中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與訓(xùn)練：解直角三角形中的擁抱模型和12345模型（含答案及解析）

專題16解直角三角形中的擁抱模型和12345模型

【模型展示】

將△DEF,

沿HC平移

特點(diǎn)

連接AD.it點(diǎn)

使點(diǎn)F與A作AG」）E

點(diǎn)（'小仔

千點(diǎn)G

分別解兩個(gè)直角三角形，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵.在RtAABC和RtADCB中，BC=BC.

結(jié)論“擁抱?！毙完P(guān)鍵是找到兩個(gè)直角三角形的公共邊

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，某學(xué)校大樓頂部有一個(gè)工助屏42,小明同學(xué)在學(xué)校門口C處測得上即屏底部A的仰角為53。,

沿大門樓梯C。向上走到。處測得工即屏頂部8的仰角為30。，D、E、F在同一水平高度上，已知大門樓

梯的坡比i=l:若，8=80米，。=30米，大樓AF和大門樓梯的剖面在同一平面內(nèi)，則LED屏

r-434

AB的高度為（）（參考數(shù)據(jù)：A/3~1.73,sin53°?-,cos53°?j,tan53°?-）

A.24.6米B.30.6米C.34.6米D.44.6米

2.如圖，某建筑物A8在一個(gè)坡度為i=l：0.75的山坡8c上，建筑物底部點(diǎn)B到山腳點(diǎn)C的距離8c=20

米，在距山腳點(diǎn)C右側(cè)同一水平面上的點(diǎn)。處測得建筑物頂部點(diǎn)A的仰角是42。，在另一坡度為=1：2.4

的山坡DE上的點(diǎn)E處測得建筑物頂部點(diǎn)A的仰角是24。，點(diǎn)E到山腳點(diǎn)D的距離DE=26米，若建筑物

AB和山坡BCSE的剖面在同一平面內(nèi)，則建筑物AB的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：5%24。旬41,cos2430.91,

柩〃24°=0.45,si為42°=0.67.cos42%0.74,山〃42%0.90）

A.36.7米B.26.3米C.15.4米D.25.6米

3.數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課中小明同學(xué)測量某建筑物CD的高度，如圖，已知斜坡AE的坡度為i=l：2.4,小明在

坡底點(diǎn)E處測得建筑物頂端C處的仰角為45°,他沿著斜坡行走13米到達(dá)點(diǎn)F處，在尸測得建筑物頂端C

處的仰角為35。，小明的身高忽略不計(jì).則建筑物的CD高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：s沅35。乜）.6,335。乜）.8,

力”35°巾.7）

A.28.0米B.28.7米C.39.7米D.44.7米

4.我校興趣小組同學(xué)為測量校外“御墅臨楓”的一棟電梯高層的樓高，從校前廣場的C處測得該座建筑

物頂點(diǎn)A的仰角為45°,沿著C向上走到30塢米處的D點(diǎn).再測得頂點(diǎn)A的仰角為22°,已知CD的坡度：

z=l：2,A、B、C、￡>在同一平面內(nèi)，則高樓的高度為（）（參考數(shù)據(jù)；5%22。必.37,。州22。乜）.93,

Z<7M22°?0.40）

5.如圖，某大樓。E樓頂掛著“眾志成城，抗擊疫情”的大型宣傳牌，為了測量宣傳牌的高度。，小江從樓

底點(diǎn)E向前行走30米到達(dá)點(diǎn)A,在A處測得宣傳牌下端D的仰角為60。.小江再沿斜坡AB行走26米到達(dá)

點(diǎn)、B,在點(diǎn)8測得宣傳牌的上端C的仰角為43。，已知斜坡A8的坡度7=1：2.4,點(diǎn)A、B、C、D、E在同

一平面內(nèi)，CD±AE,宣傳牌CD的高度約為（）（參考數(shù)據(jù):sin43°~0.68,cos43°=0.73,tan43°=0.93,

2

73=1.73)

C.8.7米D.8.9米

6.如圖，小明在距離地面30米的尸處測得A處的俯角為15。，8處的心角為60。，若斜面坡度為1：百，則斜

面A3的長是（）米.

