二元一次方程（組）-2025年滬科版七年級數(shù)學(xué)寒假提升講義（含答案）

專題04二元一次方程（組）

考點聚焦：核心考點+中考考點，有的

放矢

重點專攻：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺

提升專練：真題感知+精選專練，全面突破

考點聚焦

回代入WXflMR個方程中，求出另外內(nèi)個未知數(shù)

?》重點專攻

知識點1:二元一次方程組的相關(guān)概念

試卷第1頁，共20頁

1.二元一次方程的定義

定義：方程中含有兩個未知數(shù)（一般用X和了），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1,像這樣的方程叫

做二元一次方程.

注意：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).

（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項（單項式）的次數(shù)是1.

（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.

2.二元一次方程的解

定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.

注意：二元一次方程的每一個解，都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般要用大括號聯(lián)立起

[x=a

來，即二元一次方程的解通常表示為人的形式.

[y=b

3.二元一次方程組的定義

定義：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.此

外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數(shù).例如，二元一次方程組

j3x+4歹=5

[x—2,

\a,x+b.y=G

注意：（1）它的一般形式為：（其中外,出，可,打不同時為零）.

[a2x+b2y=c2

（2）更一般地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù)，那么它們組成一個二元一次方

程組.

（3）符號“{”表示同時滿足，相當(dāng)于“且”的意思.

4.二元一次方程組的解

定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

注意：（1）方程組中每個未知數(shù)的值應(yīng)同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應(yīng)

把數(shù)值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某

一組解不一定是方程組的解.

（2）方程組的解要用大括號聯(lián)立；

（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組h-/無解,

\2x+y=6

試卷第2頁，共20頁

而方程組{2：：方^12的解有無數(shù)個.

知識點2:二元一次方程組的解法

1.解二元一次方程組的思想：消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程

2.解二元一次方程組的基本方法：代入消元法和加減消元法

（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：

①從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形，用含有x（或V）的代數(shù)式表示了

（或X）,即變成y=ax+6（或x=ay+6）的形式；

②將y=ox+6（或》=即+6）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去了（或

x）,得到一個關(guān)于x（或了）的一元一次方程；

③解這個一元一次方程，求出x（或V）的值；

④把x（或了）的值代入了=辦+6（或x=ay+6）中，求了（或x）的值；

⑤用“{”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解.

注意：（1）用代入法解二元一次方程組時，應(yīng)先觀察各項系數(shù)的特點，盡可能選擇變形后比

較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；

（2）變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；

（3）要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法.如將某個未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個整

體用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程,

這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使

運算簡便，提高運算速度及準(zhǔn)確率.

（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：

①根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原

方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的形式；

②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，

將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；

③解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；

④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值；

⑤將兩個未知數(shù)的值用“{”聯(lián)立在一起即可.

注意：當(dāng)方程組中有一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或同一個未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時，用

加減消元法較簡單.

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知識點3:實際問題與二元一次方程組

注意：（1）解實際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求

得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；

（2）“設(shè)，，、“答”兩步，都要寫清單位名稱；

（3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組.

知識點4：三元一次方程組

1.定義：含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；

含有三個相同的未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,并且一共有三個方程，像

這樣的方程組叫做三元一次方程組.

4x+y-z=12,2a+lb=3,

3x+2y+z=-5,<3〃一c=1,等都是三元一次方程組.

x-y+5z=1,一6+3。=4

注意：理解三元一次方程組的定義時，要注意以下幾點：

（1）方程組中的每一個方程都是一次方程；

（2）如果三個一元一次方程合起來共有三個未知數(shù)，它們就能組成一個三元一次方程組.

2.三元一次方程組的解法

解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應(yīng)利用代入法或加減法消去一個未知數(shù),

從而化三元為二元，然后解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)，最后再求出另一個未知

數(shù).解三元一次方程組的一般步驟是：

（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中

的同一個未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組；

（2）解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)的值；

（3）將求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比較簡單的方程，得到一個一元

一次方程；

（4）解這個一元一次方程，求出最后一個未知數(shù)的值；

（5）將求得的三個未知數(shù)的值用“{”合寫在一起.

試卷第4頁，共20頁

注意：（1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時要根據(jù)各方程特點尋求比較簡單的

解法.

（2）要檢驗求得的未知數(shù)的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數(shù)的值分別代入

原方程組里的每一個方程中，看每個方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解,

只要有一個方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解.

3.三元一次方程組的應(yīng)用

列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：

（1）弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母（如x,乃z）表示題目中的兩個（或三個）未

知數(shù)；

（2）找出能夠表達應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；

（3）根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；

（4）解這個方程組，求出未知數(shù)的值；

（5）寫出答案（包括單位名稱）.

注意：（1）解實際應(yīng)用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得

的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去.

