

=log4--log5—,

oZJ

2727Q2792725

因為logsT7<lo§4白，所以log”g一kgsM>bg4o_bg477=lo§4五>°，

ZJZJoZDoZJ24

所以b-c>0,

所以。>b>c.

故選:D.

二、填空題

5.（23-24高一下?北京?開學考試）已知a>b>l,且log.6+log〃a=g,ab=ba,貝—.

【答案】4

【分析】

令10g?=f,即可得到f+；=g,解出/,即可得到.=〃，再由/=/,得到/=聲，從而得到助=〃,

解得6即可.

【詳解】

515

'：a>b>\,KlogZ）+log^=-,Bp-----+\to%a=-

a2log/,ah29

.?.設logi",則”1,

?.?/+；=（,解得1=2或t=g（舍去），即log/=2,

..a=bt

???ab=ba,

；.（價=心=聲,

2b=b2,解得6=2或6=0（舍去），

所以a=4.

故答案為：4.

三、解答題

21

6.（24-25高一上?上海?課堂例題）（1）設3。=4"=36,求*+；的值；

ab

（2）已知3"=5"=c,M-+y=2,求c的值.

ab

【答案】（1）1;（2）c=V15

【分析】（1）（2）根據(jù)題意將指數(shù)式化為對數(shù)式，利用換底公式可得工,：，代入運算求解即可.

ab

【詳解】(1)因為3。=4:36,貝！Ja=log336,6=log436,

11,c11,

貝!|一=]-^7=l°g363,i=-——=log364

alog336blog436

21

所以一+i=2log3+log4=log9+log4=log36=1；

ab3636363636

(2)因為3"=5“=c,則a=log3。，b=log5c,

可得，=R)gc3,^=logc5,貝/+：=log」5.

abab

由題意可得log/5=2,則c?=15,且c>0,所以c=VTM.

【題型二對數(shù)函數(shù)的圖像】

一、單選題

1.(23-24高一上?北京海淀?期末)在同一個坐標系中，函數(shù)/(x)=bg°x,g(x)=a~x,〃(x)=x"的圖象可

【答案】C

【分析】先根據(jù)的單調性相反排除AD,然后根據(jù)幕函數(shù)圖象判斷出。的范圍，由此可得答案.

【詳解】因為在同一坐標系中，所以函數(shù)〃x)=lo&x,g(x)=aT=g］的單調性一定相反,

且圖象均不過原點，故排除AD；

在BC選項中，過原點的圖象為幕函數(shù)〃(x)=/的圖象，且由圖象可知0<。<1,

所以〃x)=k)&x單調遞減，g(x)=aT=［］單調遞增，故排除B,所以C正確.

故選：C.

2.(23-24高一上?海南海口?階段練習)函數(shù)〃x)=log“(|x|-l)(0<a<l)的圖象是()

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質判斷.

【詳解】0<?<1,當一V2x<-1或l<x<2時，o<|x|-l<l,/(x)=loga(|x|-l)>0,排除AD,

當x>2時，|x|-l>l,/(x)=loga(|x|-l)<0,排除C,

故選：B.

3.(23-24高一上?山東威海?期末)已知函數(shù)〃幻=|臉-1|,若〃a)=/(6),且"6,則"⑷『-川06)

的最小值為()

,5913

A.-3B.——C.——D.——

444

【答案】B

【分析】根據(jù)題意得作出圖像分析/(。)=〃6)時，有必=100,化簡

15

[/(a)]72-/(10/))=(Iga--)2-^,從而得到答案.

，1

【詳解】由題可得：/(x)=|lgr-l|=-J-^^o^,作出〃x)的圖像如下：

由。<6,且〃。)=/3),則〃a)=l-Iga,f(b)=lgb-l,Bpi-lga=lgZ>-l,解得:^=100,

所以［/⑷f-/(106)=(l-lga)2-(lglOZ>-l)=l-21ga+lg2a-lgZ)=lg2a-(lga2Z?)+l

由ab=100,則Ig?〃一(坨a2b)+l=1g2?-Igl00a+l=lg2a-Iga-1,

i51

所以[/(〃)]9—/(10b)=lg2"lg"l=(lg"5)2—j故當lg〃=5,即〃而時，［/⑷>”106)取最小

值為一。.

