中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)重難點強化訓(xùn)練：三角形及基本性質(zhì)（知識串講+8大考點）解析版

M考點類型專題03三角形及基本性質(zhì)

考點1：三角形相關(guān)線段

—三角形分類、穩(wěn)定性

考點2：三角形相關(guān)線段

——三邊關(guān)系

模塊四圖形的性質(zhì)

03講三角形及基本性質(zhì)

考點3：三角形相關(guān)線段

——高線

考點4：三角形相關(guān)線段

——中線

知識一遍過

(-)三角形的分類

三角形定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相連接所組成的圖形是三角形

直角三角形

(1)按角的關(guān)系分類:三角形銳角三角形

斜三角形<

鈍角三角形

，不等邊三角形

(2)按邊的關(guān)系分類：三角形一舄寸，［底和腰不相等的等腰三角形

等腰二角形《/華一5,

------等邊二角形

<1-------

(二)三角形的三邊關(guān)系

三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小王第三邊

(三)三角形的相關(guān)線段

(1)角平分線：

①角平線上的點到角兩邊的距離相等一到角兩邊距離相等的點在角平分線上(角平分線的判定)

②三角形的三條角平分線的相交于一點叫內(nèi)心，內(nèi)心到三邊的幽相等.

(2)中線：

①三條中線交于三角形內(nèi)部一點，叫其重心:每條中線平分三角形的面積

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的二生

(3)rWj線:

①三條高線所在的直線交于一點，叫其為垂心

②高線參考應(yīng)用：互余關(guān)系的等量代換，等面積法求高線

(4)中位線：三角形兩邊中點的連線段.平行于第三邊,且等于第三邊的一半

(四)三角形相關(guān)角的性質(zhì)

(1)內(nèi)角和定理：

①三角形的內(nèi)角和等租等；

②推論：直角三角形的兩銳角互余.

(2)外角的性質(zhì)：

①三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和.

②三角形的任意一個外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)嵬.

(3)三角形內(nèi)外角角平分線模型總結(jié)：

如圖①，AD平分/BAC,AE±BC,貝U/a=工/BAC-/CAE=1(180°-ZB-ZC)-(90°-ZC)=-(Z

222

C-ZB)；

如圖②，BO,CO分別是NABC、NACB的平分線，則有/0=1/A+90°；

2

如圖③，BO、CO分別為/ABC、ZACD,/OCD的平分線，則/0='/A,NO'=-ZO；

22

如圖④，BO、CO分別為NCBD、/BCE的平分線，則N0=90°--ZA.

2

考點1:三角形相關(guān)線段一一三角形分類、穩(wěn)定性

典例1:(2023上?安徽亳州?八年級統(tǒng)考期中)在下列條件中：①乙4+NB=Z_C,②乙4=2NB=34C,

③乙4:NBZC=1:2:3,(4)zX=90°-ZB,⑤乙4=AB=3NC中，能確定△4BC是直角三角形的條件有

()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理；根據(jù)三角形內(nèi)角和為180。，求出三角形中角的度數(shù)，再根據(jù)直角

三角形的定義判斷從而得到答案.

【詳解】①??,N4+NB=NC,

???Z-A+（B+Z.C=2Z.C=180°,

???ZC=90°,

??.△4BC是直角三角形，故①正確；

②〃=2AB=34

11

*'?Z-A+Z-B+Z-C—Z-A4—Z-AH—Z.A=180°,

23

,1080°

???Z-A=------，

11

.,?△48C不是直角三角形，故②不正確；

③：Z.A：Z.B：Z.C=1：2：3,

二最大角NC=180°x五|石=90°；故③正確；

④???LA=90°-zB,

Z.A+/.B-90°,

ZC=180°-90°=90°,故④正確；

⑤；=ZC,

11

Z-A+Z-B+Z-C——Z.C+-Z-C+Z.C=2z.C—180°,

22

zC=90°,故⑤正確；

綜上所述，是直角三角形的是①③④⑤共4個.

故選：C.

【變式1］（2022上?陜西渭南?八年級?？茧A段練習(xí)）在AABC中，若NZ=30。，Z.B=2乙4,則△4也是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.無法判斷

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為180。，結(jié)合已知條件求出乙4,乙B,NC的度數(shù)即可得到答案.

【詳解】0ZX=30°,ZB=2/4,

0ZB=60°,

+NB+NC=180°,

0ZC=90°,

0A力BC是直角三角形，

故選：A.

【點睛】此題考查了三角形內(nèi)角和定理和直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和定理和直角三角形

判定的應(yīng)用.

