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文檔簡介
專題01實數(shù)及其運算(分層訓練)
分層訓練
【基礎訓練】
一、單選題
1.(22-23上?宜春?階段練習)據(jù)統(tǒng)計,截止11月31日宜春明月山景區(qū)累計旅游人數(shù)為803萬.這個數(shù)字
用科學記數(shù)法表示為()
A.8.3X106B.8.03X107C.8.03X106D.80.3X105
【答案】C
【分析】根據(jù)科學記數(shù)法的形式ax10n(l<a<10),確定a和ri的值即可.
【詳解】解:803萬=8030000=8.03x106.
故選:C.
【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法,科學記數(shù)法的表示形式為axion的形式,其中k|a|<10,n為
整數(shù),表示時關鍵是確定a以及n的值.
2.(2223上?寧波?期末)寧波文創(chuàng)港三期已正式開工建設,總建筑面積約272000m2,272000用科學記數(shù)法
表示,正確的是()
A.27.2X104B.2.72x105C.2.72x104D.0.272x106
【答案】B
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為axlCP的形式,其中1w⑷<10,〃為整數(shù).確定”的值時,要看把原
數(shù)變成a時,小數(shù)點移動了多少位,w的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值210時,〃是正數(shù);
當原數(shù)的絕對值<1時,”是負數(shù).
【詳解】解:272000=2.72x105.
故選:B.
【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為ax1()九的形式,其中1<\a\<10,n
為整數(shù),表示時關鍵要正確確定。的值以及”的值.
3.(22-23下?嘉定,期中)下列各數(shù)中,是科學記數(shù)法的是()
A.-1.82X1004B.-0.9X105C.10.2XIO9D.1X106
【答案】D
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為axion的形式,其中l(wèi)W|a|<10,"為整數(shù),確定"的值即可.
【詳解】解:A、-1.82XIO。,不符合題意;
B、一0.9X1。5不符合題意;
C、10.2X109不符合題意;
D、1X106符合題意.
故選:D.
【點睛】本題考查科學記數(shù)法,用科學記數(shù)法表示數(shù),一定要注意。的形式,以及指數(shù)〃的確定方法.
4.(2223上?西安?期中)近似數(shù)5.5x104是精確到()
A.十分位B.百位C.千位D.萬位
【答案】C
【分析】用科學記數(shù)法表示的數(shù)axl(P,首先要將用科學記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù),再看一下a中的最后一
個數(shù)字在原數(shù)中是什么位,即精確到了什么位.
【詳解】解:回5.5x104=55000,
又團在55000中,從左向右第二個"5"在千位上,
回近似數(shù)5.5x104是精確到千位.
故選:C
【點睛】本題考查了給出科學記數(shù)法axlO”確定精確度問題,掌握科學記數(shù)法中精確度的確定方法是解本題
的關鍵.精確度由近似數(shù)的最后一位有效數(shù)字在該數(shù)中所處的位置決定.用科學記數(shù)法表示的數(shù)axl(P,要
先還原再確定精確度.
5.(22-23下?臺州?期末)己知正整數(shù)"滿足2nl=9n,且5<g元<6,則Wn-n最接近那個整數(shù)是()
A.4B.5C.6D.7
【答案】B
【分析】根據(jù)5<丫依<6,可得25<m<36,由九=等,且,”,w為正整數(shù),可得m=27,n=6,繼而估
算舊的大小即可求解.
【詳解】解:05<Vm<6,
025<m<36.
050<2m<72.
團27n=9n,
ri2m
0n=—
9
02m=54,n=6.
解得m=27,n=6.
0Vm-n=A/21.
04.52=20.25,52=25,4.52<21<25,
04.5<V21<5.
故選B.
【點睛】本題考查了無理數(shù)的大小估算,求得小,打的值是解題的關鍵.
6.(2223上?全國?單元測試)傷的絕對值是()
A.V6—V3B.—\/6+V3C.—y/6—V3D.V6+V3
【答案】A
【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行化簡即可.
【詳解】解:3<6,
???V3<V6,
???V3-V6<0
???|V3—V6|=V6—y/3,
故選:A.
【點睛】本題考查了實數(shù)的絕對值的性質(zhì),正數(shù)的絕對值是它本身,。的絕對值是0,負數(shù)的絕對值是它的
相反數(shù),正確理解絕對值的性質(zhì)是解本題的關鍵.
7.(22-23下?湖北?期中)實數(shù)。、6在數(shù)軸上的位置如圖所示,則化簡而-|a+b|的結果是()
---i-----1----1---A
b0a
A.aB.bC.2a+bD.-b
【答案】C
【分析】根據(jù)圖示,可得:b<Q<a,且〃<功,根據(jù)算術平方根和絕對值的性質(zhì)化簡即可.
【詳解】解:根據(jù)圖示,可得:b<Q<a,且〃V-Z?,
團。+。<0,
—\a+b\
=a+(〃+。)
=2a+b.
故選:C.
【點睛】本題主要考查了算術平方根和絕對值的性質(zhì),關鍵是掌握后=|a|.
8.(22-23下?涼山?階段練習)下列計算正確的是()
A.V-22=2B.=+5C.-J(—4)2=4D.+J(-7)2=±7
【答案】D
【分析】A、根據(jù)負數(shù)沒有平方根即可判定;
B、根據(jù)算術平方根的定義即可判定;
C、根據(jù)算術平方根的定義即可判定;
D、根據(jù)平方根的定義即可判定.
