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文檔簡介
專題21圓與直線綜合
更盤點?置擊看考
目錄
題型一:點與圓的位置............................................................................1
題型二:圓軌跡方程及阿圓........................................................................4
題型三:兩圓位置關(guān)系............................................................................6
題型四:兩圓公共弦及公切線......................................................................8
題型五:到直線距離定值的圓上點.................................................................11
題型六:圓與直線:弦心距最值范圍...............................................................13
題型七:圓與直線:弦心角型范圍.................................................................16
題型八:圓與直線:弦三角形面積范圍.............................................................18
題型九:折線系數(shù)不同型“將軍飲馬”.............................................................21
題型十:圓切線:切線長范圍.....................................................................25
題型十一:圓切線:切點弦方程...................................................................28
題型十二:圓切線:切點三角形、四邊形最值.......................................................31
題型十三:圓切線:切點弦求參范圍...............................................................37
題型十四:圓切線:角度范圍最值.................................................................41
題型十五:圓切線:三角型旋轉(zhuǎn)切線...............................................................43
題型十六:圓過定點............................................................................46
^突圍?錯;住蝗分
題型一:點與圓的位置
:指I點I迷I津
;圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(元—〃)2+。一份2=/,一般方程/+'2+m+舒+/=0,點MQo,州),則有:
(1)點在圓上:(X0—〃)2+(yo一份2=\,xo2+yo2+£>xo+Eyo+F=O;
(2)點在圓外:(XQ—4)2+(yo—。)2>d,x^+yo^+Dxo+Eyo+FX);
22
〕(3)點在圓內(nèi):(的一02+(%—力2<凡xo+yo+£>xo+Eyo+F<O.
;容易錯誤的點:
U:一——定——要——把—圓——配——成——標(biāo)—準(zhǔn)——形——式——,—保——證——右——邊—是——正——數(shù)——(—半—徑——平——方—有——意——義——)—————————————————————————————
1.(24-25?江西?模擬)若點尸(-1,2)在圓。:f+y2+x+y+加=0的外部,則加的取值可能為()
A.5B.1C.-4D.-7
[答案]c
【彳析】根據(jù)點在圓外及方程表示圓求出機(jī)的范圍得解.
【詳解】因為點尸(Ta)在圓Cf+y2+%+y+根=0的外部,
所以(—1)2+22—1+2+加>0,解得機(jī)>-6,
又方程表示圓,則1+1-4帆>0,即機(jī)<匕
2
所以-6〈根<工,結(jié)合選項可知,加的取值可以為-4.
2
故選:C
2.(24-25?河北唐山?模擬)已知圓C的方程為%2+,2一2次x+4ey+5療-3根+3=0,若點(1,一2m)在圓外,
則加的取值范圍是()
A.(^?,l)L(4,+oo)B.(0,+e)
C.(1,4)D.(4,4W)
【答案】D
【分析】化簡得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(元-m)2+(丁+2根)2=3m-3,根據(jù)題意,列出不等式,即可求解.
【詳解】由圓C的方程為兀2+/一2煙+4ky+5加2一3機(jī)+3=。,
可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(工-根)2+(y+2加產(chǎn)=3m-3,所以3機(jī)?3>0,解得相>1,
因為點(1,一2祇)在圓外,可得(1-加尸+(-2加+2機(jī)尸>3m-3,
整理得加之一5m+4>0,角軍得機(jī)>4或m<1,
綜上可得,實數(shù)相的取值范圍是(4,內(nèi)).
故選:D.
3.(24-25,浙江?模擬)已知點尸(0,2)關(guān)于直線%-y+l=0對稱的點。在圓C:¥十丁加=。外,則實數(shù)
機(jī)的取值范圍是()
A.m>—4B.m<lC.-4<m<1D.機(jī)<-4或m>1
【答案】C
【分析】設(shè)。(。力),利用點關(guān)于線對稱列方程求得。坐標(biāo),代入圓方程得出不等式計算即可.
【詳解】設(shè)點尸(。,2)關(guān)于直線%—y+l=0對稱的點。(。力),貝Ib+2,解得,=1/=1.
因為。(1』)在。外,所以1+1+2+w>0,可得加>—4
且+y2+2犬+加=0表示圓可得4+0—4機(jī)>0,即得用<1
綜上可得-4V機(jī)V1.
