與圓有關(guān)的位置關(guān)系 學(xué)案（含答案）-2025年陜西中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材梳理

第2節(jié)與圓有關(guān)的位置關(guān)系

（6年6考,8分）

?命題分析

中考每年必考內(nèi)容,題型為解答題.主要考查與切線性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算，如今與其他

知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，綜合考查.比如相似三角形，全等三角形，銳角三角函數(shù)，勾股定理，四邊形等.

【回歸教材?過基礎(chǔ)】

【知識(shí)體系】

三角形外接圓三角形內(nèi)切圓

【知識(shí)清單】

知識(shí)點(diǎn)1與圓有關(guān)的位置關(guān)系檢專

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（設(shè)圓

的半徑為r,平面內(nèi)任一

點(diǎn)在圓外od①r,如圖中點(diǎn)A

點(diǎn)到圓心的距離為d）點(diǎn)在圓上od②r,如圖中點(diǎn)B

、點(diǎn)在圓內(nèi)od③r,如圖中點(diǎn)C

直線與圓的位置關(guān)位置關(guān)系相離相切相交

系（設(shè)圓的半徑為r,d與r的關(guān)系d④_______rd⑤______r_d⑥______r_

圓心到直線的距離

為d)不意圖0

公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)沒有公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)有兩個(gè)公共點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)2切線第考

切線的性質(zhì):圓的切線⑦于過切點(diǎn)的半徑(或直徑)

切線的判定

'若直線與圓的公共點(diǎn)已知，連接過這點(diǎn)的半徑，證明這條半徑與要證直線垂直即可

,可簡(jiǎn)述:有公共點(diǎn)，連半徑,證垂直

,若直線與圓的公共點(diǎn)未知，過圓心作要證直線的垂線，證明垂線段的長(zhǎng)等于圓的半徑即可

、可簡(jiǎn)述:無公共點(diǎn)，作垂直,證半徑

切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)⑧，這一點(diǎn)和圓心的連線⑨—

兩條切線的夾角.如圖，過。0外一點(diǎn)P可引兩條切線PA,PB,貝I]PA=⑩,P0平分/APB

知識(shí)點(diǎn)3三角形的內(nèi)心畛有

(定義?叫作三角形的內(nèi)切圓，?叫作三角形的內(nèi)心

卜生質(zhì):三角形的內(nèi)心到三角形?的距離相等;三角形的內(nèi)心是?的交點(diǎn)

【真題精粹?重變式】

考向1與切線性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算q年g考

1.(2022.陜西24題8分)如圖,AB是。O的直徑,AM是。O的切線,AC,CD是OO

的弦，且CDLAB,垂足為E,連接BD并延長(zhǎng)，交AM于點(diǎn)P.

(1)求證:NCAB=NAPB.

(2)若OO的半徑r=5,AC=8,求線段PD的長(zhǎng).

2.(2024.陜西24題8分)如圖，直線1與OO相切于點(diǎn)A,AB是OO的直徑，點(diǎn)C,D

在直線1上，且位于點(diǎn)A兩側(cè)，連接BC,BD,分別與。O交于點(diǎn)E,F,連接EF,AF.

(1)求證:NBAF=NCDB.

(2)若OO的半徑r=6,AD=9,AC=12,求EF的長(zhǎng).

考向2與切線判定有關(guān)的證明與計(jì)算

3.如圖，在RtAABC中,/?=90。,。0是4ABC的外接圓，點(diǎn)D在O0上，且檢=包,

過點(diǎn)D作CB的垂線，與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,并與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.

(1)求證:DF是O0的切線.

(2)若。O的半徑R=5,AC=8,求DF的長(zhǎng).

4.如圖，在RtAABC中,NBAC=90o,NBAD=NC,點(diǎn)D在BC邊上，以AD為直徑的

。。交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.

(1)求證:BC是O0的切線.

(2)已知AB=6,AC=8,求AF的長(zhǎng).

【核心突破?拓思維】

題型1切線的性質(zhì)及其應(yīng)用

如圖，在RtAABC中,NBAC=90。,以AB為直徑的。0交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D

作OO的切線交AC于點(diǎn)E,連接AD.

⑴求證:AE=DE.

⑵若AB=10,BD=6,求AC的長(zhǎng).

