排列組合與二項(xiàng)式定理（14 題型+高分技法+限時(shí)提升練）-2025年天津高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專練（解析版）

熱點(diǎn)14排列組合與二項(xiàng)式定理

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測(cè)

2022年，第11題，考察二項(xiàng)展開(kāi)式第左項(xiàng)二項(xiàng)式定理問(wèn)題是天津高考的熱門考點(diǎn)，主要考查二

2023年，第11題，考察指定項(xiàng)系數(shù)項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)，及各項(xiàng)系數(shù)

2024年，第11題，考察指定項(xiàng)系數(shù)和等問(wèn)題，常以小題形式出現(xiàn)，同時(shí)排列組合問(wèn)題也

是考察重點(diǎn)

熱點(diǎn)題型解讀

題型1加法計(jì)數(shù)原理和乘法計(jì)數(shù)原理綜合

1、分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)；

2、分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立，分步后再計(jì)

II

算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)。

i三「7近天關(guān)海褥三港5?藥而僦苗三干大蔡普提茁而?；ㄜ酢隽检糍M(fèi)，訪尊苕;鬟季濟(jì)笄蔑崔年福薪■組i

織同學(xué)從推薦的課外讀物中進(jìn)行選讀.活動(dòng)要求甲、乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩

人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、實(shí)際問(wèn)題中的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題

【分析】根據(jù)題意，首先選取1種相同課外讀物，再選取另外兩種課外讀物，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

首先選取1種相同課外讀物的選法有C；=5種，

再選取另外兩種課外讀物需不同，則共有C；C；=12種，

所以這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有5x12=60種.

故選：B.

2.（2023?天津?一模）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯樹(shù)上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知:

（1）甲在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝A,B,C；（2）乙在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝。，E,F；

（3）丙在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝G,A,C；（4）丁在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝8,D,H；

（5）戊在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝/,C,E,則下列結(jié)論正確的是（）

A.最高處的樹(shù)枝定是GB.最低處的樹(shù)枝一定是尸

C.九根樹(shù)枝從高到低不同的順序共有33種D.九根樹(shù)枝從高到低不同的順序共有32種

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理、實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)問(wèn)題

【分析】

由題判斷出部分樹(shù)枝由高到低的順序?yàn)镚4BCEE,還剩下。，H,I,且樹(shù)枝/比C高，樹(shù)枝。在樹(shù)枝3,

E之間，樹(shù)枝H比。低，根據(jù)/的位置不同分類討論，求得這九根樹(shù)枝從高到低不同的順序共33種.

【詳解】由題判斷出部分樹(shù)枝由高到低的順序?yàn)镃MBC班',

還剩下O,H,I,且樹(shù)枝/比C高，樹(shù)枝。在樹(shù)枝8,E之間，樹(shù)枝//比。低，

最高可能為G或1,最低為尸或H,故A、B錯(cuò)誤；

先看樹(shù)枝/,有4種可能，若/在B,C之間，

則有3種可能：

①Z）在B,/之間，H有5種可能；

②。在/,C之間，H有4種可能；

③。在C,E之間，H有3種可能，

此時(shí)樹(shù)枝的高低順序有5+4+3=12（種）.

若/不在B,C之間，則/有3種可能，。有2種可能，

若。在8,C之間，則以有4種可能，

若。在C,E之間，則H有3種可能，

此時(shí)樹(shù)枝的高低順序有3X（4+3）=21（種）可能，

故這九根樹(shù)枝從高到低不同的順序共有12+21=33種，故C項(xiàng)正確.

故選：C.

3.（23-24高二下?天津北辰?期中）從0,2,4中選一個(gè)數(shù)字.從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字

的三位數(shù).其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.48B.30C.24D.6

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】排列組合綜合、數(shù)字排列問(wèn)題、元素（位置）有限制的排列問(wèn)題

【分析】考慮到百位數(shù)字非零的限制，將三位奇數(shù)分成三類，分別用排列組合數(shù)表示方法數(shù)，最后運(yùn)用分

類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即得.

【詳解】依題意，這樣的三位奇數(shù)分為三類：

①元素。被選中，則應(yīng)放在十位，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字排在個(gè)位與百位，共有A；=6種方法；

②元素2被選中，則可放在百位或十位，再?gòu)?,3,5中選兩個(gè)數(shù)字排在余下的兩個(gè)數(shù)位，有C；A；=12種

方法；

③元素4被選中，與②情況相同，有C；A；=12種方法.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為6+12x2=30個(gè).

故選：B.

4.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）2024年12月7日西南大學(xué)附屬中學(xué)校迎來(lái)了辦學(xué)110周年慶典，為此某班設(shè)計(jì)

了富含寓意的11個(gè)文創(chuàng)作品，已知甲同學(xué)喜歡作品A、B,乙同學(xué)喜歡作品8、C、D,丙同學(xué)除了不喜

歡E作品，其他作品都喜歡，讓甲乙丙三位同學(xué)依次從中選取一個(gè)作為禮物收藏，若這三位同學(xué)都選到了

自己喜歡的文創(chuàng)作品，則不同的選法有（）

A.50種B.48種C.45種D.40種

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、實(shí)際問(wèn)題中的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題

【分析】分甲選A和甲選8兩種情況討論，按照分步、分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.