【變式2］（2022上?海南省直轄縣級單位?八年級統(tǒng)考期末）若一個三角形兩個外角之和為280。，那么這個

三角形是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的外角和為360。，兩個外角之和為280。，則第三個外角的度數(shù)為360。-280。=80。，

則其相鄰內(nèi)角是100°,從而判定形狀.

【詳解】團三角形的外角和為360。，兩個外角之和為280。，

國第三個外角的度數(shù)為360?！?80°=80°,

回其相鄰內(nèi)角是180。-80。=100°,

回該三角形是鈍角三角形.

故選：C.

【點睛】本題注意考查了三角形的外角和、三角形的形狀判定，熟練掌握三角形外角和，準(zhǔn)確判定三角形

的形狀是解題的關(guān)鍵.

【變式3］（2022上?北京?八年級人大附中?？计谥校┤鐖D，對于△ABC,若存在點0,E,F分別在ZB,BC,4C上，

使得N1=N2,N3=N4,N5=N6,則稱△DEF為△ABC的"反射三角形下列關(guān)于"反射三角形”的說法中，

錯誤的是（）.

A.若△ABC的"反射三角形"存在，則A/IBC必為銳角三角形

B.等邊三角形的"反射三角形"必為等邊三角形

C.直角三角形的"反射三角形”必為直角三角形

D.等腰三角形的"反射三角形"必為等腰三角形

【答案】C

【分析】設(shè)N1=N2=x,得出43=N4=180。-乙4一%,Z5=Z6=180°-zB-x,根據(jù)三角形內(nèi)角和

定理得出NC=x,從而得出Nl=42=zC=x,進而得出z_3=N4=乙B,z_5=46=Z.A,然后根據(jù)選項

中情況進行討論即可.

【詳解】解：設(shè)41=N2=x,

則43=N4=180°-AA-X,Z5=Z6=180°-4B-x,

0Z4+45+NC=(180°-zX-x)+(180°-NB—％)+NC=180°,

即：360°—(N4+NB)+NC-2x=180°,

fflzX+NB+zC=180°,

ElzC=x,

0Z1=z2=zC=%,z3=z4=180°-z.A-x=180°-乙A-4C=4B,

45=46=180°一4B—x=180°-48—NC=

0Z5+46+4DEF=180°,

0ZDFF=180°-45—N6=180°-2乙4,

0180°-2/.A>0,

解得：乙4<90°,同理NB<90°,ZC<90°,

故只有銳角三角形存在"反射三角形"，故A正確，不符合題意；

當(dāng)公ABC為等邊三角形，貝此4=ZB=ZC=60°,

則N1=42=N3=N4=乙5=N6=60°,

B1Z.DFE-乙DEF—Z.FDE—60°,

團△DEF為等邊三角形，故B正確，不符合題意；

當(dāng)乙4=90°,乙DEF=180°-2乙4=0°,不符合題意，

同理NB=90。，NC=90。均不符合題意，

回直角三角形不存在"反射三角形"，故C錯誤，符合題意；

當(dāng)z_4=Z.B,則z_3=z4=z5=46,

貝！UDEF=乙DEF,

團△DEF為等腰三角形，故D正確，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了三角形的分類，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的定義，等邊三角形的性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是讀懂題意，理解"反射三角形"的意義，根據(jù)以上三角形的性質(zhì)及定義解題.

【變式4］（2022上?湖北武漢?八年級?？计谥校┮韵律瞵F(xiàn)象不是利用三角形穩(wěn)定性的是（）

A.

【答案】C

【分析】窗框與釘上的木條形成三角形，是利用三角形穩(wěn)定性；張開的梯腿地面形成三角形，是利用三角

形穩(wěn)定性；伸縮門的結(jié)構(gòu)是平行四邊形，不是利用三角形穩(wěn)定性；張開的馬扎腿形成三角形，是利用三角

形穩(wěn)定性.

【詳解】A、木窗框與對角釘?shù)哪緱l形成的三角形，三邊和三角固定，防止安裝變形，是利用三角形的穩(wěn)定

性；

B、活動梯子，張開的梯腿與地面形成三角形，三邊和三角固定，防止登上變形，是利用三角形的穩(wěn)定性;

C、伸縮門的結(jié)構(gòu)是平行四邊形，四角活動可以變形開關(guān)門，是利用四邊形的不穩(wěn)定性，不是利用三角形的

穩(wěn)定性；

D、小馬扎的座面與張開的馬扎腿形成三角形，三邊與三角固定，防止坐上變形，是利用三角形的穩(wěn)定性.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握生活現(xiàn)象構(gòu)成的幾何圖形，

三角形的穩(wěn)定性，四邊形的不穩(wěn)定性.