【詳解】解:A、口無意義,故選項錯誤;
B、d*=5,故選項錯誤;
C、-7F4P=-V16=-4,故選項錯誤;
D、±V(-7)2=±7,故選項正確.
故選:D.
【點睛】此題考查了平方根、算術平方根的定義.此題比較簡單,注意熟記定義是解此題的關鍵.
9.(22-23下?武漢?期中)下列命題:①同旁內(nèi)角互補;②過一點有且只有一條直線與已知直線平行;③實
數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應;④后仔=-4;⑤負數(shù)有立方根,沒有平方根.其中是真命題的個數(shù)是()
A.1個B.2個C.3個D.4個
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì),實數(shù)與數(shù)軸、平行公理、平方根及立方根的概念判斷即可.
【詳解】解:①兩直線平行,同旁內(nèi)角互補,故原命題是假命題;
②過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行;故原命題是假命題;
③實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應,真命題;
④J(-4)2=4,故原命題是假命題;
⑤負數(shù)有立方根,沒有平方根,真命題;真命題共有2個
故選:B.
【點睛】本題考查的是命題的真假判斷,正確的命題叫真命題,錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假
關鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.
10.(2324上?全國?課時練習)有理數(shù)-9500000用科學記數(shù)法表示為()
A.9.5X106B.-9.5X106C.-9.5X107D.-95X105
【答案】B
【分析】用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù),將原數(shù)化為ax10般的形式,其中l(wèi)W|a|<10,〃為整數(shù),
n的值等于把原數(shù)變?yōu)閍時小數(shù)點移動的位數(shù).
【詳解】解:-9500000用科學記數(shù)法表示為-9.5X106,
故選:B.
【點睛】本題主要考查了用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù),解題的關鍵是掌握用科學記數(shù)法表示絕對
值大于1的數(shù)的方法:將原數(shù)化為aX10。的形式,其中l(wèi)W|a|<10,w為整數(shù),〃的值等于把原數(shù)變?yōu)閍
時小數(shù)點移動的位數(shù).
11.(22-23上,全國?課時練習)與無理數(shù)百最接近的整數(shù)是()
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【詳解】解:因為2.25<3<4,所以1.5<百<2,所以無理數(shù)次更加接近于2,故選B.
12.(22-23上?黃浦?階段練習)設4-夜的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,貝必-6的值為()
V2V2_,V2r1/5
AA.14---BD.—C.1HD.
222
【答案】D
【分析】因為四<2,借此得出聲的小數(shù)部分為/-1,整數(shù)部分為1;從而進一步得出4-企的小數(shù)
與整數(shù)部分,代入求值即可
【詳解】因為1<&<2,所以近的小數(shù)部分為方-1,整數(shù)部分為1;所以4-企的整數(shù)部分為a=2,小
數(shù)部分為b=2-/;所以。-6=近
所以答案為D選項
【點睛】本題主要考查了無理數(shù)的估算,掌握求無理數(shù)的整數(shù)與小數(shù)部分是關鍵
13.(22-23上?百色?期末)下列運算中正確的是()
A.一(一2)=-2B.一|一3|=3C.-32=9D.-(-2)2=-4
【答案】D
【分析】根據(jù)相反數(shù)、絕對值的意義,有理數(shù)的運算法則進行逐項判斷即可.
【詳解】A、-(-2)=2,故選項不正確,不符合題意;
B、—|—3|=—3,故選項不正確,不符合題意;
C、-32=-9,故選項不正確,不符合題意;
D、—(—2)2=-4,故選項正確,符合題意.
故選D.
【點睛】本題考查了相反數(shù)、絕對值的意義,有理數(shù)的乘方運算,熟練掌握運算法則,正確理解算式意義
是解題關鍵.
14.(2324上?濟南,階段練習)已知a,6為有理數(shù),下列說法:①若a+%=0,貝。⑷=|b|;②若a,b
互為相反數(shù),貝哈=-1;③若a+b<0,ab>0,則|a+b\=-a—b;④若|a-b\+a-b=0,貝仍>a.其
中正確的有()
A.1個B.2個C.3個D.4個
【答案】B
【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù),根據(jù)差的絕對值是大數(shù)減小數(shù),可得答案.
【詳解】解:①若a+b=0,則a,b互為相反數(shù),所以|a|=|b|,故①正確;
②當a=0時,a,b互為相反數(shù),貝哈=一1錯誤,故②錯誤;
③若a+b<0,ab>0,則a<0,b<0,所以|a+=—a—b,故③正確;
(4)|a—b\+a—b=0,貝!J|a-=b-a20,所以b2a,故④錯誤;
正確的是①③.
故選:B.
【點睛】本題考查了相反數(shù),絕對值,有理數(shù)的加法,減法,乘法,除法,掌握正數(shù)的絕對值等于它本身,
負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù),0的絕對值等于0是解題的關鍵.
15.(22-23上,巴中?期中)已知|a|=10,依=8,且滿足a+b<0,則b—a的值為().
A.-18B.18C.2或18D.18或-18
【答案】C
【分析】結合題意,通過求解絕對值方程,可得到a和b的取值范圍;再結合a+b<0,通過計算得到a
和b的值,最后經(jīng)減法運算,即可得到答案.
