浙教版七年級數(shù)學(xué)常見題型專練：實數(shù)的運算（5種題型）（解析版）

第14講實數(shù)的運算（5種題型）

【知識梳理】

有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實數(shù).

當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運算，而且正

數(shù)及0可以進行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進行開立方運算.在進行實數(shù)的運算時，有理數(shù)的運算法則

及運算性質(zhì)等同樣適用.

【考點剖析】

題型一：實數(shù)的混合混算

例1.計算：

（1）癇=—.（2）4+J（T）2=—.（3）的立方根為—.

（4）如果&的平方根是±3,則W-17=—.

【答案】4834

【分析】（1）根據(jù)立方根的定義求解即可；

（2）根據(jù)平方根的定義先化簡，然后求解即可；

（3）根據(jù)平方根的定義先化簡，再求立方根即可；

（4）根據(jù)平方根的定義先求出。，然后代入求解即可.

【詳解】解：（1）癇=4；

（2）4+JD?=4+癡=4+4=8;

（3）回扃=8,

回屈的立方根即為8的立方根，8的立方根為3,

回庖的立方根為3；

（4）回&的平方根是±3,

=（±3）2=9,

13a=9?=81,

0Va-17=習(xí)81-17=版=4：

故答案為：4；8；3；4.

【點睛】本題考查平方根，算術(shù)平方根以及立方根的相關(guān)計算，理解平方根與立方根的相關(guān)基本概念是解

題關(guān)鍵.

【變式1】如圖邊長為2的正方形，則圖中的陰影部分面積是

【分析】由圖可知陰影部分的面積等于正方形面積減去圓的面積，由此求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：

(2丫

S陰影=2x2—^xl—I=4—yr.

故答案為：4-萬.

【點睛】此題主要考查了實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是熟知正方形、圓的面積公式.

【變式2】若妊F與我M互為相反數(shù)，貝。(1-4嚴(yán)=.

【答案】-1

【分析】根據(jù)題意，可得：&W+師石=0,所以1-2X=-(3X-5),據(jù)此求出x的值是多少，再應(yīng)用代

入法，求出(1-五)血的值是多少即可.

【詳解】解：???MF與反不互為相反數(shù)，

#1-2x+§3x-5=0，

1_2x=_(3x—5),

解得：x=4,

.-.(I-6嚴(yán)?=(1一/嚴(yán)i=(1_2嚴(yán)?=(-I)?必=-1,

故答案為：-L

【點睛】此題主要考查了實數(shù)的混合運算，相反數(shù)的性質(zhì)，立方根的性質(zhì)，根據(jù)兩個數(shù)的立方根互為相反

數(shù)得到關(guān)于X的方程是關(guān)鍵點.

【變式3】計算：|-V3|-V27+V4.

【答案】否-1

【分析】先逐項化簡，再算加減即可.

【詳解】解：原式=0-3+2=6-1,

故答案為：V3-1.

【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，熟練掌握立方根和算術(shù)平方根的定義是解答本題的關(guān)鍵.

【變式4】(2022?浙江金華?七年級期末)計算：

(1)a+4+(-2)(2)-12022+32XV16

【答案】⑴1

⑵35

【分析】(1)原式先化簡立方根，再計算除法，最后計算減法即可得到答案；

(2)原式先計算乘方和化簡算術(shù)平方根，再計算乘法，最后計算加法即可得到答案.

⑴

師+4+(-2)

=3-2

=1

⑵

-12022+32XV16

=-1+9x4

=-1+36

=35

【點睛】本題主要考查了實數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

【變式5】計算：

(1)716-^64x^8；(2)|V2-31+^(-3)2-(-1)2019.

【答案】⑴12

(2)7-0

【分析】(1)直接利用立方根以及算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡得出答案；

(2)直接利用絕對值以及二次根式的性質(zhì)化簡得出答案.

⑴解：原式=1x(-2)=12；

⑵解：原式=3-夜+3+1=7-&.

【點睛】本題主要考查了實數(shù)運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.

【變式6】(2022?浙江臺州?七年級期中)計算，記+河'+|1-押

【答案】73

【分析】直接根據(jù)算術(shù)平方根、立方根以及絕對值的意義將原式進行化簡，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則進行

計算即可.

【詳解】解：JM+竹+|i-押

=4—3+>^—1

【點睛】本題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握算術(shù)平方根、立方根以及絕對值的非負(fù)性是解本題的關(guān)鍵.