【變式5］（2022上?四川自貢?八年級富順第二中學(xué)校校考階段練習(xí)）下列生活實物中，沒有應(yīng)用到三角形

的穩(wěn)定性的是（）

愉

D.活動衣架

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可.

【詳解】解：選項D中活動衣架上沒有三角形，其余A、B、C選項中都含有三角形，

由三角形的穩(wěn)定性可知，選項D中沒有利用三角形的穩(wěn)定性，

故選：D.

【點睛】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

【變式6］（2022?吉林長春?統(tǒng)考二模）如圖所示的五邊形木架不具有穩(wěn)定性，若要使該木架穩(wěn)定，則要釘上

的細木條的數(shù)量至少為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性及多邊形對角線的條數(shù)即可得答案.

【詳解】團三角形具有穩(wěn)定性，

回要使五邊形不變形需把它分成三角形，即過五邊形的一個頂點作對角線，

回過五邊形的一個頂點可作對角線的條數(shù)為5-3=2（條），

團要使該木架穩(wěn)定，則要釘上的細木條的數(shù)量至少為2條，

故選：B.

【點睛】本題考查三角形的穩(wěn)定性及多邊形的對角線，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵.

【變式7］（2022上?廣西南寧,八年級南寧市天桃實驗學(xué)校?？计谥校┮顾倪呅文炯懿蛔冃危辽僖籴?/p>

幾根木條（）

A.4B.2C.1D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性可得：沿對角線釘上1根木條即可.

【詳解】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可得，至少要再釘上1根木條.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了三角形具有穩(wěn)定性，當(dāng)三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一

確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有穩(wěn)定性.

考點2：三角形相關(guān)線段一一三邊關(guān)系

典例2：（2024上?黑龍江哈爾濱?八年級統(tǒng)考期末）以下列長度的三條線段為邊，能組成三角形的是（）

A.3,5,9B.4,6,12C.2,2,4D.5,6,8

【答案】D

【分析】此題考查三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，根據(jù)三角形

三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊即可求解，掌握三角形三邊關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】A、由3+5<9,此選項三條線段不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

B、由4+6<12,此選項三條線段不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

B、由2+2=4,此選項三條線段不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

D、由5+6=11〉8,此選項三條線段能構(gòu)成三角形，符合題意；

故選：D.

【變式1】（2024上?湖北恩施?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在A/IBC中，AB=8,AC=6,點。是BC邊上的中

點，則4。的長山滿足的條件是（）

【答案】D

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，在4D延長線上截取=連接BE,

證明A2DCmAEDB,得到4C=EB=6,在AABE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到2<4E<14,即可得到

1<m<7.

【詳解】解：如圖，在4。延長線上截取DE=4。，連接BE.

A

團點。是BC邊上的中點，

MD=CD,

在△40C和AEDB中，

CD=BD

/-ADC=乙EDB,

AD=ED

0AADCEDB,

國AC=EB=6,

團在△ABE*中，AB-BE<AE<AB+BE

團48=8,

團2V4EV14,

團1V40V7,

即1VmV7.

故選：D

【變式21(2024上?廣東廣州?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在△ABC中，點。為BC的中點，DE、DF分別是“DB、

44DC的角平分線，分別交48、4C于點E、F,且4B=7,AE=4,CF=2,連接EF,貝UEF的取值范圍為

()

A.5<EF<9B.3<EF<11C.2<EF<6D.1<EF<5

【答案】D

【分析】如圖所示，延長EC至I」H,使得EZ)=HD,連接CH,FH,先求出BE=4B—AE=3,再證明△80E三

△CDH(SAS)得到CH=BE=3,利用三角形三邊的關(guān)系得到1<FH<5,再證明NEDF=90。，得到DF垂

直平分EH,則EF=FH,即可得到1<EF<5.

【詳解】解；如圖所示，延長ED到“，使得ED=HD,連接CH,FH,

EL4B=7,AE=4,

^BE=AB-4E=3,

回點。為BC的中點，

團BD=CD,

X^BDE=Z.CDH,

BDE3△CW/(SAS),

團CH=BE=3,

團CF=2,CH-CF<FH<CF+CH,

團3-2VFHV3+2,即1VFHV5,

EIDE、DF分另lj是4ADB、440c的角平分線，

^ADE=-Z.ADB,/.ADF=-/.ADC,

22

國匕ADB+4ADC=180°,

0ZXDF+Z.ADF^-^ADB+-/.ADC=90°,

22

EIZFDF=90°,

又EIE。=DH,

EIDF垂直平分EH,

0￡F=FH,

01<FF<5,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形三邊的關(guān)系，角平分線的定義，線段垂直平分

線的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式3】(重慶市合川區(qū)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)已知等腰△ABC的底邊長為其腰長

恰好是方程％2—2(m+l)x+6m—2=0的根，則m的值是()

A.2B.4C.1D.3

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，以及三角形的三邊關(guān)系.根據(jù)一元二次

方程根的判別式，求得m=1或m=3,再將zn的分別代入一元二次方程求出腰長，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，

即可確定根的值.

