圓與直線綜合-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識清單（解析版）

專題21圓與直線綜合

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目錄

題型一：點與圓的位置............................................................................1

題型二：圓軌跡方程及阿圓........................................................................4

題型三：兩圓位置關(guān)系............................................................................6

題型四：兩圓公共弦及公切線......................................................................8

題型五：到直線距離定值的圓上點.................................................................11

題型六：圓與直線：弦心距最值范圍...............................................................13

題型七：圓與直線：弦心角型范圍.................................................................16

題型八：圓與直線：弦三角形面積范圍.............................................................18

題型九：折線系數(shù)不同型“將軍飲馬”.............................................................21

題型十：圓切線：切線長范圍.....................................................................25

題型十一：圓切線：切點弦方程...................................................................28

題型十二：圓切線：切點三角形、四邊形最值.......................................................31

題型十三：圓切線：切點弦求參范圍...............................................................37

題型十四：圓切線：角度范圍最值.................................................................41

題型十五：圓切線：三角型旋轉(zhuǎn)切線...............................................................43

題型十六：圓過定點............................................................................46

^突圍?錯;住蝗分

題型一：點與圓的位置

:指I點I迷I津

；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（元—〃）2+。一份2=/,一般方程/+'2+m+舒+/=0,點MQo，州），則有：

（1）點在圓上：（X0—〃）2+（yo一份2=\,xo2+yo2+￡＞xo+Eyo+F=O；

（2）點在圓外：（XQ—4）2+（yo—。）2＞d,x^+yo^+Dxo+Eyo+FX）；

22

〕（3）點在圓內(nèi)：（的一02+（%—力2＜凡xo+yo+￡＞xo+Eyo+F＜O.

；容易錯誤的點：

U:一——定——要——把—圓——配——成——標(biāo)—準(zhǔn)——形——式——，—保——證——右——邊—是——正——數(shù)——（—半—徑——平——方—有——意——義——）—————————————————————————————

1.（24-25?江西?模擬）若點尸（-1,2）在圓。：f+y2+x+y+加=0的外部，則加的取值可能為（）

A.5B.1C.-4D.-7

［答案］c

【彳析】根據(jù)點在圓外及方程表示圓求出機(jī)的范圍得解.

【詳解】因為點尸（Ta）在圓Cf+y2+%+y+根=0的外部，

所以（—1）2+22—1+2+加＞0,解得機(jī)＞-6,

又方程表示圓，則1+1-4帆＞0,即機(jī)＜匕

2

所以-6〈根＜工，結(jié)合選項可知，加的取值可以為-4.

2

故選：C

2.（24-25?河北唐山?模擬）已知圓C的方程為％2+,2一2次x+4ey+5療-3根+3=0,若點（1,一2m）在圓外,

則加的取值范圍是（）

A.（^?,l）L（4,+oo）B.（0,+e）

C.（1,4）D.（4,4W）

【答案】D

【分析】化簡得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（元-m）2+（丁+2根）2=3m-3,根據(jù)題意，列出不等式，即可求解.

【詳解】由圓C的方程為兀2+/一2煙+4ky+5加2一3機(jī)+3=。,

可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（工-根）2+（y+2加產(chǎn)=3m-3,所以3機(jī)?3>0,解得相>1,

因為點（1,一2祇）在圓外，可得（1-加尸+（-2加+2機(jī)尸>3m-3,

整理得加之一5m+4>0,角軍得機(jī)>4或m<1,

綜上可得，實數(shù)相的取值范圍是（4,內(nèi)）.

故選：D.

3.（24-25,浙江?模擬）已知點尸（0,2）關(guān)于直線％-y+l=0對稱的點。在圓C：￥十丁加=。外，則實數(shù)

機(jī)的取值范圍是（）

A.m>—4B.m<lC.-4<m<1D.機(jī)<-4或m>1

【答案】C

【分析】設(shè)。（。力），利用點關(guān)于線對稱列方程求得。坐標(biāo)，代入圓方程得出不等式計算即可.

【詳解】設(shè)點尸（。,2）關(guān)于直線%—y+l=0對稱的點。（。力），貝Ib+2，解得，=1/=1.

