圓的證明與計算 學(xué)案（含答案）-2025年陜西中考數(shù)學(xué)教材梳理

專題三圓的證明與計算

題型1以圓的性質(zhì)為背景的證明與計算

題型解讀圓的證明與計算每年解答題考查1道,分值為8分.主要結(jié)合的知識點:①

相似三角形;②銳角三角函數(shù);③全等三角形;④特殊四邊形的判定.

1.如圖,AB是。0的直徑，以AB為腰作等腰△ABC,底邊BC交。0于點D,連接

AD,延長CA交O0于點E,連接BE,DE.

⑴求證:NCAD=NBED.

⑵若BD=20,tanNBDE=m，求。。的半徑.

2.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,NADC=90。.連接BD,作CFLBD,分別交BD,。0

于點E,F,連接BF,交AC于點M,AB=BC.

⑴求證:BF〃CD.

⑵當(dāng)AD+CD=5e時,求線段BD的長.

題型2以切線性質(zhì)為背景的證明與計算

3.（2024.交大附中模擬）如圖,G>O是^ABC的外接圓,AC是OO的直徑,D是OA

的中點.DE,AC交CB的延長線于點E,交AB于點F,G是DE上的一點，且BG與

。。相切于點B.

E

⑴求證:NGBF二NC.

q

⑵若tanNCED=：,AD=4,求FG的長.

4

4.如圖，在RtAABC中,NACB=9(T,D是AB的中點，以CD為直徑作。0,與AC,BC

分別交于點E,F,過點F作。O的切線FG,交AB于點G.

⑴求證:FGLAB.

(2)若。。的半徑是|,cosNACD=|,求FG的長.

5.如圖,AB是。O的一條弦,E是AB的中點，過點E作ECXOA于點C,過點B作

O0的切線交CE的延長線于點D.

⑴求證:DB=DE.

⑵若AB=12,BD=5,求AC的長.

6.如圖，在RtAABC中,NABC=90。,以AB為直徑的。0交AC于點D,過點D作

。。的切線交BC于點E.

⑴求證:EC=ED.

⑵若DC=DE=6,求圖中陰影部分的面積.

7.（2024.新城區(qū)模擬）如圖,△ABC內(nèi)接于。O,BC為。O的直徑,D為。O上一點,

過點D作OO的切線分別交AB,AC的延長線于點E,F,且BC〃EF,連接AD.

⑴求證:NBAD=NCAD.

⑵若AB=3,AC=3g,求CF的長.

8.如圖，在△ABC中,AC=BC,。O是^ABC的外接圓，過點B作。O的切線BD,連

接AD交BC于點E,交。O于點F,連接BF.

⑴求證:NFBD=NFAB.

(2)若AE，BC,AC=6,能，求DF的長.

EiDZ

題型3切線的判定及其應(yīng)用

9.（2024.西工大附中模擬）如圖,AB是O0的直徑，點C,E在OO上,NCAB=2NEAB,

點F在線段AB的延長線上，且NAFE=NABC.

(1)求證:EF與。O相切.

⑵若BF=a,sinNAFEq求BC的長.

10.如圖，在RtAABC中,NA=9（T,BD平分NABC交AC于點D,點O在BC上，以

點O為圓心QB為半徑的圓恰好經(jīng)過點D,交AB于點E.

(1)求證:AC是。。的切線.

⑵若OB=5,CD=4,求AE的長.

11.如圖,C是以AB為直徑的。。上的一點，過點A作O0的切線交BC的延長線

于點D,取AD的中點E,連接EC并延長交AB的延長線于點F.

(1)求證:EF是。。的切線.

⑵若CF=12,BF=8,求tanD的值.

12.(2024.鐵一中模擬)如圖，在△ABC中,NACB=9(T,D是AB上一點，點。在BC

上，以點0為圓心的圓經(jīng)過C,D兩點，連接CD,ZA=2ZBCD.

(1)求證:AB為O0的切線.

⑵若tanA=|,O0的半徑為2,求AB的長.

參考答案

1.解析:(1)證明：是。。的直徑，

/.ZADB=90°,.'.AD±BC.

\"AB=AC,.".ZCAD=ZBAD,BD=CD.

；/BED=/BAD,「.ZCAD=ZBED.

(2):2BDE=/BAE,

.：tan/BDE=tan/BAE=y.

：NB是Q。的直徑,.：ZAEB=90°,

-2C_24

..-----------.

□□7

物E=7x,則3E=24x,

.AB=y/Ji2+Bn2=25x,

.".AC=AB=25x,.".CE=AC+AE=32x.

"."BD=CD,BD=20,/.BC=2BD=40.

