試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法 6.第六章方差分析學(xué)習(xí)資料

第六章方差分析基本原理多重比較線性模型和期望均方單向分組資料的方差分析兩向分組資料的方差分析基本假定和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換

方差分析(analysisofvariance,簡稱ANOVA)由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher于1923年提出。這種方法是將

k

個(gè)樣本的觀測值作為一個(gè)整體，把觀測值總變異的平方和和自由度分解為不同變異來源的平方和及自由度，進(jìn)而獲得不同變異來源方差的估計(jì)值；通過對這些方差的估計(jì)值進(jìn)行比較，就能測驗(yàn)各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等。從總變異中扣除了各種原因所引起的變異后，剩余變異做為試驗(yàn)誤差的無偏估計(jì)量。第一節(jié)方差分析的基本原理本節(jié)結(jié)合單因素試驗(yàn)結(jié)果的方差分析介紹方差分析的原理。

一、自由度和平方和的分解假設(shè)某單因素試驗(yàn)有

k

個(gè)處理，每個(gè)處理有

n

次重復(fù)，則共有

nk

個(gè)觀測值。這類試驗(yàn)資料的數(shù)據(jù)模式如表6-1所示。表6-1每組有n個(gè)觀測值的k個(gè)處理的數(shù)據(jù)模式xij表示第i個(gè)處理的第j個(gè)觀測值（i=1,2,…,k；j=1,2,…,n）Ti表示第i個(gè)處理n個(gè)觀測值的和；T表示全部觀測值的總和；xi.表示第i個(gè)處理的平均數(shù)；x..表示全部觀測值的總平均數(shù)；（一）總平方和的分解

全部觀測值總變異的平方和是各觀測值xij與總平均數(shù)的離均差平方和，記為SST。即C

稱矯正數(shù)因?yàn)?0所以

上式中，為各處理平均數(shù)與總平均數(shù)的離均差平方和與重復(fù)數(shù)n的乘積，反映了容量為n的樣本間的變異，即處理間變異，稱為處理間平方和，記為SSt，即上式中，為各處理內(nèi)離均差平方和之和，反映了各處理內(nèi)的變異即誤差，稱為處理內(nèi)平方和或誤差平方和，記為SSe，即于是有SST=SSt+SSe

平方和的計(jì)算三個(gè)平方和的計(jì)算公式

（二）總自由度的分解

總自由度記為dfT，dfT=nk-1。處理間自由度dft，dft=k-1處理內(nèi)自由度dfe，dfe=K(n-1)自由度分解式為

nk-1=(k-1)+k(n-1)各部分平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內(nèi)均方，分別記為MST（或）、MSt（或）和MSe（或）。即

【例題1】以A、B、C、D四種藥劑處理水稻種子，其中A為對照，每處理各得4個(gè)苗高觀察值（cm)，其結(jié)果見下表，試分解其平方和與自由度。這是一個(gè)單因素試驗(yàn)，處理數(shù)k=4，重復(fù)數(shù)n=4。各項(xiàng)平方和及自由度計(jì)算如下：矯正數(shù)

C=T2/nk=3362/(4×4)=7056總平方和dfT=nk-1=

4×4-1=15處理間平方和處理內(nèi)平方和dft=k-1=4-1=3dfe=K(n-1)=4×(4-1)=12進(jìn)而得各項(xiàng)變異的均方總變異均方

MST=SST/dfT=602/15=40.13處理均方

MSt=SSt/dft=504/3=168.00誤差均方

Mse=SSe/dfe=98/12=8.17二、F分布與F測驗(yàn)

（一）F

分布

在一正態(tài)總體N（μ，σ2）中隨機(jī)抽取樣本容量為n1

和n2

的兩個(gè)樣本分別求得其均方s12和s22，統(tǒng)計(jì)學(xué)上把兩個(gè)均方之比值稱為F值。即

F=s12/

s22

給定n1和n2

時(shí)，按上述方法進(jìn)行一系列抽樣，則可獲得一系列的F值。這些F值所具有的概率分布稱為F分布。

F分布曲線是隨自由度υ1（n1–1）、υ2（n2–1）而變化的一組偏態(tài)曲線，其形態(tài)隨著υ1、υ2的增大逐漸趨于對稱。F

分布的取值范圍是（0，+∞），

=1

(二)F測驗(yàn)

