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文檔簡介
專題三圓的證明與計算
題型1以圓的性質(zhì)為背景的證明與計算
題型解讀圓的證明與計算每年解答題考查1道,分值為8分.主要結(jié)合的知識點:①
相似三角形;②銳角三角函數(shù);③全等三角形;④特殊四邊形的判定.
1.如圖,AB是。0的直徑,以AB為腰作等腰△ABC,底邊BC交。0于點D,連接
AD,延長CA交O0于點E,連接BE,DE.
⑴求證:NCAD=NBED.
⑵若BD=20,tanNBDE=m,求。。的半徑.
2.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于。O,NADC=90。.連接BD,作CFLBD,分別交BD,。0
于點E,F,連接BF,交AC于點M,AB=BC.
⑴求證:BF〃CD.
⑵當(dāng)AD+CD=5e時,求線段BD的長.
題型2以切線性質(zhì)為背景的證明與計算
3.(2024.交大附中模擬)如圖,G>O是^ABC的外接圓,AC是OO的直徑,D是OA
的中點.DE,AC交CB的延長線于點E,交AB于點F,G是DE上的一點,且BG與
。。相切于點B.
E
⑴求證:NGBF二NC.
q
⑵若tanNCED=:,AD=4,求FG的長.
4
4.如圖,在RtAABC中,NACB=9(T,D是AB的中點,以CD為直徑作。0,與AC,BC
分別交于點E,F,過點F作。O的切線FG,交AB于點G.
⑴求證:FGLAB.
(2)若。。的半徑是|,cosNACD=|,求FG的長.
5.如圖,AB是。O的一條弦,E是AB的中點,過點E作ECXOA于點C,過點B作
O0的切線交CE的延長線于點D.
⑴求證:DB=DE.
⑵若AB=12,BD=5,求AC的長.
6.如圖,在RtAABC中,NABC=90。,以AB為直徑的。0交AC于點D,過點D作
。。的切線交BC于點E.
⑴求證:EC=ED.
⑵若DC=DE=6,求圖中陰影部分的面積.
7.(2024.新城區(qū)模擬)如圖,△ABC內(nèi)接于。O,BC為。O的直徑,D為。O上一點,
過點D作OO的切線分別交AB,AC的延長線于點E,F,且BC〃EF,連接AD.
⑴求證:NBAD=NCAD.
⑵若AB=3,AC=3g,求CF的長.
8.如圖,在△ABC中,AC=BC,。O是^ABC的外接圓,過點B作。O的切線BD,連
接AD交BC于點E,交。O于點F,連接BF.
⑴求證:NFBD=NFAB.
(2)若AE,BC,AC=6,能,求DF的長.
EiDZ
題型3切線的判定及其應(yīng)用
9.(2024.西工大附中模擬)如圖,AB是O0的直徑,點C,E在OO上,NCAB=2NEAB,
點F在線段AB的延長線上,且NAFE=NABC.
(1)求證:EF與。O相切.
⑵若BF=a,sinNAFEq求BC的長.
10.如圖,在RtAABC中,NA=9(T,BD平分NABC交AC于點D,點O在BC上,以
點O為圓心QB為半徑的圓恰好經(jīng)過點D,交AB于點E.
(1)求證:AC是。。的切線.
⑵若OB=5,CD=4,求AE的長.
11.如圖,C是以AB為直徑的。。上的一點,過點A作O0的切線交BC的延長線
于點D,取AD的中點E,連接EC并延長交AB的延長線于點F.
(1)求證:EF是。。的切線.
⑵若CF=12,BF=8,求tanD的值.
12.(2024.鐵一中模擬)如圖,在△ABC中,NACB=9(T,D是AB上一點,點。在BC
上,以點0為圓心的圓經(jīng)過C,D兩點,連接CD,ZA=2ZBCD.
(1)求證:AB為O0的切線.
⑵若tanA=|,O0的半徑為2,求AB的長.
參考答案
1.解析:(1)證明:是。。的直徑,
/.ZADB=90°,.'.AD±BC.
\"AB=AC,.".ZCAD=ZBAD,BD=CD.
;/BED=/BAD,「.ZCAD=ZBED.
(2):2BDE=/BAE,
.:tan/BDE=tan/BAE=y.
:NB是Q。的直徑,.:ZAEB=90°,
-2C_24
..-----------.
□□7
物E=7x,則3E=24x,
.AB=y/Ji2+Bn2=25x,
.".AC=AB=25x,.".CE=AC+AE=32x.
"."BD=CD,BD=20,/.BC=2BD=40.