【詳解】解：%2-2(m+l)x+6m-2=0,

???a=1,b=—2(m+1),c=6m—2,

△=爐—4加=4(m+I)2—4(6m-2)=0,

解得：m=1或zn=3,

當(dāng)zn=1時，%2—4%+4=0,解得：％=2,

???2+2<5,不滿足三角形的三邊關(guān)系，

???m=1(舍去)；

當(dāng)m=3時，%2—8%+16=0,解得：％=4,

4+4>5,滿足三角形的三邊關(guān)系，

即機的值是3,

故選：D.

考點3：三角形相關(guān)線段一一高線

典例3：(2023上?陜西西安?八年級統(tǒng)考期末)如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，△4BC的頂點4

B,C均在格點上.若2D1BC于點D,則線段4D的長為()

【分析】此題主要考查了勾股定理以及三角形面積求法，利用勾股定理得出的長，再利用等面積法得出4。

的長.

22

【詳解】解：由圖可知：S^ABC=4x4-|x2xl-|x2x4-|x3x4=5,FC=V4+3=5,

國SAABC=2BC,4。,

國SFBC=5X5XAD=5,

解得：AD=2.

故選：D.

【變式1］（2023上?全國?九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,點P在4。上，PE1AC于

E,PF1BD于F,貝！JPE+PF等于（）

【答案】B

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、三角形的面積公式，連接OP,過。作DM14C于M,求

出AC長，根據(jù)三角形的面積公式求出DM的值，根據(jù)SA”O(jiān)+SA”。=S“OD代入數(shù)據(jù)求解即可.解題的關(guān)鍵

是得出PE+PF=DM.

【詳解】解:連接。P,過。作于M,

回四邊形48co是矩形，28=3,40=4,

11

^\0A=OC=-AC,OB=0D=-BD,AC=BD,CD=AB=3,乙40c=90。，

22

團。4=OD,AC=yjAD2+CD2=V42+32=5,

ii

團S—DC=?DM=^AD-CD,

■x5xDM=-x4x3,

22

12

回DM=

回S—OD=S〉A(chǔ)PO+S〉DPO9

展04?PE+-0D?PF=-0A?DM,

222

12

OPE+PF=OM

5

故選：B.

【變式21（2023上?安徽安慶?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，NB=55。，ZC=25°,2D是BC邊的高,

AE平分NB4C,貝此/ME的度數(shù)為（）

【答案】B

【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180。是解答此題的關(guān)鍵.先根據(jù)三角

形內(nèi)角和定理求出乙847的度數(shù)，再根據(jù)4E平分乙B4C求出NBAE的度數(shù)，根據(jù)40LBC求出NB4D的度數(shù),

由ACME=^BAE-4比4。即可得出結(jié)論.

【詳解】在AABC中，NB=55。，ZC=25°,

.-.aBAC=180°-55°-25°=100°.

???力E平分NB4C,

乙BAE=-ABAC=50°.

2

40是邊3C上的高，

??.Z,ADB=90°,

???乙BAD=90°一乙B=90°-55°=35°,

??.Z,DAE=^BAE一乙BAD=50°-35°=15°.

故選：B

【變式31（2023上?山東日照?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，乙4BC和乙4cB的平分線相交于點。，

過點。作￡7可8C交AB于點E,交/C于點F,過點。作OD1AC于點D,已知0。=4,AE+AF=8,貝!UAET

的面積為（）

A

A.32B.16C.8D.20

【答案】B

【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，過點。作。于M,作。N1BC于N,連接。4,根

據(jù)角平分線的性質(zhì)可得。"=ON=。。=4,再根據(jù)SUEF=SA4OE+SAA°F，代入計算即可.解題的關(guān)鍵是

注意角平分線性質(zhì)的應(yīng)用.

【詳解】解:過點。作。M-LAB于M,作。N1BC于N,連接04

國乙4BC和乙4cB的平分線相交于點。，0D=4,AE+AF8,

回。M=ON=OD=4,

回S—EF=S0OE+SLA0F

11

=—TIE?OM+—-OD

1

=-OD-{AE+AF）

1

=-x4x8

=16,

IEAZEF的面積為16.

故選：B.