故選:C.
4.(24-25?江蘇南京?模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知動圓C:(x-2m-l)2+(y-m-l)2=4m2(m^0)則
下列說法正確的是()
A.存在圓。經(jīng)過原點
B.存在圓C,其所有點均在第一象限
C.存在定直線/,被圓。截得的弦長為定值
D.所有動圓。有兩條公切線
【答案】ABD
【分析】對于A選項:將(0,0)代入圓C方程,求得加,即可判斷;
2m+1>0
m+1>0
對于B選項:根據(jù)圓C所有點均在第一象限得到2m+l>2|m|,即可判斷;
m+1>2|m|
機(jī)w0
對于C選項:當(dāng)定直線/的斜率存在,設(shè)直線/:y=kx+b,當(dāng)定直線/的斜率不存在,設(shè)直線=由
垂徑定理和勾股定理得到弦長L,要使弦長L為定值,則弦長L與加無關(guān),得到關(guān)于左和6的方程組,即可
求解;
對于D選項:求出所有動圓C的公切線,即可求解.
【詳解】對于A選項:若圓。經(jīng)過原點,則(0—2機(jī)—1)2+(0—機(jī)—1)2=4/,
化簡得:m2+6m+2=0?解得:m=-3±V7,
所以當(dāng)相=-3±J7時,圓。經(jīng)過原點,所以A選項正確;
對于B選項:由題意得圓C的圓心。(2機(jī)+1,m+1),半徑廠=2同(m^O),
1
m>——
2m+1>02
m>-1
m+1>0
1,即一工<加<且相。所以當(dāng)
若圓。上的所有點均在第一象限,貝IJ2m+l>2|m|,解得:,m>——10,
4
m+1>2|m|4
1
——<m<1
m03
mwO
mG時,圓C上的所有點均在第一象限,所以B選項正確;
對于C選項:當(dāng)定直線/的斜率存在,設(shè)存在定直線/:y=kx+b,被圓C截得的弦長為定值,
則圓心。(2加+1,加+1)到直線I的距離d=-----』一——』一L
則弦長-24^-2、而(4疝+強(qiáng)+1產(chǎn)+。-*以+2左(2〃?+1)9-*1)
-vF+1
(4k+3)irT+(-4k23*+6k-4bk+2b-2)m+(-k2+2k-2bk-b2+2b-l)
即L=2
k2+l
%」
3+4左=0刀,口4
要使弦長L為定值,則弦長工與加無關(guān),所以-4k2+6k-4bk+2b-2=0f解付:K
b=L
4
此時弦長L-2產(chǎn)+21+五=0,不存在定直線/:y=kx+b,被圓C截得的弦長為定值,
V%+1
當(dāng)定直線/的斜率不存在,設(shè)直線/:X=t,則圓心。(2〃2+1,7〃+1)到直線/的距離[=|2"+1-/
所以弦長L=2,戶—屋=2{4病_(2m+]—)2=J_4(T)〃L(1T)2,要使弦長L為定值,則弦長L與加無
關(guān),BPr=l,此時弦長L=0,綜上:不存在定直線/,被圓C截得的弦長為定值,所以C選項錯誤;
對于D選項:若所有動圓C存在公切線,當(dāng)切線斜率不存在時,x=l滿足題意;
切線斜率存在時,且圓心C到它的距離等于半徑,結(jié)合C選項的證明可得:d=r,即
+[4k2+4bk-6k-2.b+i)m+^k2+2bk-2k+b2-1b+i)=0,
―[*_3=0~一
若所有動圓C存在公切線,則上式對V/neR恒成立,則,門°…解得:,
4左+4。左一6左一26+2=077
[4
止匕時/一26左一2左+。2-26+1=0,
37
綜上:所有動圓C存在公切線,其方程為y=+—或x=l,所以D選項正確,
44
故選:ABD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛:求出弦長及公切線的關(guān)鍵點是應(yīng)用點到直線距離公式.
5.(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模)點尸(1,-。)關(guān)于直線彳->=。的對稱點在圓0-2)2+0-4)2=13內(nèi),則實
數(shù)。的取值范圍是.