【詳解】131al=10,\b\=8
0a=±10,b=+8
團a+bV0
M=-10,b=±8
^b-a=±8-(-10)=±8+10,即b-a的值為:2或18
故選:C.
【點睛】本題考查了代數(shù)式、絕對值、有理數(shù)加減法的知識,解題的關鍵是熟練掌握絕對值、有理數(shù)加減
法的性質(zhì),從而完成求解.
16.(22-23下?黃岡?階段練習)若V^=T+62+4b+4=0,貝Ua+b的值等于()
A.-2B.2C.-1D.1
【答案】C
【詳解】分析:將算式變形為V^=T+(b+2)2=0,根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到0-1=0,6+2=0,求出a、b的
值,然后代入所求代數(shù)式即可求出結果.
詳解:Va-1+b2+4b+4=0,
Va^l+(b+2)2=0,
則a-l=0,b+2=0,
解得a=l,b=-2,
a+b=l-2=-l.
故選c.
點睛:考查非負數(shù)的性質(zhì),根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到a,6的值是解題的關鍵.
17.(22-23下?浙江,期末)實數(shù)a、6在數(shù)軸上的位置如圖所示,那么|a—b|+J(a+6尸的結果是()
------------1---------------------1--------1---------------->
bao
A.2aB.2bC.-2aD.-2b
【答案】D
【分析】由數(shù)軸可得到b<a<0,根據(jù)J(a+療=|a+和絕對值的性質(zhì),即可得到答案.
【詳解】解:根據(jù)題意,則
b<a<0,
團a-b>0,a+h<0,
0|a-b\++匕產(chǎn)
=ct-b+|a+
-CL-b-a—b
=-2b;
故選:D.
【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì),絕對值的意義,數(shù)軸的定義,解題的關鍵是掌握所學的知識,正確
得到力<a<0.
18.(22-23下?保定,期中)下列說法正確的是()
A./的正平方根是aB.V81=±9
C.-1的〃次方根是1D.M—a2一1一定是負數(shù)
【答案】D
【分析】根據(jù)平方根、算術平方根、立方根的定義判斷A、B、D,根據(jù)乘方運算法則判斷C即可.
【詳解】解:&、標的平方根是±|可,當a20時,片的正平方根是0,錯誤,不符合題意;
B、底=9,錯誤,不符合題意;
C、當”是偶數(shù)時,(―l)n=l;當W時奇數(shù)時,(―錯誤,不符合題意;
D、E—a2-1<0,回燈-。2-1一定是負數(shù),正確,符合題意;
故選:D.
【點睛】本題考查平方根、算術平方根、立方根的定義以及乘方運算,解題的關鍵是掌握相關的定義與運
算法則.
19.(22-23下?承德?期末)如圖,平面直角坐標系中,已知點4(一3,0),5(0,5),以點A為圓心,AB長為半
徑畫弧,交x鈾的正半軸于點C,則C點的橫坐標位于().
A.4和5之間B.3和4之間C.5和6之間D.2和3之間
【答案】D
【分析】求出。4、。8,根據(jù)勾股定理求出AB,即可得出AC,求出OC長并估算即可.
【詳解】解:回點A,B的坐標分別為(-3,0),(0,5),
回04=3,03=5,
在RtAAOB中,由勾股定理得:AB=732+52=V34,
E1AC=AB=V34,
0OC=V34-3,
回點C的橫坐標為取一3,
025<34<36,
05<V34<6,
02<V34-3<3,
回點C的橫坐標介于2和3之間,
故選:D.
【點睛】本題考查了勾股定理,無理數(shù)的估算,坐標與圖形等,解此題的關鍵是求出0C的長.
20.(22-23上?全國,課時練習)數(shù)軸上點A表示的數(shù)是3,與點A的距離小于5的點表示的數(shù)x應滿足()
A.0<x<5B.—2<x<8C.—2<x<8D.x>8或x<—2
【答案】B
【詳解】根據(jù)數(shù)軸上點的距離,可知|3-x|<5,解得x-3<5且x-3>-5,解得-2<x<8.
故選B.
點睛:此題主要考查了數(shù)軸上點之間的距離,利用數(shù)軸的特點,明確符合條件的點有兩個,然后根據(jù)絕對
值的意義列不等式求解即可.
二、填空題
21.(22-23下?恩施?期末)2-逐的絕對值的相反數(shù)是.
【答案】2-逐/一岔+2
【分析】根據(jù)差的絕對值是大數(shù)減小數(shù),可得答案,根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù),可得答案.
【詳解】解:2—有的絕對值是近一2,
V5-2的相反數(shù)一(西-2)=2-V5.
故答案為:2-國
【點睛】本題考查了實數(shù)的絕對值和相反數(shù),熟練掌握定義即可求解.
22.(22-23下?定西?期末)有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器,計算流程如圖所示,當輸入尤的值為8時,輸出的值是.
輸入X?取立方根*輸出
【答案】2
【分析】根據(jù)流程圖可知求所給數(shù)值的立方根即可.
【詳解】解:由題意得
V8=2.
故答案為:2.