【變式4］（2022上?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，已知受些=工，則衿匹=_______

S&BCD2S^BCD

【答案】I

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等高的兩個三角形的面積比等于邊長比，熟練掌握三角形的

面積的特點是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)等高的兩個三角形的面積比等于邊長比，得出券=；，再根據(jù)&4?！辏井TC02

BC2

得出器=黑=再根據(jù)等高的兩個三角形的面積比等于邊長比計算即可

UBBC2.

【詳解】解：作4E1BC,CF1BD

必織=3△48。和48。。等高，高均為2E

S^BCD2

團S"BD==AD=1

S^BCD-^BC-AE~BC~2

團4。||BC

回△A。。八COB

「IE-0。=-AD=-1

OBBC2

回△BOC和△0。。等iWj,IWJ均為CF

團SABOC==OB=2

S^DOC^ODCFOD1

團S^BOC=3

S&BCD3

故答案為：|

【變式5](2023?全國?八年級課堂例題)在△ABC中，已知BC邊上的高/D=8cm,BD=15cm,CD=6cm,

則aABC的面積為.

【答案】84cm2或36cm之

【分析】本題考查了三角形的高，利用分類討論的思想解決問題是關(guān)鍵.分兩種情況討論：①40在△ABC

內(nèi)部；②4。在外部，分別求出的長，即可求出△48C的面積.

【詳解】解：①如圖，當(dāng)40在內(nèi)部時，BC=BD+CD=21cm,

SAABC=|BC-ylD=1x21x8=84(cm2)；

A

S^ABC=卯C-4。=卜9義8=36（cm2）；

綜上可知，△ABC的面積為84cm2或36cm2,

答案：84cm2或36cm2.

【變式6］（2024上?北京朝陽?八年級北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校校考期中）如圖，在AABC中，ZC=90°,4D是

NC48的平分線，己知AC=4cm,48=5cm,貝（ISA4CD：SAABD=。

【答案】4:5

【分析】本題考查了三角形面積公式以及角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和面積公式是解題的

關(guān)鍵.過點D作。E1AB于E,由角平分線的性質(zhì)得DE=DC,再由三角形面積公式得到答案.

【詳解】解：過點￡＞作DE148于E,

???4。是NC4B的平分線，ZC=90°,

DE=DC,

1

,,eS^ACD=?DE,

S^ABD=?DE9

^^ACD-^LABD=NC："8=4：5,

故答案為：4:5.

c

D

--------------EB

L變式7］（2024上?安徽合肥?八年級統(tǒng)考期末）如圖，點。是△4BC內(nèi)一點，連接2。、BD、，其中BD1CD,

BD平分乙4BC,若AaB。的面積為4,則△ABC的面積是.

【答案】8

【分析】本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形的面積公式，角平分的性質(zhì)，證明DE=CD可得到

SABDE=SABDC,是解題關(guān)鍵?

【詳解】解:延長CD交4B于點E如圖：

BD1CD,8。平分N48C,

.-.乙BDE=4BDC=90°,/-DBE=乙DBC,

BD=BD,

.*.△BDE三ABDC(ASA),

*'?DE=CD9S^BDE=S^BDC，

^LADE=S^ACD9

???△ZBO的面積為4,

^LABD=S^BDE+S^AOE=4

???^^ABC=2SABD=8,

故答案為：

考點4:三角形相關(guān)線段一一中線

典例4：（2023上,全國,八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC的中線2D,BE相交于點F,FH1BC,垂足為若

SAABC=15，BC=6,貝!|FH長為

【答案】9

【分析】本題主要考查三角形的中線與面積的關(guān)系，熟練掌握三角形的中線與面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.連

接FC,由二角形的中線與面積的關(guān)系可得SABEC=S&4BE=SAABD=5SAABC=3,然后可得SACEF—S&DBF=

SACDF，則有SABCF=gS^BEC=5,進而問題可求解.

【詳解】解：連接FC,如圖所示:

???AD.8E是AaBC的中線，SQABC15,

115

，?S&BEC~=S&ABD=QS^ABC=~

???S?ABF+=SAAB尸+S^BDF，

SA/EF=S?BDF，

S"EF=S&AEF，S&DBF=*^ACDF，

???S?CEF=S&DBF=S&CDF，

2

，?S〉BCF=[SABEC=5，

11

VSRBCF=±BC-FH=-x6FH=5,

“s22

??.FH=

3

故答案為：

【變式1】（2024上?吉林四平?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，D、E分別是BC、4D的中點，BF=2EF,