A.20mB.204C.200D.15班

7.如圖，某人在山坡坡腳C處測得一座建筑物頂點(diǎn)A的仰角為63.4。，沿山坡向上走到P處再測得該建筑

物頂點(diǎn)A的仰角為53。.已知8c=90米，且氏C、。在同一條直線上，山坡坡度，=5：12,求此人從所在

位置點(diǎn)P走到建筑物底部B點(diǎn)的路程（）米.（結(jié)果精確到01米）（測傾器的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù):

4

tan53°?—,tan63.4°?2)

3

129.2D.127.1

二、填空題

3

8.一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員沿著斜坡FC滑行，他在點(diǎn)。處相對(duì)大樹頂端A的仰角為30。，從。點(diǎn)再滑行2&U

米到達(dá)坡底的C點(diǎn)，在點(diǎn)C處相對(duì)樹頂端A的仰角為45。，若斜坡Cb的坡比為i=l:3（點(diǎn)E,C,8在同一

水平線上），則大樹A3的高度米（結(jié)果保留根號(hào)）.

9.如圖，小明在P處測得A處的俯角為15。，2處的俯角為60。，PB=30m.若斜面A2坡度為1:百，則斜

坡AB的長是m.

三、解答題

10.大樓AB是某地標(biāo)志性建筑，如圖所示，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)社團(tuán)為測量大樓A8的高度，一小組先在附近

一樓房CD的底端C點(diǎn)，用高為1.5米的測桿CE在E處觀測AB大樓頂端8處的仰角是72°,另一小組到該

樓房頂端。點(diǎn)處觀測大樓底部A處的俯角是30。，已知樓房高約是45米，根據(jù)以上觀測數(shù)據(jù)求A3

大樓的高（精確到01米）.（已知：V3?1.73,sin72°?0.951,cos72°?0.034,tan72Q?3.08）

11.如圖，坡AB的坡度為1：2.4,坡面長26米，BC±AC,現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn)。處挖去部分坡體（用陰

影表示）修建一個(gè)平行于水平線CA的平臺(tái)DE和一條新的斜坡BE（請(qǐng)將下面兩小題的結(jié)果都精確到01米,

參考數(shù)據(jù)：括*1.732）.

4

（1）若修建的斜坡防的坡角（即NBEF）恰為45。,則此時(shí)平臺(tái)DE的長為米；

（2）坡前有一建筑物G”，小明在。點(diǎn)測得建筑物頂部H的仰角為30。，在坡底A點(diǎn)測得建筑物頂部H的仰

角為60。，點(diǎn)8、C、A、G、H在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C、A、G在同一條水平直線上，問建筑物G"高為多

少米?

12.在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組對(duì)一建筑物進(jìn)行測量.如圖，在山坡坡腳C處測得該建筑物頂端2的

、,3

仰角為6。。,沿山坡向上走20m到達(dá)。處，測得建筑物頂端B的仰角為3。。.已知山坡坡度,=3:4,即=

請(qǐng)你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：L732）

13.如圖，在建筑物。產(chǎn)的左邊有一個(gè)小山坡，坡底8、C同建筑底端廠在同一水平線上，斜坡A8的坡比

為7=5:12，小李從斜坡底端B沿斜坡走了26米到達(dá)坡頂A處，在坡頂A處看建筑物的頂端D的仰角a

為35。，然后小李沿斜坡AC走了2國米到達(dá)底部C點(diǎn)，已知建筑物上有一點(diǎn)E,在C處看點(diǎn)E的仰角為18。,

（點(diǎn)A、B、C、D、E、尸在同一平面內(nèi)）建筑物頂端。到E的距離OE長度為28.8米，求建筑物。尸的高

79

之——,cosl8°?——,tanl8°?

10109

14.某工程隊(duì)計(jì)劃測量一信號(hào)塔OC的高度,由于特殊原因無法直達(dá)到信號(hào)塔OC底部，因此計(jì)劃借助坡面

5

高度來測量信號(hào)塔OCC的高度.如圖，在信號(hào)塔OC旁山坡腳A處測得信號(hào)塔OC頂端C的仰角為70。，

當(dāng)從A處沿坡面行走13米到達(dá)尸處時(shí)，測得信號(hào)塔OC頂端C的仰角為45。.已知山坡的坡度i=1:2.4,且

O,A,8在同一條直線上.請(qǐng)根據(jù)以上信息求信號(hào)塔OC的高度.（側(cè)傾器高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：

sin70°?0.94,cos70°?0.34,tan70°?2.7)

15.感恩回饋，傳播文化.2022年3月份，河南省絕大部分景點(diǎn)實(shí)施免門票政策，其中去嵩山少林寺的人

數(shù)量巨大.如圖，王林進(jìn)入景區(qū)之后沿直線3。行至山坡坡腳C處，測得檢票大廳頂點(diǎn)A的仰角為60。，沿

山坡向上走到山門￡處再測得檢票大廳頂點(diǎn)A的仰角為37。，已知山坡的坡比i=3C=48米.求王

林所在山門E處的鉛直高度.（結(jié)果精確到0」.參考數(shù)據(jù)：sin37°*0.60,cos37°土0.80,tan37。a0.75,6引.73）