（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一.

（3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個方程并組成方程組.

<?提升專練------------------------------------------

鬻題型歸納

【考點01二元一次方程的定義】

（22-23七年級上?湖南常德?期中）

1.下列是二元一次方程的是（）

A.x+2y=3B.x2+y=lC.-+-=2D.2x-l=5

3x

（23-24七年級下?四川南充?期中）

2.若2/7=3是二元一次方程，則加=,"=

（23-24七年級上?重慶?期末）

3.已知方程（機-3）+2廣筋=io是關(guān)于X、夕的二元一次方程.貝0+〃=.

（23-24七年級下?山東煙臺?期末）

試卷第5頁，共20頁

4.請寫出一個關(guān)于工,歹的二元一次方程，使其滿足》的系數(shù)是大于2的整數(shù)，歹的系數(shù)是

小于-l的整數(shù)，且x=l,>=3是這個二元一次方程的解.這個方程可以是

【考點02判斷是否是二元一次方程組】

⑵-24七年級下?云南德宏?期末）

5.下列方程組中是二元一次方程組的是

x—y=1x2+y2=4

A.B.

2x+z=4x+y=5

11

x+y=3—+—5

C.D.xy

=5

x-2y=4

（23-24七年級下?江蘇連云港?期末）

6.下列方程組是二元一次方程組的是（

x-y=3Li_3

A.B.〈y

y+z=4

2x+y=5

xy=3x=3+y

C.D.

3x-y=43〉+4x=4

（22-23七年級下?北京海淀?期中）

7.下列方程組中,是二元一次方程組的是)

2x—3y=l2x=l

xy=l2x+z=0

A.B.C.D.〈

x+y=21=23x-2y=2

J

（23-24七年級下?河北石家莊?期中）

111

xy=1x=l—I—=Ix=2x+y=5

8.在方程組=xy7中，是二元一次方程

x+2y=3,=13y-x=ly=/+z

x+y=I

組的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【考點03代入消元法】

（22-23七年級下?重慶江津?期中）

9.解下列方程組.

試卷第6頁，共20頁

x+2y=6

(1)

2x-y—7

x+yfx-y_t

⑵23

4（%+））-5（工一））二-38

（22-23七年級下?浙江?期中）

10.用適當(dāng)方法解下列方程組:

y=3x-5

(1)

5x+y=11

xZ±l=1

(2)j23

3x+2y=10

（23-24七年級上?安徽?期末）

11.解二元一次方程組:

x=3y-2

(1)

4y=7-3x

2x-3y=-5

⑵

3x_4y=-6

（22-23七年級下?新疆阿克蘇?期末）

12.解下列方程組:

x-2y=3

(1)3x+2y=9；

(2)

4(x-y)+3(x+7)=9

【考點04加減消元法】

（23-24八年級上?江蘇南通?期末）

x+2y=8

13.若無、y滿足方程」r，則的值是

2x+y=J

（24-25八年級上?山東濟南?期中）

14.解方程組:

3x+2y=ll①

(1)3x-5y=4?；

試卷第7頁，共20頁

曰+四=1①

(2)j23

x+y=4②

（23-24七年級下?山東濟寧?期末）

3x-4y=-6

15.（1）解方程組:

2x+3y=13

x+yx-y

<2\3=6

（2）解方程組:

4(x+y)_5(x_y)=2

（23-24七年級下?廣東肇慶?期末）

16.解下列方程組:

2x-y=7

3x+2y=0

2x-5y=-21

（2）,；_

[4x+3歹=23

【考點05二元一次方程組解的綜合應(yīng)用】

（22-23七年級下?四川內(nèi)江?期中）

17.利用加減消元法解二元一次方程組<；（臺時，下列做法，正確的是（）

[51一3歹二6②

A.要消去V,可以將①X5XDX2

B.要消去x,可以將①x3+②x（-5）

C.要消去V,可以將①x5+②x3

D.要消去x,可以將①x5-②x2

（23-24七年級下?湖南益陽?期中）

18.（w-3）x+2/T+6=o是關(guān)于x,了的二元一次方程，則加=.

（23-24七年級下?海南?？?期中）

19.已知二元一次方程2x-3y=5,用含y的代數(shù)式表示x,貝口=.

（23-24七年級下?浙江寧波?期中）

Ix+mv=5?

20.已知關(guān)于x,y的方程組，.小，將此方程組的兩個方程左右兩邊分別對應(yīng)

\mx-y=3+2加②

相加，得到一個新的方程，當(dāng)加每取一個值時，就有一個方程，這些方程有一個公共解，

試卷第8頁，共20頁

這個公共解為.