因為。（1』）在。外，所以1+1+2+w>0,可得加>—4

且+y2+2犬+加=0表示圓可得4+0—4機(jī)>0,即得用<1

綜上可得-4V機(jī)V1.

故選：C.

4.（24-25?江蘇南京?模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知動圓C:（x-2m-l）2+（y-m-l）2=4m2（m^0）則

下列說法正確的是（）

A.存在圓。經(jīng)過原點

B.存在圓C,其所有點均在第一象限

C.存在定直線/,被圓。截得的弦長為定值

D.所有動圓。有兩條公切線

【答案】ABD

【分析】對于A選項：將（0,0）代入圓C方程，求得加，即可判斷;

2m+1>0

m+1>0

對于B選項：根據(jù)圓C所有點均在第一象限得到2m+l>2|m|,即可判斷;

m+1>2|m|

機(jī)w0

對于C選項：當(dāng)定直線/的斜率存在，設(shè)直線/：y=kx+b,當(dāng)定直線/的斜率不存在，設(shè)直線=由

垂徑定理和勾股定理得到弦長L,要使弦長L為定值，則弦長L與加無關(guān)，得到關(guān)于左和6的方程組，即可

求解；

對于D選項：求出所有動圓C的公切線，即可求解.

【詳解】對于A選項：若圓。經(jīng)過原點，則（0—2機(jī)—1）2+（0—機(jī)—1）2=4/，

化簡得：m2+6m+2=0?解得：m=-3±V7，

所以當(dāng)相=-3±J7時，圓。經(jīng)過原點，所以A選項正確；

對于B選項：由題意得圓C的圓心。（2機(jī)+1,m+1）,半徑廠=2同（m^O）,

1

m>——

2m+1>02

m>-1

m+1>0

1,即一工＜加＜且相。所以當(dāng)

若圓。上的所有點均在第一象限，貝IJ2m+l>2|m|,解得：,m>——10,

4

m+1>2|m|4

1

——<m<1

m03

mwO

mG時，圓C上的所有點均在第一象限，所以B選項正確;

對于C選項：當(dāng)定直線/的斜率存在，設(shè)存在定直線/：y=kx+b,被圓C截得的弦長為定值,

則圓心。（2加+1,加+1）到直線I的距離d=-----』一——』一L

則弦長-24^-2、而(4疝+強(qiáng)+1產(chǎn)+。-*以+2左(2〃?+1)9-*1)

-vF+1

(4k+3)irT+(-4k23*+6k-4bk+2b-2)m+(-k2+2k-2bk-b2+2b-l)

即L=2

k2+l

%」

3+4左=0刀,口4

要使弦長L為定值，則弦長工與加無關(guān)，所以-4k2+6k-4bk+2b-2=0f解付：K

b=L

4

此時弦長L-2產(chǎn)+21+五=0,不存在定直線/：y=kx+b,被圓C截得的弦長為定值,

V%+1

當(dāng)定直線/的斜率不存在，設(shè)直線/：X=t,則圓心。（2〃2+1,7〃+1）到直線/的距離[=|2"+1-/

所以弦長L=2,戶—屋=2{4病_（2m+]—）2=J_4（T）〃L（1T）2,要使弦長L為定值，則弦長L與加無

關(guān)，BPr=l,此時弦長L=0,綜上：不存在定直線/,被圓C截得的弦長為定值，所以C選項錯誤；

對于D選項：若所有動圓C存在公切線，當(dāng)切線斜率不存在時，x=l滿足題意；

切線斜率存在時，且圓心C到它的距離等于半徑，結(jié)合C選項的證明可得：d=r,即

+[4k2+4bk-6k-2.b+i)m+^k2+2bk-2k+b2-1b+i)=0,

―[*_3=0~一

若所有動圓C存在公切線，則上式對V/neR恒成立，則，門°…解得：,

4左+4。左一6左一26+2=077

[4

止匕時/一26左一2左+。2-26+1=0,

37

綜上：所有動圓C存在公切線，其方程為y=+—或x=l,所以D選項正確,

44

故選:ABD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：求出弦長及公切線的關(guān)鍵點是應(yīng)用點到直線距離公式.

5.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）點尸（1,-。）關(guān)于直線彳-＞=。的對稱點在圓0-2）2+0-4）2=13內(nèi)，則實

數(shù)。的取值范圍是.