在R3BCE中,BC=CE2+BE2,
.:402=(32X)2+(24X)2解得x=l(負值已舍去),
.:AB=25,.:。。的半徑為今
2.解析:⑴證明:
"."ZADC=90°,
r.ZADB=ZCDB=45°.
VCFLBD,.".ZDEC=90°,
.:ZDCF=45°.
又VZF=ZBDC=45°,
r.ZF=ZDCF=45°,
.'.BF//CD.
(2)如圖,延長AD至點N,使得DN=DC,連接NC
R
"/ZADC=90°,DN=DC,
;./N=/DCN=45。,
?:sinN**.
"."AD+CD=5y/2,
.:AD+DN=AN=5?
"/ZDAC=ZDBC,ZN=ZBDC=45°,
.:△NACsADBC,
,.而一二
即」=一=叱
15V2□□2,
解得BD=5,
.:線段3。的長為5.
3.解析:
⑴證明:如圖,連接則03=0C,
?:/C=/OBC.
:.BG與。。相切于點民
.:BGLOB.
:NC是。。的直徑,
.:ZOBG=ZABC=90°,
.:ZGBF=ZOBC=90°-ZOBF,
/.ZGBF=ZC.
(2);。是。4的中點,AD=4,
.'.0D=AD=4,/.OC=OA=2AD=8,
/.CD=OD+OC=4+8=12.
VDELAC,ZADF=ZCDE=9Q°,
:,
.W□=□tanNCEDW4,
.:ED=5CD=|X12=16,
VZA=ZCED=9Q°-ZC,
;一
.□=□tanA=tanNCED=4-',
:
.FD=U4D=^4x4=3,
/.EF=ED-FD=16-3=13.
:,NFBE=NCDE=9。。,
r.ZGFB=ZC=9Q°-ZE.
由(1)得NG3R=NC,
:.ZGFB=ZGBF,:.FG=BG.
VZE+ZGFB=9Q°,ZGBE+ZGBF=9Q°,
r.ZE=ZGBE,:.EG=BG,
.:FG=EG=;EF=ixl3=^,
.:RG的長為最
4.解析:⑴證明:如圖,連接OJDF.
VZACB=90°,AD=DB,
?:DC=DB=DA.
7CD是。。的直徑,
.:NCTD=90。,即。
.:CF=FB.
"/OC=OD,CF=BF,
.:。尸是4。。3的中位線,
/.OF//BD,
r.ZOFC=ZB.
:NG是。。的切線,
/.ZOFG=90°,
r.ZOFC+ZBFG=90°,
r.ZBFG+ZB=9Q°,
/.ZFGB=9Q°,
.".FGLAB.
(2)在R3ABC中,
:?。是AB的中點,CD=5,
.:AD=BD=5,
.:AB=10.
"."cosZACD=cosZCAD=一=|,
.:AC=10x|=6,
.".BC=yJJU2-AJ2=V102-62=8.
7CD是。。的直徑,
ZCFD=9Q°,.".BF=CF=\BC=4,
.".DF=yJ□O2-CD2=V52-42=3,
.:SABDF=\DFBF=\BDFG,
5.解析:⑴證明::方。為。。的切線,
.:OBLBD,
.:N=90°,即N03E+/D3E=90°.
VCD±OA,/.ZA+ZAEC=90°.
又"/OA=OB,.".ZA=ZOBE,
r.ZOBE+ZAEC=9Q°,
?:/AEC=/DBE.
VZAEC=ZDEB,
/.ZDEB=ZDBE,
?:DB=DE.
⑵如圖,作DR,A3于點E
7E是AB的中點,
:
.AE=BE=L2AB=6.
"/DB=DE,DF±AB,
.:BF=EF=(BE=3,
;.£)F=VO^2-BD2=4.
VECLOA,DFLAB,
/.ZACE=ZDFB=9Q°.
VZAEC=ZDBE,
.「AACEsADFB,
..?------.風(fēng)Bn)-n-n-_-6.
□□145'
解得AC專
6.解析:⑴證明:如圖,連接OD,3D
TAB為。。的直徑,
ZADB=90°.X:*ZABC=90°,
.:3C是。。的切線.
:Z>E是。。的切線,
.:BE=DE,:.ZEBD=ZEDB.
VZADB=90°,
/.ZEBD+ZC=90°,ZEDB+ZCDE=90°,
/.ZC=ZEDC,/.ED=CE.
(2)在RtABCD中,
".'DC=DE=BE=CE=6,
.:△CDE是等邊三角形,5C=12,
.:ZC=60°.
