自動控制原理第四章（1）學(xué)習(xí)資料

第四章：線性系統(tǒng)的根軌跡法教學(xué)目的對于低階控制系統(tǒng)，我們可以用求解微分方程方法來分析控制系統(tǒng)，而對于高階系統(tǒng)，用微分方程的方法求解就比較困難。根軌跡方法是分析和設(shè)計線性定?？刂葡到y(tǒng)的圖解方法，使用起來比較簡便，因此在工程設(shè)計中獲得了廣泛應(yīng)用。通過本章內(nèi)容學(xué)習(xí)，要使學(xué)生懂得根軌跡的概念，根軌跡的作圖方法，以及根軌跡與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系。本章重點1、根軌跡方程模值條件：相角條件：本章重點2、根軌跡的繪制方法3、根軌跡與系統(tǒng)性能的關(guān)系4、幾個基本要概念

根軌跡的概念：根軌跡是指開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零到無窮變化時，閉環(huán)特征根相應(yīng)在s平面上運動的軌跡。

根軌跡增益k*與開環(huán)增益k的關(guān)系：根據(jù)對傳遞函數(shù)分子多項式和分母多項式的分解，開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成二種不同的表達(dá)式。本章重點尾1型：時間常數(shù)表達(dá)式首1型：零極點形式其中：k*是根軌跡增益；k是開環(huán)增益，k*與k的關(guān)系為本章要求1、正確理解根軌跡的概念2、掌握根軌跡繪制方法（以根軌跡增益k為變量）3、用根軌跡分析系統(tǒng)性能

我們知道：閉環(huán)系統(tǒng)的極點（閉環(huán)系統(tǒng)特征根）在s平面上的位置，決定了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的基本特征┈模態(tài)。對線性二階系統(tǒng)：a.系統(tǒng)響應(yīng)單調(diào)上升（ξ>1）系統(tǒng)具有兩個不相等的負(fù)實根┈過阻尼響應(yīng)。b.系統(tǒng)響應(yīng)衰減振蕩（0＜ξ＜1）系統(tǒng)具有一對負(fù)實部的共軛復(fù)根┈欠阻尼響應(yīng)。根軌跡法是研究控制系統(tǒng)的又一種方法。c.系統(tǒng)響應(yīng)單調(diào)上升（ξ＝1）系統(tǒng)具有兩個相等的負(fù)實根┈臨界阻尼。4-1根軌跡法的基本概念d.系統(tǒng)響應(yīng)為等幅振蕩（ξ＝0）系統(tǒng)具有一對虛根┈無阻尼。e.系統(tǒng)響應(yīng)不穩(wěn)定（ξ＜0）系統(tǒng)的根位于右半s平面上。系統(tǒng)的零點對瞬態(tài)響應(yīng)有影響，但不起決定的作用。因此，對閉環(huán)控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)來說，系統(tǒng)特征根起著主導(dǎo)作用。根軌跡的概念：它是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變化至無窮時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根在s平面上變化的軌跡。

注意概念，根軌跡是通過開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)來研究閉環(huán)系統(tǒng)特征根的變化。為避免直接求解高階方程的特征根，1948年，W.R.Evans根據(jù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)特征方程式之間的內(nèi)在聯(lián)系，提出了一種非常實用的求取閉環(huán)特征方程式根的圖解法－根軌跡法。1.根軌跡概念二階系統(tǒng)根軌跡ks(0.5s+1)ks(0.5s+1)R(s)C(s)設(shè)控制系統(tǒng)及系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如圖所示，當(dāng)k從0→∞時，求系統(tǒng)特征根的變化。注意：K一變，一組根變。一組根對應(yīng)同一個K；根軌跡概念