在R3BCE中,BC=CE2+BE2,

.：402=(32X)2+(24X)2解得x=l(負值已舍去)，

.：AB=25,.：。。的半徑為今

2.解析:⑴證明：

"."ZADC=90°,

r.ZADB=ZCDB=45°.

VCFLBD,.".ZDEC=90°,

.：ZDCF=45°.

又VZF=ZBDC=45°,

r.ZF=ZDCF=45°,

.'.BF//CD.

(2)如圖，延長AD至點N,使得DN=DC,連接NC

R

"/ZADC=90°,DN=DC,

；./N=/DCN=45。,

?:sinN**.

"."AD+CD=5y/2,

.：AD+DN=AN=5?

"/ZDAC=ZDBC,ZN=ZBDC=45°,

.：△NACsADBC,

,.而一二

即」=一=叱

15V2□□2，

解得BD=5,

.：線段3。的長為5.

3.解析:

⑴證明:如圖，連接則03=0C,

?：/C=/OBC.

:.BG與。。相切于點民

.：BGLOB.

:NC是。。的直徑，

.：ZOBG=ZABC=90°,

.：ZGBF=ZOBC=90°-ZOBF,

/.ZGBF=ZC.

(2);。是。4的中點,AD=4,

.'.0D=AD=4,/.OC=OA=2AD=8,

/.CD=OD+OC=4+8=12.

VDELAC,ZADF=ZCDE=9Q°,

：，

.W□=□tanNCEDW4，

.：ED=5CD=|X12=16,

VZA=ZCED=9Q°-ZC,

；一

.□=□tanA=tanNCED=4-',

：

.FD=U4D=^4x4=3,

/.EF=ED-FD=16-3=13.

:,NFBE=NCDE=9。。,

r.ZGFB=ZC=9Q°-ZE.

由(1)得NG3R=NC,

:.ZGFB=ZGBF,:.FG=BG.

VZE+ZGFB=9Q°,ZGBE+ZGBF=9Q°,

r.ZE=ZGBE,:.EG=BG,

.：FG=EG=；EF=ixl3=^,

.：RG的長為最

4.解析:⑴證明:如圖，連接OJDF.

VZACB=90°,AD=DB,

?：DC=DB=DA.

7CD是。。的直徑，

.：NCTD=90。,即。

.：CF=FB.

"/OC=OD,CF=BF,

.：。尸是4。。3的中位線，

/.OF//BD,

r.ZOFC=ZB.

:NG是。。的切線，

/.ZOFG=90°,

r.ZOFC+ZBFG=90°,

r.ZBFG+ZB=9Q°,

/.ZFGB=9Q°,

.".FGLAB.

(2)在R3ABC中，

:?。是AB的中點,CD=5,

.：AD=BD=5,

.：AB=10.

"."cosZACD=cosZCAD=一=|,

.：AC=10x|=6,

.".BC=yJJU2-AJ2=V102-62=8.

7CD是。。的直徑，

ZCFD=9Q°,.".BF=CF=\BC=4,

.".DF=yJ□O2-CD2=V52-42=3,

.：SABDF=\DFBF=\BDFG,

5.解析:⑴證明：：方。為。。的切線，

.：OBLBD,

.：N=90°,即N03E+/D3E=90°.

VCD±OA,/.ZA+ZAEC=90°.

又"/OA=OB,.".ZA=ZOBE,

r.ZOBE+ZAEC=9Q°,

?：/AEC=/DBE.

VZAEC=ZDEB,

/.ZDEB=ZDBE,

?：DB=DE.

⑵如圖，作DR，A3于點E

7E是AB的中點，

：

.AE=BE=L2AB=6.

"/DB=DE,DF±AB,

.：BF=EF=(BE=3,

；.￡)F=VO^2-BD2=4.

VECLOA,DFLAB,

/.ZACE=ZDFB=9Q°.

VZAEC=ZDBE,

.「AACEsADFB,

..?------.風(fēng)Bn)-n-n-_-6.

□□145'

解得AC專

6.解析:⑴證明:如圖，連接OD,3D

TAB為。。的直徑，

ZADB=90°.X：*ZABC=90°,

.：3C是。。的切線.

：Z>E是。。的切線，

.：BE=DE,:.ZEBD=ZEDB.

VZADB=90°,

/.ZEBD+ZC=90°,ZEDB+ZCDE=90°,

/.ZC=ZEDC,/.ED=CE.

(2)在RtABCD中，

".'DC=DE=BE=CE=6,

.：△CDE是等邊三角形,5C=12,

.：ZC=60°.