16.如圖，某測繪小組在山坡坡腳A處測得信號(hào)發(fā)射塔尖C的仰角為56.31。，沿著山坡向上走到P處再測

得點(diǎn)C的仰角為36.85°,已知4尸=20加米，山坡的坡度i=l:3（坡度指坡面的鉛直高度與水平寬度的

比），且。、A、3三點(diǎn)在同一條直線上，求塔尖C到地面的高度8的長.（測角儀的高度忽略不計(jì)，參考

數(shù)據(jù)：sin56.31°?0.83,cos56.31°?0.55,tan56.31°~1.50,sin36.85°?0.60,cos36.85°-0.80,

tan36.85°?0.75)

6

17.在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，某小組要測量一幢大樓MN的高度，如圖，在山坡的坡腳A處測得大樓

頂部M的仰角是58。，沿著山坡向上走75米到達(dá)8處.在B處測得大樓頂部M的仰角是22。，已知斜坡A3

的坡度i=3:4（坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）求大樓的高度.（圖中的點(diǎn)A,B,M,N,

C均在同一平面內(nèi)，N,A,C在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：tan22o=0.4,tan58o=L6）

18.如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱其旁邊有一個(gè)坡面CQ,坡角/QCN=30.在陽光下，小

明觀察到在地面上的影長為120cm,在坡面上的影長為180cm.同一時(shí)刻，小明測得直立于地面長60cm的

木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）.求立柱42的高度.

19.如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測量居民樓的高度A3,在居民樓前方有一斜

4

坡，坡長CD=15m,斜坡的傾斜角為a,cosa=y.小文在C點(diǎn)處測得樓頂端A的仰角為60。，在D點(diǎn)處

B,C,。在同一平面內(nèi)）.

（1）求C,。兩點(diǎn)的高度差;

（2）求居民樓的高度A2.（結(jié)果精確到1m,參考數(shù)據(jù)：73^1.7）

20.在一次課外活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹。的高度.如圖所示，測得斜坡BE的坡度，,=1:4,

7

坡底AE的長為8米，在B處測得樹CD頂部。的仰角為30。，在E處測得樹。頂部。的仰角為60。，求樹

高8.（結(jié)果保留根號(hào)）

21.如圖，株洲市炎陵縣某中學(xué)在實(shí)施“五項(xiàng)管理”中，將學(xué)校的“五項(xiàng)管理”做成宣傳牌（C。），放置在教學(xué)

樓A棟的頂部（如圖所示）該中學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部。的仰角為60。，沿芙

蓉小學(xué)圍墻邊坡向上走到8處測得宣傳牌頂部C的仰角為45。.已知山坡A2的坡度為z=l：3,AB=2y/lQ

m,AE=8m.

HAE

（1）求點(diǎn)2距水平面AE的高度BH.

（2）求宣傳牌CO的高度.（結(jié)果精確到01米.參考數(shù)據(jù)：72=1-414,73=1.732）

8

專題16解直角三角形中的擁抱模型和12345模型

【模型展示】

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，某學(xué)校大樓頂部有一個(gè)乙即屏A8,小明同學(xué)在學(xué)校門口C處測得LED屏底部A

的仰角為53。，沿大門樓梯C。向上走到。處測得乙西屏頂部8的仰角為30。，D、E、尸在

同一水平高度上，已知大門樓梯的坡比i=8=80米，EF=30米，大樓A廠和

大門樓梯8的剖面在同一平面內(nèi)，則L即屏A2的高度為（）（參考數(shù)據(jù)：小1.73,

434

sin53°?-,cos53°?-,tan53°?-)

553

A.24.6米B.30.6米C.34.6米D.44.6米

【答案】C

【分析】如圖，過。作水平線于“，延長AF交水平線于G,則AGLS,過。作

COLD石于。則OH=CO,C"=。。，利用坡度的含義求解

QQ

?CDO30?,OC40,OD=CZ）g:os30?406，再求解OE=---------=30,

tan53°

DF=60+4073,AF=EFgtan53?40,3尸=￡>Fgtan30盎74.6,從而可得答案.