【點睛】本題主要考查了立方根的定義,熟練掌握立方根的意義是解答本題的關鍵.如果一個數(shù)x的立方等
于a,即那么這個數(shù)尤就叫做a的立方根;正數(shù)有一個正的立方根,負數(shù)有一個負的立方根,。的立
方根是0.
23.(22-23上?晉中?期中)數(shù)軸上,點A到原點的距離為2個單位長度,點B在原點右側且到原點的距離為
4個單位長度.則A,B兩點間相距個單位長度.
【答案】2或6
【分析】數(shù)軸上點A到原點的距離為2個單位長度,則點A表示2或-2;點B在原點右邊即點B表示的數(shù)
是正數(shù),又到原點的距離為4個單位長度,則B表示的數(shù)是4.本題即求2或-2到4的距離.
【詳解】回點A到原點的距離為2個單位長度.
團點A表示的數(shù)是2或-2;
0B在原點右邊且到原點的距離為4個單位長度.
0B表示的數(shù)是4.
當A是2時,A、B間的距離是2個單位長度;
當A是-2時,A、B間的距離是6個單位長度.
總之,A、B兩點間相距2或6個單位長度.
故答案為:2或6.
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸之間的對應關系,解決本題的關鍵是正確確定A、B表示的數(shù).
24.(2324上?成都?階段練習)若(a—2)2+|6+3|=0,則/的平方根是.
【答案】±3
【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求得a=2,b=-3,進而根據(jù)平方根的定義,即可求解.
【詳解】解:0(a-2)2+\b+3\=0,
Ela—2=0,6+3=0
0a=2,Z?=—3,
06a=(-3)2=9
團產(chǎn)的平方根是±3,
故答案為:±3.
【點睛】本題考查了求一個數(shù)的平方根,熟練掌握絕對值的非負性求得a,b的值是解題的關鍵.
25.(22-23上?全國,課時練習)(1)若一個數(shù)的算術平方根是V7,那么這個數(shù)是;
⑵我的算術平方根是;
⑶(|)2的算術平方根是;
⑷若標了2=2,貝式爪+2)2=;
⑸后的算術平方根是.
【答案】7V5|162
【分析】根據(jù)算術平方根的定義,即可解答.
【詳解】解:(1)若一個數(shù)的算術平方根是近,則這個數(shù)是7;
(2)V9=3,3的算術平方根是舊,
⑶(I):3加算術平方根是|,
(4)y/m+2=2,m=2,貝lj(m+2)2=16
(5)V16=4,4的算術平方根是2;
故答案為⑴.7(2).V3(3).|(4).16(5).2
【點睛】本題考查了算術平方根的定義,解決本題的關鍵是熟練掌握相關的知識.
26.(22-23下?十堰?期中)己知實數(shù)x,y滿足氏―5|+百不4=0,則代數(shù)式Q+丫尸迎?的值為.
【答案】1
【分析】利用非負數(shù)的性質(zhì)求出x、y的值,然后代入計算即可.
【詳解】解:E|x-5|+VyT4=0,|x-5|>0,萬百20,
0%—5=0,y+4=0,
既=5,y——4,
0(%+y)2022=[5+(_4)]2022=t
故答案為:1.
【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì),求代數(shù)式的性質(zhì),有理數(shù)的乘方等知識,利用非負數(shù)的性質(zhì)求出x、y
的值是解題的關鍵.
27.(22-23上?海口?階段練習)比較大小(用“>"、"<"或者"="填寫)
(1)---1
6------
(2)-|-中-(+1.25)
【答案】>;=.
【分析】(1)兩個負數(shù)比較大小,絕對值大的反而?。?/p>
(2)先根據(jù)絕對值、相反數(shù)的性質(zhì)化簡,再比較大小.
【詳解】(1)■.-1<1
O
5
???一%>—1
故答案為:>;
(2)1?'-|-1-|=-1—=-1.25,-(+1.25)=-1.25
1
-----J=-(+1.25)
故答案為:=.
【點睛】本題考查有理數(shù)的大小比較,涉及絕對值、求一個數(shù)的相反數(shù)等知識,是重要考點,難度較易,
掌握相關知識是解題關鍵.
28.(22-23上準木斯?期中)已知.、6互為倒數(shù),c、d互為相反數(shù),機為最大的負整數(shù),”的絕對值為2,
7-血,3c+3d-25鉆/士
試求:——I--------------Fmn的值_________________
24db-2
【答案】-15或-11
【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義可知ab=1,根據(jù)相反數(shù)的定義可知c+d=0,最大的負整數(shù)為-1,即爪=-1,
絕對值為2的數(shù)n=±2,以上代入整式進行求值即可.
【詳解】解:由題意可知ab=1,c+d-0,m--l,n-+2,
Bin=2時,原式=—2一g+(―2)=-15,
n——2,原式=_工—空+2=-11,
22
故答案為:-15或-11.
【點睛】本題主要考查代數(shù)式求值,根據(jù)倒數(shù),相反數(shù)的定義,以及有理數(shù)的性質(zhì),進行求值,注意絕對
值求值時,正負數(shù)需分情況討論.
29.(2223上?鶴壁?期中)已知有理數(shù)滿足(a-3)2+|2+川=0,貝b-6的值為.
【答案】5
【分析】根據(jù)絕對值和平方的非負性,得出a-3=0,2+b=0,即可求解.