【答案】(-4,0)
【分析】根據(jù)題意利用軸對稱的性質(zhì)算出對稱點。的坐標(biāo),結(jié)合點。在已知圓的內(nèi)部,建立關(guān)于。的不等
式,解出實數(shù)。的取值范圍.
m+1n-a八
-----------=0
22m=—a/、
【詳解】設(shè)。(牡〃)與尸(L-。)關(guān)于直線x-y=O對稱,則<,解得,,即0(—4,1),
-a-nn=l
-----=—1
1—m
因為0(-。,1)在圓(x-2)2+(y-4)2=13的內(nèi)部,
所以(-"2>+(1-4)2<13,解得-4<a<0,即實數(shù)。的取值范圍是㈠⑼.
故答案為:(-4,0).
題型二:圓軌跡方程及阿圓
指I點I迷I津
已知平面上兩點A、B,則所有滿足PA/PB=k,且K不等于1的點P的軌跡,是一個圓心
在A、B兩個點的所在直線上的圓。這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),故稱
作阿氏圓
即PA=KPB,k不等于1,則P點軌跡是一個圓,可直接設(shè)點推導(dǎo)
1.(24-25?江蘇鹽城?模擬)已知圓C:x2+y2+6尤-4y+9=0,A是圓C上一動點,點3(3,0),M^為線段AB的
中點,則動點M的軌跡方程為()
A.x2+(y-l)2=4B.x2+(y-2)2=1
C.x2+(j-l)2=1D.(x-l)2+y2=1
【答案】C
【分析】令"(x,y),由題設(shè)得A(2x-3,2y),代入已知圓方程整理即可得動點M的軌跡方程;
【詳解】解:設(shè)M(x,y),為線段A3的中點,B(3,0),:.A(2x-3,2y),
而A是圓C上一動點,故(2x-3)2+4/+6(2尤一3)-8、+9=0,整理得:x2+y2-2y=Q,
即Y+⑶-ip=1,故動點M的軌跡方程為x2+(j-l)2=1.故選:C.
2.(24-25?遼寧沈陽?模擬)在VABC中,點8(-2,0),點C(2,0),點A滿足寥=0,則VABC面積的最
大值為()
A.4點B.8A/2C.4A/6D.8面
【答案】B
【分析】設(shè)A(x,y),根據(jù)廛=3,得到方程,求出點A的軌跡為以(6,0)為圓心,4應(yīng)為半徑的圓(除
去與X軸的兩個交點),數(shù)形結(jié)合得到點A到直線BC的距離最大值為40,求出面積的最大值.
【詳解】設(shè)A(x,y),則I=J(x+2[+y2,gq=1-2,
由器=3得J(x+2)1=&J(x—2『+y2,化簡得(^-6)2+/=32,
故點A的軌跡為以(6,0)為圓心,4夜為半徑的圓(除去與天軸的兩個交點),
故點A到直線BC的距離最大值為4應(yīng),故VMC面積的最大值為g忸。-4亞=)x4x4夜=8近.故選:B
3.(24-25?湖南郴州?模擬)已知線段AB的端點8的坐標(biāo)是(3,4),端點A在圓(x-l)。+(y-2『=4上運動,
則線段48的中點尸的軌跡方程為()
A.(X-2)?+(y-3)~=2B.(x-2/+(y-3y=1
C.(x-3)2+(y-4)2=lD.(x-5)2+(y-5)2=2
【答案】B
【分析】設(shè)出動點尸和動點A的坐標(biāo),找到動點尸和動點A坐標(biāo)的關(guān)系,再利用相關(guān)點法求解軌跡方程即可.
【詳解】設(shè)尸(x,y),A5,%),由中點坐標(biāo)公式得x=,
所以玉=2x—3,%=2y-4,故A(2x-3,2y-4),因為A在圓(x-lj+(y-2『=4上運動,
所以(2x-3-iy+(2y-4-2)2=4,化簡得(x-2『+(y-3『=1,故B正確.故選:B
4.(24-25?黑龍江佳木斯?模擬)公元前3世紀(jì),古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中,曾研究了
眾多的平面軌跡問題,其中有如下結(jié)果:平面內(nèi)到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓.后世
把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知直角坐標(biāo)系中4(-2,0),3(2,0),滿足1PH=2|尸耳的點尸的軌跡為C,則
下列結(jié)論正確的是()
A.點尸的軌跡是以C(T,o]為圓心,,=|為半徑的圓
B.軌跡C上的點到直線3尤-4y+5=0的最小距離為-
2
C.若點(x,y)在軌跡C上,則x+石y的最小值是-2
D.圓Y+(y-a)2=4與軌跡C有公共點,貝ij“的取值范圍是一Wiga4地
33
【答案】ACD
【分析】利用兩點距離公式計算可判定A,利用直線與圓的位置關(guān)系可判定B、C,利用兩圓的位置關(guān)系可
判定D.
