2025屆高考數(shù)學(xué)專題十六圓錐曲線的幾何性質(zhì)精準(zhǔn)培優(yōu)專練文

PAGEPAGE1培優(yōu)點(diǎn)十六圓錐曲線的幾何性質(zhì)一、定義的應(yīng)用一、定義的應(yīng)用例1：橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，是的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)橢圓的另一個焦點(diǎn)為，因為橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，即，且，所以，因為是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以．二、求雙曲線的漸近線二、求雙曲線的漸近線例2：設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是雙曲線的焦點(diǎn)，若在雙曲線上存在點(diǎn)，滿意，，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如下圖可知：，令，則，因為為的中點(diǎn)，，即，可得，即，，在三角形中，，，由余弦定理可得，即，，所以，即該雙曲線的漸近線方程為．三、求離心率的值三、求離心率的值例3：已知橢圓的左焦點(diǎn)為，與過原點(diǎn)的直線相交于，兩點(diǎn)，連接，，若，，，則的離心率．【答案】【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，在中，由余弦定理可解得，所以為直角三角形，又斜邊的中點(diǎn)為，所以，連接，因為，關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，所以，，所以離心率．四、求離心率的取值范圍四、求離心率的取值范圍例4：橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上任一點(diǎn)，且的最大值的取值范圍是，其中，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由基本不等式得，又，所以，即，所以，此時，所以，得，所以，又，得．五、拋物線的幾何性質(zhì)五、拋物線的幾何性質(zhì)例5：過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，自，向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由拋物線的定義，得，，∴，，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，∵，∴，，而，∴，即．六、圓錐曲線的綜合六、圓錐曲線的綜合例6：若橢圓和雙曲線有相同的左右焦點(diǎn)，，是兩條曲線的一個交點(diǎn)，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在橢圓中，在雙曲線中，聯(lián)立解得，（不妨令），所以．對點(diǎn)對點(diǎn)增分集訓(xùn)一、選擇題1．已知是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過作直線交雙曲線左支于點(diǎn)，若，則的周長為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，故選C．2．設(shè)，為橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若線段的中點(diǎn)在軸上，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵線段的中點(diǎn)在軸上，∴軸，，，∴．3．已知橢圓，點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)不重合，且點(diǎn)不在橢圓上，若點(diǎn)關(guān)于橢圓的兩個焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是使得線段的中點(diǎn)在橢圓上的點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，，的中點(diǎn)為，連接，，則點(diǎn)在橢圓上，因為關(guān)于，的對稱點(diǎn)分別為，，所以，，所以．4．已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點(diǎn)，過作圓的切線，，切點(diǎn)為，，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)點(diǎn)為橢圓的一個長軸端點(diǎn)時，兩切線形成的夾角最小，不妨設(shè)為，所以要使橢圓上存在滿意條件的點(diǎn)，只需，易得，所以，又，解得，，即，即，即，所以橢圓的離心率的取值范圍是．5．若點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在圓上，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓的圓心為，因為點(diǎn)在拋物線上，設(shè)，所以，即的最小值是．6．已知以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其一條漸近線的傾斜角為，為該雙曲線的右焦點(diǎn)，位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)在雙曲線上，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，若，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的方程為，點(diǎn)是該雙曲線的左焦點(diǎn)，連接，因為點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以線段是的中位線，則，即，所以，又雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則，所以，所以雙曲線的方程為．二、填空題7．已知動點(diǎn)在橢圓上，為橢圓的右焦點(diǎn)，若點(diǎn)滿意，且，則的最小值為．【答案】【解析】由題意，得，，所以．8．若橢圓的離心率，則雙曲線的焦距為．【答案】【解析】橢圓的離心率且，所以，得，雙曲線的焦點(diǎn)為，即，所以該雙曲線的焦距為．9．是橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓內(nèi)的肯定點(diǎn)，為橢圓上的一動點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【解析】設(shè)橢圓的另一焦點(diǎn)為，則，連接，，，當(dāng)是的延長線與橢圓的交點(diǎn)時，取得最小值為．10．拋物線上一點(diǎn)到點(diǎn)與到焦點(diǎn)的距離和最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線時，最小，此時點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，代入到拋物線的方程可得到，于是點(diǎn)．11．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，等邊三角形與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，分別為線段，的中點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為．【答案】【解析】由題意可知，則，，因為，則該雙曲線的離心率為．12．直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，該橢圓上點(diǎn)，使得面積等于，這樣的點(diǎn)共有個．【答案】【解析】由題意，則的高為．與直線平行且距離為的直線方程為（與橢圓相交）和（與橢圓相離），所以這樣的點(diǎn)有個．13．一個等邊三角形的兩個頂點(diǎn)在拋物線上，第三個頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則這個三角形的面積為．【答案】【解析】設(shè)此三角形為，設(shè)，由得：，即，，，，，則，，，關(guān)于軸對稱，，在直線上，聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得到，，是邊長為的等邊三角形，所以它的面積為．三、解答題14．設(shè)點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，求的最大值．【答案】1【解析】由方程可知設(shè)，，，，，則有，，得，，，的最大值為，，即，，當(dāng)時，取得最大值為1，所以的最大值為1．15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，動直線垂直于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為．（1）求曲線的方程；（2）以曲線上的點(diǎn)為切點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)分別為，軸交于，兩點(diǎn)，且恰與以定點(diǎn)為圓心的圓相切，當(dāng)圓的面積最小時，求與面積的比．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由題意得，∴點(diǎn)到直線的距離等于它到定點(diǎn)的距離，∴點(diǎn)的軌跡是以的準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)的拋物線