【詳解】解:E(a-3)2+\2+b\=0,
團a—3=0,2+5=0,
解得:a=3,b=-2,
團a—b=3—(-2)=5,
故答案為:5.
【點睛】本題主要考查了絕對值和平方的非負性,解題的關鍵是掌握幾個非負數(shù)相加和為0,則這幾個非負
數(shù)分別為0.
30.(2223上?泰州?階段練習)如圖,在數(shù)軸上,點A表示2,現(xiàn)將點A沿x軸做如下移動,第一次點A向
左移動3個單位長度到達點41,第二次將點4向右移動6個單位長度到達點4,第三次將點&向左移動9
個單位長度到達點/,按照這種移動規(guī)律移動下去,第幾次移動到點4”,如果點4”與原點的距離不小于20,
那么n的最小值是.
4A\AA2
1.11________.______1________1.11.a
-5-4-3-2-1012345
【答案】12
【分析】根據(jù)點的移動規(guī)律,可得當〃是奇數(shù)時,4表示的數(shù)是2+3x§i-3n,當〃是偶數(shù)時,4表示
的數(shù)是2+3x],再由2+3乂/20或2+3然”一3713-20,求出n的最小值即可.
【詳解】由題可得:名表示的數(shù)是2-3=—1,4表示的數(shù)是2-3+6=5,4表示的數(shù)是2-3+6-9=-4,
4表示的數(shù)是2-3+6-9+12=8,…,
??.第n次移動后24rl表示的數(shù)是2—3+6—9+12—15+…+3九,
當n是奇數(shù)時,4表本的數(shù)是2+3x~~~~~3九,當n是偶數(shù)時,4表本的數(shù)是2+3x
???點4與原點的距離不小于20,
???2+3x^>20或2+3x-3n<-20,
心12或幾若,
“是正整數(shù),
■-n的最小值為12,
故答案為:12.
【點睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律探究,數(shù)軸上的動點問題,通過計算探究出移動后的點表示的數(shù)字的
變化規(guī)律是解題的關鍵.
31.(22-23下?巴中,階段練習)用激光測距儀測量兩座山峰之間的距離,從一座山峰發(fā)出的激光經(jīng)過4x10-5
秒到達另一座山峰,已知光速為3x108米/秒,則這兩座山峰之間的距離用科學記數(shù)法表示為一米.
【答案】1.2x104.
【詳解】試題解析:這兩座山峰之間的距離為3x108x4x10-5=12x103=1.2x104(米).
考點:1.科學記數(shù)法一表示較大的數(shù);2.同底數(shù)幕的乘法.
32.(22-23下?湘西?期中)己知相是足的整數(shù)部分,〃是"U的小數(shù)部分,貝1|病—/=.
【答案】6V10-10/-10+6V10
【分析】由于3<"U<底<4,由此找到所求的無理數(shù)在哪兩個和它接近的整數(shù)之間,然后求出機和〃
的值,代入計算即可.
【詳解】解:09<10<15<16,
ffl3<VT0<V15<4,
加2是用的整數(shù)部分,
回根=3;
0M是同的小數(shù)部分,
0n=VlO-3
2
2
m2_n2=3-(V10-3)-9-(10-6V10+9)=6V10-10.
故答案為:6710-10.
【點睛】此題主要考查了無理數(shù)的估算能力和代數(shù)式求值,現(xiàn)實生活中經(jīng)常需要估算,估算應是我們具備
的數(shù)學能力,"夾逼法"是估算的一般方法,也是常用方法.估算出整數(shù)部分后,小數(shù)部分=原數(shù)-整數(shù)部分.
33.(22-23上?鹽城?階段練習)已知a、b為兩個連續(xù)的整數(shù),且a<后<6,貝Ia+b=.
【答案】11
【詳解】試題解析:,??莊〈商<V36,
5<V34<6,
團。=5,。=6,
0a+Z?=ll.
故答案為11.
34.(22-23?北京?專題練習)若舊的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,則2a—6=_.
【答案】24—g.
【分析】先確定出g的范圍,即可推出a、b的值,把a、b的值代入求出即可.
【詳解】W:?.-8<V73<9,
a=8,b=V73—8,
2a-b=2x8-(V73-8)=24-V73.
故答案為:24-V73.
【點睛】考查了估算無理數(shù)的大,解此題的關鍵是確定園的范圍8<風<9,得出a,b的值.
35.(2223上?巴中?期末)如圖:數(shù)軸上點4、B、。表示的數(shù)分別是一9,-1,1,且點C為線段48的中點,
點。為原點,點E在數(shù)軸上,點F為線段DE的中點.P、Q為數(shù)軸上兩個動點,點P從點B向左運動,速度為
每秒1個單位長度,點Q從點。向左運動,速度為每秒3個單位長度,P、Q同時運動,運動時間為ts.
夕-11
It1I?
ABOD
有下列結論:①若點E表示的數(shù)是3,則CF=7;②若DE=3,則8F=%③當t=2時,PQ=2;④當
t=:時,點P是線段DQ的中點;其中正確的有.(填序號)
【答案】①③/③①
【分析】①根據(jù)線段的中點的定義以及點D、E可確定點C、F表示的數(shù),進而得到CF的長度;②由0E=3,
分兩種情況討論:點E在點D的右側時以及點E在點。的左側時,可得到點E表示的數(shù),由點F為線段DE的中
點可得點尸表示的數(shù),進而得到的長度;③當t=2時,可得到8P、0Q的長,從而確定點P、Q,即可得
到PQ的長;④當t=|時,可得到BP、0Q的長,從而確定點P、Q,進而判斷.