【詳解】若甲選A,則乙有C；種選法，丙有C；種選法，故共有k（4'仁=24種選法；

若甲選則乙有C；種選法，丙有C；種選法，故共有l(wèi)xC；xC；=16種選法；

綜上可得一共有24+16=40種不同的選法.

故選：D

5.（2024?廣東佛山?一模）現(xiàn)有甲、乙、丙等7位同學(xué)，各自寫了一封信，然后都投到同一個(gè)郵箱里.若甲、

乙、丙3位同學(xué)分別從郵箱里隨機(jī)抽取一封信，則這3位同學(xué)抽到的都不是自己寫的信的不同取法種數(shù)是一

（用數(shù)字作答）.

【答案】134

【知識(shí)點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、實(shí)際問(wèn)題中的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題

【分析】設(shè)甲、乙、丙3位同學(xué)的信件分別為A、B、C,對(duì)A、B、C取到的個(gè)數(shù)分四種情況討論，按照

分類、分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.

【詳解】設(shè)甲、乙、丙3位同學(xué)的信件分別為A、B、C,

若A、3、C都沒(méi)有取到，則有A：=24種不同的取法；

若A、8、C取到一個(gè)，則有C；A；A；=72種不同的取法；

若A、8、C取到兩個(gè)，則有?；。次：+，）=36種不同的取法；

若A、B、C取到三個(gè)，則有C；=2種不同的取法；

綜上可得一共有24+72+36+2=134種不同的取法.

故答案為：134

題型2排隊(duì)問(wèn)題

|00目百

ii

1、解有“相鄰元素”的排列問(wèn)題的方法

ii

對(duì)于某些元素必須相鄰的排列，通常采用“捆綁法”，即把相鄰元素看作一個(gè)整體和其他元素一起參與排列，

II

再考慮這個(gè)整體內(nèi)部各元素間的順序。

II

ii

2、解有“不相鄰元素”的排列問(wèn)題的方法

ii

對(duì)于某些元素不相鄰的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每?jī)蓚€(gè)元素之間形成“空”，

ii

ii

然后將不相鄰的元素進(jìn)行插空二

II

ii

3、解有特殊元素（位置）的排列問(wèn)題的方法

解有特殊元素或特殊位置的排列問(wèn)題，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考慮其他元素或位置，當(dāng)以元

ii

素為主或以位置為主。

II

ii

1.（2024?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測(cè)）有4名學(xué)生和2名老師站成一排拍照，若2名老師不站兩端，則不同排列

方式共有（）

A.72種B.144種C.288種D.576種

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】元素（位置）有限制的排列問(wèn)題

【分析】首先將2名老師排在中間4個(gè)位置中的2個(gè)位置，再將其余4名學(xué)生全排列，按照分步乘法計(jì)數(shù)原

理計(jì)算可得.

【詳解】首先將2名老師排在中間4個(gè)位置中的2個(gè)位置，再將其余4名學(xué)生全排列，

故不同排列方式共有A：A：=288（種）.

故選：C

2.（2024?江西新余?二模）兩個(gè)大人和4個(gè)小孩站成一排合影，若兩個(gè)大人之間至少有1個(gè)小孩，則不同

的站法有（）種.

A.240B.360C.420D.480

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】不相鄰排列問(wèn)題

【分析】由題意可得兩個(gè)大人不相鄰，不相鄰問(wèn)題用插空法即可得.

【詳解】若兩個(gè)大人之間至少有1個(gè)小孩，即兩個(gè)大人不相鄰，

故共有A；A；=24x20=480種.

故選：D.

3.（23-24高三上?天津河?xùn)|?階段練習(xí)）甲，乙等5人站成一排，則甲，乙相鄰，且甲在乙左側(cè)的概率為.

【答案】成0.2

【知識(shí)點(diǎn)】全排列問(wèn)題、元素（位置）有限制的排列問(wèn)題、相鄰問(wèn)題的排列問(wèn)題、計(jì)算古典概型問(wèn)題的概

率

【分析】先求出甲，乙等5人站成一排共有的情況數(shù)，再計(jì)算出甲，乙相鄰，且甲在乙左側(cè)的情況數(shù)，從

而計(jì)算出概率.

【詳解】甲，乙等5人站成一排，共有A；=120種情況，

若甲，乙相鄰，將兩人捆綁后看為一個(gè)整體，兩人可以交換位置，

和剩余的3人進(jìn)行全排列，共有A；A：=48種情況，

故甲，乙相鄰，且甲在乙左側(cè)的情況有48+2=24種情況，

所以甲，乙相鄰，且甲在乙左側(cè)的概率為急=1.