【答案】（-4,0）

【分析】根據(jù)題意利用軸對稱的性質(zhì)算出對稱點。的坐標(biāo)，結(jié)合點。在已知圓的內(nèi)部，建立關(guān)于。的不等

式，解出實數(shù)。的取值范圍.

m+1n-a八

-----------=0

22m=—a/、

【詳解】設(shè)。(牡〃)與尸(L-。)關(guān)于直線x-y=O對稱，則<，解得,,即0(—4,1),

-a-nn=l

-----=—1

1—m

因為0(-。,1)在圓(x-2)2+(y-4)2=13的內(nèi)部,

所以(-"2>+(1-4)2<13,解得-4<a<0,即實數(shù)。的取值范圍是㈠⑼.

故答案為：(-4,0).

題型二：圓軌跡方程及阿圓

指I點I迷I津

已知平面上兩點A、B,則所有滿足PA/PB=k,且K不等于1的點P的軌跡，是一個圓心

在A、B兩個點的所在直線上的圓。這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱

作阿氏圓

即PA=KPB,k不等于1,則P點軌跡是一個圓，可直接設(shè)點推導(dǎo)

1.(24-25?江蘇鹽城?模擬)已知圓C:x2+y2+6尤-4y+9=0,A是圓C上一動點，點3(3,0),M^為線段AB的

中點，則動點M的軌跡方程為()

A.x2+(y-l)2=4B.x2+(y-2)2=1

C.x2+(j-l)2=1D.(x-l)2+y2=1

【答案】C

【分析】令"(x，y),由題設(shè)得A(2x-3,2y),代入已知圓方程整理即可得動點M的軌跡方程；

【詳解】解：設(shè)M(x,y),為線段A3的中點，B(3,0),：.A(2x-3,2y),

而A是圓C上一動點，故(2x-3)2+4/+6(2尤一3)-8、+9=0,整理得：x2+y2-2y=Q,

即Y+⑶-ip=1,故動點M的軌跡方程為x2+(j-l)2=1.故選:C.

2.(24-25?遼寧沈陽?模擬)在VABC中，點8(-2,0),點C(2,0),點A滿足寥=0,則VABC面積的最

大值為()

A.4點B.8A/2C.4A/6D.8面

【答案】B

【分析】設(shè)A(x,y),根據(jù)廛=3,得到方程，求出點A的軌跡為以(6,0)為圓心，4應(yīng)為半徑的圓(除

去與X軸的兩個交點)，數(shù)形結(jié)合得到點A到直線BC的距離最大值為40,求出面積的最大值.

【詳解】設(shè)A(x,y)，則I=J(x+2[+y2,gq=1-2,

由器=3得J(x+2)1=&J(x—2『+y2，化簡得(^-6)2+/=32,

故點A的軌跡為以(6,0)為圓心，4夜為半徑的圓(除去與天軸的兩個交點)，

故點A到直線BC的距離最大值為4應(yīng)，故VMC面積的最大值為g忸。-4亞=)x4x4夜=8近.故選：B

3.(24-25?湖南郴州?模擬)已知線段AB的端點8的坐標(biāo)是(3,4),端點A在圓(x-l)。+(y-2『=4上運動,

則線段48的中點尸的軌跡方程為()

A.(X-2)?+(y-3)~=2B.(x-2/+(y-3y=1

C.(x-3)2+(y-4)2=lD.(x-5)2+(y-5)2=2

【答案】B

【分析】設(shè)出動點尸和動點A的坐標(biāo)，找到動點尸和動點A坐標(biāo)的關(guān)系，再利用相關(guān)點法求解軌跡方程即可.