【詳解】①若點E表示的數(shù)是3,
回點F為線段DE的中點,D表示的數(shù)是1,
EIDE=2,DF=^DE=1,即F表示的數(shù)是2,
0CF=2-(-5)=7,故①正確;
②若DE=3,
當點E在點。的右側時,則點E表示的數(shù)是4,
回點廣為線段DE的中點,
0DF=即尸表示的數(shù)是
57
當點E在點。的左側時,則點E表示的數(shù)是-2,
回點F為線段DE的中點,
0DF=|£)F=|,即尸表示的數(shù)是一1
11
國BF=----(-1)=一,
2v72
綜上,=:或右故②不正確;
③當t=2時,BP=1x2=2,DQ=2x3=6,
ae、。表示的數(shù)分別是—1,1,
BP、Q表示的數(shù)分別是-3,-5,
aPQ=2,故③正確;
④當t=£時,BP=lx|=1,DQ=gx3=*
ap、Q表示的數(shù)分別是-g
團點P在D、Q的左側,不可能是線段DQ的中點
故④不正確;
故答案為:①③
【點睛】本題考查了數(shù)軸以及兩點間的距離、線段的中點,解題的關鍵是理解題意,靈活運用所學知識解
決問題.
三、解答題
36.(22-23下?汕尾?期中)把下列個數(shù)分別填在相應的集合中:V8,-0.3,0,溝,y,V36,7^16,兀,
-V64,|-VTo|.
自然數(shù)集合:{...};整數(shù)集合:{...);
正有理數(shù)集合:{正無理數(shù)集合:{...}.
【答案】0,V36;0,V36,-V64;0,y,V36;瓜V10,n,|-V10|.
【分析】先將能化簡的數(shù)化簡,再根據(jù)實數(shù)的相關概念分類即可.
【詳解】解:V36=6,—V64=—4,|—V10|=V10,
自然數(shù)有:0,V36;
整數(shù)有:0,V36,—V64;
正有理數(shù)有:y,V36;
正無理數(shù)有:V8,V10,n,|-V10|.
故答案為:0,V36;0,V36,-V64;0,y,V36;V8,V10,7r,|-V10|.
【點睛】本題考查實數(shù)的分類.掌握相關概念,能化簡平方根,立方根和絕對值是解題的關鍵.
37.(22-23下?長沙?一模)計算:(—》-3+2cos3(T+|V^—3|+(7r—2018)。
【答案】4
【分析】直接利用零指數(shù)幕的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值和絕對值的性質(zhì)、負指數(shù)幕的性質(zhì)分別化簡進
而得出答案.
【詳解】原式=-8+2Xy+3-V3+l
——8+y/3+3—V3+1,
=—4.
故答案為-4.
【點睛】本題主要考查了實數(shù)運算,正確化簡各數(shù)是解題關鍵.
38.(2223上?楚雄?期中)在數(shù)軸上表示下列各數(shù):-3.5,-2,+5,1|,-6并用">"號連接
-7-6-57-3-2-101234567
【答案】數(shù)軸見解析,+5>3|>1|>-2>-3.5>-6
【分析】先在數(shù)軸上表示出各個數(shù),再根據(jù)數(shù)在數(shù)軸上對應點的位置,可知右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大,再
按順序用不等號連接即可.
【詳解】解:把各數(shù)表示在數(shù)軸上如圖所示,
11
1-3
-6-3.5-232+5
-7-6-5-4-3-2-101234567
用"〉〃號連接如下,
+5>3->1->-2>-3.5>-6
23
【點睛】此題考查了數(shù)軸、有理數(shù)的比較大小等知識,能準確地在數(shù)軸上表示出各個數(shù)的位置是本題的解
題關鍵.
39.(22-23下,潼南,階段練習)已知久=3是方程'+"=-1的解,辦n滿足關系式|2n+m\=1,求m+n
34
的值.
【答案】—:或—;
【分析】先把x=3代入方程求出機的值,再把求得的加值代入關系式解絕對值方程得n的值,就可以算出
結果.
【詳解】解:Ex=3是方程;+西衿=一1的解,
把久=3代入方程,得1+|m=-1,解得m=-4,
再把zn=-4代入|2n+=1,得|2九-4|=1,解得九=|或|,
n1,,53―p..35
團m+ri=—4+-=——或m+n=—4+-=——.
2222
【點睛】本題考查一元一次方程的解,解題的關鍵是掌握一元一次方程解的定義.
40.(22-23上?西安?期中)已知而一64+出3-27|=0,求(a-b)屋1的值.
【答案】25或121
【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)即可求出。與b的值.
【詳解】解:由題意可知:a2-64=0,b3-27=0,加=±8,6=3.
當。=8,匕=3時,原式=(8-3)2=25;
當°=-8,b=3時,原式=(-8-3)2=121.
綜上所述:(a-6)//的值為25或121.
【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì),解題的關鍵是運用非負數(shù)的性質(zhì)求出。與6的值,本題屬于基礎題型.