故答案為：—

4.（23-24高三上?天津和平?開(kāi)學(xué)考試）將字母。、b、c、d、e、/排成一排，其中。必須在6的左邊,

則不同的安排方法有.（用數(shù)字作答）

【答案】360

【知識(shí)點(diǎn)】元素(位置)有限制的排列問(wèn)題、實(shí)際問(wèn)題中的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題

【分析】先安排。力，然后排其它字母，由此計(jì)算出不同的安排方法.

【詳解】先安排。力，方法數(shù)有C；種方法，

再安排其它字母，方法數(shù)有A：種，

故不同的安排方法有C；A：=360種.

故答案為：360

5.(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè))3名男生和3名女生隨機(jī)站成一排，每名女生至少與一名男生相鄰，則不同

的排法種數(shù)為.

【答案】360

【知識(shí)點(diǎn)】排列數(shù)的計(jì)算、相鄰問(wèn)題的排列問(wèn)題、不相鄰排列問(wèn)題、組合數(shù)的計(jì)算

【分析】由捆綁法、插空法即可求解.

【詳解】當(dāng)恰好2名女生相鄰時(shí),有A；A；C；C；=216種排法，

當(dāng)3名女生都不相鄰時(shí)，有A；A：=144種排法，

則共有216+144=360種排法.

故答案為：360.

題型3涂色問(wèn)題

\0口@0

(1)涂色問(wèn)題涉及到顏色種類數(shù)；

(2)相鄰區(qū)域不能同色；

(3)常采用分類討論法，從選定兩個(gè)不相鄰區(qū)域開(kāi)始，討論這兩塊區(qū)域同色和不同色。

n五面ii餐甬:麗布的了窠在黃訐切茬卷示成芮笳窗蒜葡二銀至施希亶君奔丁曩泰湘菊1藏希亶

的花卉種類不同，且每個(gè)區(qū)域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有()

A.360種B.420種C.480種D.540種

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】涂色問(wèn)題

【分析】利用要求根據(jù)區(qū)域依次討論計(jì)算即可.

【詳解】如圖，先在區(qū)域A布置花卉，有5種不同的布置方案，再在區(qū)域E布置花卉，有4種不同的布置

方案，

再在區(qū)域。布置花卉，有3種不同的布置方案.

若區(qū)域2與區(qū)域E布置同一種花卉，則區(qū)域C有3種不同的布置方案；

若區(qū)域2與區(qū)域E布置不同的花卉，則區(qū)域8有2種不同的布置方案，區(qū)域C有3種不同的布置方案.

故不同的布置方案有5*4*3*（3+2*3）=540種.

2.（2022?天津北辰?模擬預(yù)測(cè)）用黑白兩種顏色隨機(jī)地染如圖所示表格中6個(gè)格子，每個(gè)格子染一種顏色，

則有種不同的染色方法，出現(xiàn)從左至右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子的概率

為.

【答案】64—

16

【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、組合數(shù)的計(jì)算、計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率

【分析】用黑白兩種顏色隨機(jī)地染如圖所示表格中6個(gè)格子，每個(gè)格子都有2種染色方法，根據(jù)乘法計(jì)數(shù)

原理即可求出不同的染色方法種數(shù)；再利用分類討論方法求出出現(xiàn)從左至右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總

有黑色格子不少于白色格子，包含的基本事件個(gè)數(shù)，從而根據(jù)古典概率模型的概率計(jì)算公式即可求解.

【詳解】解：用黑白兩種顏色隨機(jī)地染如圖所示表格中6個(gè)格子，每個(gè)格子染一種顏色，則有26=64種不

同的染色方法；

出現(xiàn)從左至右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子，

包含的基本事件有：全染黑色，有1種方法；

第一個(gè)格子染黑色，另外五個(gè)格子中有1個(gè)格染白色，剩余的都染黑色，有C；=5種方法；

第一個(gè)格子染黑色，另外五個(gè)格子中有2個(gè)格染白色，剩余的都染黑色，有C；+C：=9種方法；

第一個(gè)格子染黑色，另外五個(gè)格子中有3個(gè)格染白色，剩余的都染黑色，列舉法可知有5種方法；

所以出現(xiàn)從左至右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子，

包含的基本事件有：1+5+9+5=20種，

所以出現(xiàn)從左至右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子的概率為：P=^20=25.

6416

故答案為：64；.

3.（23-24高二下?天津?期中）如圖，用4種顏色標(biāo)注6個(gè)地圖的區(qū)域，相鄰省顏色不同，不同的涂色方式

共有一種

【知識(shí)點(diǎn)】涂色問(wèn)題

【分析】根據(jù)題意，得到這4中顏色全部都用上，其中必有兩個(gè)不相鄰的地區(qū)涂同一種顏色，利用窮舉法，

結(jié)合排列數(shù)公式，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，用4種顏色標(biāo)注6個(gè)省份的地圖區(qū)域，相鄰省份地圖顏色不相同，

則這4中顏色全部都用上，其中必有兩個(gè)不相鄰的地區(qū)涂同一種顏色，

共有：｛"四川和湖南"且"貴州和湖北"｝、｛"四川和湖南"且“貴州和陜西“｝、

｛"四川和湖北"且"貴州和陜西"、｛"四川和湖北”且“湖南和陜西"、

｛"貴州和湖北”且"湖南和陜西"，共有5種情況，

所以不同的涂色共有5xA：=120種.