用F值出現(xiàn)概率的大小推斷兩個(gè)總體方差是否相等的方法稱為F測驗(yàn)(F-test)。（1）（2）

F測驗(yàn)?zāi)康脑谟跈z驗(yàn)?zāi)稠?xiàng)變異因素的效應(yīng)或方差是否真實(shí)存在。因此，總是以被測驗(yàn)的那一項(xiàng)變異因素的方差作分子，以另一項(xiàng)變異（如試驗(yàn)誤差）的均方作分母。F值越大，因素的效應(yīng)或方差越有可能真實(shí)存在。當(dāng)F大于臨界Fɑ時(shí)，認(rèn)為效應(yīng)或方差在顯著或極顯著水平下真實(shí)存在。附表4（P340-344）右尾臨界F0.05和F0.01值

（1）F＜，則P＞0.05，接受H0，認(rèn)為處理效應(yīng)/方差不存在。（2）≤F＜，則0.01＜P≤0.05，在ɑ=0.05水平上否定H0，即在0.05水平上處理效應(yīng)/方差顯著存在，在F值的右上方標(biāo)記“*”。（3）F≥，則P≤0.01，在ɑ=0.01水平上否定H0，即在0.01上處理效應(yīng)/方差極顯著存在，在F值的右上方標(biāo)記“**”。【例題1】不同藥劑處理水稻觀察苗高的試驗(yàn)中，測驗(yàn)藥劑間變異是否顯著大于藥劑內(nèi)變異？已算出：MSt=168.00,df1=3

MSe=8.17,df2=12則：F=MSt/MSe=168.00/8.17=20.56**根據(jù)df1=3，df2=12查附表5，得F0.05（3，12）=3.49，F(xiàn)0.01（3，12）=5.95因?yàn)镕＞F0.01(3，16),P＜0.01推斷：藥劑間的變異顯著大于藥劑內(nèi)變異。

在方差分析中，通常將變異來源、平方和、自由度、均方和F值匯總在方差分析表。第二節(jié)、多重比較

F

值顯著或極顯著，否定了無效假設(shè)HO，表明處理效應(yīng)存在。有時(shí)，需要進(jìn)行處理平均數(shù)間的比較，以明確平均數(shù)間的差異顯著性。

統(tǒng)計(jì)上把多個(gè)平均數(shù)間的相互比較稱為多重比較（multiplecomparisons）。多重比較的方法甚多，常用的有最小顯著差數(shù)法（LSD法）和新復(fù)極差法（LSR法）。

一、最小顯著差數(shù)法(LSD法)

(leastsignificantdifference)LSD法的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)平均數(shù)相比較的t測驗(yàn)法。因此，顯著水平為α?xí)r的最小顯著差數(shù)LSDα

然后用任兩個(gè)平均數(shù)的差與LSDα比較，如果則這兩個(gè)平均數(shù)在α水平上顯著。反之，差異不顯著。方差分析的多重比較中

為平均數(shù)差數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。當(dāng)兩樣本容量相等時(shí)，

其中為F檢驗(yàn)中的誤差均方，n為各處理的重復(fù)數(shù)。為顯著水平為α、自由度為F

測驗(yàn)中誤差自由度的臨界t值。當(dāng)顯著水平α=0.05和0.01時(shí)，從t值表中查出和，得：試對例題資料進(jìn)行多重比較四種藥劑處理水稻后對苗高的影響LSD法多重比較的步驟：(1)列出平均數(shù)的多重比較表:各處理按其平均數(shù)從大到小排列,

計(jì)算任兩個(gè)平均數(shù)的差；(2)計(jì)算最小顯著差數(shù)LSD0.05和LSD0.01；(3)將任兩個(gè)平均數(shù)的差數(shù)與LSD0.05和LSD0.01比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷。

當(dāng)df=12時(shí)，t0.05=2.179,t0.01=3.055

LSD0.05=t0.05

×

=4.40(cm)

LSD0.01=t0.01

×

=6.18(cm)