【考點06方案選擇】

（23-24七年級下?四川眉山?期中）

21.用長方形硬紙板做長方體盒子，底面為正方形，側(cè)面是相同的長方形，經(jīng)測量，一張硬

紙板有如圖4種裁剪方案.A方案：剪3個側(cè)面；8方案：剪2個側(cè)面和2個底面；C方案:

剪1個側(cè)面和4個底面；。方案：剪6個底面.現(xiàn)有35張硬紙板，請你設(shè)計一種不浪費紙板

的裁剪組合方案，并計算最多可以做多少個盒子？

盒子A方案B方案C方案D方案

（23-24七年級下?重慶彭水?期中）

22.某面粉加工廠要加工一批小麥，2臺大面粉機和5臺小面粉機同時工作lh加工小麥32噸；

3臺大面粉機和2臺小面粉機同時工作lh共加工小麥26噸.

（1）1臺大面粉機和1臺小面粉機每小時各加工小麥多少噸？

（2）該廠現(xiàn)有450噸小麥需要加工，計劃使用8臺大面粉機和10臺小面粉機同時工作5h,能

否全部加工完？請你幫忙計算一下.

（23-24七年級下?山東荷澤?期中）

23.干佛山、總勺突泉、大明湖并稱濟南三大風(fēng)景名勝區(qū)，為了激發(fā)學(xué)生個人潛能和團隊精神，

某學(xué)校組織學(xué)生去千佛山開展素質(zhì)拓展活動.己知千佛山景區(qū)成人票每張30元，學(xué)生票按

成人票五折優(yōu)惠.某班教師加學(xué)生一共去了50人，門票共需810元.

（1）這個班參與活動的教師和學(xué)生各多少人？（應(yīng)用二元一次方程組解決）

（2）該班在購買活動獎品時，N獎品每件20元，8獎品每件50元，如果準(zhǔn)備用200元購買,

A,5兩種獎品（200元恰好用完，兩種獎品都有），請你幫班級設(shè)計出購買力,3兩種獎品

的購買方案.

（22-23七年級下?江蘇南通?期中）

24.隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工

具.某汽車制造商開發(fā)了一款新能源汽車，計劃一年生產(chǎn)安裝360輛.由于抽調(diào)不出足夠的

熟練工來完成安裝任務(wù)，工廠決定招聘部分新工人，他們經(jīng)過培訓(xùn)后也能獨立進行新能源汽

車的安裝.生產(chǎn)開始后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：1名熟練工和3名新工人每月可安裝12輛新能源

試卷第9頁，共20頁

汽車；2名熟練工和5名新工人每月可以安裝22輛新能源汽車.

（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛新能源汽車？

（2）如果工廠招聘〃（0<?<10）名新工人，使得招聘的新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成

一年的安裝任務(wù)，那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？

（3）在（2）的條件下，工廠給安裝新能源汽車的每名熟練工人每月發(fā)放4000元的工資，給

每名新工人每月發(fā)2400元的工資，那么工廠應(yīng)招聘多少名新工人，使新工人的數(shù)量多于熟

練工，同時工廠每月支出的工資總額少（元）盡可能少？

【考點07行程問題】

（22-23七年級下?云南曲靖?期末）

25.從甲地到乙地有一段上坡路與一段平路，如果上坡每小時走3km,平路每小時走4km,

下坡每小時走5km,那么從甲地到乙地需要36分鐘，從乙地到甲地需要24分鐘，甲地到

xy36

__=_____

34-60

乙地全程是多少？根據(jù)題意，老師給出的方程組為則方程組中x表示,

二+2=*

.5460

（23-24七年級下?北京延慶?期末）

26.學(xué)校和博物館相距20千米，小明與小強分別從學(xué)校和博物館出發(fā)，相向而行.如果小

明比小強早出發(fā)30分鐘，那么在小強出發(fā)后2小時，他們相遇；如果他們同時出發(fā)，那么1

小時后兩人還相距11千米.求小明、小強每小時各走多少千米.

（23-24七年級下?江蘇徐州?期末）

27.用二元一次方程組解決問題：

4、8兩地相距12km,甲騎電動車從工地出發(fā)到5地，與此同時，乙騎電動車從2地出發(fā)

到/地，兩人均保持勻速行駛.已知第10分鐘兩人相遇，又經(jīng)過4分鐘，里剩余路程是乙

剩余路程的8倍.求甲、乙二人的騎行速度.

（23-24七年級上?山東濱州?期末）

28.列方程解應(yīng)用題：

（1）/車和3車從甲，乙兩地同時出發(fā)，沿同一路線相向勻速而行.出發(fā)后1.5小時兩車相距

75公里，之后再行駛2.5小時/車到達乙地，而8車還差40公里才能到達甲地.求甲地和

乙地相距多少公里？

（2）某工廠車間有60個工人生產(chǎn)A零件和B零件，每人每天可生產(chǎn)A零件15個或B零件

20個（每人每天只能生產(chǎn)一種零件），一個A零件配兩個B零件，且每天生產(chǎn)的A零件和B

試卷第10頁，共20頁

零件恰好配套.工廠將零件批發(fā)給商場時，每個A零件可獲利10元，每個B零件可獲利5

元.