【詳解】解：如圖，過。作水平線于延長AF交水平線于G,則AGLS,過C作

COLOE于。，則。"=CO,"=DO,

9

由題意得：icD=l：6，CD=80,

、PHCO_1

—=tan?CDO,

~CH~~DO~^33

\?CDO30?,OC40,6>D=CDg3os30?4073,

Q2ACG53?,而DF〃HG,

/OEC=ZAEF=ZACG=53°,

'田靛?竽3。,

3

Q跖=30,

\DF=40^+30+30=60+40A/3,AF=￡Fgtan53?30?140,

Q?BDF30?BFDF,

BF=DF-tan30°=g（60+40/）=20月+40-74.6,

\AB=BF-AF=74.6-40=34.6.

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，坡度的含義，熟練的構(gòu)建直角三角形是解本題

的關(guān)鍵.

2.如圖，某建筑物A2在一個(gè)坡度為i=l：0.75的山坡8C上，建筑物底部點(diǎn)2到山腳點(diǎn)C

的距離BC=2。米，在距山腳點(diǎn)C右側(cè)同一水平面上的點(diǎn)。處測得建筑物頂部點(diǎn)A的仰角

是42。，在另一坡度為i=l：2.4的山坡OE上的點(diǎn)E處測得建筑物頂部點(diǎn)A的仰角是24。,

點(diǎn)E到山腳點(diǎn)。的距離。E=26米，若建筑物A8和山坡8C、DE的剖面在同一平面內(nèi)，則

建筑物的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：5zn24°~0.41,cos24°~0.9l,tan24°~0A5,

5m42°~0.67.cos42°M.74,tan42°~0.90)

10

A.36.7米B.26.3米C.15.4米D.25.6米

【答案】D

【分析】如圖所示，過￡點(diǎn)做CD平行線交A3線段為點(diǎn)標(biāo)A2線段和CO線段相交點(diǎn)

為G和b由坡度為，=1：0.75,BC=20可得BG=16,GC=12,由坡度為z=1：2.4,DE=26

AGAH

可得。尸=24,EP=10,分別在在一AG3中滿足一=tan42°,在△AEH中滿足一=tan24?；?/p>

GDHE

簡聯(lián)立得AB=25.6.

【詳解】如圖所示，過E點(diǎn)做CO平行線交線段為點(diǎn)H標(biāo)線段和C。線段相交點(diǎn)

為G和〃

:在3GC中BC=20,坡度為i=l：0.75,

???BG2+GC2BC2,

3

BG2+(-BG)2=BC2,

4

???BG2+—BG2=BC2,

16

上5G2=202,

16

A—BG2=400,

16

16

/.8G29=400X——，

25

/.BG"=256，

BG=16,

3

CG=—BG=T2.

4

在，BGC中。E=26,坡度為i=l：2.4,

DF2+EF2=DE2,

：.EF)2+EF2=DE2,

:.—EF2+EF2^DE2,

25

11

AEF2=676x—,

169

￡F2=100.

EF=10,

￡)F=yEF=24,

A(ZAH

?,?在,.AGB中滿足-tan42°,在△AEH中滿足...-tan24°,

GDHE

即墨學(xué)心花裳前.

其中BG=16、BG=n,BH=BG-EF=6、DF=24,

AB+16=0.9(12+CD)①

代入化簡得

AB+6=0.45(36+CD)@'

令2②-①有

2AB-AB+2x6-16=2x0.45x36-0.9xl2+2-0.45CD-0.9CD

AB—4=21.6,

：.AB=25.6.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，利用三角形的坡度和斜邊長通過勾股定理可以求

得三角形各邊長度，再根據(jù)角度列含兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組，正確的列方程求解是解

題的關(guān)鍵.

3.數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課中小明同學(xué)測量某建筑物CD的高度，如圖，已知斜坡AE的坡度為z=l：

2.4,小明在坡底點(diǎn)E處測得建筑物頂端C處的仰角為45。，他沿著斜坡行走13米到達(dá)點(diǎn)F

處，在尸測得建筑物頂端C處的仰角為35。，小明的身高忽略不計(jì).則建筑物的CD高度約

為()(參考數(shù)據(jù)：s沅35yo.6,cos35°H).8,ton35°~0.7)

12

A.28.0米B.28.7米C.39.7米D.44.7米

【答案】D

【分析】過點(diǎn)/作尸G_L2￡)于G,FH_LCD于H,設(shè)尸G=尤米，貝i|EG=2.4x米，在RtAFGE

中，由勾股定理解得PG=5,EG=12,證明△CDE是等腰直角三角形，則設(shè)CD=y

米，在R/ACHF中，由三角函數(shù)定義求解即可.