【詳解】設(shè)PQ,y),由阿=2|PB|n(x+2)2+y2=4[(x_2)2+y2],
整理得卜-噂+好碎,顯然點尸的軌跡是以為圓心,r=|為半徑的圓,
故A正確;
圓心C*,o]到直線3x-4y+5=0的距離,3義二一0+58;
<3)a=-----------=3>r=—
53
Q1
所以軌跡C上的點到直線3%-4y+5=0的最小距離為d--=3-故B錯誤;
八八、|10」
設(shè),=x+易知圓心至U直線1=尤+J5y的距離[_|3|u0g一,一026],故C正確;
3
5.(24-25?重慶?模擬)已知點A(O,1),B(0,-l),C(0,-2),動點P滿足:IPA|+1尸81=10,且%122,
I尸A|
則點尸的軌跡長度為.
【答案】0
【分析】分別求出兩種條件下動點P滿足的軌跡方程,再結(jié)合圖形即可求解.
【詳解】因為|咫+|P8|=10>|AB|=2,所以動點尸的軌跡為橢圓,且2“=10,c=l,則。=5,c=l,所以
22
°2=25一」24,所以滿足|PA|+|PB|=10的動點尸的軌跡方程為工+工=1.
2425
22
IPCIJx+(y+2)9
設(shè)P(x,y),由丁工石之2,得、I22,整理得%2+y2_4y<0,即公+仆一?)<4,
川J-+「-1)2
所以滿足當(dāng)122的動點P的軌跡在以(0,2)為圓心,以2為半徑的圓上及圓的內(nèi)部,且不過(0,1)點.
I尸A|
如圖,動點尸的兩種軌跡沒有交點,則動點尸的軌跡不存在,因此點尸的軌跡長度為0.
故答案為:0.
題型三:兩圓位置關(guān)系
指I點I迷I津
兩圓的位置關(guān)系應(yīng)考慮圓心距ICC21和兩圓的半徑之間的關(guān)系:
回兩圓外離,|C;C2\>rv+r2
團(tuán)兩圓外切,貝UlGGI=z;+u;
團(tuán)兩圓相交,則|彳一馬|<202|<4+勺
回兩圓內(nèi)切,則|GC2H
團(tuán)兩圓內(nèi)含,則|GG|>h-引.
1.(24-25-江蘇揚州,模擬)若圓M:(尤-cos。)?+(y-sin02=1(0<0<2兀)與圓N:尤?+y?-2x-4y=0交于
A、B兩點,貝han—4VB的最大值為()
344
A.-B.—C.-D.-
4553
【答案】D
【分析】分析出圓M與圓N的公共弦AB,滿足當(dāng)M的坐標(biāo)為(1,0)時,|蝴=2,利用余弦定理
3
計算可得cosZAJVBNg,由余弦函數(shù)的單調(diào)性確定N/WB最大,即為tanN/WB最大,計算即可得出結(jié)果.
【詳解】Y+y2-2x-4y=0可化為(了-1)2+(、-2)2=5,故圓N的圓心為(1,2),半徑為百,
由題意可知:A3為圓M與圓N的公共弦,且圓M的半徑為1,
所以|用《2且故|AB|V2,當(dāng)M的坐標(biāo)為(1,0)時,|明=2,
在;MW中,cosNANB=N**.一.J0-AB-二,又/4A?e[0,兀],y=cosx在無?0,g上單調(diào)
2NA-NB105L」12」
3,兀兀、
遞減,故Z/WB為銳角,且當(dāng)COSZAA?=M時,ZAA?最大,又V=tanx在xe[-萬,]J上單調(diào)遞增,
4
所以當(dāng)ZAA8最大時,tan//WB取得最大值,且最大值為§.故選:D
2.(24-25?全國?模擬)已知圓M是與直線,:x+y-4=0,圓C:/+/-16x-12y+82=0都相切的半徑最小
的圓,則圓M的半徑和圓心坐標(biāo)分別是()
A.V2;(3,l)B,V3;(4,2)C.石;(3,1)D.0;(4,2)
[答案]D
【5析】根據(jù)題意做出垂線,得到垂線方程,后依據(jù)題意求出新圓的半徑,再建立方程組求出圓心即可.