①求該工廠有多少工人生產(chǎn)A零件？

②因市場需求，該工廠每天要多生產(chǎn)出一部分A零件供商場零售使用，現(xiàn)從生產(chǎn)B零件的

工人中調(diào)出多少名工人生產(chǎn)A零件，才能使每日生產(chǎn)的零件總獲利比調(diào)動前多600元？

【考點08分配問題】

（23-24七年級下?山東淄博?期中）

29.某旅館的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天40元，兩人間每人每天50元，

一個50人的旅游團到該旅館住宿，租住了若干客房，且每個客房正好住滿，一天共花去住

宿費2320元，兩種客房各租住了多少間？

⑵-24七年級下?廣東廣州?期中）

30.列方程或方程組解應(yīng)用題

福林制衣廠現(xiàn)有24名制作服裝的工人，每天都制作某種品牌的襯衫和褲子，每人每天可制

作這種襯衫3件或褲子5條.已知制作一件襯衫可獲得利潤30元，制作一條褲子可獲得利

潤16元，若該廠要求每天獲得利潤2100元，則需要安排多少名工人制作襯衫？多少名工人

制作褲子？

（22-23七年級上?廣西賀州?期末）

31.某校預(yù)計安排若干間宿舍給七年級男寄宿生住，若每間宿舍住6人，則有4人住不下,

若每間住7人，則有1間只住2人且空余8間宿舍，求該校七年級男寄宿生有多少人？預(yù)計

安排給七年級男寄宿生的宿舍有多少間？

（22-23七年級下?海南?？?期中）

32.學(xué)校準(zhǔn)備租用一批汽車，現(xiàn)有甲、乙兩種大客車，甲種客車每輛載客量45人，乙種客

車每輛載客量30人，已知2輛甲種客車和3輛乙種客車共需租金1540元，3輛甲種客車和2

輛乙種客車共需租金1560元.

（1）求1輛甲種客車和1輛乙種客車的租金分別是多少元？

（2）學(xué)校計劃租用甲、乙兩種客車共8輛，送330名師生集體外出活動，剛好全部坐滿，問租

車費用是多少？

【考點09銷售盈虧問題】

（23-24七年級下?江蘇淮安?期中）

33.為迎接春季運動會，學(xué)校先在體育用品商店購買30個足球和60條跳繩用去720元，后

試卷第11頁，共20頁

又購買10個足球和50條跳繩用去360元.

(1)足球、跳繩的單價各是多少元？

(2)該店最近正在開展促銷活動，所有商品都按相同的折數(shù)打折銷售，在該店促銷期間購買

100個足球和100條跳繩只需1800元，該店的商品按原價的幾折銷售？

(23-24七年級下?重慶?期中)

34.近日被市民們親切的稱為“背簍專線”的重慶輕軌四號線受到人們的關(guān)注，某天張大爺乘

坐“背簍專線”將自己種植的新鮮水果櫻桃和枇杷拿去市區(qū)售賣，已知2斤櫻桃和3斤枇杷共

可賣95元，3斤櫻桃和2斤枇杷共可賣105元.

⑴請問張大爺售賣的櫻桃和枇杷每斤的售價各為多少元？

(2)張大爺這天一共有20斤櫻桃和30斤枇杷，經(jīng)過一天的售賣，櫻桃一共賣出了櫻桃總量

的70%,由于天氣炎熱，在剩下的櫻桃中出現(xiàn)了7〃％的損壞不能售賣.枇杷售出了枇杷總

量的。，張大爺決定對剩下的櫻桃打8折銷售，剩下的枇杷直接每斤降價〃?元，很快便將

所有水果銷售一空，張大爺這天賣水果一共收入了889元，求加的值.

(23-24七年級上?重慶北倍?期中)

35.列方程解應(yīng)用題：7月，某水果店用370元購進葡萄、西瓜，其中西瓜的重量比葡萄的

2倍還多5千克，每千克葡萄、每千克西瓜的進價分別為5元、2元，售價分別為8元、5

元.

(1)求購進兩種水果各多少千克？

(2)8月，水果店以7月的進價又購進葡萄、西瓜兩種水果，其中葡萄、西瓜的重量都不變,

葡萄降價y元銷售，西瓜按原價銷售，8月份兩種水果售完后的總利潤是315元，求y的值.