4

故選：B

二、多選題

4.(23-24高一上?重慶?期末)若log/<0,則函數(shù)仆)=優(yōu)+6與g(x)logi(a-x)在同一坐標系內的大

致圖像可能是()

【分析】由已知分兩種情況，當0<。<1時，b>\,當時，0</><1,結合函數(shù)的單調性分析判斷即

可.

【詳解】因為log/<0=logj,

所以當0<。<1時，得b>1,

所以"優(yōu)在定義域內單調遞減，且/(x)=。工+6>6>1,

函數(shù)g(x)=log,,(a-x)的定義域為(-00,a),

且由簡單函數(shù)〃(x)=a-x,g(〃)=log必復合而成，

由復合函數(shù)的單調性可知g(x)=log,(。-x)在定義域范圍內單調遞減，

且當x趨近于。時，V取得無窮小，故B正確，D錯誤；

當”>1時，得0<6<1,

所以了=優(yōu)在定義域內單調遞增，且=

當x無窮小時，/仁)=優(yōu)+6無限趨近于6<1,

此時g(x)=bg〃(。-x)在(-e,a)內單調遞增，

且當x趨近于。時，V取得無窮大，故C正確，A錯誤.

故選：BC.

三、填空題

5.（23-24高一上?北京大興?期末）已知函數(shù)“x）=|l同，若〃%）=1,則》=；若0<”6,且/⑷=〃6）,

則Q+b的取值范圍是.

【答案】e或』（2,+a））

e

【分析】根據(jù)對數(shù)運算求解方程；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象，即可去絕對值，再結合基本不等式，即可求解6

的取值范圍.

【詳解】/（x）=|lnx|=l,得x=e或x=J

由題意可知，|ln，=|ln4,

1月lnx|

O\a1bx

由函數(shù)圖象可知，0<a<\<b,貝!）—lna=lnb,

即Ina+Inb=InQ6=0,貝!）=1,

a+6>2而=2（O<°<6）,

所以a+6的取值范圍是（2,+s）.

故答案為：e或匕（2,+8）

e

【題型三對數(shù)（型）函數(shù)過定點問題】

一、單選題

1.（23-24高一上?江蘇蘇州?階段練習）已知曲線歹=logq（x-2）+l（a〉0且awl）過定點（s,。，若加+〃=s

91

且加>0,〃>0,則一+一的最小值為（）

mn

A.16B.10C.8D.4

【答案】C

Q11Q1

【分析】求出曲線了=1。&。-2）+1所過定點，即可得"+"=2,將三+士化為92+3（〃?+"），展開后利

mn2mn

用基本不等式，即可求得答案.

【詳解】對于7=1嗚（>2）+1,令x-2=l,即x=3,則尸1,

即曲線y=loga(x—2)+1(〃＞0且QW1)過定點(3,1),即s=31=l,

故加+〃=2,又加＞0,〃＞0,

9119I-、1小八9n加、、1八八八9nm、o

貝!)一十—=—(z—+—)(m+H)=—(10d-----H——)之一x(10+2J--------)=8,

mn2mn2mn2\mn

〃

當且僅當9把m結合機+”=2,即加=3：,"=1:時等號成立，

mn22

故選：c

2.(24-25高三上?廣西貴港?開學考試)己知函數(shù)/(》)=優(yōu)-2(。＞0,且awl)的圖象不經過第一象限，則

函數(shù)g(x)=log[(x+2)的圖象不經過()

a

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象性質可得0＜。＜1,再由對數(shù)函數(shù)圖象性質可判斷出結論.