【詳解】過點(diǎn)歹作BGL2D于G,FH工CD于H

則ZCFH=35°,四邊形DGFH是矩形，

:.HF=DG,DH=FG,

..?斜坡AE的坡度為i=l：2.4,

二設(shè)尸G=x米,則EG=2.4x米，

在FGE中,由勾股定理得：EF^FG^EG2,

即：132=/+(2.4尤)2,

解得：尤=5,

：.FG=5,EG=12,

VZC￡D=45°,

△CDE是等腰直角三角形，

：.CD=DE,

設(shè)CQ=y米，則CH=(j-5)米，

-CH

RmCHF中，tanZCFH=-----,

HF

y-5,

即S〃35°=y+]2'貝1》-2=勿〃35。*(y+12),

解得：產(chǎn)44.7,

即建筑物的CZ)高度約為44.7米；

故選：D.

13

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題以及坡度坡角問題，根據(jù)題意作

出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵

4.我校興趣小組同學(xué)為測量校外“御墅臨楓”的一棟電梯高層的樓高，從校前廣場的C

處測得該座建筑物頂點(diǎn)A的仰角為45。，沿著C向上走到30石米處的。點(diǎn).再測得頂點(diǎn)A

的仰角為22。，已知CZ)的坡度：i=l：2,A、B、C、。在同一平面內(nèi)，則高樓A8的高度為

()(參考數(shù)據(jù)；sin22°~0.37,cos22°~0.93,fan220~0.40)

【答案】D

【分析】作AXLE。交團(tuán)的延長線于根據(jù)坡度的概念分別求出CE、DE,根據(jù)正切的

定義求出AB.

【詳解】解：作AXLED交即的延長線于

：CD的坡度：i=l：2,

；.CE=8x米，

由勾股定理得，DE2+CE2=CD^,即犬2+(2%)2=(3075)2,

解得,尤=30,

則DE=30米，C￡=60米，

設(shè)AB=y米，貝米，

14

：.DH=y-30f

:ZACB=45°,

BC=AB=y,

AH=BE=y+60,

DH

在RtXAHD中，tanZDAH=tan22°=——

解得，y=90,

高樓AB的高度為90米，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，掌握仰角俯角

的概念、坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，某大樓。E樓頂掛著“眾志成城，抗擊疫情”的大型宣傳牌，為了測量宣傳牌的高

度C。,小江從樓底點(diǎn)E向前行走30米到達(dá)點(diǎn)A,在A處測得宣傳牌下端D的仰角為60。.小

江再沿斜坡行走26米到達(dá)點(diǎn)8,在點(diǎn)8測得宣傳牌的上端C的仰角為43。，已知斜坡

A8的坡度i=l：2.4,點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，CD±AE,宣傳牌CO的高度約為

()(參考數(shù)據(jù)：sin43yo.68,cos43°=0.73,tan43°~0.93,gl.73)

C.8.7米D.8.9米

【答案】A

【分析】過B分別作AE、OE的垂線，設(shè)垂足為八G.分別在RS尸和RtAAOE中，

通過解直角三角形求出BF、AF,DE的長，再求出即8G的長；在RtACBG中求出CG

的長，根據(jù)C￡>=CG+GE-Z)E即可求出宣傳牌的高度.

【詳解】解：過3作交EA的延長線于尸，作2GLDE于G.

15

BF1

RtAABF中，z=tanZBAF=----=-----,AB=26米,

AF2.4

.,.BF=10（米），AF=24（米），

：.BG=AF+AE=54（米），

RSBGC中，ZCBG=43°,

CG=BG?tan43°=54x0.93=50.22（:米），

RtAAOE中，ZDAE=60°,AE=30米，

，DE=?4E=30百（米），

AC￡）=CG+G￡-D￡=50.22+10-3073=8.3（米）.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實(shí)際問題化歸為

解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵.

6.如圖，小明在距離地面30米的尸處測得A處的俯角為15。，8處的心角為60。，若斜面坡

度為1：6,則斜面A3的長是（）米.

A.20A/6B.20A/3C.20A/2D.15抬'

【答案】B

【分析】過點(diǎn)A作Ab13c于點(diǎn)尸，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到/?=30。，根據(jù)已知條件

得到4P3=30。，/APB=45。，求得/HBP=60。,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】如圖所示：過點(diǎn)A作A尸13c于點(diǎn)尸，

16

斜面坡度為1:A，

tan/ABF=—=^=—

BF乖,3

ABF=30°,

.?在尸處進(jìn)行觀測，測得山坡上A處的俯角為15。，山腳8處的俯角為60。,

:.NHPB=30°,/"3=45°,

:.NHBP=60°,

.-.^PBA=90°,^BAP=45°,

:.PB=AB,

PH=30m,sin6Q°=—=—=

PBPB2

解得：PB=206(m),

故48=20屆i,

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解直角三角形的應(yīng)用-坡度

坡角問題，正確得出依=鉆是解題關(guān)鍵.