(23-24七年級上?黑龍江哈爾濱?期中)

36.黑馬鈴薯又名“黑金剛”，它富含碘、硒等多種微量元素，特別是含有花青素、花青原素，

素有“地下蘋果，，之稱.老李今年種植了5畝A品種黑馬齡薯，10畝3品種黑馬鈴薯，其中A

品種的平均畝產(chǎn)量比8品種的平均畝產(chǎn)量低20%,共收獲兩個品種黑馬鈴薯14000千克.

(1)求A,3兩個品種黑馬鈴薯平均畝產(chǎn)量各多少千克？

試卷第12頁，共20頁

（3）在（2）的條件下某蔬菜商人分兩次向老李收購?fù)赀@些黑馬齡薯.收購方式如下：A,B

兩個品種各自獨立裝箱，A品種每箱40千克，8品種每箱100千克，老李給出如下優(yōu)惠：

收購A或8的數(shù)量（單位：箱）不超過30箱超過30箱

-優(yōu)惠方式收購總價打九五折收購總價打八折

第一次收購了兩個品種共60箱，且收購的8品種箱數(shù)比A品種箱數(shù)多；受某些因素影響，

蔬菜商人第二次收購時做出了價格調(diào)整：每箱A的收購價不變，每箱3的收購價比第一次的

收購價降低，，優(yōu)惠方式不變.兩次收購?fù)晁械暮隈R鈴薯后，蔬菜商人發(fā)現(xiàn)第二次支付給

0

老李的費用比第一次支付給老李費用多11400元，求蔬菜商人第一次收購A品種黑馬鈴薯多

少箱？

【考點10三元一次方程組】

（23-24七年級下?福建泉州?期中）

3x+z=6

37.解方程組4x-.y+2z=ll時，要使解法較為簡便，應(yīng)（）

5x+2y-3z=4

A.先消去xB.先消去VC.先消去zD.先消去常數(shù)

（23-24七年級下?山東煙臺?期中）

2a+b-3c=19

38.三元一次方程組，4a+26+c=3消去一個未知數(shù)后，所得二元一次方程組是（）

a-b+c=0

\5a-2b=19\2a+b=4\a+b=\j3a+6=3

A，]+6=lB.13q+6=3C,（3q_26=19[5a-2b=19

（23-24七年級下?四川眉山?期中）

39.在等式y(tǒng)="2+6x+c中，當(dāng)x=-l時，＞=0；當(dāng)x=3時，y=0；當(dāng)x=o時，

7=-3.則這個等式為_____________________

（24-25八年級上?山東濟南?期中）

40.【閱讀理解】

在求代數(shù)式的值時，有些題目可以用整體求值的方法，化難為易.

（3x+2y+z-4①

例：已知，/[1的，求2x+y+z的值.

[7x+4y+3z=10②

試卷第13頁，共20頁

解：②-①得：4x+2y+2z=6③

③xg得：2x+y+z=3,

所以，2x+y+z的值為3.

【類比遷移】

fx+2y+3z=10

（1）已知X求3x+4y+5z的值；

[5x+6y+7z=26

【實際應(yīng)用】

（2）某班級班委準(zhǔn)備把本學(xué)期賣廢品的錢給同學(xué)們買期中獎品，根據(jù)商店的價格，若購買3

本筆記本、2支簽字筆、1支記號筆需要28元；若購買7本筆記本、5支簽字筆、3支記號

筆需要66元；本班共45位同學(xué)，則購買45本筆記本、45支簽字筆、45支記號筆需要多少

錢？

過關(guān)檢測

一、單選題

（23-24七年級下?云南文山?期中）

41.若（“-1）即+3y=l是關(guān)于x的二元一次方程，則。的值為（）

A.1B.-1C.±1D.2

（23-24八年級上?河南駐馬店?期末）

42.已知3x-7y=41,用含x的代數(shù)式表示了可得（）

7y+41--7^+41廠41-3x八3x-41

A.x=--------B.x=—:-------C.y=---------D.y=---------

3377

（23-24七年級上?河南鄭州?階段練習(xí)）

43.在長方形/BCD中放入六個長、寬都相同的小長方形，所標(biāo)尺寸如圖所示，則圖中陰影

部分的面積之和為（）

試卷第14頁，共20頁

(23-24七年級下?江蘇徐州?期中)

44.如圖，用四個完全相同且長、寬分別為x,y(x>y)的長方形紙片圍成一個大正方形

ABCD,中間是空的小正方形EFG".已知4B=7,EF=3,則下列關(guān)系式中不乖砸的是()

C.x2-/=21D.x2+y2=40

(24-25七年級上?北京?期中)