【詳解】當時，函數(shù)/(6=優(yōu)-2單調遞增，圖象經過第一象限，不合題意；

當0＜。＜1時，函數(shù)/(耳=0工-2單調遞減，圖象不經過第一象限，合題意；

顯然此時工＞1,則函數(shù)g(x)=bg!(x+2)為單調遞增，又g(x)恒過點(TO),

aa

因此函數(shù)g(x)的圖象不過第四象限.

故選：D

二、填空題

3.(22-23高一下?河北保定?階段練習)已知函數(shù)＞=log,(無+2)7(a＞0,且“近)的圖像過定點/,若

點/在函數(shù)〃目=3工+6的圖像上，則/(log32)=.

2

【答案】j

【分析】首先由對數(shù)函數(shù)性質確定點A的坐標，然后求解函數(shù)/(X)的解析式，最后求解/'(bg")的值即

可.

【詳解】因為函數(shù).”=log.(x+2)-1(。＞0,且4H1)的圖像過定點A,

所以/

因為點A在函數(shù)/(x)=3,+b的圖像上，

4

所以37+6=-1,所以b=-g,

所以/卜）=3"（4，

所以/（1唯2）=3%2T=2彳七|

2

故答案為：j.

4.（23-24高一上?廣東深圳?期末）已知當〃eN*時，函數(shù)/（力=ln（x+4+6的圖象恒過定點,其中

。，方為常數(shù)，則不等式Two的解集為.

x-a

【答案】1,2）

【分析】先根據(jù)函數(shù)過定點求出。力；再根據(jù)分式不等式的解法即可求解.

【詳解】因為函數(shù)/（x）=ln（x+a）"+6的圖象恒過定點

所以”=2,6=1.

則不等式"wo為tJvo,等價于1口］）（;一2）4°,

x-ax-21x-2w。

解得：1<x<2.

所以不等式Tv0的解集為［1,2）.

x-a

故答案為：［1,2）

5.（23-24高一上?重慶?階段練習）函數(shù)/（x）=log〃（2x-3）+l（。>0且awl）的圖象恒過定點）（加,"）,

12

若對任意正數(shù)1、>者B有加工+〃歹=4,則—的最小值是,

x+1y

【答案】|4

I19

【分析】求出定點A的坐標，可得出2（x+l）+y=6,然后將代數(shù)式k［2（x+l）+y］與E+I相乘，展開后

利用基本不等式可求得」v+2的最小值.

x+1y

【詳解】對于函數(shù)〃x）=log.（2x-3）+l（a>0且"1）,

令2x-3=l,可得x=2,且/⑵=log“l(fā)+l=l,所以，/(2,1),即加=2,n=l,

對任意的正數(shù)x，N都有如+町=4,即2x+y=4,則2（x+l）+y=6,

4+走”上

所以,

y無+1

在(川)

>114+234

2-4+Z./------------------------

6yyx+13

4（X+1）y

yx+11

x——

當且僅當2x+y=4x>0時,即當2時，等號成立,

x>0,j/>0J=3

所以，一的最小值是。

x+1y3

故答案為：!4

【題型四對數(shù)（型）函數(shù)的定義域與值域】

一、單選題

1.（22-23高一上?福建福州?階段練習）函數(shù)/（耳=，亨的定義域為（）

1gX

A.（-00,2]B.（-oo,0）u（0,2]

C.（0,2]D.（0,1）51,2]

【答案】D

【分析】根據(jù)偶次根式被開方數(shù)非負，分母不為0,對數(shù)真數(shù)正數(shù)構造不等式組求解即可.

2-x＞0

【詳解】由題意得：想工。0得定義域為（O,l）u（l,2].

x＞0

故選：D.

2.（23-24高一上?河南新鄉(xiāng)?期末）若函數(shù)/（x）=log3優(yōu)（。＞0且。力1）在上的值域為[加,2],則加的值

為（）

A.-4或-1B.0或-2C.-2或-1D.-4或-2

【答案】A

【分析】先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性求出函數(shù)了=優(yōu)的值域，再分0＜。＜1和。＞1兩種情況討論，結合指數(shù)函

數(shù)的單調性即可得解.