,變式設(shè)問

1.如圖,AB是。O的直徑,BC是。O的切線,D為BC的中點(diǎn)，連接AD與。O交于

點(diǎn)E,連接CE并延長(zhǎng)，與。O交于點(diǎn)F,且CF經(jīng)過圓心O.

⑴求證:E為CF的中點(diǎn).

⑵若AD=6,求。。的半徑.

RDC

E如圖,四邊形ABDC內(nèi)接于。O,AD平分NBAC,延長(zhǎng)AC交。O的切線DE

于點(diǎn)E.

(1)求證:BC〃DE.

⑵連接DC,若cos/BADq,DC=10,求點(diǎn)C到DE的距離.

:變逋這問

2.如圖，在△AOB中,O。與AB相切于點(diǎn)D,延長(zhǎng)A0交。0于點(diǎn)C,連接CD,過點(diǎn)

A作AFLBO,交B0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,交。0于點(diǎn)F,ZB=ZC.

求證:(1)AF〃CD.

(2)AH2=OHBH.

題型2切線的判定及其應(yīng)用

3如圖，在△ABC中,NA=45。,以AB為直徑的。0經(jīng)過AC的中點(diǎn)D,E為。0

上的一點(diǎn)，連接DE,BE,DE與AB交于點(diǎn)F.

(1)求證:BC為。。的切線.

⑵若F為0A的中點(diǎn),O0的半徑為2,求BE的長(zhǎng).

,變式設(shè)問

3.如圖,AB為。O的直徑O過AC的中點(diǎn)D,DE，BC于點(diǎn)E.

(1)求證:DE為。。的切線.

⑵若DE=2,tanC=g,求。O的直徑.

方法歸納

(1)切線性質(zhì)的運(yùn)用口訣:“見切點(diǎn),連半徑，得垂直,得等腰”.在運(yùn)用切線的性質(zhì)時(shí)，當(dāng)連接半徑

之后，會(huì)得到垂直條件，進(jìn)而會(huì)出現(xiàn)直角三角形，同時(shí)圓的半徑均為等線段，則會(huì)出現(xiàn)等腰三角形.利

用等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，可完成等角轉(zhuǎn)換.

(2)切線的判定:判定直線是不是圓的切線時(shí)，從以下兩個(gè)維度入手.

①連半徑，證垂直.通過連接半徑，得到等線段，尋找等腰三角形進(jìn)行等角轉(zhuǎn)換(互余導(dǎo)角)，以此來證

明垂直；

②作垂直,證半徑.通過作垂直，尋找全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)來證明所作垂線段為半徑.

參考答案

回歸教材?過基礎(chǔ)

知識(shí)清單

S②二③<@>⑤:@<⑦B直創(chuàng)目等@￥分⑩PB?

與三角形各邊相切的圓?三角形內(nèi)切圓的圓心?各邊?三條角平分線

真題精粹.重變式

1.解析:⑴證明：：是。。的切線，.：ZBAM=9Q°.

"."CD±AB,/.ZCEA=90°,.".AM//CD,

?：/CDB=/APB.

VZCAB=ZCDB,.：ZCAB=ZAPB.

(2)如圖，連接AD

為。。的直徑，

r.ZCDB+ZADC=9Q°.

VCD±AB,

r.ZCAB+ZC=9Q°.

VZCDB=ZCAB,

r.ZADC=ZC,

.'.AD=AC=8.

VAB=10,

.：BD=Vnn2-AD2=6,

"/ZADB=ZPAB,ZABD=ZPBA,

；.&ADBsAPAB,

?nnWO50

??PB=--=—,

□□63'

ZPZ)=--6=-.

33

2.解析:⑴證明：丁直線/與。。相切于點(diǎn)A,A3是O。的直徑,

.：ABLCD,.".ZBAC=ZBAD=90°.

是。。的直徑，

/.ZAFB=9Q°.

,."ZBAF+ZABD=9Q°,ZCDB+ZABD=9Q°,

?：/BAF=/CDB.

(2)在RtAA3。中，

'/AB=2r=12AD=9,

/.BD=j92+122=15.

在R3ABC中，

：*AB=124C=12,

.：BC=7122+122=12V2.

"/ZABF=ZDBA,ZAFB=ZBAD,

BAFSABDA,

：.BF：BA=BA：BD,^BF；12=12；15,

解得

"/ZBEF=ZBAF,ZBAF=ZCDB,

/.ZBEF=ZCDB.