45.正正和陽陽一起玩猜數(shù)游戲.正正說：“你隨便選定三個小于8的正整數(shù)，按下列步驟

進行計算：第一步把第一個數(shù)乘以4,再減去15；第二步把第一步的結(jié)果乘以2,再加上第

二個數(shù)；第三步把第二步的結(jié)果乘以8,再加上第三個數(shù).只要你告訴我最后的得數(shù)，我就

能知道你所選的三個正整數(shù).”陽陽表示不信，但試了幾次以后，正正都猜對了.請你利用

所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識來探索該“奧秘”，回答：當(dāng)“最后的得數(shù)”是102時，陽陽最初選定的三個

正整數(shù)按順序分別是()

A.1,4,6B.6,4,1C.6,2,5D.5,2,6

(22-23七年級下?重慶蒙江?期中)

46.《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)專著，其“方程”章中給出了“遍乘直除”的算法解方

3x+2y+z=39①

程組.比如對于方程組，2x+3.y+z=34②，先將方程①中的未知數(shù)系數(shù)排成數(shù)列32139,

龍+2y+3z=26③

然后執(zhí)行如下步驟：(如圖)第一步，將方程②中的未知數(shù)系數(shù)乘以3,然后不斷地減一行,

直到第二行第一個數(shù)變?yōu)?;第二步，對第三行做同樣的操作，其余步驟都類似.

方程①：32139

第一步方程②：23134—693102……-4-051a

第二步方程③：12326fM……f06839

其實以上步驟的本質(zhì)就是在消元，根據(jù)以上操作，有下列結(jié)論：(1)數(shù)列M為：369618

(2)a=24(3)6=4其中正確的有()

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(2)(3)

試卷第15頁，共20頁

二、填空題

（23-24七年級下?浙江紹興?期中）

47.已知關(guān)于x,y的二元一次方程組I"*（。是常數(shù)），若不論。取什么實數(shù)，

—3y=4。+6

代數(shù)式米-了"是常數(shù)）的值始終不變，貝廉=.

（23-24七年級下?河北石家莊?期中）

[2x+y=5

48.已知無、了滿足方程組/,則x-y的值為____.

[x+2y=4

（24-25七年級上?重慶?期中）

49.對于一個三位正整數(shù)力，如果"滿足：它的百位數(shù)字、十位數(shù)字之和與個位數(shù)字的差等

于7,那稱這個數(shù)為“七巧數(shù)”.例如："1=452,?「4+5-2=7,.1452是“七巧數(shù)”；

%=724,?;7+2-4=5w7,.1724不是“七巧數(shù)”.最小的“七巧數(shù)”是；若“七巧數(shù)”加

滿足:所有數(shù)位的數(shù)字之和是9的倍數(shù)，且它的百位數(shù)字大于十位數(shù)字，則m的最大值是

（23-24七年級下?福建泉州?期中）

50.已知X、了、z是三個非負實數(shù)，滿足3x+2y+z=5,x+y-z=2,若S=2x+y-z,

則S的最大值與最小值的差為.

三、解答題

（22-23七年級下?重慶沙坪壩?期中）

51.解方程組：

2,x—3y=—1

(1)

x+2y=3

2=1+小

(2)23

2(x+l)_y=7

u+vu-v/

------+-------=6

(3)23

4(w+v)-5(w-v)=2

0.3m-1.5w3m-n

----------------F=14

0.34

(4)<

mn-1-

——+------=11

123

（23-24七年級下?北京?期中）

試卷第16頁，共20頁

52.解方程組:

4(x-y=2①

(1)‘。=2②

[23

x+y+z=13@

(2)y+z=10②

x+y—2z=—5③

(22-23七年級下?河南洛陽?期中)

53.下面所示為七下教材38頁中三元一次方程組的解題過程，請根據(jù)教材提供的做法和有

關(guān)信息解決問題.

2x-3y+4z=3①

例1解方程組：3x-2y+z=7②

x+2y-3z=l③

解由方程②，得z=7-3x+2y...........步驟一④

將④分別代入方程①和③，得

2x-3y+4(7-3x+2y)=3

步驟二

x+2y-3(7-3元+2y)=l

f~x+y=—5

整理，得、...

[5x-2y=11

fx=1

解這個二元一次方程組，得°

卜=-3

代入④，得z=7-3-6=-2.

x=1

所以原方程組的解是㈠=-3,

2=-2

(1)我們在之前學(xué)習(xí)了二元一次方程組的解法，其基本思想是：通過“消元”，消去一個未知數(shù),

將方程組轉(zhuǎn)化為一求解，方法有_和_.其中的步驟二通過一法消去未知數(shù)Z,將三元一次方程

組變成了一，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中_思想.

x+2y-z=4

(2)仿照以上思路解方程組-2x+y+z=5消去字母Z后得到的二元一次方程組為一.

3x+4y+z=10

(23-24七年級上?浙江杭州?期中)

試卷第17頁，共20頁

54.如圖，在一張長方形紙條上畫一條數(shù)軸.