VZABC=9Q0,/.ZA=3Q°,
.:AB=ViBC=12V3,
.:04=00=6V3,
r.ZA=ZAD0=3Q°,
/.ZBOD=60°,
.:圖中陰影部分的面積=S四邊形OBEO-S扇形OOB
=6x6行60飛產(chǎn)
=36V5-18兀.
7.解析:
⑴證明:如圖,連接0D
叱是。。的切線,3?!ǚ?/p>
ZEDO=ZCOD=90°,
ZBOD=ZCOD=90°,
,63ZBAD=ZCAD.
⑵如圖,連接。。并延長,交AC于點G
:'BC為。。的直徑,.:NS4c=90。.
:*AB=34C=3V5,
.:BC=7an2+An2=6,.:0B=0C=0D=3.
,."ZGOC=ZBAC,ZGCO=ZBCA,
.:△GCOS^BCA,.:而一而一而,
?□□—3
--3?5-~6~
.:GO=V3,GC=2V3.
--BC//EF,.-.^?^,.-.CF=6.
8.解析:(1)證明:如圖,連接30,延長80與。。交于點G,連接GF
:方。是。。的切線,
r.ZOBD=90°.
:,3G為。。的直徑,
/.ZBFG=9Q°,
/.ZG+ZGBF=ZGBF+ZDBF=90°,
r.ZFBD=ZG.
VZG=ZFAB,/.ZFAB=ZFBD.
⑵:NC=3C=6,」W,
/.CE=2,BE=4.
VAE±BC,
.:AE=J萬-0=4V2.
rzc=ZBFE,ZCAE=ZFBE,
.■.AACE^ABFE,/.^=^,
即竽=/,解得ER=V1
設(shè)。R=x,
:,DB是。。的切線,/FAB=NFBD,ND=/D,
.:△BDFsAADB,
?:」=一,.:
□□BD2=DFDA.
:"BD2=DE2+BE^=(X+^2)2+42,
.Xx+V2)2+42=x(x+4V2+V2),
解得x=3V2,
即DR=3V2.
9.解析:
⑴證明:如圖,連接?!?/p>
:/3是。。的直徑,
r.ZACB=9Q°.
VOA=OE,.".ZOAE=ZOEA,
r.ZF0E=Z0AE+Z0EA=2Z0AE.
VZCAB=2ZEAB,/.ZCAB=ZF0E.
又VZAFE=ZABC,
.:ZCAB+ZABC=ZFOE+ZAFE,
.:N。所=NAC3=90°,即OELEE
rOE是半徑,.:EF是O。的切線.
(2)設(shè)半徑為r,即0E=03=r,則。歹=廠+應(yīng).
在R3EOF^,smZAFE=^=^,
「?r=4?:.AB=2r=86
在RtZkABC中,sinNABC=—=sinNARE=(,AB=8近,
.:AC=5X8V2=^V2,
.:BC=V3D2-AI2=^V2.
10.解析:
⑴證明:如圖1,連接OD
:如平分NA5C,
.:/ABD=/DBC.
VOB=OD,
.:/DBC=/BDO,
/.ZABD=ZBDO,/.AB//DO,
r.Z0DC=ZA=9Q°.
是。。的半徑,
.:AC是。。的切線.
(2)如圖2,過點。作。G,AB,垂足為G,
;.BG=GE,ZBG0=ZAG0=9Q°.
丁NA=NODA=ZAGO=90°,
.:四邊形AG。。是矩形,.:AG=OD=O3=5.
在RtAODC中,OD=5,DC=4,
.:OC=Vnn2+DJ2=VS2+42=V4T.
\"AB//OD,/.ZABC=/DOC.
VZBGO=ZODC=9Q0,/.ABGOSAODC,
A
圖2
---------,即亍一而,
解得BG=竽,
.:GE=BG=*
41'
.:AE=AG-GE=5-智,
41'
.:AE的長為5-等.
11.解析:⑴證明:如圖,連接OC,EO.
:是。。的切線,.:ZA=90°.
:名為AD的中點,。為A3的中點,
.:OE為△A3。的中位線,
/.OE//BD,
.".ZAOE=ZABD,ZEOC=ZOCB.
VOB=OC,
.:ZABD=ZOCB,.:ZAOE=ZCOE.
在△AOE和△COE中扣0口n=□口皿
.:△AOE等△COE(SAS),
r.ZA=ZOCE=9Q°,.".OC±EF.
TOC為Q。的半徑,.:EF是Q。的切線.
(2)設(shè)。。的半徑為廠,則0C=r,0/=r+8.
在R3OCF^,OC2+CF2=OF2,
則3+12?=(廠+8)2,解得廠=
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