【詳解】因為函數(shù)V=bg3X在（0,+動上單調遞增，

所以函數(shù)＞=優(yōu)在-1,2]上的值域為[3”,9],

當0＜。＜1時，》=/在[T2]上單調遞減，則/=9,解得。=",

貝！|3"=/=!，得力=_4,

當。＞1時，＞="在[T2]上單調遞增，貝！|/=9,解得。=3或-3（舍去）,

則3'"=，|=；,得機=一1,

綜上，加二一4或—L

故選：A.

3.(23-24高一上?江蘇南京?期末)己知函數(shù)〃x)=logjx+WT在(0,+/)上的值域為R,則實數(shù)。的取

值范圍是()

A.(4,+00)B.(-8,4]

C.(0,4]D.(0,l)u(l,4]

【答案】D

【分析】設g(x)=x+：-4,則函數(shù)〃x)在(0,+s)上的值域為R等價于在(0,+勸上g(x)向”0,結合基本

不等式求解即可.

【詳解】設g(x)=x+--4,

因為〃x)=logj無+2-41的值域為R,所以8(.40,

又。>0,。片1,xe(0,+co),所以》十人-4223￡-4=2八一4,

xVx

即名⑺皿正=2&-4W0,解得：0<aW4且awl,

所以實數(shù)。的取值范圍是(O』)u(l，4].

故選：D.

二、填空題

4.(23-24高一下?安徽安慶?開學考試)若函數(shù)/(2-1)的定義域為[T1],則函數(shù)/(logzX-l)的定義域為—

【答案】[V2,4]

【分析】由x的取值范圍求出2,-1的取值范圍，再令-JwlogzxTVl,求出x的范圍即可.

【詳解】當時1,2,所以2'-le-;,1,

所以bgzX-le__J)即-54log?》—1W1，貝!154bg?》42,

BPlog2V2<log2x<log24,解得近VxW4,

所以函數(shù)-1)的定義域為[也4].

故答案為：[也,4]

5.(23-24高一上?江蘇蘇州?階段練習)已知"X)=log?e[1,4],則g(x)=f2(司+/代)的值域是.

【答案】[0,3]

【分析】先由題意求得g(x)的定義域，再利用換元法與二次函數(shù)的性質即可得解.

【詳解】因為/(x)=bg2X,xe[l,4],

所以g(x)=尸3+/任)的定義域滿足解得14x42,

因為〃x)=log?x在[1,2]上單調遞增，所以令=

2

又尤2)=bg2x=21og2x=2/(x)=2f,

則g(x)=「(x)+/(x2)=r+2z=/7(?)=(f+l)2-l,

易知人⑺在[。,1]上單調遞增，

則當/=0時，"%"=0；當"1時，人⑺1mx=3,

所以g(x)=/(x)+/(x2)的值域為[0,3].

故答案為：[0,3].

6.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(%)=21082%-1082(%-4),則/(無)的最小值是.

【答案】4

【分析】由函數(shù)的解析式有意義，求得“X)的定義域，化簡/(x)=log2-，尤>4,令t=x-4>0,得到

/(xhlog^g41,/〉。，令8口)=0?=/+:+8/>0,結合基本不等式和對數(shù)函數(shù)的單調性，即可

求解.

【詳解】由函數(shù)/(x)=2log2x-log?(x-4)有意義，

fx>0

則滿足,八，解得、>4,

[x-4>0

所以函數(shù)“X)的定義域為(4,+8),

2

又由f(x)=21og2x-log2(x-4)=log2——-,x>4,

令/=x-4>0,可得〃x)=k>g2('：4),f>0,

令g()=(+4)=1+3+8/>0,

因為1+；+822?><—+8=16,

當且僅當時，即f=4時，即x=8時取等號，

t

所以g(f)N16,

所以⑻=1。殳16=4,

所以函數(shù)/(x)的最小值為4.