SAABC=10，則4CEF的面積為

【答案】|/1|

【分析】本題考查三角形的面積的計算，利用三角形的中線可以把三角形面積平分的性質(zhì)求三角形的面積，

根據(jù)三角形的一條中線可以把三角形的面積平分，得出SAABE=S^DBE=S^CDE=SAACE，然后再利用點BF=

2EF,從而得出△CEF是△BCE面積的

【詳解】解：?.?點。是BC的中點，

S^ABD-SAACD，

???點E是力。的中點，

ShABE=S^DBE=3s4ABD，S^CDE=S&ACE=3sA4CD，

5

S&ABE=SADBE=SACDE=S&ACE=[SAABC=12’

???S^BCE~S^DBE+=5+5

???BF=2EF,

S〉CEF=§S"CE=§X5=9

故答案為：

【變式2］（2023上?廣東肇慶?八年級?？计谥校┤鐖D，點。是△ABC的三條中線AD,BE,CF的交點，若陰

影部分的面積S"℃=2,則的面積為.

【答案】6

【分析】本題考查三角形的中線，根據(jù)中線的性質(zhì)可得4。=20D,由此得到SMOE=S^C0E=5sMe尸，

【詳解】解：團點。是A4BC的三條中線力￡>,BE,CF的交點,

團4。=2。0,

團S^AOE=S^COE~3*^Ai4CF，S〉BOD~^^COD=1.CF，LBOF~LAOF=3^LBAD9LACF~LBCF?

團S^AOE+S^BOD=S陰影=2,S^A0F+S^BOF=S陰影=2,

團S-BC=2+2+2=6，

故答案為：

【變式3]（2023上?河北滄州?九年級統(tǒng)考期中）如圖，E為平行四邊形ABCD邊上一點，RG分別為DE,

4E的中點，若△DCE與△ABE的面積之和為6,則四邊形1MGF的面積是.

【答案】4.5

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，由平行四邊形的性質(zhì)可知S-QE=]SMBCO,結(jié)

合SXDCE+^LABE=6,S^DE+S^DCE+LABE=^ABCD1可得Su0E=6,連接。G,由尸、G分別為。E、NE的

中點，可得S—OG=S^EDG=5sMDE=3,S^DFG=S^EFG=QSAEDG=L5,進而可得四邊形￡MGF的面積.

【詳解】解：團四邊形/8C0是平行四邊形，

團401出C,

團S^ADE=7^ABCDf

^AADE=6,

aF、G分別為DE、AE的中點，

國SMDG=S^EDG=yS—DE=3,S&DFG=^AEFG=/AEDG=L5，

回四邊形D4G尸的面積=ShADG+S“DFG=4.5,

故答案為：4.

【變式4]（2023上?山東荷澤?八年級校考階段練習(xí)）如圖所示，CE,C8分別是AABC,△ADC的中線，AB=

AC,^ACB=/.ABC,CE=1.5,則CD的長度為（）

【答案】B

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，遇到與三角形的中線有關(guān)的問題時，常

將中線延長一倍（這種方法稱為倍長中線法），然后連接相應(yīng)的點，構(gòu)造全等三角形，通過全等三角形的性質(zhì)

將線段的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，從而達到解決問題的目的.本題延長CE至兄使得EF=CE,貝UCF=2CE=3,

分別證明△&EC=△B￡F（SAS）^ACBD=△CBF（SAS）得至l]CD=CF=2CE即可求解.

【詳解】解：延長CE至兄使得EF=CE,貝UCF=2CE,

ME是△ABC的中線，

EL4E=BE,又乙4EC=4BEF,

團△力ECSABEF(SAS),

EL4c-BF,Z.A-Z.EBF,

EICB是△4DC的中線，AB=AC,

EIBD=AB,貝U8D=BF,

SZ.CBD=Z.A+Z.ACB,Z.CBF=Z.EBF+Z.ABC,Z.ACB=/.ABC,

田4CBD=4CBF,又BC=BC,

0ACBD=ACB尸(SAS),

0C￡)=CF=2CE=3,

故選：B.

【變式5］（2023上?湖南長沙?八年級校聯(lián)考期末）如圖，4D是AABC的中線，ACAD=60°,AD=4,AB-

AC=2,貝的長為（）

A.V21B.5C.2V21D.V26

【答案】C

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，熟練掌握相關(guān)定理性質(zhì)，

根據(jù)題意，作正確的輔助線，是解答本題的關(guān)鍵.

過點C作CEII4B交4D的延長線于點E,過點C作CF14D于點F,證明△BADSACED（ASA）,得到4B=EC,

AD=ED,設(shè)4C=a,則EC=4B=a+2,利用勾股定理得到CF=fa,XF=ja,再根據(jù)等量關(guān)系，得

到AC=5,AF=I，6=第，最后再利用勾股定理得到答案.