【詳解】由題意得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y-6)2=18,所以半徑為3立,
如圖,過圓心C(8,6)作直線/的垂線,由題意得垂線斜率為1,
故設(shè)其方程為y=x+6,將(8,6)帶入其中,
可得6=8+/?,解得。=-2,所以垂線方程為y=x—2,因為求半徑最小的圓,所以圓A7的圓心在直線y-x—2
上,而圓心C到直線/的距離為d=母二=5&>30,故圓M的半徑為r=m二逑=應(yīng),
V1+12
n=m-2
=4
設(shè)圓心已知<悔+〃一4|S解得,即圓心M(4,2),故D正確.故選:D
〃二,
3.(2024?海南?模擬預(yù)測)已知點M,N在圓O:*+y2=4上,點尸(6+2cose,2sin。),6eR,則使得.PAW
是面積為3坦的等邊三角形的點尸的個數(shù)為()
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
【分析】由面積公式先得"N長,根據(jù)正三角形與圓的對稱性判定。、P、E三點共線,再根據(jù)兩圓的位置
關(guān)系判定即可.
【詳解】設(shè)中點為E,由正三角形面積公式可知¥|MN『=34=|知叫=2若,
由正三角形及圓的對稱性可知則O、p、E三點共線,
而卜號1退=3,|0目="b=1,因為尸(6+2cos6,2sin,),所以尸在以A(6,0)為圓心,2為半徑的圓
上,由圓的位置關(guān)系可知"£1逅=3,當(dāng)且僅當(dāng)尸(4,0)時取得,此時E(l,0),
即滿足條件的點p只有一個.故選:
4.(24-25?江蘇常州?模擬)已知直線[:~+常=1,圓O]:x2+y2=i,圓Q:(x-a)~+(y-6)~=1,a,6eR.
則下列說法正確的有()
A.若圓心。2在直線/上,則直線/與圓a相切
B.若圓心。2在圓。?內(nèi),則直線/與圓。|相離
C.若直線/與圓。]相切,則圓0]與圓。2相切
D.若直線/與圓。|相交,則圓心。2在圓。的卜
【答案】ABD
【分析】根據(jù)兩圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得兩圓圓心以及兩圓的半徑,根據(jù)點與圓、直線與圓的位置關(guān)系由點到直線
的距離公式計算對選項逐一進(jìn)行判斷,即可得出結(jié)論.
【詳解】對于A,易知圓心Q(0,0),半徑4=1,圓心QS,b),半徑為2=1;
若圓心。2在直線/上,可得/+〃=1;此時圓心Q(0,0)到直線I的距離為d=甘[=4=1,與半徑相等,
即直線/與圓a相切,即A正確;
對于B,若圓心。2在圓。1內(nèi)可得"+從<1,
此時圓心q(o,o)到直線/的距離為d=>』,即直線/與圓Q相離,即B正確;
1-11
對于c,若直線/與圓。|相切可得巧=J?={=1,即4+〃=i,
yjcr+b1
此時圓。1與圓。2的兩圓心距為口勾=”。-0)2+伍-0)2=1,滿足卜-4<iQQl<n+r2,此時兩圓相交,
即C錯誤;
1-11
對于D,若直線/與圓。|相交,可得d=/「,<1=4,可得4+〃>1;
則可得圓心Q(a,b)在圓Q:尤2+V=l外,即D正確.故選:ABD
5.(24-25?天津?模擬)在平面直角坐標(biāo)系尤0y中,若圓G:(x-2『+(y-l)2=l上存在點尸,且點尸關(guān)于直線
x+>=0的對稱點。在圓C?:(x+2)2+丁=/什>o)上,則廠的取值范圍是.