【詳解】設(shè)尸(x,y),A5,％),由中點坐標(biāo)公式得x=,

所以玉=2x—3,%=2y-4,故A(2x-3,2y-4),因為A在圓(x-lj+(y-2『=4上運動，

所以(2x-3-iy+(2y-4-2)2=4,化簡得(x-2『+(y-3『=1,故B正確.故選：B

4.(24-25?黑龍江佳木斯?模擬)公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，曾研究了

眾多的平面軌跡問題，其中有如下結(jié)果：平面內(nèi)到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓.后世

把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知直角坐標(biāo)系中4(-2,0),3(2,0),滿足1PH=2|尸耳的點尸的軌跡為C,則

下列結(jié)論正確的是()

A.點尸的軌跡是以C(T，o]為圓心，,=|為半徑的圓

B.軌跡C上的點到直線3尤-4y+5=0的最小距離為-

2

C.若點(x,y)在軌跡C上，則x+石y的最小值是-2

D.圓Y+(y-a)2=4與軌跡C有公共點，貝ij“的取值范圍是一Wiga4地

33

【答案】ACD

【分析】利用兩點距離公式計算可判定A,利用直線與圓的位置關(guān)系可判定B、C,利用兩圓的位置關(guān)系可

判定D.

【詳解】設(shè)PQ,y),由阿=2|PB|n(x+2)2+y2=4[(x_2)2+y2],

整理得卜-噂+好碎，顯然點尸的軌跡是以為圓心，r=|為半徑的圓，

故A正確；

圓心C*,o]到直線3x-4y+5=0的距離,3義二一0+58；

<3)a=-----------=3>r=—

53

Q1

所以軌跡C上的點到直線3%-4y+5=0的最小距離為d--=3-故B錯誤；

八八、|10」

設(shè)，=x+易知圓心至U直線1=尤+J5y的距離[_|3|u0g一，一026],故C正確；

3

5.（24-25?重慶?模擬）已知點A（O,1）,B（0,-l）,C（0,-2）,動點P滿足：IPA|+1尸81=10,且%122,

I尸A|

則點尸的軌跡長度為.

【答案】0

【分析】分別求出兩種條件下動點P滿足的軌跡方程，再結(jié)合圖形即可求解.

【詳解】因為|咫+|P8|=10>|AB|=2,所以動點尸的軌跡為橢圓，且2“=10,c=l,則。=5,c=l,所以

22

°2=25一」24,所以滿足|PA|+|PB|=10的動點尸的軌跡方程為工+工=1.

2425

22

IPCIJx+（y+2）9

設(shè)P（x,y）,由丁工石之2,得、I22,整理得％2+y2_4y<0,即公+仆一？）<4,

川J-+「-1）2

所以滿足當(dāng)122的動點P的軌跡在以（0,2）為圓心，以2為半徑的圓上及圓的內(nèi)部，且不過（0,1）點.

I尸A|

如圖，動點尸的兩種軌跡沒有交點，則動點尸的軌跡不存在，因此點尸的軌跡長度為0.

故答案為：0.

題型三：兩圓位置關(guān)系

指I點I迷I津

兩圓的位置關(guān)系應(yīng)考慮圓心距ICC21和兩圓的半徑之間的關(guān)系：

回兩圓外離，|C；C2\>rv+r2

團(tuán)兩圓外切，貝UlGGI=z；+u；

團(tuán)兩圓相交，則|彳一馬|<202|<4+勺

回兩圓內(nèi)切,則|GC2H

團(tuán)兩圓內(nèi)含，則|GG|>h-引.

1.（24-25-江蘇揚州,模擬）若圓M:（尤-cos。）？+（y-sin02=1（0<0<2兀）與圓N:尤？+y?-2x-4y=0交于

A、B兩點,貝han—4VB的最大值為（）

344

A.-B.—C.-D.-

4553

【答案】D

【分析】分析出圓M與圓N的公共弦AB,滿足當(dāng)M的坐標(biāo)為（1,0）時，|蝴=2,利用余弦定理

3

計算可得cosZAJVBNg，由余弦函數(shù)的單調(diào)性確定N/WB最大，即為tanN/WB最大，計算即可得出結(jié)果.

【詳解】Y+y2-2x-4y=0可化為（了-1）2+（、-2）2=5,故圓N的圓心為（1,2）,半徑為百，

由題意可知：A3為圓M與圓N的公共弦，且圓M的半徑為1,

所以|用《2且故|AB|V2,當(dāng)M的坐標(biāo)為（1,0）時，|明=2,

在；MW中，cosNANB=N**.一.J0-AB-二,又/4A?e[0,兀],y=cosx在無?0,g上單調(diào)