故答案為：120.

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長(zhǎng).如圖1所示的五脊殿是中國(guó)傳統(tǒng)建筑中的一種

屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖可近似地看作如圖2所示的五面體EF-ABCD.現(xiàn)裝修工人準(zhǔn)備用四種不同

形狀的風(fēng)鈴裝飾五脊殿砂-ABCD的六個(gè)頂點(diǎn)，要求E,尸處用同一種形狀的風(fēng)鈴，其它每條棱的兩個(gè)頂

點(diǎn)掛不同形狀的風(fēng)鈴，則不同的裝飾方案共有種.

圖1圖2

【答案】72

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)問(wèn)題、涂色問(wèn)題

【分析】對(duì)于本題共4種不同形狀的風(fēng)鈴，要求是E-b使用同一種風(fēng)鈴，其余各棱的兩個(gè)頂點(diǎn)掛不同形狀

的風(fēng)鈴，可以理解相鄰頂點(diǎn)掛不同形狀的風(fēng)鈴，通過(guò)分析使用3種或4種風(fēng)鈴滿足條件.

【詳解】①使用3種形狀風(fēng)鈴，只能跖同，AC同，8。同.此時(shí)共有：C：A；=24種掛法，

②使用4種形狀風(fēng)鈴，此時(shí)有兩種情況；

1)AC同，5。不同：直接將4種風(fēng)鈴掛到ABDE四個(gè)點(diǎn)上，

全排列有：A：=24種，

2)AC不同，8。同：此時(shí)與1)相同，共有A：=24種，

綜上，共有24+24+24=72種，

故答案為：72

【點(diǎn)睛】涂色問(wèn)題解決問(wèn)題的關(guān)鍵是在判定使用顏色數(shù)量，合理分類，合理分步，熟練分類加法及分步乘

法原則.

5.(2023?重慶?模擬預(yù)測(cè))某城市休閑公園管理人員擬對(duì)一塊圓環(huán)區(qū)域進(jìn)行改造封閉式種植鮮花，該圓環(huán)

區(qū)域被等分為5個(gè)部分，每個(gè)部分從紅、黃、紫三種顏色的鮮花中選取一種進(jìn)行栽植.要求相鄰區(qū)域不能

用同種顏色的鮮花，總的栽植方案有種.

【答案】30

【知識(shí)點(diǎn)】涂色問(wèn)題

【分析】依顏色為出發(fā)點(diǎn)，分析可得必用3種顏色的鮮花，先安排1,2位置，再討論第三種顏色的可能位

置，分析運(yùn)算即可.

【詳解】若只用兩種顏色的鮮花，則L3位置的顏色相同，2,4位置的顏色相同，

即可得1,4位置的顏色不同，則5位置無(wú)顏色可選，不合題意；

故必用3種顏色的鮮花，則1,2的栽植方案有A；=6種，己用兩種顏色，第三種顏色可能在3,4,5,可

得：

(i)若第三種顏色在3或5,有如下兩種可能：

①3,5的顏色相同，則4的顏色有兩種可能，栽植方案有C；=2種；

②3,5的顏色不相同，則4的顏色必和1的顏色相同，栽植方案有C；=2種；

栽植方案共有2+2=4種；

(ii)若第三種顏色在4,則3的顏色必和1的顏色相同，5的顏色必和2的顏色相同，栽植方案共有1種；

綜上所述：總的栽植方案有6x(4+l)=30種.

故答案為：30.

題型4分組分配問(wèn)題

（1）先分組，后分配；

（2）分組包含①平均分②部分平均分③不平均分

（3）分組后再分配

1.（23-24高二下?天津南開(kāi)?期末）為豐富同學(xué)們的勞動(dòng)體驗(yàn)，增強(qiáng)勞動(dòng)技能，認(rèn)識(shí)到勞動(dòng)最光榮、勞動(dòng)最

偉大，高二年級(jí)在社會(huì)實(shí)踐期間開(kāi)展“打埃作畦""移苗定植""挑水澆園”“插架〃四項(xiàng)勞動(dòng)技能比賽項(xiàng)目.某宿

舍8名同學(xué)積極參加，若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)項(xiàng)目，且每個(gè)項(xiàng)目至多三人參加，則這8個(gè)人

中至多有1人參加“打埃作畦”的不同參加方法數(shù)為（）

A.2730B.10080C.20160D.40320

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、排列數(shù)的計(jì)算、組合數(shù)的計(jì)算、分組分配問(wèn)題

【分析】分兩種情況根據(jù)分組與分配問(wèn)題的求解方法求解即可.