【答案】[遙一1,岔+1]
【分析】求出圓關(guān)于直線x+y=0的對稱圓G的圓心和半徑,則將問題轉(zhuǎn)化為a和C?有交點即可,由圓
和圓的位置關(guān)系的相關(guān)知識即可求解.
【詳解】圓£:(彳一2)2+(丫_1)2=1的圓心為。[(2,1),半徑為1,
它關(guān)于直線x+y=0的對稱圓C3的圓心為C3(T-2),半徑仍然為1,
22
圓C2:(x+2)2+y2=戶(r>0)的圓心為C2(-2,0),半徑為r,|C2C31=^(-1+2)+(-2-0)=75,
由題意得『一1區(qū)石4%+1|,解得逐-有+1.故答案為:[6一1,6+1]
題型四:兩圓公共弦及公切線
指I點I迷I津
公共弦直線:當(dāng)兩圓相交時,兩圓方程a2,V項系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程.
1.(24-25?全國?模擬)已知圓a:(x-iy+_/=4與圓Q:x2+V_4x+2y+3=0交于兩點,貝1」|人用=()
A.72B.2夜C.3近D.472
【答案】B
【分析】兩圓方程作差可得相交弦所在直線方程,利用垂徑定理可求得結(jié)果.
【詳解】兩圓方程作差可得直線48的方程為:2x-2y-6=0,即尤-y-3=0;
由圓。?方程可得其圓心Q(1,0),半徑r=2,
h-Q-3|廣_______________
.?.&到直線AB的距離d=J—1=6,:.\AB\=2y/r2-d2=242.
故選:B.
2.(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測)已知圓G:Y+y2=4,圓C2:/+/—以-4y+4=0,兩圓的公共弦所
在直線方程是()
A.x+y+2=0B.x+y—2=0C.x+y+l=0D.犬+y—1=0
【答案】B
【4析】兩圓方程作差即可.
【詳解】由圓G:Y+V=4,圓:尤之+y之—4x—4-y+4=0,
兩式作差得,4%+4y-4=4,即%+y—2=0,所以兩圓的公共弦所在直線方程是%+y-2=0.故選:B.
3.(24-25?湖南?模擬)圓C|:(x+l)2+(y+2)2=l與圓C2:(尤-21+(^-2)?=4的內(nèi)公切線長為()
A.3B.5C.726D.4
【答案】D
【分析】在平面直角坐標(biāo)系中作出兩個圓,由圖可知內(nèi)公切線一條為y軸,求公切線的長即可.
【詳解】如圖:由圖可知圓G與圓c2的內(nèi)公切線有一條為y軸,
則公切線的長為|4陰=4,方法二:|C£|=J(2+1)2+(2+2『=5,所以內(nèi)公切線的長為:
J|CC『-(2+1)2=:25-9=4故選:D
4.(24-25?重慶?開學(xué)考試)已知圓G:f+y2=l,C2:(x—3)2+。-3)2=/(廠>0),則下列說法正確的是()
A.當(dāng)r=l時,圓G與圓C?有2條公切線
B.當(dāng)廠=2時,>=1是圓C|與圓g的一條公切線
C.當(dāng)r=3時,圓C1與圓g相交
D.當(dāng)r=4時,圓G與圓G的公共弦所在直線的方程為y=-x+g
【答案】BD
【分析】由兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得它們的圓心和半徑,再根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系判斷出兩圓的位置關(guān)系,
即可得出公切線條數(shù),可判斷AC錯誤;利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系可得B正確,將兩圓方程相減
可得它們的公共弦所在直線的方程為y=+即D正確.
【詳解】由G:x2+y2=l可知圓心為c10,0),半徑為1;
由G:(X-3)2+(y—3)2=產(chǎn)&>0)可知圓心為(3,3),半徑為r,兩圓圓心距為|C?|=3&;
對于A,當(dāng)廠=1時,r+l=2<|GG|=3板,圓C1與圓Q相離,有4條公切線,所以A錯誤;
對于B,當(dāng)廠=2時;y=l與圓G相切,圓心C?(3,3)到y(tǒng)=l的距離為2,即y=l與圓G也相切,
所以y=i是圓G與圓G的一條公切線,即B正確;
對于C,當(dāng)r=3時,r+l=4<|C1C2|=35/2,圓C1與圓Q相離,即C錯誤;
對于D,當(dāng)r=4時,r-l=3<|C1C2|=3V2<r+l=5,此時兩圓相交,
圓Q的一般方程為d+V-6x-6y+2=0,與圓G的方程相減可得2x+2y-l=0,
化簡可得圓G與圓G的公共弦所在直線的方程為y=T+g,即D正確.