2NA-NB105L」12」

3，兀兀、

遞減，故Z/WB為銳角，且當(dāng)COSZAA?=M時，ZAA?最大，又V=tanx在xe[-萬,]J上單調(diào)遞增，

4

所以當(dāng)ZAA8最大時，tan//WB取得最大值，且最大值為§.故選：D

2.（24-25?全國?模擬）已知圓M是與直線，：x+y-4=0,圓C:/+/-16x-12y+82=0都相切的半徑最小

的圓，則圓M的半徑和圓心坐標(biāo)分別是（）

A.V2;（3,l）B,V3;（4,2）C.石;（3,1）D.0;（4,2）

[答案]D

【5析】根據(jù)題意做出垂線，得到垂線方程，后依據(jù)題意求出新圓的半徑，再建立方程組求出圓心即可.

【詳解】由題意得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-8）2+（y-6）2=18,所以半徑為3立，

如圖，過圓心C（8,6）作直線/的垂線，由題意得垂線斜率為1,

故設(shè)其方程為y=x+6,將（8,6）帶入其中,

可得6=8+/?,解得。=-2,所以垂線方程為y=x—2,因為求半徑最小的圓，所以圓A7的圓心在直線y-x—2

上，而圓心C到直線/的距離為d=母二=5&>30,故圓M的半徑為r=m二逑=應(yīng)，

V1+12

n=m-2

=4

設(shè)圓心已知<悔+〃一4|S解得,即圓心M（4,2）,故D正確.故選：D

〃二，

3.（2024?海南?模擬預(yù)測）已知點M,N在圓O:*+y2=4上，點尸（6+2cose,2sin。），6eR,則使得.PAW

是面積為3坦的等邊三角形的點尸的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】由面積公式先得"N長，根據(jù)正三角形與圓的對稱性判定。、P、E三點共線，再根據(jù)兩圓的位置

關(guān)系判定即可.

【詳解】設(shè)中點為E,由正三角形面積公式可知￥|MN『=34=|知叫=2若，

由正三角形及圓的對稱性可知則O、p、E三點共線，

而卜號1退=3,|0目="b=1,因為尸（6+2cos6,2sin，），所以尸在以A（6,0）為圓心，2為半徑的圓

上，由圓的位置關(guān)系可知"￡1逅=3,當(dāng)且僅當(dāng)尸（4,0）時取得，此時E（l,0）,

即滿足條件的點p只有一個.故選:

4.（24-25?江蘇常州?模擬）已知直線［：~+常=1,圓O］：x2+y2=i,圓Q：(x-a)~+(y-6)~=1,a,6eR.

則下列說法正確的有（）

A.若圓心。2在直線/上，則直線/與圓a相切

B.若圓心。2在圓。?內(nèi)，則直線/與圓。|相離

C.若直線/與圓。］相切，則圓0］與圓。2相切

D.若直線/與圓。|相交，則圓心。2在圓。的卜

【答案】ABD

【分析】根據(jù)兩圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得兩圓圓心以及兩圓的半徑，根據(jù)點與圓、直線與圓的位置關(guān)系由點到直線

的距離公式計算對選項逐一進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

【詳解】對于A,易知圓心Q（0,0）,半徑4=1,圓心QS，b），半徑為2=1；

若圓心。2在直線/上，可得/+〃=1；此時圓心Q（0,0）到直線I的距離為d=甘［=4=1，與半徑相等，

即直線/與圓a相切，即A正確;

對于B,若圓心。2在圓。1內(nèi)可得"+從<1,

此時圓心q（o,o）到直線/的距離為d=>』,即直線/與圓Q相離，即B正確；

1-11

對于c,若直線/與圓。|相切可得巧=J?={=1,即4+〃=i,

yjcr+b1

此時圓。1與圓。2的兩圓心距為口勾=”。-0）2+伍-0）2=1，滿足卜-4<iQQl<n+r2,此時兩圓相交，

即C錯誤；

1-11

對于D,若直線/與圓。|相交，可得d=/「，<1=4,可得4+〃>1；

則可得圓心Q（a,b）在圓Q：尤2+V=l外，即D正確.故選：ABD

5.（24-25?天津?模擬）在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，若圓G：（x-2『+（y-l）2=l上存在點尸，且點尸關(guān)于直線

x+>=0的對稱點。在圓C?:（x+2）2+丁=/什>o）上，則廠的取值范圍是.