【詳解】若沒(méi)有人參加“打埃作畦"，則有?A；=1680種不同的方法,

若有一人參加“打填作畦"，則有C；七=8400種不同的方法,

\A2A?）

所以這8個(gè)人中至多有1人參加“打填作畦”的不同參加方法數(shù)為1680+8400=10080.

故選：B.

2.（23-24高二下?天津?期中）若將6本不同的小說(shuō)全部分給3個(gè)同學(xué)，每本書只能分給一個(gè)人，每個(gè)人至

少分一本書，則不同的分法的數(shù)量為（）

A.540B.90C.10D.450

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用、分組分配問(wèn)題

【分析】先將書分成三組，再將學(xué)生排列好，將每組的書分別發(fā)放給學(xué)生.

【詳解】根據(jù)題意，每位同學(xué)至少分一本書，

則分成（2,2,2）,（1,2,3）,（1,1,4）三組，

若分成（2,2,2）三組，有y=15種分組方法，

A3

若分成（1,2,3）三組，有C&C；=60種分組方法,

若分成（1,1,4）三組，有美嚴(yán)=15種分組方法，

從而分組方法有15+60+15=90種；

將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)3名學(xué)生，有A；=6種情況.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，故共有90x6=540種不同的分法.

故選：A.

3.（2022?天津和平?二模）某公司新成立3個(gè)產(chǎn)品研發(fā)小組，公司選派了5名專家對(duì)研發(fā)工作進(jìn)行指導(dǎo).若

每個(gè)小組至少有一名專家且5人均要派出，若專家甲、乙需到同一個(gè)小組指導(dǎo)工作，則不同的專家派遣方案

總數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】36

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)際問(wèn)題中的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題、分組分配問(wèn)題

【分析】根據(jù)甲、乙兩人組成一組和甲、乙兩人與其他三人中選一人組成一組二種情況分類討論求解即可.

【詳解】當(dāng)甲、乙兩人組成一組時(shí)，不同的專家派遣方案總數(shù)為：CjA：=3x3x2xl=18；

當(dāng)甲、乙兩人與其他三人中選一人組成一組時(shí)，

不同的專家派遣方案總數(shù)為：C>A；=3x3x2x1=18,

所以專家甲、乙需到同一個(gè)小組指導(dǎo)工作，則不同的專家派遣方案總數(shù)為：18+18=36,

故答案為：36

4.（23-24高二下?天津?期中）為方便廣大人民群眾就醫(yī)，普及醫(yī)療健康知識(shí)，社區(qū)組織"義診下鄉(xiāng)行”活動(dòng)，

某醫(yī)療隊(duì)伍有5名醫(yī)生需分配到3個(gè)志愿團(tuán)隊(duì)，每個(gè)志愿隊(duì)至少分配一名醫(yī)生，甲醫(yī)生被分到A志愿隊(duì)的

方法有種.（用數(shù)字作答）

【答案】50

【知識(shí)點(diǎn)】分組分配問(wèn)題

【分析】先按照A志愿隊(duì)的人數(shù)分類，再按照分組分配的方法，即可求解.

【詳解】第一種情況，A志愿隊(duì)只有甲醫(yī)生，則剩下的4人可以為1,3或2,2的分組，再分配到另2個(gè)志

（c2A

愿團(tuán)隊(duì)，有C〔+/A；=14種方法，

IA27

第二種情況，A志愿隊(duì)有甲醫(yī)生外，還有1人，剩下的3人為1,2的分組，再分配到另2個(gè)志愿團(tuán)隊(duì)，有

C：xC；xA；=24種方法，

第三種情況，A志愿隊(duì)有甲醫(yī)生外，還有2人，剩下的1人為1,1的分組，再分配到另2個(gè)志愿團(tuán)隊(duì)，有

C：xA：=12種方法，

所以共有14+24+12=50種方法.

故答案為：50

5.（23-24高二下?天津南開(kāi)?期中）南開(kāi)園中有很多地方沉淀著歷史的印記，值得同學(xué)們?cè)谌甑臅r(shí)光里駐

足留意.小南、小艾等6位即將畢業(yè)的同學(xué)在伯苓樓、范孫樓、瑞廷禮堂、翔宇樓4座標(biāo)志性建筑中各選

擇一座拍照留念，若每座建筑至少有一位同學(xué)拍照，每位同學(xué)都恰選擇一座建筑拍照，且小南、小艾不在

同一座建筑拍照，則不同的拍照方式共有種，（用數(shù)字作答）

【答案】1320

【知識(shí)點(diǎn)】排列組合綜合、實(shí)際問(wèn)題中的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題、分組分配問(wèn)題

【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將6人分為4組，要求小南、小艾不在同一組，②將四組安排在

4座標(biāo)志性建筑中拍照，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①將6人分為4組，要求小南、小艾不在同一組，

若分為3、1、1、1的四組，有或-C；=16種分組方法，

若分為2、2、1、1的四組，有卑警-卑4=39種分組方法，

則有16+39=55種分組方法；

②將四組安排在4座標(biāo)志性建筑中拍照，有A：=24種情況，

故有55x24=1320種排法.