>,，/..............忸，，，

4-3-2-101234567.........-4-3j2-101234567

圖1圖2

(1)折疊紙條使數(shù)軸上表示-3的點與表示9的點重合，折痕與數(shù)軸的交點表示的數(shù)是「如果

數(shù)軸上兩點之間的距離為7,經(jīng)過上述的折疊方式能夠重合，那么左邊這個點表示的數(shù)是」

(2)如圖2,點/、B表示的數(shù)分別是-2、4,數(shù)軸上有點C,使點C到點3的距離是點C到

點N距離的3倍，那么點C表示的數(shù)是多少？

(3)如圖2,若將此紙條沿/、3兩處剪開，將中間的一段紙條對折，使其左右兩端重合，這

樣連續(xù)對折5次后，再將其展開，分別求出最左端和最右端的折痕與數(shù)軸的交點表示的數(shù).

(23-24七年級下?廣東廣州?期中)

55.關(guān)于x,y的二元一次方程組，如果方程組的解x,>滿足x-y=l,我們就說方程組的

解尤與/具有“鄰好關(guān)系”，請完成下面問題：

Iy=2x-4

⑴方程組Jc的解x與y是否具有“鄰好關(guān)系”？請說明理由;

[3x+2y=13

2x+y=5k+\

(2)方程組/AJ-的解x與〉具有“鄰好關(guān)系”，求左的值.

x+=4左+2

(23-24七年級下?福建廈門?期中)

3x+y=5?-4

56.已知關(guān)于x,了的二元一次方程組-,其中。為實數(shù).

x—y=—a

(1)當(dāng)a=2時，求方程組的解；

(2)求x+V的值(用含。的代數(shù)式表示)；

(3)試說明無論。取何數(shù)時，代數(shù)式6x-3y的值始終不變.

(23-24七年級下?福建泉州?期中)

32r

—I—=7

xy11

57.閱讀：某同學(xué)在解方程組。；時，運用了換元法，方法如下：設(shè)—=〃?，一=〃,

1-1=14xJ

X歹

\3m+2n=7

則原方程組可變形為關(guān)于加，〃的方程組C解這個方程組得到它的解為

2m—n=14

試卷第18頁，共20頁

m=511X~5

由-=5,—=-4,求得原方程組的解為.請利用換元法解方程組:

n=-4xy1

5

+—=11

x-12y

3

---=13

2〉

(24-25七年級上?安徽六安?期中)

58.如圖，己知點/在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為0,點2對應(yīng)的數(shù)為6,且a,6滿足

|a+20|+|Z?-40|=0.

⑴求點A與點B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)a和b；

(2)現(xiàn)動點尸從點/出發(fā)，沿數(shù)軸向右以每秒4個單位長度的速度運動；同時，動點。從點

B出發(fā)，沿數(shù)軸向左以每秒2個單位長度的速度運動，設(shè)點P的運動時間為，秒.

①若點P和點。相遇于點C,求點C在數(shù)軸上表示的數(shù)；

②當(dāng)點尸和點0相距15個單位長度時，直接寫出t的值.

(24-25七年級上?廣東深圳?期中)

59.如下表，從左邊第一個格子開始向右數(shù)，在每個小格子中都填入一個整數(shù)，使得其中任

意三個相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等.

3a-6C7-6

⑴填空：?=,,第2024個格子中的數(shù)是；

(2)前"個格子中所填整數(shù)之和是否可能為2020?若能，求出〃的值；若不能，請說明理由;

(3)如果在前〃個格子中任取兩個數(shù)并用大數(shù)減去小數(shù)得到差值,而后將所有的這樣的差值累

加起來稱為前"項的累差值，例如前3項的累差值列式為：+-6)|+卜-(-6)|,那

么前10項的累差值為多少？

(23-24七年級下?浙江?期中)

60.滴滴快車是一種便捷的出行工具，計價規(guī)則如下表:

計費項目里程費時長費遠途費

試卷第19頁，共20頁

單價L8元/公里0.3元/分鐘0.8元/公里

注：車費由里程費、時長費、遠途費三部分構(gòu)成，其中里程費按行車的實際里程計算；時長

費按行車的實際時間計算；遠途費的收取方式為：行車?yán)锍?公里以內(nèi)(含7公里)不收遠

途費，超過7公里的，超出部分每公里收0.8元.

(1)一人乘坐滴滴快車，用了20分鐘到目的地，快車共行駛了x(x>7)公里，他共用_7C

(用含x的代數(shù)式表示).

(2)甲、乙兩好友出行，因順路兩人乘坐同一輛滴滴快車(多人乘坐只需一人支付全程費

用)，在途中乙先下車，此時計費器顯示已產(chǎn)生了8.4元費用，又過了8分鐘，甲到達目的

地，并在支付14.4元給司機時發(fā)現(xiàn)快車全程共行駛了5公里，求乙的乘車時長和實際里程.