-2-10jks(0.5s+1)K:0~∞特征方程：S2+2s+2k=0特征根：s1,2=－1±√1－2kk=0時，s1=0,s2=－20＜k＜0.5時，兩個負(fù)實根；k=0.5時，s1=s2=－10.5＜k＜∞時，s1,2=－1±j√2k－1演示rltool根軌跡概念由以上分析，s1、s2兩條根軌跡反映了系統(tǒng)特征根隨參數(shù)k變化的規(guī)律，組成了系統(tǒng)的根軌跡。1.二階系統(tǒng)有兩個特征根，它的根軌跡有兩條；一個n階系統(tǒng)的根軌跡則應(yīng)有n條。2.k＝0時的閉環(huán)極點，s1=0、s2=-2正好是開環(huán)傳遞函數(shù)的兩個極點，因此說，系統(tǒng)開環(huán)極點就是它各條根軌跡的起點。3.k＝∞時的閉環(huán)極點，是根軌跡的終點。4.特征方程的重根點是根軌跡離開負(fù)實軸進(jìn)入復(fù)數(shù)平面分離點。根軌跡概念5.在k為有限范圍內(nèi)，此二階系統(tǒng)特征根實部總是負(fù)的，因此根軌跡全在左半s平面。而三階或三階以上系統(tǒng)特征根的實部在k超過某一數(shù)值后，可能變?yōu)檎?，以致根軌跡由左半s平面穿過虛軸進(jìn)入右半s平面，使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。6.s=-1的直線是原點0到(-2，j0)點之間負(fù)實軸的垂直平分線，在根軌跡上任取一點s連接s1=0、s2=-2的兩點向量與負(fù)實軸構(gòu)成等腰三角形，向量與橫坐標(biāo)的夾角之和為180°，即θ1+θ2=180°2.根軌跡與系統(tǒng)性能有了根軌跡，就可以立即分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性

穩(wěn)定性：如果從k＝0到k＝∞，根軌跡不會越過虛軸進(jìn)入右半s平面，說明系統(tǒng)對所有的k值都是穩(wěn)定的。如果越過虛軸進(jìn)入右半s平面，此時根軌跡與虛軸交點處的k值就是系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的臨界開環(huán)增益。

穩(wěn)定性能：如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，由根軌跡圖可以確定閉環(huán)極點的位置的允許范圍。

動態(tài)性能：從根軌跡圖可以分析出系統(tǒng)的工作狀態(tài)，如過阻尼狀態(tài)、欠阻尼狀態(tài)……GHG(s)=KG*∏(s-piqi=1);∏(s-zifi=1)H(s)=KH*∏(s-pjhj=1)j=1∏(s-zjl)Φ(s)=∏(s-piqi=1)hj=1∏(s-pj)∏(s-zifi=1)+kG*kH*∏(s-zjl)j=1∏(s-zifi=1)∏(s-pjhj=1)*KG3.根軌跡增益、閉環(huán)零極點與開環(huán)零極點的關(guān)系K*為根軌跡增益1、閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于系統(tǒng)前向通道根軌跡增益KG*

，對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。K*=KG*KH*=KG*(單位反饋時：KH*＝1）；2、閉環(huán)零點由前向通道的零點和反饋通道的極點組成；3、閉環(huán)極點與開環(huán)傳遞函數(shù)的零點、極點、根軌跡增益都有關(guān)；4、根軌跡法的基本任務(wù)就是如何由已知的開環(huán)零、極點，求出閉環(huán)的極點隨開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益的變化軌跡。結(jié)論：1根軌跡增益、2零點、3極點P1314.根軌跡方程由于根軌跡是所有閉環(huán)極點的集合，而閉環(huán)極點又是特征方程的特征根，為了求出所有的閉環(huán)極點，研究一下閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程。特征方程1+GH=0或：GH＝－1所以，只要將閉環(huán)特征方程化為根軌跡方程，就可以繪出根軌跡圖，由于GH是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，這樣就達(dá)到了從開環(huán)傳遞函數(shù)出發(fā)，研究閉環(huán)系統(tǒng)的目的。根軌跡方程特征方程1+GH=01+K*=0j=1m∏spi(-)pi開環(huán)極點“×”,也是常數(shù)！開環(huán)零點“○”,是常數(shù)！Zji=1n∏根軌跡增益K*，不是定數(shù)，從0~∞變化這種形式的特征方程就是根軌跡方程szj(-)根軌跡的模值條件與相角條件因為G(S)、H(S)都是復(fù)函數(shù)，根軌跡方程是一個向量方程，G(S)H(S)=-1包含二個條件：相角條件和模值條件。事實上，系統(tǒng)的根軌跡是通過尋找s平面中滿足相角條件的所有s點繪制而成的。根軌跡的模值條件與相角條件j=1mn1+K*=0∏∏((ss--zjpi))i=1-1∑∠(s-zj)－∑∠(s-pj)=(2k+1)π

k=0,±1,

±2,…j=1i=1mnj=1mnK