【詳解】解：過點C作CEIL4B交4。的延長線于點E,過點C作CF14。于點尸，如圖所示，

???CEWAB,

???Z-E=乙BAD,Z.DCE=乙B,

???40是的中線，

BD=CD,

在△B40和中，

2E=乙BAD

BD=CD,

zDCE=Z-B

ABADSACFO（ASA）,

AB=EC,AD=ED,

設(shè)AC=a,則EC=AB=a+2,

在RtzkAFC中，

AC=a,/.CAF=60°,/.AFC=90°,

???CF=—a,AF=-a,

22

???AD=ED=4,EF=AE-AF9

i

.?.EF=8--a,

2

由勾股定理得：CF2=CE2-EF2,

即;a2=（a+2）2-（8-1a）,

解得：a=5,

故/C=5,AF=-,CF=—,

22

FD=AD-AF=

2

由勾股定理得：

CD2=CF2+FD2=21,

BC=2CD=2VH.

故選：C.

【變式61（2023上?貴州銅仁?八年級校考期中）已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長分成6cm和12cm兩

部分，則等腰三角形的腰長為（）

A.4cm或8cmB.4cmC.8cmD.2cm或10cm

【答案】C

【分析】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解二元一次方程組和三角形三邊關(guān)系的綜合運用，設(shè)等腰三角

形的腰長、底邊長分別為%cm,ycm,根據(jù)題意列二元一次方程組，注意沒有指明具體是哪部分的長為12cm,

故應(yīng)該列兩個方程組求，解題的關(guān)鍵是分兩種情況分析，求得解之后注意用三角形三邊關(guān)系進行檢驗.

【詳解】設(shè)等腰三角形的腰長、底邊長分別為xcm,ycm,

riri

x+-x=6%+-%=12

由題意得412或h2,

-%+y=12-%+y=6

12k2

團4+4<10,

團不能構(gòu)成三角形，

故等腰三角形的底邊長為8cm,

故選：C.

【變式7](2023上?江蘇泰州?九年級?？茧A段練習(xí))如圖,4。是44BC的中線,E是2D上一點,4E:AD=l-.n

連接BE并延長交AC于點R貝為()

A.1:(n-1)B.1:(2n—1)C.1:(n+1)D.1:(2n—2)

【答案】B

【分析】作DHIIBF交AC于點H,根據(jù)力￡>是4ABC的中線，可得BD=CD,根據(jù)平行線分線段成比例可得F”

HC,有已知條件可得=4F:FH=1:(九—1)，進而可得4F：AC=1:(2n-1).

【詳解】解：作。印出產(chǎn)交4c于點X,

EL4D是AABC的中線，

BD=CD,

???DH\\BFf

??.FH=HC,

vAE\AD=l:n,

???AE\ED=l:(n-1),

???DHWBF,

團4E:DE=AF\FH=l:(n-l),

???AF\FC=l:(2n-2),

??.AF-.AC=l:(2n-1).

故選:B.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，三角形中線的性質(zhì)，比例的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

考點5：三角形的相關(guān)線段一一重心性質(zhì)

典例5：（2023?上海虹口?統(tǒng)考一模）如圖，點G是△ABC的重心，GEII4C交于點E.如果AC=12,那么

GE的長為（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】本題考查的是重心的概念和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的重心是三角形三條中

線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍是解題的關(guān)鍵.連接BG并延長交4C于。，根

據(jù)點G是AABC的重心，得到CD=）C=；X12=6,黑根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)

22BD3

論.

【詳解】解：連接并延長交4C于。，

回CD=-AC=-x12=6,—

22BD3

BGEWAC,

舐BEG-△BCD,

BGE=4,

故選:B.

【變式1】（2023上,湖南懷化?八年級校聯(lián)考期末）如圖，F(xiàn)是AABC的重心，連接4F并延長交BC于。，連

接BF并延長交AC于E.若AABF的面積是4,則四邊形CDFE的面積是（）

A.2B.5C.3D.4

【答案】D

【分析】本題考查了重心的概念：重心是三角形三邊中線的交點，三角形中線的性質(zhì)；

根據(jù)重心的概念，得到2。,8后是448。的中線，故可得SAABD=SAEBC=^SA4BC，進而推出A4BF的面積和

四邊形CDFE的面積相等，即可解答.

【詳解】解：F是A48C的重心，

???力D,BE是"BC的中線，

1

SAABD=S^EBC=5sAABC，

四邊形CDFE的面積=S^EBC-SAFBD=^^ABD~^^FBD=S^ABF=4,

故選：D.