故選:BD
5.(24-25?山東濰坊?模擬)梵高《星月夜》用夸張的手法描繪了充滿運動和變化的星空.假設(shè)月亮可看作半
徑為1的圓。的一段圓弧E,且弧E所對的圓心角為三.設(shè)圓C的圓心C在點。與弧E中點的連線所在直線
上.若存在圓C滿足:弧E上存在四點滿足過這四點作圓。的切線,這四條切線與圓C也相切,則弧E上的
點與圓C上的點的最短距離的取值范圍為.
【答案】(0,君)
冗
【分析】由題意可知圓與圓相離,由弧E所對的圓心角為4桑,分析兩圓的外公切線與內(nèi)公切線及圓心C的
變化位置,通過構(gòu)造法求出cos如二叵口,分析計算可得弧E上的點與圓。上的點的最短距離.
54
TT27r
【詳解】如圖,構(gòu)造等腰三角形A3C,其中頂角NB4C=',則NA3C=NC=g,
A
/\\E過B作,ABC的角平分線8E交AC于E,則/£BC=W,/BEC=NC=g.
0Dc
故VABC與VBEC相似,不妨設(shè)=EC=x,則3E=AE=3C=2,AB^AC^2+x,
貝4半=空,即2?=(x+2)x,由x>0,解得了=6-1,則A3=6+1,貝lJcos@=^=)l-=避二1
ABBC5ABV5+14
由題意,弧E上存在四點滿足過這四點作圓。的切線,這四條切線與圓C也相切,則圓。與圓C有4條公
切線,即兩圓相離,且與圓。相切的切點均在弧E上.如圖,
設(shè)弧E的中點為Af,弧E所對的圓心角為,
圓。的半徑10M=1,在弧E上取兩點A,B,貝IJNAOBV當(dāng),
分別過點A,8作圓。的切線,由對稱性可知兩切線交直線于同一點,設(shè)為。,
當(dāng)過點A2的切線剛好是圓。與圓C的外公切線時,劣弧上一定還存在點S,T,使過點S,T的切線為兩
圓的內(nèi)公切線,則圓C的圓心C在線段V。上,且不包括端點,即1<|0。<10力-
過點C,分別向AD,即作垂線,垂足為氏尸,則CR即為圓C的半徑,由兩圓相離可知,0<|CR|<|CO]-1.
設(shè)線段OC交圓C于點N,則弧E上的點與圓C上的點的最短距離即為線段的長度.
,,IOAIIOAIIOAIi
\0D\=―!——!——=——I——!——<-I——L=_=75r+1
在RtAOD中,??cosZAODZAOB-2兀導(dǎo)、~,
cos---------cos-—__i
254
m\MN\=\OC\-\OM\-\CN\=\OC]-1-\C^,i
而0<|0。一1—|CR|<|OD]—1-046+1-1=6.故Ww|e(o,有)即弧E上的點與圓C上的點的最短距離的
取值范圍為(0,⑹.故答案為:(0,司.
【點睛】結(jié)論點睛:相離的兩個圓(圓心分別為。1和。2,半徑分別為R和「)上的兩個動點之間的距離L的
最小值是兩圓心之間的距離減去兩圓的半徑和,最大值是兩圓心之間的距離加上兩圓的半徑和,即
411n=IQQ|-RT,%=laQl+R+r.
題型五:到直線距離定值的圓上點
指I點I迷I津
解決圓上點到直線距離為定值的點的個數(shù),可以以下幾個圖形來理解和計算.注意,不同的數(shù)據(jù),圖形會
有出入,思維不變。
1.(24-25?全國?模擬)若圓C:(x-ay+(y-a)2=8上總存在兩個點到原點的距離均為后,則實數(shù)。的取
值范圍是()
A.(-3,60,3)B.(-3,3)
C.[-1,1]D.(―3,-1]u[1,3)
【答案】A
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系問題,再求解參數(shù)即可.