VZABC=9Q0,/.ZA=3Q°,

.：AB=ViBC=12V3,

.：04=00=6V3,

r.ZA=ZAD0=3Q°,

/.ZBOD=60°,

.：圖中陰影部分的面積=S四邊形OBEO-S扇形OOB

=6x6行60飛產(chǎn)

=36V5-18兀.

7.解析:

⑴證明:如圖，連接0D

叱是。。的切線,3?！ǚ?/p>

ZEDO=ZCOD=90°,

ZBOD=ZCOD=90°,

,63ZBAD=ZCAD.

⑵如圖，連接。。并延長，交AC于點G

:'BC為。。的直徑,.：NS4c=90。.

：*AB=34C=3V5,

.：BC=7an2+An2=6,.：0B=0C=0D=3.

,."ZGOC=ZBAC,ZGCO=ZBCA,

.：△GCOS^BCA,.：而一而一而，

?□□—3

--3?5-~6~

.：GO=V3,GC=2V3.

--BC//EF,.-.^?^,.-.CF=6.

8.解析:(1)證明:如圖，連接30,延長80與。。交于點G,連接GF

:方。是。。的切線，

r.ZOBD=90°.

：,3G為。。的直徑，

/.ZBFG=9Q°,

/.ZG+ZGBF=ZGBF+ZDBF=90°,

r.ZFBD=ZG.

VZG=ZFAB,/.ZFAB=ZFBD.

⑵：NC=3C=6,」W，

/.CE=2,BE=4.

VAE±BC,

.：AE=J萬-0=4V2.

rzc=ZBFE,ZCAE=ZFBE,

.■.AACE^ABFE,/.^=^,

即竽=/，解得ER=V1

設(shè)。R=x,

:，DB是。。的切線,/FAB=NFBD,ND=/D,

.：△BDFsAADB,

?：」=一,.：

□□BD2=DFDA.

："BD2=DE2+BE^=(X+^2)2+42,

.Xx+V2)2+42=x(x+4V2+V2),

解得x=3V2,

即DR=3V2.

9.解析:

⑴證明:如圖，連接?！?/p>

：/3是。。的直徑，

r.ZACB=9Q°.

VOA=OE,.".ZOAE=ZOEA,

r.ZF0E=Z0AE+Z0EA=2Z0AE.

VZCAB=2ZEAB,/.ZCAB=ZF0E.

又VZAFE=ZABC,

.：ZCAB+ZABC=ZFOE+ZAFE,

.：N。所=NAC3=90°,即OELEE

rOE是半徑,.：EF是O。的切線.

(2)設(shè)半徑為r,即0E=03=r，則。歹=廠+應(yīng).

在R3EOF^,smZAFE=^=^,

「?r=4?:.AB=2r=86

在RtZkABC中,sinNABC=—=sinNARE=(,AB=8近,

.：AC=5X8V2=^V2,

.：BC=V3D2-AI2=^V2.

10.解析:

⑴證明:如圖1,連接OD

:如平分NA5C,

.：/ABD=/DBC.

VOB=OD,

.：/DBC=/BDO,

/.ZABD=ZBDO,/.AB//DO,

r.Z0DC=ZA=9Q°.

是。。的半徑，

.:AC是。。的切線.

(2)如圖2,過點。作。G，AB,垂足為G,

；.BG=GE,ZBG0=ZAG0=9Q°.

丁NA=NODA=ZAGO=90°,

.：四邊形AG。。是矩形，.:AG=OD=O3=5.

在RtAODC中,OD=5,DC=4,

.：OC=Vnn2+DJ2=VS2+42=V4T.

\"AB//OD,/.ZABC=/DOC.

VZBGO=ZODC=9Q0,/.ABGOSAODC,

A

圖2

---------，即亍一而，

解得BG=竽，

.：GE=BG=*

41'

.：AE=AG-GE=5-智，

41'

.：AE的長為5-等.

11.解析:⑴證明:如圖，連接OC,EO.

：是。。的切線，.：ZA=90°.

：名為AD的中點，。為A3的中點,

.：OE為△A3。的中位線，

/.OE//BD,

.".ZAOE=ZABD,ZEOC=ZOCB.

VOB=OC,

.：ZABD=ZOCB,.：ZAOE=ZCOE.

在△AOE和△COE中扣0口n=□口皿

.：△AOE等△COE(SAS),

r.ZA=ZOCE=9Q°,.".OC±EF.

TOC為Q。的半徑,.：EF是Q。的切線.

(2)設(shè)。。的半徑為廠，則0C=r,0/=r+8.

在R3OCF^,OC2+CF2=OF2,

則3+12?=(廠+8)2,解得廠=