41.(22,23下,臨滄■-'模)計算:1X(—12)+2sin45°—(y/2—1)+(1).
【答案】V2-1
【分析】先計算特殊角三角函數(shù)值,零指數(shù)幕和負整數(shù)指數(shù)幕,再根據(jù)實數(shù)的混合計算法則求解即可.
【詳解】解:原式=—9+2X孝一1+9
=-9+72-1+9
=V2-1.
【點睛】本題主要考查了實數(shù)的混合計算,特殊角三角函數(shù)值,零指數(shù)塞和負整數(shù)指數(shù)幕,熟知相關計算
法則是解題的關鍵.
42.(22-23?江西?期中)【閱讀理解】回必〈逐〈百,即2<有<3.
團西的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為*-2,
01<V5-1<2.
回花-1的整數(shù)部分為1,b-1的小數(shù)部分為遮-2.
【解決問題】已知。是舊-3的整數(shù)部分,b是VT7-3的小數(shù)部分.求:
(l)a,6的值;
(2)(—a)3+(6+4產(chǎn)的平方根.
【答案】⑴a=1,b=V17-4
(2)±4
【分析】根據(jù),后<舊<局,可得4<g<5,從而求出1<717—3<2,即可求出。、6的值;
(2)由(1)可知a=Lb=g—4,將a、b的值代入代數(shù)式進行求值,即可求出結果.
【詳解】(1)解:0V16<V17<V25,
04<V17<5,
1<717-3<2,
0a=1,b=V17—3—1=V17—4;
(2)解:ffla=1,b=717-4,
團(―a)3+(b+4)2
2
=(-l)3+(V17-4+4)
=-1+17
=16,
0(-a)3+(b+4)2的平方根是±4.
【點睛】本題考查無理數(shù)的估算、求代數(shù)式的值、平方根,根據(jù)無理數(shù)的估算方法求出a、b的值是解題的
關鍵.
43.(22-23下?重慶?階段練習)已知遮的整數(shù)部分是a,有的小數(shù)部分是b,c-1是9的算術平方根,求回+
弓—\[ac+\b+1]的值.
【答案】2V5-3
【分析】先求出a、b、c的值,再代入+藝-遍?+|b+1|求值即可.
a
【詳解】解:04<5<9,
0V4<V5<V9,
回2<V5<3,
團a=2,b=V5—2,
Ele-1是9的算術平方根,
0c-1=V9=3,
解得c=4,
EF\/2aH-----\[CLC+|b+11
!-----2fV5-2)3,-----./—,
=72義2+~--V2x4+|V5-2+1|
-2+V5-2-2+V5-1
=275-3.
【點睛】此題考查了無理數(shù)的估算、算術平方根、實數(shù)的混合運算等知識,熟練掌握運算法則是解題的關
鍵.
44.(22-23上?長春?階段練習)小明是一位勤于思考的學生,一天,他在解方程時突然產(chǎn)生了這樣的想法,
久2=-1這個方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解,如果存在一個數(shù)i使得產(chǎn)=-1,那么方程比2=-1可以變成/=j2,
則久=±i,從而x=±i是方程/=-1的兩個解,小明還發(fā)現(xiàn)i具有以下性質(zhì):
i1=i,產(chǎn)=_1,/3=0,i=T,24=(/)2=(_1)2=1,.……
請你觀察上述等式,根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空:
(1)i4n=,i4n+1=,產(chǎn)n+2=,d"+3=.(〃為自然數(shù))
(2)計算:|xV36-(2i)3+7(-2)3+IV3-1|.
【答案】(1)1、i、-1、-i;(2)V3-1+8i.
【分析】(1)根據(jù)已知的等式即可計算得到答案;
(2)先同時計算開平方,立方運算,開立方及化簡絕對值,再計算乘法同時將產(chǎn)=T代入計算,最后合并
同類項即可.
【詳解】(1)0i4=(產(chǎn))2=(-1)2=1,I3=I2-j=-I,i2=-1,
0l4n=ln=1,
皿4n+l=i4n+l=j4n.j4n+2=j4n.產(chǎn)=1*(-1)=-1,i4n+3=i4n.i3=1X(T)=-i,
故答案為:1、i、-1>-i;
(2)|XV36-(2i)3+V(-2)3+|V3-1|
x6-8i3+(-2)+V3-1
=2—8x(-i)-2+V3-1
=叵1+8i.
【點睛】此題考查幕的乘方的逆運算的計算方法,實數(shù)的混合運算,正確理解已知的等式的計算法則,將
所求代數(shù)式按照嘉的乘方逆運算進行計算是解題的關鍵.
45.(22-23上?南京?期中)【知識重現(xiàn)】我們知道,在辦=N中,已知底數(shù)a,指數(shù)x,求幕N的運算叫做乘
方運算.例如23=8:已知累N,指數(shù)了,求底數(shù)。的運算叫做開方運算,例如遮=2.
【學習新知】
現(xiàn)定義:如果ax=N(a>0且分1),即a的x次方等于Ma>0且awl),那么數(shù)x叫做以。為底N的對數(shù)(logar"/ww),
記作x=logaN.其中。叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù),尤叫做以。為底N的對數(shù),例如log28=3,零沒有對數(shù);
在實數(shù)范圍內(nèi),負數(shù)沒有對數(shù).