【詳解】到原點的距離為拒的點的軌跡為圓:%2+/=2,
因此圓C:(x-a)2+(y-a)2=8上總存在兩個點到原點的距離均為血,
轉(zhuǎn)化為圓C|:/+)?=2與圓0(了一0)2+(丫-0)2=8有兩個交點,
因為兩圓的圓心和半徑分別為6(0,0),[0,C(a,a),r=2y/2,
所以廠一”<|GC|<6+r,故血(也問<3后,解得-3<a<-l或l<a<3,
故實數(shù)a的取值范圍是(-3,-1)。。,3),故A正確.故選:A
2.(22-23高三?安徽滁州?模擬)如果圓(尤-a)2+(y-a)2=l(a>0)上總存在點到原點的距離為3,則實數(shù)。
的取值范圍為
A.[V2,2]B.[A/2,2A/2]C.D.[1,2回
【答案】B一一一
【分析】將圓上的點到原點的距離轉(zhuǎn)化為圓心到原點的距離加減半徑得到答案.
【詳解】(x-a)2+(y-a)2=l(a>0),圓心為(。,。)半徑為1圓心到原點的距離為:拒a
如果圓(彳-a)2+(了-a)2=1(。>0)上總存在點到原點的距離為3即圓心到原點的距離€[2,4]
即2<缶<4n忘4a42&故答案選B
【點睛】本題考查了圓上的點到原點的距離,轉(zhuǎn)化為圓心到原點的距離加減半徑是解題的關(guān)鍵.
3.(21-22高三?四川成都?模擬)若圓/+y2一以-4.丫-10=0上至少有三個不同的點到直線/:依+勿=。的距
離為20,則直線/的傾斜角的范圍是()
71、兀、
A.r——,——
1212
【答案】A
【分析】根據(jù)題意分析可得圓心到直線/的距離小于等于祀,再根據(jù)圓心到直線的距離列不等式求解直線/
的斜率,進(jìn)而求得傾斜角的范圍即可.
【詳解】將圓方程化為(x-2y+(y-2)2=18,圓心(2,2)泮徑3立,設(shè)直線/:"+外=0的斜率為鼠即直線/過
原點.可得原問題等價于圓心到直線/的距離小于等于血.
所以%也解得2-厲父<2+口傾斜角取值范圍為低,嗎.故選:A
J1+左2L1212」
【點睛】主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的運用,需要根據(jù)題意分析圓心到直線的距離的關(guān)系,屬于中檔題.
4.(2023?山西?模擬預(yù)測)已知圓C:d+(y—1)2=1,點。為直線/:依+y-203=。上的動點,則下列說法
正確的是()
A.圓心C到直線/的最大距離為8
B.若直線/平分圓C的周長,則左=-1__
C.若圓C上至少有三個點到直線/的距離為工,則一16一后<一16+商
21515
D.若左=1,過點。作圓C的兩條切線,切點為A,B,當(dāng)點。坐標(biāo)為(2,3)時,有最大值
【答案】BD
【分析】由圓C:Y+(y_iy=i,知圓心以0,1),半徑廠=1,由直線過圓心可求左,從而判斷B;
/:日+、-2左-3=。恒過定點r(2,3),可求點C到直線/的最大距離,判斷A;由已知圓心到直線的距離dW;,
r1
可求上的范圍判斷C;利用sinNAQC=^=同,從而可求IQC|最小時。的位置判斷D.
【詳解】由圓C:1+(y—1『=1,知圓心C(0,l),半徑r=1,
對于A,直線/:丘+y-2左-3=0恒過定點尸(2,3),.?.點C到直線/的最大距離為|尸(?|=而=2&,故人不正確;
對于B,直線/平分圓C的周長,則直線過圓心C,1-2后-3=0,解得上=一1,故B正確;
對于c,若圓c上至少有三個點到直線/的距離為;,則圓心到直線的距離dV;,
J”片丁號,解得T6-6Tw-16+6T,故c錯誤;
〃-+121515
r1
對于D,NAQB=2NAQC,要使NAQ3最大,只
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