(3)丙、丁兩人各自乘坐滴滴快車，丁比丙行車?yán)锍潭?.5公里，如果下車時兩人所付車費相

同，且兩人計費項目也相同，那么這兩輛滴滴快車的行車時長相差_(直接寫出答案).

試卷第20頁，共20頁

1.A

【分析】本題考查了二元一次方程，根據(jù)二元一次方程的定義：含有兩個未知數(shù)，并且含有

未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程即可判斷求解，掌握二元一次方程的

定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、x+2y=3是二元一次方程，該選項符合題意；

B、方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是2,不是二元一次方程，該選項不合題意；

C、方程的左邊不是整式，不是二元一次方程，該選項不合題意；

D、方程只含有一個未知數(shù)，不是二元一次方程，該選項不合題意；

故選：A.

2.12

【分析】本題考查了二元一次方程，根據(jù)二元一次方程的定義即可求解，掌握二元一次方程

的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：一2廣=3是二元一次方程，

3m—2—1,"—1=1,

=l,n=2,

故答案為：1,2.

3.2

【分析】本題考查了二元一次方程的定義，能熟記二元一次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，注

意：只含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是1的整式方程，叫二元一次方程.

根據(jù)二元一次方程的定義，求出加和〃的值，代入進行計算即可.

【詳解】解：???方程（加-3），*+2產(chǎn),=10是關(guān)于x、>的二元一次方程，

加一3w0

<|m-2|=1,

3—2〃=1

[m=l

解得：「

[幾=1

.,.m+n=1+1=2,

故答案為：2.

4.3x-2y=-3（答案不唯一）

答案第1頁，共36頁

【分析】本題考查二元一次方程的知識，解題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程的解，根據(jù)題意,

寫出滿足題意的X,了的系數(shù)，再把X=1代入，驗證V的值，即可.

【詳解】解：由題意得，X的系數(shù)是大于2的整數(shù)，y的系數(shù)是小于-1的整數(shù)，

?1?3x—2y--3滿足題意，

=>=3是這個二元一次方程的解，

二當(dāng)x=1時，3-2y--3,

解得：>=3,

3x-2.y=-3符合題意.

故答案為：3x-2y=-3（答案不唯一）.

5.C

【分析】此題考查的是二元一次方程組的判斷，掌握二元一次方程組的定義是解決此題的關(guān)

鍵.

根據(jù)二元一次方程組的定義逐一判斷即可.

fx-y=]

【詳解】解：A.、-，是三元一次方程組，故A不符合題意；

B.[X2A+y二2=4是二元二次方程組’故B不符合題意;

C.1I3x、+一y;=二35是二元一次方程組,故C符合題一意;

—I—=5

D.xy是分式方程組，故D不符合題意.

x-2y=4

故選：C.

6.D

【分析】本題考查了二元一次方程組的定義；

如果方程組中含有兩個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是一次，那么這樣的整式方程組

叫做二元一次方程組，據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：A、含有3個未知數(shù)，不是二元一次方程組；

B、第一個方程不是整式方程，不是二元一次方程組；

C、第一個方程不是二元一次方程，不是二元一次方程組；

答案第2頁，共36頁

D、符合二元一次方程組的定義，是二元一次方程組;

故選：D.

7.D

【分析】利用二元一次方程組的定義判斷即可.

【詳解】解：A.方程孫=1,含未知數(shù)的項的次數(shù)是2次，故該方程組不是二元一次方程

組，選項不符合題意;

B.方程'=2不是整式方程，故該方程組不是二元一次方程組，選項不符合題意;

X

C.該方程組含有三個未知數(shù)，故該方程組不是二元一次方程組，選項不符合題意;

D.該方程組是二元一次方程組，選項符合題意.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程的定

義，含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程是二元一次方程.

8.A

【分析】本題主要考查二元一次方程組的定義，二元一次方程組也滿足三個條件：①方程

組中的兩個方程都是整式方程.②方程組中共含有兩個未知數(shù).③每個方程都是一次方

程.根據(jù)二元一次方程組的定義求解即可.

x=1x=2

【詳解】2，是二元一次方程組，共2個,

y=l3y-x=l

故選：A.

x=4

9.(1)

?=1

x=2

⑵

y=-4

【分析】本題主要考查解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握方程組解法，根據(jù)未知數(shù)系數(shù)

的特點，選擇合適的方法.

(1)運用代入消元法求解即可;

(2)先將方程組整理后，再運用代入法求解即可.

x+2y=6①

【詳解】⑴解:

2x-y=7②'

答案第3頁，共36