故答案為：4.

7.(22-23高一上?江蘇無錫?期末)函數(shù)小)=2皿》-弧了萬的定義域為[刊，值域是浮，3,貝1]。+6

|_O_

的最大值為.

【答案】2葛+4.

【分析】利用換元法轉化函數(shù)/'(x),結合二次函數(shù)的性質及〃x)的值域求得/Xx)的定義域，進而求得6

的最大值.

[x>0

【詳解】由題意知，,1、八0壯2,

[log2x-1>0

令1=Jlogz^-l?20),則log2X=r+l,

令g(f)=2(d+1)7=2/-t+2=2(t--)2+—(t20),

48

畫出g(f)的圖象如圖所示，

要使得g⑺的值域為卓,3],則t的范圍為“,1],且。Y，

貝（Jlog2X=/+le|>2+l,2],解得：xe[2m2+1,4],0<m<j-,

所以當/（X）的定義域為[2叫4],其中OW/MW；時，值域為嚀,3].

所以4=2"2*1，（0<W<1）,b=4,

所以a+6=2m&i+4，（04〃?4；），

1

所以當加=:時，a+b取得最大值為2137+個

故答案為：2而+4，

三、解答題

8.（23-24高一上?湖南婁底?期末）已知函數(shù)/（xhlog）.

（1）用定義法證明：函數(shù)/（X）在（0,+8）是單調遞增函數(shù)；

（2）若xe[l,4],求函數(shù)8（》）=[/（%）+4][I/'（了）一3°],0€口的最小值/2（0）.

【答案】（1）證明見解析

—3a~,a40

（2）//（?）=--4tz2,0<a<2

—3a——4t?+4,a22

【分析】（1）用單調性的定義直接證明即可；

（2）通過換元法將原問題等級轉換為二次函數(shù)動軸定區(qū)間的最小值問題，對對稱軸的位置分類討論即可求

解.

【詳解】（1）不妨設0<再<馬，所以/a）-/（X2）=log2X1-bg2X2=log2：,

因為0<玉<%,所以。〈土<1，/（再）-/（無2）=bg2±<bg21=0,即/（占）</（苫2）,

"^2"^2

所以函數(shù)/（%）在（0,+。）是單調遞增函數(shù).

（2）若x?l,4],貝!p=/（x）=log2%￡[0,2],

2

所以g（x）=[/（x）+a][f（X）-3Q]=?+4）。-3。）="-2at-3a

二（，—q）—4/=〃（/）MWR,

M（￡）=_4a2,/e[0,2],

若a22,則〃?）=（7『一4",/e[0,2]單調遞減，

所以此時力（0）=〃（2）=（2-4_4/=_3〃2_4。+4,

若0<a<2,貝!］=M（<7）=（a-o）2-4a2=-4a2,

若aW0,貝（1-4/,/e［。，2］單調遞增，

所以此時〃（a）=w（0）=（0-a）~-4a2=—3a2,

-3a2,a<0

綜上所述，h（a）=<-4a2,0<a<2.

—3礦—4a+4,aN2

【點睛】方法點睛：利用函數(shù)單調性的定義證明函數(shù)的單調性，首先要在函數(shù)定義域的給定區(qū)間內，任取

兩個數(shù)X”%,且W<%，然后通過計算/?）-/（乙）的符號，如果/（國）-〃％）<0,則/（X）在給定區(qū)間

內單調遞增；如果/（西）-/仁2）>0,則/（X）在給定區(qū)間內單調遞減.

【題型五對數(shù)（型）函數(shù)的單調性與最值】

一、單選題

1.（23-24高一下?云南曲靖?階段練習）已知。=logs0.2,b=30-2,c=0.2°-3,則a,b,c的大小關系為

（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性以及對數(shù)函數(shù)的單調性分別判斷出d瓦c的取值范圍，從而可得結果

【詳解】因為logs02<log?1=0,3°-2>3°=l,0<0,203<0.2°=1,

a<c<b.