故答案為：1320.

題型5二項(xiàng)展開(kāi)式第左項(xiàng)

0O日雹

rnrr

對(duì)于m+力"，涉及到具體項(xiàng)，通常使用通項(xiàng)公式：Tr+i=Cna-b

1.（2024?四川成都?三模）（2x-

的展開(kāi)式中，第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)〃等于（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求二項(xiàng)展開(kāi)式的第k項(xiàng)

【分析】利用二項(xiàng)式定理求出展開(kāi)式通項(xiàng)，由條件列方程求〃.

【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第r+1為

4

所以T=C（2x）"=（2：2'7尤-6,

由已知7=6,

故選：C.

2.（2024?河北廊坊?模擬預(yù)測(cè)））的展開(kāi)式中只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中的

常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-160B.-20C.20D.160

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】求二項(xiàng)展開(kāi)式的第k項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)的增減性和最值

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得力=6,再根據(jù)通項(xiàng)公式可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椴?

N*）的展開(kāi)式中只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,

則由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)知：展開(kāi)式共有7項(xiàng)，則〃=6,

貝展開(kāi)式的通項(xiàng)為卻|=C）6T.l=（-2）＜）6-2，,

展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)，必有6-2廠=0,即r=3,

所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為￡=（-2）?=-8x20=-160.

故選：A

3.（2024?山東?二模）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，〃=

【答案】10

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)二項(xiàng)式的第k項(xiàng)求值

【分析】借助二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.

【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,

所以C：=C：,由組合數(shù)的性質(zhì)可得〃=10.

故答案為：10.

4.的展開(kāi)式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，展開(kāi)式中含有尤2頂?shù)?/p>

系數(shù)為.

【答案】-4

【知識(shí)點(diǎn)】求指定項(xiàng)的系數(shù)、根據(jù)二項(xiàng)式的第k項(xiàng)求值

【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】［狐-5］的展開(kāi)式中第5項(xiàng)為C：（也廠］-4］

第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，故殍一襄0,則〃=8,

當(dāng)警若=2時(shí)，k=l,故第2項(xiàng)為:

故答案為：—4

2—負(fù)的展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù):

5.（23-24高三上?廣東珠海?開(kāi)學(xué)考試）寫出（用數(shù)字表示）

【答案】-160

【知識(shí)點(diǎn)】求二項(xiàng)展開(kāi)式的第k項(xiàng)、求指定項(xiàng)的系數(shù)

【分析】利用二項(xiàng)式定理得到通項(xiàng)公式，求出第4項(xiàng)系數(shù).

（-工）33

【詳解】QI=C：（2X）3--=-160^.

故答案為：-160

題型6求指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

?0幅

nrr

對(duì)于（a+力"，涉及到具體項(xiàng)，通常使用通項(xiàng)公式：Tr+l=C；a-b

1.（2024?北京?三模）在展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（）

第

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】求指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

【分析】根據(jù)給定條件，求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，再求出常數(shù)項(xiàng)即得.

【詳解】二項(xiàng)式（x-［）4展開(kāi)式的通項(xiàng)加=C，T（一1），=（_iyc，Y，,reN,r44,

由4—4廠=0,得廠=1,則（尤-《）4展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是第2項(xiàng)，

所以常數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C；=4.

故選：A

2.（23-24高三上?天津北辰?階段練習(xí)）若卜-彳）展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64,則展開(kāi)式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)

式系數(shù)為.

【答案】15

【知識(shí)點(diǎn)】求指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、二項(xiàng)式的系數(shù)和

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和得到〃=6,再計(jì)算第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)即可.

【詳解】卜-：］展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2R=64,故”=6,

展開(kāi)式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為廢=15.

故答案為：15.

3.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）二項(xiàng)式卜+展開(kāi)式的第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是.

【答案】28

【知識(shí)點(diǎn)】求指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得令r=2即可求解.

【詳解】由題意知，［+￡［展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為q/L

令r=2,得C；=28,即二項(xiàng)式、+展開(kāi)式的第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是28.

故答案為：28

4.（2024?遼寧沈陽(yáng)?一模）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.

【答案】20

【知識(shí)點(diǎn)】求指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

【分析】求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令x的次數(shù)為0,求得答案.

【詳解】此二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為7^=晨（26）6-（；1=26-?針,，

（「=0,123,4,5,6）,則當(dāng)廠=3時(shí)，對(duì)應(yīng)的為常數(shù)項(xiàng)，

故常數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C：=20,

故答案為：20.

5.（2023?山東青島?三模）若+6］展開(kāi)式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)

的二項(xiàng)式系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】28

【知識(shí)點(diǎn)】求指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、二項(xiàng)式的系數(shù)和、求系數(shù)最大（?。┑捻?xiàng)

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和可得"=8,結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求系數(shù)最大項(xiàng)，進(jìn)而可求其二項(xiàng)式系數(shù).