7.如圖，某人在山坡坡腳C處測得一座建筑物頂點(diǎn)A的仰角為63.4。，沿山坡向上走到尸

處再測得該建筑物頂點(diǎn)A的仰角為53。.已知BC=90米，且2、C、。在同一條直線上，山

坡坡度i=5：12,求此人從所在位置點(diǎn)P走到建筑物底部B點(diǎn)的路程（）米.（結(jié)果精確

4

到0.1米）（測傾器的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：tan53°?-,tan63.4°?2）

129.2D.127.1

【答案】D

17

【分析】首先過點(diǎn)P作PE，AB于E,PHLBD于H,由題意可知上PH：CH=5：12,然后

AR

設(shè)PH=5x米，CH=12x米，在心△ABC中,ZACB=63.4°,BC=90米，則可得tan63.4。=一,

BC

利用正切函數(shù)的知識(shí)可求A8,在RdAE尸中，ZAPE=53°,利用正切函數(shù)可得關(guān)于x的方

程，從而得出尸H,在放APHC中，利用勾股定理可求CP的長度，進(jìn)一步可求此人從所在

在_/?/△A.BC中,

4R

ZACB=63.4°,8c=90米，貝Utan63.4°=—,

BC

即工2,

???AB=180（米）,

在RE2XAE尸中，ZAP石=53。，AE=AB-BE=lS0-5x,BH=EP=BC+CH=90+12x,

,AE180-5》4

tan53°=——=-----------=一,

EP90+12尤3

解得x=7

經(jīng)檢驗(yàn)X=寧20是原方程的解，且符合題意,

竽米）,

PC=7（5X）2+（12X）2=[3x=羿（米）,

在放△尸HC中,

理+9。=出。

故此人從所在位置點(diǎn)尸走到建筑物底部B點(diǎn)的路程是:127.1（米）,

77

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了仰角的定義，以及解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是要能借

助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法.

18

二、填空題

8.一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員沿著斜坡尸C滑行，他在點(diǎn)。處相對(duì)大樹頂端A的仰角為30。，從。

點(diǎn)再滑行2麗米到達(dá)坡底的C點(diǎn)，在點(diǎn)C處相對(duì)樹頂端A的仰角為45。，若斜坡CF的坡

比為i=l:3（點(diǎn)E,C,B在同一水平線上），則大樹的高度米（結(jié)果保留根

號(hào)）.

【答案】6+4注

【分析】作。8_LCE于X，解RfACDH,即可求出D8,CH,過點(diǎn)。作。G_LAB于點(diǎn)G,

設(shè)BC=。米，用。表示出AG、DG,根據(jù)tan/AZ）G=B列式計(jì)算得到答案.

DG

【詳解】解：過點(diǎn)。作。HLCE于點(diǎn)X,過點(diǎn)。作DGLA2于點(diǎn)G,設(shè)2C=a米，

A

EHC、三三三三三7B

由題意知CD=2&6米，

:斜坡C廠的坡比為，=1：3,

.DH1

??=一,

CH3

設(shè)DH=x米,則CH=3尤米,

"：DH2+CH2=DC2,

：.Y+(3x)2=(2/可，

?.x=2,

米，CH=6米，

,：ZDHB=ZDGB=ZABC=90°,

...四邊形。"BG為矩形，

：.DH=BG=2DG=BH=(a+6)米,

NACB=45°,

19

BC=AB=a(米),

：.AG=(〃-2)米，

???ZADG=30°,

AGA/3

tan30°=

~DG~~T

?4-2,\/3

??----=—，

a+63

；.a=6+4代，

??AB=6+4-\/3,

故答案為：6+4A/3.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義、仰

角俯角的概念是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，小明在P處測得A處的俯角為15。，B處的俯角為60。，PB=30m.若斜面AB坡

度為1:73,則斜坡AB的長是______m.

【答案】30

【分析】根據(jù)斜面AB坡度為1：6，求出NABF=30。，再利用角之間的關(guān)系求出

ZAPS=60°-15°=45°,ZPAB=45°,進(jìn)一步得至尸3=AB=30m.