故選：D.

2.（23-24高一下?內蒙古?階段練習）若x=log424,j=31og43,4=+8,=150貝U（）

A.x>y>zB.N>2>xC.z>y>xD.y>x>z

【答案】B

【分析】先設〃。）=〃+/（。>0）,得到函數(shù)的單調性和/（a）=150的解為a=5,并求出

4，+8、/（2二）=150,所以z=log25=log425,根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調性比較出大小.

【詳解】設函數(shù)/（。）=/+。3（°>0）,則為增函數(shù)，

因為〃5）=150,所以〃。）=150的解為a=5,

4,+8'=/（21=150,所以2==5,z=log25=log425.

因為％=108424<108425<1。8427=1。8433=了，所以了>2>x.

故選：B

【點睛】方法點睛：對數(shù)比較大小的方法有：

（1）對于真數(shù)相同的對數(shù)，可利用倒數(shù)法加以解決，有時也可把對數(shù)轉化為指數(shù)式進行比較；

（2）當?shù)讛?shù)與真數(shù)都不相同時，一般可選取適當?shù)摹懊浇椤保ㄍǔＲ浴?”或“1”為媒介），分別與要比較的數(shù)

比較大小，從而間接地得出要比較的數(shù)的大小關系；

（3）作差（商）比較法是比較兩個數(shù)值大小的常用方法，即對兩值作差（商），看其值與0（1）的關系,

從而確定所比兩值的大小關系.

二、填空題

,、2a無2—x，尤W1

3.（23-24高一上?遼寧大連?期中）已知函數(shù)/（x）=4是R上的單調函數(shù)，則實數(shù)0的取值

logax-l,x>l

范圍是.

【答案】

【分析】根據(jù)函數(shù)單調性即可求出實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】因為。>0且分1,所以當xVl時，函數(shù)=只能單調遞減,

/、2ax2—x——.x<1

所以函數(shù)〃X）=4'在R上單調遞減，

logax-l,x>l

-------->1

2x(2°廠

所以0<a<1'解得,即實數(shù)a的取值范圍是

o4

故答案為：

o4_

4.（24-25高三上?北京?開學考試）已知函數(shù)〃x）=21og2X-k）g2（xT）,則〃x）的定義域是；f（x）

的最小值是.

【答案】（1,+8）2

【分析】根據(jù)對數(shù)真數(shù)大于0,求定義域；對函數(shù)變形，再結合對數(shù)函數(shù)單調性和基本不等式求最值即可.

【詳解】第一個空：根據(jù)題意得到，t1>0,解得、〉1，即工〉1，則/（力的定義域是（1，+8）.

丫2

第二個空：由于函數(shù)/（X）=2logx-log（x-l）=logx2-log（x-l）=log----

22222X—1

繼續(xù)化簡得至U/（x）=log2（x-l+-^+2）,由于+

(1)

貝!k=x-l+工+224,當且僅當苫一1=工，即x=2時取最值.

x-lx—1

2

所以/(X)=log2-^―>log24=2,則/(X)的最小值是2.

故答案為:(1,+功；2.

三、解答題

5.(23-24高一上?北京大興?期末)已知函數(shù)/(x)=ln(l+x),g(x)=In(l-x).

(1)求證:/(x)+g(x)為偶函數(shù);

(2)設為(x)=/(x)-g(x),判斷“x)的單調性，并用單調性定義加以證明.

【答案】(1)證明見解析

(2)"x)是單調遞增函數(shù)，證明見解析

【分析】(1)由對數(shù)復合型函數(shù)的定義域結合偶函數(shù)的定義即可得證.

(2)直接由函數(shù)單調性的定義結合對數(shù)函數(shù)單調性即可得證.

/、/、=fl+x>0

【詳解】(1)函數(shù)y(x)+g(x)的自變量x滿足

解得-1<X<1,

所以函數(shù)〃x)+g(x)的定義域為

對于Vxw(-U),都有一xe(-Ll),

K/(-x)+g(-x)=ln(l-jc)+ln(l+x)=g(x)+/(x)

所以函數(shù)/(x)+g(x)為偶函數(shù).