【變式7](2022?浙江臺州?七年級期中)計算：

(1)5/16—^27;(2)2>/3+|A^—2|.

【答案】⑴1

(2)2+73

【分析】(1)根據(jù)算術(shù)平方根和立方根化簡后計算即可；

(2)去絕對值后計算即可.

(1)

解：716-^27

=4-3

=1;

(2)

2A/3+|>/3-2|

=2g+2-百

=>/3+2.

【點睛】本題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握算術(shù)平方根、立方根的定義和絕對值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

題型二：程序設(shè)計與實數(shù)運算

例2.按如圖所示的程序計算，若開始輸入的x為而,則輸出的結(jié)果為.

【答案】15.

【分析】根據(jù)輸入的為厲，按照運算程序，計算結(jié)果即可.

【詳解】解：回輸入的》為A，是無理數(shù)，

回以X為邊長的正方形的面積是：y/15?V1515,

故答案是：15.

【點睛】本題考查有理數(shù)的運算，讀懂題目，掌握計算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式1】如圖所示是計算機程序計算，若開始輸入X=-3,則最后輸出的結(jié)果是.

【答案】276.

【分析】讀懂計算程序，把x=-3代入，按計算程序計算，直到結(jié)果是無理數(shù)即可.

【詳解】當(dāng)輸入x,若J(X+4)X(-2)2=2而7的結(jié)果是無理數(shù),即為輸出的數(shù)，

當(dāng)x=-3時，2Jx+4=2,不是無理數(shù)，

因此，把x=2再輸入得，2Jx+4=2」,

故答案為：2任.

【點睛】本題考查實數(shù)的混合運算，掌握計算法則是關(guān)鍵.

【變式2】如圖，是一個計算程序，若輸入a的值為則輸出的結(jié)果應(yīng)為

輸入a--->平方---->|~5|---->|xQ.5|---->輸出

【答案】|

【分析】根據(jù)計算程序列出算式，并根據(jù)求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，得

((>/TO)2-5)XO.5

=(10-5)x05

_5

"2,

故答案為：g.

【點睛】本題考查實數(shù)的混合運算，理解計算程序，正確列出算式并求解是解答的關(guān)鍵.

【變式3】(2022?浙江臺州?七年級期中)如圖是一個無理數(shù)篩選器的工作流程圖.

⑴當(dāng)x為9時，y值為；

(2)如果輸入0和1,(填"能"或"不能")輸出y值；

⑶當(dāng)輸出的y值是正時，請寫出滿足題意的x值：.(寫出兩個即可)

【答案】⑴人

(2)不能

(3)5或25(答案不唯一)

【分析】(1)根據(jù)運算流程圖，即可求解；

(2)根據(jù)0的算術(shù)平方根是0,1的算術(shù)平方根是1,即可判斷；

(3)根據(jù)運算法則，進行逆運算即可得到滿足題意的x值.

(1)

解：當(dāng)輸入x=9時，9的算術(shù)平方根為3,不是無理數(shù)，3的算術(shù)平方根為近，

即y=G；

故答案為：V3

（2）解：當(dāng)輸入x=0或1時，因為。的算術(shù)平方根是0,始終是有理數(shù)，1的算術(shù)平方根是1,也始終是

有理數(shù)，

所以不能輸出y；

故答案為：不能

（3）解:當(dāng)丫=有時，，=的=5,此時x=5；

當(dāng)了=6時，y2=（A/5）=5,5?=25,此時x=25；

故答案為：5或25（答案不唯一）

【點睛】本題考查了無理數(shù)以及算術(shù)平方根，正確理解工作流程圖是解題的關(guān)鍵.

題型三：新定義下的實數(shù)運算

例3.（2022?浙江臺州?七年級期中）設(shè)（2表示小于x的最大整數(shù)，如（3]=2,（-1.6]=-2,則下列結(jié)論中

正確的是（）

A.（0]=0B.x-（x]的最小值是0C.了-（幻的最大值是1D.不存在實

數(shù)x,使x-（x]=0.2

【答案】C

【分析】根據(jù)新定義，逐項判斷即可求解.

【詳解】解：A、（0]=-1,故本選項錯誤，不符合題意；

B、因為（幻表示小于x的最大整數(shù)，所以尤-（劃>0,故本選項錯誤，不符合題意；

C、因為（X]表示小于x的最大整數(shù)，所以0<x-（x]Vl的最大值是1,故本選項正確，符合題意；

D、存在實數(shù)x,使尤-⑶=0.2,如x=0.2,則x-（x]=0.2-0=0.2,故本選項錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題主要考查了實數(shù)的大小比較和新定義運算，正確理解（幻表示小于x的最大整數(shù)是解題的關(guān)

鍵.