例如：不同藥劑處理對水稻苗高影響的多重比較結(jié)果：藥劑D與A、D與C、及B與C平均數(shù)間差異達(dá)極顯著水平，D與B、B與A處理平均數(shù)間達(dá)顯著水平，藥劑A與C處理平均數(shù)差異不顯著。二、新復(fù)極差法(LSR法)

LSD法的理論基礎(chǔ)是兩個(gè)樣本平均數(shù)差數(shù)的抽樣分布，但多重比較是多個(gè)平均數(shù)的比較。

當(dāng)隨機(jī)抽取k（k>2）個(gè)樣本時(shí)，隨機(jī)極差與k=2是不同的。將平均數(shù)間的差值看成是平均數(shù)的極差，根據(jù)極差的抽樣分布理論、極差范圍內(nèi)平均數(shù)個(gè)數(shù)不同，確定最小顯著極差（Leastsignificantranges，LSR）LSRα，可以克服LSD法的不足。

為平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤,

α為顯著性水平

dfe

為F測驗(yàn)誤差自由度

p為所有平均數(shù)按從大到小排列兩極差范圍內(nèi)所包含的平均數(shù)個(gè)數(shù)。

鄧肯(Duncan)于1955年提出了新復(fù)極差法，又稱最短顯著極差法

(shortestsignificantranges簡稱SSR法)，又稱鄧肯(Duncan)法。

例題：用SSR法對不同藥劑處理對水稻苗高影響進(jìn)行多重比較。

查SSR表，當(dāng)df=12時(shí)，p=2,3,4的SSRα值。并計(jì)算出尺度值LSRα

三、多重比較方法的選擇：檢驗(yàn)尺度有如下關(guān)系：LSD法≤SSR法當(dāng)只含兩個(gè)平均數(shù)時(shí)，即k=2時(shí)，取等號；當(dāng)k≥3時(shí)，取小于號。在多重比較中，LSD法比SSR法的尺度小。同一資料用LSD法測驗(yàn)差數(shù)顯著，用SSR法測驗(yàn)未必顯著。1、事先有比較的標(biāo)準(zhǔn)，且都與一個(gè)對照處理相比時(shí)，可以采用LSD法。若處理之間相互比較應(yīng)該采用新復(fù)極差法。2、在農(nóng)業(yè)田間試驗(yàn)中，由于試驗(yàn)誤差較大，常采用SSR法。四、多重比較結(jié)果的表示法各平均數(shù)經(jīng)多重比較后，應(yīng)以簡明的形式將結(jié)果表示出來，常用的表示方法有：

1、梯形表法：

將平均數(shù)按從大到小順序排列，然后算出各平均數(shù)間的差數(shù)，凡達(dá)到0.05顯著水平的，在差數(shù)右上角標(biāo)一個(gè)“*”號，凡達(dá)到0.01顯著水平的，在差數(shù)右上角標(biāo)兩個(gè)“**”號。我們上面舉例中應(yīng)用的即是梯形表法。多重比較的梯形表示法2、字母標(biāo)注法各平均數(shù)間只要有一個(gè)相同字母，即為差異不顯著，無相同字母的為差異顯著。用小寫字母表示顯著水平α=0.05，用大寫字母表示顯著水平α=0.01。此法的優(yōu)點(diǎn)是占篇幅小，在科技文獻(xiàn)中常見。品種平均產(chǎn)量差異顯著性5%E14.2B12.4G11.9H11.4

C10.8

F10.1

A9.8

D9.0

多重比較(LSD法)假定：LSD0.05=2.35aaabbbcccccddddbbd標(biāo)記字母法的步驟將各處理平均數(shù)由大到小自上而下排列；在最大平均數(shù)后標(biāo)記字母a，并將該平均數(shù)與以下各平均數(shù)依次相比，凡差異不顯著的，標(biāo)記同一字母a，直到某一個(gè)與其差異顯著的平均數(shù)，將之標(biāo)記字母b；以標(biāo)有字母b的平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，與上方比它大的各個(gè)平均數(shù)比較，凡差異不顯著一律再加標(biāo)b，直至顯著為止。再以標(biāo)記有字母b的最大平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，與下面各未標(biāo)記字母的平均數(shù)相比，凡差異不顯著，繼續(xù)標(biāo)記字母b，直至某一個(gè)與其差異顯著的平均數(shù)，標(biāo)記c。如此重復(fù)