"/ZEBF=ZDBC,

.：△BEFsABDC,

.：EF：DC=BF：BC^EF；21=y/12A/2,

解得E7三半，即ER的長(zhǎng)為華.

3.解析:⑴證明:如圖，連接。。并延長(zhǎng)，與AC相交于點(diǎn)P.

/.DPLAC,

,：ZDPC=90°.

VDE±BC,

/.ZCED=90°.

：,ZC=90°,

.：ZODF=90°,

.：D尸是。。的切線.

⑵7ZC=90°,

/.AB=2R=10.

在R3ABC中,5C=J□口2一口口2=6.

7ZDPC+ZC=180°,

.'.PD//CE,

r.ZCBA=ZDOF.

VZC=ZODF,

.：AABCsAFOD,

4.解析:⑴證明：7/胡。=90。，

r.ZDAC+ZBAD=90°.

VZBAD=ZC,/.ZDAC+ZC=9Q°,

r.ZADC=9Q°.

又：ND是。。的直徑，

.：3。是。。的切線.

(2)如圖，連接

在RtAABC中,

AB=6AC=8,

.：3。國口口2+口口2=1。

：$△ABC=-ABAC=-BCAD,

22

Z-x6x8=-xlOxA￡),

22

解得

:ND是。。的直徑，

.：ZAFD=90°,

/.ZAFD=ZADC.

又VZDAF=ZCAD,

.：△ADRS^AC。，

24

,BPZ=^,.：AF=-.

□□on58二'25

5

核心突破?拓思維

例1解析:⑴證明:如圖，連接OD

:2A4c=90。,。石是0。的切線，

.'.Z0AD+ZDAE=9Q°,0DLDE,

.：/。?！?90°,即/。。4+/4?！?90。.

\"OA=OD,

/.ZOAD=ZODA,

.：/DAE=/ADE,

.".AE=DE.

⑵：N3是。。的直徑，

/.AD±BC,ZB+ZBAD=90°.

"."AB=10,BD=6,

.：Ar)=Vnn2-BD2=8,

在△ABC和△DA4中，

VZBAC=ZBDA=9Q°,ZCBA=ZABD,

.：△ABC^ADBA,

，:四二四即以四

□□68'

.：AC=-.

3

變式設(shè)問L解析:

⑴證明:如圖，連接底

:,在。。中,NA=NENR=N03R,

r.ZA=ZOBF,

.".AD//BF.

：Z＞為BC的中點(diǎn)，

.：E為CT的中點(diǎn).

⑵設(shè)。。的半徑為廠,由⑴可知,"=CE=2r,

,'.0C=0E+EC=3r.

:，BC為。。的切線,.：ZABC=9Q°.

在RtAOBC^3,0C=3r,0B=r,

.：BC=Vnn2-OD2=2V2r,

/.BD=CD=^BC=41r.

在RtAA3。中,A3=2r,AD=6,且AD?=A"+BD2

.：62=4^+27,解得尸=述.

.：。。的半徑為述.

例2解析:⑴證明:如圖，過點(diǎn)。作于點(diǎn)H.

A

DGE

:/。平分NA4C,

.：/CAD=/BAD,

/.BD=CD.

:'DHLBC,

是BC的中垂線，

必經(jīng)過圓心點(diǎn)Q

:Z)E是。。的切線，

.'.DH±DE,

/.BC//DE.

(2)如圖，過點(diǎn)。作CG,DE于點(diǎn)G

由(1)知3?！?。自

r.ZBCD=ZCDE.

.：/BAD=/BCD,

?：/CDE=/BAD.

3

：*DC=10,cosZBAD=|,

.:在RtACDG,cosZCDE=—=—=~,

'□□105'

?：DG=6,

.：CG=J口EDNJ1()2_62=8,即點(diǎn)c到DE的距離為8.

變式設(shè)問2.證明:⑴如圖，連接OD

;。。與A3相切于點(diǎn)D,

.'.OD±AB,

/.ZBDO=9Q°,

/.ZB+ZBOD=90°.

r/B=/c,

/.ZC+ZB0D=9Q°.

；OC=OD,

/.ZODC=ZC,

r.ZODC+ZBOD=90°,

ZDMO=180°-(ZODC+ZBOD)=90°,

?：DC1BH.

：'AF±BH,.：DC//AF.

(2)7DC//AF,

?：/OAH=/C.

VZB=ZC,

/.ZOAH=ZB.

VZAHO=ZBHA,

.".^AHO^ABHA