【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2,=256,解得〃=8,

則+?］展開(kāi)式為乙=(2；［(］(?)'=M%",r=0,l,2,…,8,

r

可得第r+1項(xiàng)的系數(shù)為%+i=若c,r=0,1,2,…,8,

f~^r「r+1

J〉J

48—r-o7-r

。用叫+2

令、，即Bn＜「解得r=6,

所以展開(kāi)式中第7項(xiàng)系數(shù)最大，其二項(xiàng)式系數(shù)為C；=28.

故答案為：28

題型7二項(xiàng)式系數(shù)和

:0屯e0

(1)(。+力”展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：

d+C；+…+&+…+Q=2"(〃eN*)；

(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等:

C；+C；+..Y+C；+…=2"T(〃eN*)

1.(2024?天津北辰?三模)若［2V+%J展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為128,則展開(kāi)式中/的系數(shù)為.

【答案】280

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式的系數(shù)和、求指定項(xiàng)的系數(shù)

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和可得〃=7,再結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)分析求解即可.

【詳解】由題意可知：二項(xiàng)式系數(shù)和為2"=128,解得〃=7,

則2丁+展開(kāi)式的通項(xiàng)為雹+1=C；(2d廣［；］=27T.J,『匕’,r=0,1,…,7,

7

令21-于=7,解得r=4，

所以展開(kāi)式中尤7的系數(shù)為23.C；=280.

故答案為：280.

2.(2023?天津?yàn)I海新?三模)若卜的展開(kāi)式的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為16,則展開(kāi)式中Y的系數(shù)

為.

【答案】-10

【知識(shí)點(diǎn)】求指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、二項(xiàng)式的系數(shù)和

【分析】由展開(kāi)式的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為16可得〃=5,則卜-展開(kāi)式中第廠+1項(xiàng)為卜2）'q?產(chǎn)2,,

令5-2r=3可得答案.

【詳解】因卜;二）的展開(kāi)式的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為16,則2"T=16n/=5.

則\二［=卜一2）展開(kāi)式中第用項(xiàng)為q「.曰|=（一2yq.1.

令5-2廠=3可得r=l,則d的系數(shù)為—2?C；=-10.

故答案為：-10

3.（2023?四川達(dá)州?二模）若,-彳］展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64,則展開(kāi)式中/系數(shù)為.

【答案】-12

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式的系數(shù)和、求指定項(xiàng)的系數(shù)

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和求得力，根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得/的系數(shù).

【詳解】依題意的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64,所以2，=64,即〃=6.

二項(xiàng)式|J展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為C/xJ.（一2/）'=（-2）’?C；?產(chǎn)

46-2r=4,r=l,所以展開(kāi)式中含公的系數(shù)為（_2*或=-12.

故答案為：-12

4.（2022?天津?yàn)I海新?模擬預(yù)測(cè)）已知（V-的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開(kāi)式第三項(xiàng)的系數(shù)

是.

【答案】60

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式的系數(shù)和、求指定項(xiàng)的系數(shù)

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的和的性質(zhì)，求得〃=6,結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，即可求解.

【詳解】由（V-2）”的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,可得2,=64,解得〃=6,即（V-2）6

XX

0

則展開(kāi)式第三項(xiàng)為C；（Y）4（一二）2=（-2）2C"=60尤6,

所以展開(kāi)式第三項(xiàng)的系數(shù)是60.

故答案為：60.

5.（24-25高三上,貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí)）若（?-與"的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為32,且一的系數(shù)為80,則

X

實(shí)數(shù)a的值為.

【答案】-2

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式的系數(shù)和、由項(xiàng)的系數(shù)確定參數(shù)

【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)和先求"，再利用通項(xiàng)=G（-a）”芋得到無(wú)「2的指數(shù)確定「值，由無(wú)一2的系數(shù)為80,

建立關(guān)于。的方程求解可得.

【詳解】因?yàn)椋ㄊ?色廠的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為32,

X

所以C：+C；+C：+...+C：=2"=32,解得w=5.

5—3r

所以二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為心=C久五尸（-3=G（-a），x亍，

X

由言=一2,解得r=3,

所以一的系數(shù)為C；（-4=-10。3=go,解得。=_2.

故答案為：-2.

題型8求指定項(xiàng)的系數(shù)

\'運(yùn)'}

IaaaeI

nrr

:對(duì)于（a+6）”,涉及到具體項(xiàng)，通常使用通項(xiàng)公式：Tr+l=C'na-b

ii

7萬(wàn)五痂:建菽福而…藪二方的三質(zhì)蔗異女爵莪場(chǎng)三素藪前靛■「春…

（X_1）”=旬+4（彳+1）+d（彳+1）2+...+a“（x+l）”,貝qq等于.

【答案】448

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式的系數(shù)和、求指定項(xiàng)的系數(shù)

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式求出〃，再利用展開(kāi)式求q.

【詳解】???（X-1）''的二項(xiàng)展開(kāi)式的奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為64,

T-'=64,即"=7,

貝i］（x-l）7=［（X+1）-2］7的通項(xiàng)公式為（=C：（x+l尸（一2匕

令7—左=1,貝IJ左=6,

所以4=C；X（-2）6=448.