【答案】［遙一1,岔+1］

【分析】求出圓關(guān)于直線x+y=0的對稱圓G的圓心和半徑，則將問題轉(zhuǎn)化為a和C?有交點即可，由圓

和圓的位置關(guān)系的相關(guān)知識即可求解.

【詳解】圓￡:（彳一2）2+（丫_1）2=1的圓心為。［（2,1）,半徑為1,

它關(guān)于直線x+y=0的對稱圓C3的圓心為C3（T-2）,半徑仍然為1,

22

圓C2：（x+2）2+y2=戶（r>0）的圓心為C2（-2,0）,半徑為r,|C2C31=^（-1+2）+（-2-0）=75,

由題意得『一1區(qū)石4%+1|,解得逐-有+1.故答案為：［6一1,6+1］

題型四：兩圓公共弦及公切線

指I點I迷I津

公共弦直線：當(dāng)兩圓相交時，兩圓方程a2,V項系數(shù)相同）相減便可得公共弦所在直線的方程.

1.（24-25?全國?模擬）已知圓a：（x-iy+_/=4與圓Q:x2+V_4x+2y+3=0交于兩點，貝1」|人用=（）

A.72B.2夜C.3近D.472

【答案】B

【分析】兩圓方程作差可得相交弦所在直線方程，利用垂徑定理可求得結(jié)果.

【詳解】兩圓方程作差可得直線48的方程為：2x-2y-6=0,即尤-y-3=0；

由圓。?方程可得其圓心Q（1,0）,半徑r=2,

h-Q-3|廣_______________

.?.&到直線AB的距離d=J—1=6,:.\AB\=2y/r2-d2=242.

故選：B.

2.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）已知圓G：Y+y2=4,圓C2：/+/—以-4y+4=0,兩圓的公共弦所

在直線方程是（）

A.x+y+2=0B.x+y—2=0C.x+y+l=0D.犬+y—1=0

【答案】B

【4析】兩圓方程作差即可.

【詳解】由圓G：Y+V=4,圓：尤之+y之—4x—4-y+4=0,

兩式作差得，4%+4y-4=4,即％+y—2=0,所以兩圓的公共弦所在直線方程是％+y-2=0.故選：B.

3.（24-25?湖南?模擬）圓C|：（x+l）2+（y+2）2=l與圓C2：（尤-21+（^-2）?=4的內(nèi)公切線長為（）

A.3B.5C.726D.4

【答案】D

【分析】在平面直角坐標(biāo)系中作出兩個圓，由圖可知內(nèi)公切線一條為y軸，求公切線的長即可.

【詳解】如圖:由圖可知圓G與圓c2的內(nèi)公切線有一條為y軸,

則公切線的長為|4陰=4,方法二：|C￡|=J（2+1）2+（2+2『=5,所以內(nèi)公切線的長為:

J|CC『-（2+1）2=:25-9=4故選:D

4.（24-25?重慶?開學(xué)考試）已知圓G：f+y2=l,C2：（x—3）2+。-3）2=/（廠＞0）,則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)r=l時，圓G與圓C?有2條公切線

B.當(dāng)廠=2時，＞=1是圓C|與圓g的一條公切線

C.當(dāng)r=3時，圓C1與圓g相交

D.當(dāng)r=4時，圓G與圓G的公共弦所在直線的方程為y=-x+g

【答案】BD

【分析】由兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得它們的圓心和半徑，再根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系判斷出兩圓的位置關(guān)系，

即可得出公切線條數(shù)，可判斷AC錯誤；利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系可得B正確，將兩圓方程相減

可得它們的公共弦所在直線的方程為y=+即D正確.

【詳解】由G：x2+y2=l可知圓心為c10,0）,半徑為1；

由G：（X-3）2+（y—3）2=產(chǎn)&>0）可知圓心為（3,3）,半徑為r,兩圓圓心距為|C?|=3&;

對于A,當(dāng)廠=1時，r+l=2<|GG|=3板，圓C1與圓Q相離，有4條公切線，所以A錯誤；

對于B,當(dāng)廠=2時;y=l與圓G相切，圓心C?（3,3）到y(tǒng)=l的距離為2,即y=l與圓G也相切,

所以y=i是圓G與圓G的一條公切線，即B正確；

對于C,當(dāng)r=3時，r+l=4<|C1C2|=35/2,圓C1與圓Q相離，即C錯誤；

對于D,當(dāng)r=4時，r-l=3<|C1C2|=3V2<r+l=5,此時兩圓相交，

圓Q的一般方程為d+V-6x-6y+2=0,與圓G的方程相減可得2x+2y-l=0,

化簡可得圓G與圓G的公共弦所在直線的方程為y=T+g,即D正確.