【詳解】解：：斜面坡度為1:退，

tanZABF=-!==—,即ZABP=30°,

下＞3

\?在P處測得A處的俯角為15。，8處的俯角為60。，

Z.HPB=90°-60°=30°,

Z//BP=60°,

：.ZPBA=90°,

'：ZAPS=60°-15°=45°,

AZPAB=45°,

/.PB=AB,

'：PB=30m,

AB=30m,

故答案為：30

【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確得出P3=48是解題關(guān)鍵.

20

三、解答題

10.大樓AB是某地標(biāo)志性建筑，如圖所示，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)社團(tuán)為測量大樓AB的高度，

一小組先在附近一樓房CD的底端C點(diǎn),用高為1.5米的測桿CE在E處觀測AB大樓頂端B

處的仰角是72。，另一小組到該樓房頂端。點(diǎn)處觀測大樓底部A處的俯角是30。，已知

樓房CD高約是45米,根據(jù)以上觀測數(shù)據(jù)求A8大樓的高（精確到0.1米）.（已知：73=1.73,

sin72yo.951,cos72°=0.034,tan72°=3.08）

【答案】241.3米

【分析】過E作于F，則四邊形ACEF是矩形，得至UEF=AC,AF=CE,利用三角

函數(shù)在MAACZ）中求出AC,在2EF中求出即可得到大樓的高.

【詳解】解：過E作所，于R則四邊形ACEP是矩形，

：.EF=AC,AF=CE,

在R/AACI）中，ZDAC=30°,CD=45,

.".AC=――――=45\/3,

tan30°

在RfABEb中，NBEF=72°,EF=AC=45值,

：.BF=￡F-tan72°=45&x3.08=239.78,

.?.AB=AP+BP=239.78+L5a24L3（米）,

答：AB大樓的高為241.3米.

【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意構(gòu)造直角三角形解決問題是解

21

題的關(guān)鍵.

11.如圖，坡A3的坡度為1：2.4,坡面長26米，BC±AC,現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn)。處挖去

部分坡體（用陰影表示）修建一個(gè)平行于水平線C4的平臺(tái)DE和一條新的斜坡瓦?（請(qǐng)將下

面兩小題的結(jié)果都精確到01米，參考數(shù)據(jù)：石，1.732）.

⑴若修建的斜坡BE的坡角（即48所）恰為45。，則此時(shí)平臺(tái)DE的長為米；

（2）坡前有一建筑物G”，小明在。點(diǎn)測得建筑物頂部H的仰角為30。，在坡底A點(diǎn)測得建筑

物頂部H的仰角為60。，點(diǎn)8、C、A、G、H在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C、A、G在同一條水平

直線上，問建筑物GH高為多少米？

【答案】⑴7.0

（2）建筑物GH高約為17.9米

【分析】(1)先利用勾股定理解直角ABC4求出BC=10,AC=24,再證ABC4ABFD,

推出黑=嬰=當(dāng)=!，代入數(shù)值即可求解；

nCACAB2

(2)過點(diǎn)。作￡＞尸，AC,垂足為P,利用矩形的性質(zhì)求出上4=AC—PC=12,MG=。尸=5,

DM=PG^AP+AG=12+AG,解RtADMH可得=DATtan30°=干x(12+AG),進(jìn)而

得出64=碗+河6=#、(12+43;)+5,再解區(qū)1兇。1,列等式求出47,則"6=百43!.

【詳解】(1)解：由題意知，N3C4=90°,AB=26?=—,

AC2.4

???設(shè)5C=x,則AC=2.4x,

由勾股定理得：BC2+AC2=AB2,BPx2+(2.4x)2=262,

解得％=10,

ABC=10,AC=24.

?：NBEF=45。,NBFE=90°,

：.ZFBE=ZBEF=45°f

???BF=FE.

由題意，DF//AC,

：.NBDF=ABAC,

又：ZBCA=ZBFE=90°f

22

ABCANBFD,

.BF_FD_BD_1

e，AC-AB-2?

/.AD=BD^-AB=13,BF=CF=EF=-BC=5,DF=-AC=11,

222

/.==12-5=7.0(米)；

則平臺(tái)DE的長為7.0m,

在矩形FDPC中,

DP=CF=5,PC=DF=n,

：.PA=AC-PC=12.

在矩形DPGM中，

MG=DP=5,DM=PG^AP+AG=12+AG,

在RtADMH中，W=W-tan30°=^-x(12+AG)

GH=HM+MG=^-x(12+AG)+5,

ZHAG=60°,

=石，

AGAG

解得：AG」2+5g,

2

HG=V3AG=12a^+15?17.9(米),

2

即建筑物G”高約為17.9米.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩

形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用特殊

角的三角函數(shù)值求解.