故答案為：448.

5

2.（2024?天津南開(kāi)?二模）在的展開(kāi)式中，尸的系數(shù)為

【答案】+45/22.5

【知識(shí)點(diǎn)】求指定項(xiàng)的系數(shù)

【分析】借助二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得.

即，X」的系數(shù)為145.

45

故答案為：y

（?天津和平?三模）在（丁+）（尤-工）的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為

3.202326（請(qǐng)用數(shù)字作答）.

【答案】-46

【知識(shí)點(diǎn)】求指定項(xiàng)的系數(shù)、兩個(gè)二項(xiàng)式乘積展開(kāi)式的系數(shù)問(wèn)題

【分析】求出（X-L）6展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再分析計(jì)算得解.

X

6rrr62r

［詳解】二項(xiàng)式。一工）6展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：Tr+l=q%-（--）=（-l）C'6x-,reN,r<6,

XX

由6-2r=0或6-2-=-4,得r=3或r=5,

所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為2x（-1）3C^+（-1）5仁=-46.

故答案為：-46

4.（24-25高三上?天津和平?期末）二項(xiàng)式（2工-9］的展開(kāi)式中，/項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】80

【知識(shí)點(diǎn)】求指定項(xiàng)的系數(shù)

【分析】利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.

【詳解】［2苫-七］的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：

Tr+l=C>(2x廣卜=C：--(-1/-,

令5=2,解得廠=2,

所以V項(xiàng)的系數(shù)為c；.23.（-1）2=80.

故答案為：80.

5.（2024?上海長(zhǎng)寧?一模）［-J］的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是.

【答案】-20

【知識(shí)點(diǎn)】求指定項(xiàng)的系數(shù)

【分析】由題可得展開(kāi)式的第廠+1項(xiàng)，令x指數(shù)為0,可得常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)「，即可得答案.

【詳解】由題卜一Jj的二項(xiàng)展開(kāi)式的第廠+1項(xiàng)為?）6-，.（_1）［/：=（_1??尤6-2，.

令6—2r=0=r=3,則常數(shù)項(xiàng)為（-獷?或=-20.

故答案為：-20.

題型9有理項(xiàng)問(wèn)題

0。

rr

對(duì)于（a+力"，涉及到具體項(xiàng)，通常使用通項(xiàng)公式：Tr+1=C［a"-b

1.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）1+缶"展開(kāi)式的7項(xiàng)中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有（）項(xiàng)

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求有理項(xiàng)或其系數(shù)

【分析】利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式4+］=（3；（倉(cāng)）。3/=0,1,2,...,6，可得結(jié)論?

1J_r

【詳解】（1+缶3）6的展開(kāi)式為—=晨（缶I=晨（0??//=0,1,2,…,6，

當(dāng)，=0,2,4,6時(shí)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的各項(xiàng)的系數(shù)分別為1,30,60,8均為有理數(shù)，

故系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有共有4項(xiàng).

故選：D.

2.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知-聲］（其中。＞0）的展開(kāi)式中的第7項(xiàng)為7,則展開(kāi)式中的有理項(xiàng)

共有（）

A.6項(xiàng)B.5項(xiàng)C.4項(xiàng)D.3項(xiàng)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)展開(kāi)式的應(yīng)用、求有理項(xiàng)或其系數(shù)、由項(xiàng)的系數(shù)確定參數(shù)

【分析】運(yùn)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得打、。的值，結(jié)合有理項(xiàng)的定義賦值求解即可.

【詳解】展開(kāi)式的第7項(xiàng)為7；=

由題意，得2〃—14=0,(―a)6C：=7,(a>0),所以〃=7,a=1

則展開(kāi)式的通項(xiàng)為%=（-1）七"4"=(—3,左=0,1,2,…,7,

42-7k

令eZ,則左=0,3,6,所以展開(kāi)式中的有理項(xiàng)共有3項(xiàng).

故選：D.

3.（2024?青海西寧?模擬預(yù)測(cè)）（8-4工『展開(kāi)式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有（）

A.2項(xiàng)B.3項(xiàng)C.4項(xiàng)D.5項(xiàng)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求指定項(xiàng)的系數(shù)、求有理項(xiàng)或其系數(shù)

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式直接得出結(jié)果.

【詳解】（8-缶），展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為中5M-缶丫=（-"）飛吠獷（（KrM9,reZ）,

所以展開(kāi)式中的第1項(xiàng)、第3項(xiàng)、第5項(xiàng)、第7項(xiàng)、第9項(xiàng)的系數(shù)均為有理數(shù)，共5項(xiàng).

故選：D

的展開(kāi)式中，所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和為（）

XX\Jx

C.127D.128

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求有理項(xiàng)或其系數(shù)

【分析】由題意得（1+尚+3+」戶）：=（1+3）8,結(jié)合展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可求解.

xxy/x

【詳解】由題意矢口（1+-^=+°+—L）3=（1H■-7=）8,

yJX