故選：BD

5.（24-25?山東濰坊?模擬）梵高《星月夜》用夸張的手法描繪了充滿運動和變化的星空.假設(shè)月亮可看作半

徑為1的圓。的一段圓弧E,且弧E所對的圓心角為三.設(shè)圓C的圓心C在點。與弧E中點的連線所在直線

上.若存在圓C滿足：弧E上存在四點滿足過這四點作圓。的切線，這四條切線與圓C也相切，則弧E上的

點與圓C上的點的最短距離的取值范圍為.

【答案】（0,君）

冗

【分析】由題意可知圓與圓相離，由弧E所對的圓心角為4桑，分析兩圓的外公切線與內(nèi)公切線及圓心C的

變化位置，通過構(gòu)造法求出cos如二叵口，分析計算可得弧E上的點與圓。上的點的最短距離.

54

TT27r

【詳解】如圖，構(gòu)造等腰三角形A3C,其中頂角NB4C='，則NA3C=NC=g,

A

/\\E過B作，ABC的角平分線8E交AC于E,則/￡BC=W，/BEC=NC=g.

0Dc

故VABC與VBEC相似，不妨設(shè)=EC=x,則3E=AE=3C=2,AB^AC^2+x,

貝4半=空，即2?=（x+2）x,由x>0,解得了=6-1,則A3=6+1,貝lJcos@=^=）l-=避二1

ABBC5ABV5+14

由題意，弧E上存在四點滿足過這四點作圓。的切線，這四條切線與圓C也相切，則圓。與圓C有4條公

切線，即兩圓相離，且與圓。相切的切點均在弧E上.如圖，

設(shè)弧E的中點為Af,弧E所對的圓心角為,

圓。的半徑10M=1,在弧E上取兩點A,B,貝IJNAOBV當(dāng)，

分別過點A,8作圓。的切線，由對稱性可知兩切線交直線于同一點，設(shè)為。，

當(dāng)過點A2的切線剛好是圓。與圓C的外公切線時，劣弧上一定還存在點S,T,使過點S,T的切線為兩

圓的內(nèi)公切線，則圓C的圓心C在線段V。上，且不包括端點，即1<|0。<10力-

過點C,分別向AD,即作垂線，垂足為氏尸，則CR即為圓C的半徑，由兩圓相離可知，0<|CR|<|CO]-1.

設(shè)線段OC交圓C于點N,則弧E上的點與圓C上的點的最短距離即為線段的長度.

,,IOAIIOAIIOAIi

\0D\=―!——!——=——I——!——<-I——L=_=75r+1

在RtAOD中，??cosZAODZAOB-2兀導(dǎo)、~,

cos---------cos-—__i

254

m\MN\=\OC\-\OM\-\CN\=\OC]-1-\C^,i

而0<|0。一1—|CR|<|OD]—1-046+1-1=6.故Ww|e（o,有）即弧E上的點與圓C上的點的最短距離的

取值范圍為（0,⑹.故答案為：（0，司.

【點睛】結(jié)論點睛：相離的兩個圓（圓心分別為。1和。2,半徑分別為R和「）上的兩個動點之間的距離L的

最小值是兩圓心之間的距離減去兩圓的半徑和，最大值是兩圓心之間的距離加上兩圓的半徑和，即

411n=IQQ|-RT，%=laQl+R+r.

題型五：到直線距離定值的圓上點

指I點I迷I津

解決圓上點到直線距離為定值的點的個數(shù)，可以以下幾個圖形來理解和計算.注意，不同的數(shù)據(jù)，圖形會

有出入，思維不變。

1.（24-25?全國?模擬）若圓C：（x-ay+（y-a）2=8上總存在兩個點到原點的距離均為后，則實數(shù)。的取

值范圍是（）

A.(-3,60,3)B.(-3,3)

C.[-1,1]D.(―3,-1]u[1,3)

【答案】A

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系問題，再求解參數(shù)即可.