(2)函數(shù)”x)是單調遞增函數(shù).

理由如下:設內,三,且玉<尤2，

力(七)一/z(z)=In(1+&)-In(1——(in(1+%)-In(1—％))

=In(1+%1)+In(1-x2)-(in(1-%1)+In(1+x2))

=In(1+x；)(1-x2)-In(1-x；)(1+x2)

(1+無])(1—X2)—(1—+=2(玉一x?)

因為玉<龍2，所以2(無1-無2)<0，即+-尤2)<(1-玉)(1+%2)，

又知再,馬€(-1,1),所以(1+占)0_/)>0,(l-x1)(l+x2)>0

因此ln(l+X])(l-X2)<ln(l-X])(l+X2)，

即由函數(shù)單調性定義可知，函數(shù)〃（X）是單調遞增函數(shù).

6.（24-25高一上?上海?課后作業(yè)）已知a>0,awl且loga3<log02,若函數(shù)了=log“x在區(qū)間［a,3a］上的最

大值與最小值之差為1.

⑴求”的值；

（2）若1VxW3,求函數(shù)y=（log“x『+log%-2的最小值.

【答案】（l）a=g

33

⑵——

16

【分析】（1）由log,3<log.2可得0<。<1,則丁=log/在定義域內為減函數(shù)，再根據(jù)已知條件列方程可求

出。的值；

（2）由14x43得一心四戶口，對函數(shù)化簡后換元得>"+3-2,然后利用二次函數(shù)的性質可求出其

32

最小值.

【詳解】（1）因為log03<log。2,所以o<a<l,

所以〉=logax在［a,3a］上為嚴格減函數(shù)，

因為函數(shù)〉=bgax在區(qū)間［a,3a］上的最大值與最小值之差為1,

所以log/-log,3a=l,即log'=l,解得好；.

（2）因為1W3,所以TMl°g產4°,

3

2（Y1

所以y=（log/）2+logq4一2=logM+-k>g/—2,

令log,一則問TO］,>=入｝_2=卜+j一

所以當,即x_3;時，了取最小值為一

44J16

7.（23-24高一下?甘肅白銀?期中）已知函數(shù)〃x）=log式元2-1）一log。」）.

⑴證明：〃x）的定義域與值域相同.

（2）若Vxe［3,+e）,VZe（0,+oo）,/（司+，一：>機，求機的取值范圍.

【答案】⑴證明見解析；

⑵（-8,-2）.

【分析】(1)由具體函數(shù)的定義域可得『二解不等式即可求出/'(X)的定義域，再結合對數(shù)函數(shù)的

x-1>0

單調性即可求出“X)的值域.

⑵設則他<〃xLn+g0nl.，分別求出了3mm名(嘲，即可得出答案.

【詳解】(1)證明：由/二得尤>1,

[x-l>0

所以〃x)的定義域為(1,+8).

v2-l

/(x)=log----=log(x+l),

2x-12

因為/(x)=log2(x+1)在(1,+8)上單調遞增.

所以“X)>/⑴=噓22=1,所以/(X)的值域為(1,+8),

所以/(x)的定義域與值域相同.

(2)解：由(1)知/(切=1。82(工+1)在(3,+8)上單調遞增，

所以當xe[3,+8)時，“X)1nm=〃3)=2.

設g-『2]-4,

當;=2,即f=g時，g(。取得最小值，且最小值為-4.

因為Vxe[3,+s),Vfe(0,+oo),/(x)+-^--y>m,

所以加</(x)11ml+g(f)1nm=-2,即m的取值范圍為(---2).

1一Y

8.(2025?江蘇南通?一模)已知函數(shù)"x)=log2；—.

⑴判斷并證明“X)的奇偶性；

⑵若對任意xe-1,1,fe[-2,2],不等式+必-6恒成立，求實