【應用新知】
(1)選擇題:在式子Iogsl25中,真數(shù)是.
(2)①計算以下各對數(shù)的值:Iog39=;log327=.
②根據(jù)①中計算結果,請你直接寫出logaM,\ogaN,\oga(MN)之間的關系,(其中a>0且a£L,M>0,
N>0).
【答案】(1)125;(2)①2,3;(2)\ogaM+\ogaN=\oga(MN)
【分析】(1)根據(jù)材料,由真數(shù)的定義,即可得到答案;
(2)①根據(jù)閱讀材料中的方法將各式計算,即可得到答案;
②根據(jù)①的計算方法,找出關系即可.
【詳解】解:(1)團在logaN中,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù),
I31og5125的真數(shù)是125;
故答案為:125;
2
(2)?log39=log33=2;
3
log327=log33=3;
故答案為:2;3.
②由①可知,log39=2,log327=3,
235
01og3(9x27)=log3(3x3)=log33=5=log39+log327,
EllogaM+logaN=loga(MN),(其中a>0且M>0,N>0).
【點睛】此題考查了實數(shù)的運算,弄清題中的新定義是解本題的關鍵.
46.(2223上?信陽?期中)給出下面六個數(shù):2.5,1,-2,-2.5,0,—|.先畫出數(shù)軸,再把表示上面各數(shù)的點在
數(shù)軸上表示出來.
【答案】見解析
【分析】先正確畫出數(shù)軸,按照各點的位置標在數(shù)軸上即可.
【詳解】解:如圖所示,
_3
-2.5-22012.5
----1->—i?—*—?——?-
-5-4-3-2-1012345
【點睛】此題考查了數(shù)軸和在數(shù)軸上表示數(shù),準確找到各數(shù)在數(shù)軸上的位置是解題的關鍵.
47.(22-23下?開封?期中)利用勾股定理在數(shù)軸上作出魚、g、近的線段(保留作圖痕跡).
X
-----1--------1--------1--------1-----?
0123
【答案】見解析
【分析】依次作出直角邊長為1,1;1,V2;1,2的直角三角形的斜邊長,再以以原點為圓心,以斜邊長
為半徑畫弧,和數(shù)軸的正半軸交于一點即可.
【詳解】解:如圖,點A表示:V2,
點8表示:V3,
點C表示:V5.
【點睛】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸,勾股定理,解題的關鍵是對被開方數(shù)正確的拆解.
48.(22-23下?深圳?階段練習)計算:2sin30°+(?r-3.14)°+|1-V2|+(-1)2017.
【答案】V2
【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值,零指數(shù)塞法則,絕對值的代數(shù)意義,以及乘方的意義計算即可得
到結果.
【詳解】解:原式=1+1+迎—1一1
=V2.
【點睛】此題考查了實數(shù)的運算,零指數(shù)塞,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握運算法則是解本題的關
鍵.
49.(22-23,烏魯木齊?二模)計算:(―1)-1+—3tan60—|2—V3|?
【答案】-5
【分析】直接利用負整數(shù)指數(shù)暴的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值以及絕對值的性質(zhì)分別化
簡得出答案.
【詳解】解:(―+反—3tan60°-|2-V3|
=-3+2V3-3xV3-(2-V3)
=-3+2A/3-3V3-2+V3
=—5.
【點睛】本題考查了實數(shù)的運算,正確化簡各數(shù)是解本題的關鍵.
50.(2223下?金華?開學考試)計算:(3-7T)0+4sin60°-V12-11-V31.
【答案】2-V3
【分析】分別根據(jù)零指數(shù)哥,特殊角的三角函數(shù)值,絕對值的性質(zhì)計算出各數(shù),再根據(jù)實數(shù)的運算法則進
行計算即可.
【詳解】解:原式=1+4*?一28+1-百
=1+2V3-2A/3+1-V3
—2—V3.
【點睛】本題考查的是實數(shù)的運算,熟知零指數(shù)幕,特殊角的三角函數(shù)值,絕對值的性質(zhì)是解題的關鍵.
51.(2223上?烏海?期中)計算:
(l)sin300+2cos60°xtan60°—sin245°
(2)(01+(sin600-1)°-2cos30°+|V3-1|
【答案】⑴痣
(2)2
【分析】(1)先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值化簡各式,再進行運算.
(2)先化簡各式,再進行運算.
2
【詳解】⑴解:原式="2x]x百-俘)
=V3;
(2)原式=2+l-2xf+W-l
=2+l-V3+V3-l
=2.
【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的混合運算.熟記特殊角的三角函數(shù)值,零指數(shù)幕和負整數(shù)指數(shù)幕
的法則,是解題的關鍵.
【能力提升】
52.(22-23下?北京?期中)“說不完的魚"探究活動,根據(jù)各探究小組的匯報,完成下列問題.
(1)近到底有多大?
下面是小欣探索魚的近似值的過程,請補充完整:
我們知道面積是2的正方形邊長是夜,且企>1.4.設世=1.4+無,畫出如下示意圖.
由面積公式,可得/+=2.
因為x值很小,所以比2更小,略去/,得方程,解得x《(保留到0.001),即魚?.
(2)怎樣畫出夜?請一起參與小敏探索畫魚過程.
現(xiàn)有2個邊長為1的正方形,排列形式如圖(1),請把它們分割后拼接成
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