【詳解】到原點的距離為拒的點的軌跡為圓：%2+/=2,

因此圓C：（x-a）2+（y-a）2=8上總存在兩個點到原點的距離均為血，

轉(zhuǎn)化為圓C|：/+）?=2與圓0（了一0）2+（丫-0）2=8有兩個交點，

因為兩圓的圓心和半徑分別為6（0,0）,[0,C（a,a）,r=2y/2,

所以廠一”<|GC|<6+r,故血（也問<3后，解得-3<a<-l或l<a<3,

故實數(shù)a的取值范圍是（-3,-1）。。，3）,故A正確.故選：A

2.（22-23高三?安徽滁州?模擬）如果圓（尤-a）2+（y-a）2=l（a＞0）上總存在點到原點的距離為3,則實數(shù)。

的取值范圍為

A.[V2,2]B.[A/2,2A/2]C.D.[1,2回

【答案】B一一一

【分析】將圓上的點到原點的距離轉(zhuǎn)化為圓心到原點的距離加減半徑得到答案.

【詳解】（x-a）2+（y-a）2=l（a＞0）,圓心為（。,。）半徑為1圓心到原點的距離為：拒a

如果圓（彳-a）2+（了-a）2=1（。＞0）上總存在點到原點的距離為3即圓心到原點的距離€[2,4]

即2＜缶＜4n忘4a42&故答案選B

【點睛】本題考查了圓上的點到原點的距離，轉(zhuǎn)化為圓心到原點的距離加減半徑是解題的關(guān)鍵.

3.（21-22高三?四川成都?模擬）若圓/+y2一以-4.丫-10=0上至少有三個不同的點到直線/：依+勿=。的距

離為20，則直線/的傾斜角的范圍是（）

71、兀、

A.r——，——

1212

【答案】A

【分析】根據(jù)題意分析可得圓心到直線/的距離小于等于祀,再根據(jù)圓心到直線的距離列不等式求解直線/

的斜率，進(jìn)而求得傾斜角的范圍即可.

【詳解】將圓方程化為（x-2y+（y-2）2=18,圓心（2,2）泮徑3立,設(shè)直線/："+外=0的斜率為鼠即直線/過

原點.可得原問題等價于圓心到直線/的距離小于等于血.

所以%也解得2-厲父＜2+口傾斜角取值范圍為低，嗎.故選：A

J1+左2L1212」

【點睛】主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的運用，需要根據(jù)題意分析圓心到直線的距離的關(guān)系,屬于中檔題.

4.（2023?山西?模擬預(yù)測）已知圓C:d+（y—1）2=1,點。為直線/:依+y-203=。上的動點，則下列說法

正確的是（）

A.圓心C到直線/的最大距離為8

B.若直線/平分圓C的周長，則左=-1__

C.若圓C上至少有三個點到直線/的距離為工，則一16一后＜一16+商

21515

D.若左=1,過點。作圓C的兩條切線，切點為A,B,當(dāng)點。坐標(biāo)為（2,3）時，有最大值

【答案】BD

【分析】由圓C:Y+（y_iy=i,知圓心以0,1）,半徑廠=1,由直線過圓心可求左，從而判斷B；

/:日+、-2左-3=。恒過定點r（2,3）,可求點C到直線/的最大距離，判斷A；由已知圓心到直線的距離dW；,

r1

可求上的范圍判斷C；利用sinNAQC=^=同,從而可求IQC|最小時。的位置判斷D.

【詳解】由圓C:1+（y—1『=1,知圓心C（0,l）,半徑r=1,

對于A,直線/：丘+y-2左-3=0恒過定點尸（2,3）,.?.點C到直線/的最大距離為|尸（?|=而=2&,故人不正確；

對于B,直線/平分圓C的周長，則直線過圓心C,1-2后-3=0,解得上=一1,故B正確；

對于c,若圓c上至少有三個點到直線/的距離為;，則圓心到直線的距離dV；,

J”片丁號,解得T6-6Tw-16+6T,故c錯誤；

〃-+121515

r1

對于D,NAQB=2NAQC,要使NAQ3最大，只