12.在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組對(duì)一建筑物進(jìn)行測量.如圖，在山坡坡腳C處測得該

建筑物頂端8的仰角為60。,沿山坡向上走20m到達(dá)。處,測得建筑物頂端B的仰角為30。.已

23

3

知山坡坡度i=3:4,即tan。,請(qǐng)你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度A瓦（結(jié)果精確到0.1m,

4

參考數(shù)據(jù)：&a1.732）

【答案】該建筑物的高度約為31.9m

【分析】如圖，作DE/AC交AC于點(diǎn)E,作Db，交A3于點(diǎn)R作C//L上交。尸于

點(diǎn)又根據(jù)題意分別求出8尸和A尸的長，再根據(jù)4?=AF+叱即可求解.

【詳解】作DE1AC交AC于點(diǎn)E,作DbLAB交于點(diǎn)片作CHLDF交DF于點(diǎn)、H

則DE=AF,HF=AC,DH=CE

3

；tan0=3

4

.?.設(shè)。石=3x,貝i」CE=4x

DE2+CE2=CD2

(3媛+(4x)2=202

???x=4(負(fù)值舍去)

ADE=12,CE=16

：.AF=DE=n,DH=CE=\6

設(shè)2尸=y,則AB=(y+12)

衽R1NBDF中,NBDF=30。

BF

?：tanZ.BDF=——

DF

：.DF=6y

在RtABC中，ZACB=60°

24

***tanNAC8=-----

AC

J3

AC=^-(y+12)

J3

即族=AC=](y+12)

,:DF—FH=DH

???底_號(hào)(>+12)=16

J=(6+8A/3)

AB=BF+FA=6+8V3+12=18+8^^31.9(m)

答：該建筑物A3的高度約為31.9m.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握坡角坡度，仰角的定義，添加合適的輔助

線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在建筑物。尸的左邊有一個(gè)小山坡，坡底8、C同建筑底端廠在同一水平線上,

斜坡的坡比為，=5:12，小李從斜坡底端B沿斜坡走了26米到達(dá)坡頂A處，在坡頂A

處看建筑物的頂端。的仰角a為35。，然后小李沿斜坡AC走了2/T米到達(dá)底部C點(diǎn)，已

知建筑物上有一點(diǎn)￡,在C處看點(diǎn)E的仰角為18。，(點(diǎn)A、B、C、D、E、尸在同一平面內(nèi))

4

建筑物頂端D到E的距離DE長度為28.8米,求建筑物DF的高度.(參考數(shù)據(jù)：cos35°?-,

791

tan35?二一,cosl8°?一,tanl8°?—)

10103

D

【答案】40.8米

【分析】如圖AGL8C于G,AHLDF千H,連接ADCE,根據(jù)比例設(shè)AG=5x,BG=12x,

結(jié)合勾股定理求出x=2,得到AG=10,再次由勾股定理求出GC=8,設(shè)EF=m,然后利用

解直角三角形，求出根=12,即可得到答案.

【詳解】解：如圖AG_LBC于G,AHLDF于H,連接A。、CE,

?/A3的坡比力=5:12,

設(shè)AG=5x,BG=12x,

.,.在RtjABG中，

25

AB=7AG2+BG2=^(5X)2+(12X)2=13元=26,

x=2,

AG=10,

在RtACG中，GC=VAC2-AG2=7(2^)2-102=81

EF1

設(shè)=在Rt-CET7中，tan夕=tanl8?——?一，

CF3

CF=3m,

???四邊形AGFH是矩形，

JAH=Gb=GC+CF=8+3用，

又「DH=DE+EH=DE+(EF—HF)=28.8+m—10=18.8+m,

DH7

在RtAHD中，tana=tan35°=-----?一,

AH10

18.8+m7

8+3m10

/.m=12,

JDF=DE+EF=28.8+12=40.8,

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，也考查了勾股定理，根據(jù)題意

作出正確的輔助線是解答此題的關(guān)鍵.

14.某工程隊(duì)計(jì)劃測量一信號(hào)塔OC的高度，由于特殊原因無法直達(dá)到信號(hào)塔OC底部，因

此計(jì)劃借助坡面高度來測量信號(hào)塔OCC的高度.如圖，在信號(hào)塔OC旁山坡腳A處測得信

號(hào)塔OC頂端C的仰角為70。，當(dāng)從A處沿坡面行走13米到達(dá)尸處時(shí)，測得信號(hào)塔OC頂端

C的仰角為45。.已知山坡的坡度7=1:2.4,且。，A,B在