【變式2］（2023上?浙江寧波?九年級校考期中）如圖，在RtAABC中，乙4c8=90。，AC=8,BC=6,點

G是△力BC的重心，貝l|CG等于（）

【答案】C

【分析】本題考查了重心的定義，中位線的性質(zhì)，勾股定理；延長CG交48于點。，在GO的延長線上取一點

E,使GD=DE,連接力E,BE,延長BG交4c于點F,先證四邊形4EBG為平行四邊形，再證（；尸為4C4E的

中位線，從而得CG=GE=2GD,進而得CG=|CD,然后在Rt△ABC中由勾股定理求出力B,再根據(jù)直角三

角形斜邊中線的性質(zhì)求出C。即可得到CG的長.

【詳解】解：延長CG交48于點D,在GD的延長線上取一點E,使GO=DE,連接ZE,BE,延長BG交4c于

點尸,

???點G為AABC的重心，

???CD,BF為△ABC的中線，

AD=BD,AF=CF,

又GD=DE,

???四邊形4EBG為平行四邊形,

???BG||AE,

即GF||AE,

?：AF=CF,

GF為ACZE的中位線，

???點G為CE的中點，

???CG-GE=2GD,

?.GD^-CG,

2

1Q

???CD=CG+GD=CG+-CG=-CG,

22

2

ACG=-CD

3f

在中，AC=8,BC=6,

由勾股定理得：AB=y/AC2+BC2=10

???CD為RtZkABC斜邊AB上的中線，

CD=-AB=5

2

團CG=2x5=絲

33

故選：c.

【變式3］（2023上?山西太原?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△Z8C中，中線BE,C。相交于點。，連接DE,

下列結(jié)論：①案=，②亨=3③喋=器；④0=，其中正確的個數(shù)為（）

乙'ACOB乙ASUBU>ABDC§

A

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】本題考查了中位線，重心的性質(zhì).熟練掌握中位線的性質(zhì)，重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

DE是AABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線等于第三邊長度的一半可判斷①的正誤；根據(jù)中線交點將中線

分成2:1的部分，以及等高，求面積比值，進而可判斷②④的正誤；根據(jù)比值進行判斷③的正誤即可.

【詳解】解：回中線BE,CD,

EIDE是A4BC的中位線，

回裝=；,DE||BC,①正確，故符合要求；

DC2

回。是中線交點，即重心，

10D1

0--=「--=一，

0B20C2

EIADOB與AC08、ABDC等高，

畔四=華=，產(chǎn)=察=3②、④正確，故符合要求；

JACOB乙^^BDC§

處―工OE__1

'AB2'OB2'

映=舄③正確，故符合要求；

ADUD

故選：D.

考點6:三角形的相關(guān)線段一角平分線

典例6：（2023上?浙江金華?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，△4BC的面積為18cm2,BP平分N4BC,AP1BP于

P,連接PC,則APBC的面積為（）

A

BC

D

A.7cm2B.8cm2C.9cm2D.10cm2

【答案】C

【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的中線的性質(zhì)，延長4P交于。，

證明ZB=再由等腰三角形的性質(zhì)可得4P=PD,根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)可得S.PO=SLBPA,SLCPD=

S.pz，由此進行計算即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵?

【詳解】解：如圖，延長/P交于。，

???8尸平分乙

???Z.ABP=乙DBP,

???AP1BP,

???乙APB=乙DPB=90°,

???乙BAP=90°-乙ABP,乙BDP=90°-乙DBP,

???Z-BDP=Z.BAP,

AB=DB,

???AP1BP,

??.4P=DP,

S^BPD=^LBPA9S^cPD=S^cPA，

1112

S陰影=S4BPD+SACPD-]SAABD+]5“（；￡>=2^AJ4BC=9cm,

故選：C.

【變式1]（2023上?遼寧丹東?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在AABC中，以點B為圓心，以2為半徑畫弧，交邊

4B于點D,交邊BC于點E,分別以點D,E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在乙48c內(nèi)部交于點P,

畫射線BP與邊4C交于點F,過點F作BC的平行線恰好經(jīng)過點0,貝IMD-CE的值為（）

A

A.2A/6B.4A/3C.4D.3汽

【答案】C

【分析】本題主要考查了作圖一基本作圖、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與

性質(zhì)，由作圖可得，2P是乙4BC的平分線，BD=BE=2,由角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)得出NOFB=

乙DBF,從而得出BD=DF=2,設(shè)力。=a,CE=b,AB=BD+AD=a+2,BC=BE+CE=2+b,

證明AADFs△力BC,由相似三角形的性質(zhì)可得2=三，計算即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用

a+2b+2

是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由作圖可得，BP是乙48。的平分線，BD=BE=2,

???Z-ABF=Z.CBF,

???DE||BC,

Z.DFB=乙CBF,

???zJDFB=乙DBF,

.?.BD=DF=2,

設(shè)=