【變式1】任何實數(shù)a,可用同表示不超過a的最大整數(shù)，如[4]=4,[后]=1,現(xiàn)對72進行如下操作，

72第一次，尼卜8第二次,而卜2第一次>[6卜1,這樣對72只需進行3次操作即可變?yōu)?,類似地，對

81只需進行（）次操作后即可變?yōu)?.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)新運算依次求出即可.

【詳解】解：［聞］=9,［次］=3,［^］=1,共3次操作，

故選B.

【點睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，能求出每次的值是解此題的關(guān)鍵.

【變式2】定義新運算"因'：a回b」+g（其中a、b都是有理數(shù)），例如：203=|+!=1,那么3回（-4）的

ab236

值是（）

7117

A.1-B.--C.—D.—

12121212

【答案】c

【詳解】試題解析：3團（-4）

__1_1__1__1___1__

-3-4-34-12,

故選C.

【變式3】（2022?浙江?寧波市鄴州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）現(xiàn)規(guī)定一種運算：

a*b=ab+a~b,其中，a,b為有理數(shù)，貝ija*什（8一々）*8等于（）

A.a2—bB.b2—bC.b2D.b2—a

【答案】B

【詳解】a*b+Qb-d）*b-ab+a-b+（b-a）b+（b-a）-b

=ab+a—b+b2—ab+b—a—b=b2—b

故選：B.

【變式4］（2022?浙江杭州?七年級期中）用"保"定義新運算：對于任意實數(shù)a,b,都有a③QZAH.例

如：78）4=42+1=17,那么202285=；當(dāng)m為實數(shù)時，機區(qū)（加兇2）=.

【答案】2626

【分析】首先用5的平方加上1,求出2022位5的值；然后用2的平方加上1,求出m?2的值，進而求出

m?（m?2）的值即可.

【詳解】解：團對于任意實數(shù)a,b,都有。奶=〃+1,

02O22?5=52+1=26；

當(dāng)m為實數(shù)時，

m?(m?2)

=m?(22+l)

=m?5

=52+l

=25+1

=26.

故答案為：26、26.

【點睛】此題主要考查了實數(shù)的運算，以及定義新運算，解答此題的關(guān)鍵是要明確"?"的運算方法.

【變式5】（2022?浙江?七年級專題練習(xí)）觀察下列等式（式子中的"！"是一種數(shù)學(xué)運算符號）

1!=1,2!=2xl,3!=3x2xl,4!=4x3x2xl,

2013!_

那么計算:

2014!J

1

【答案】

2014

【分析】根據(jù)"！"的運算方式列式計算即可.

2013!2013x2012x2011>…x2xl1

【詳解】解:

2014!-2014x2013x2012x---x2xl-2014

【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的除法，理解新定義運算"！"是解題的關(guān)鍵.

【變式6】（2022?浙江紹興?七年級期末）如河={1,2,耳，我們叫集合/W.其中1,2,x叫做集合/W的元

素，集合中的元素具有確定性（如x必然存在），互異性（如xwl,XH2）,無序性（即改變元素的順

序，集合不變）.若集合N={x,l,2},我們說M=N.已知集合&={1,0,。},集合8=],凡[,若

A=B,則人一。的值是.

【答案】-1

【分析】根據(jù)集合的定義和集合相等的條件即可判斷.

【詳解】^A=B,。片0,

團—w0,同w0,

b

回_=0,即〃=0,

a

回工=1,同或L=〃，lai=1,

aa

團a=l或a=-1（舍去），

國b—a=0—l=—L,

故答案為：-1.

【點睛】本題以集合為背景考查了代數(shù)式求值，關(guān)鍵是根據(jù)集合的定義和性質(zhì)求出。和6的值.

【變式7】定義新運算：對于任意實數(shù)a,b,都有儲。=4+凡例如7X4=7+42=23.

（1）求5X4的值.

（2）求7派（1※逝）的平方根.

【答案】（1）21；（2）±4

【分析】（1）根據(jù)定義新運算即可求5X4的值；

（2）根據(jù)定義新運算求7派（1※應(yīng)）的值，再計算平方根即可得出答案.

【詳解】（1）由定義新運算得：5X4=5+42=5+16=21；

（2）由定義新運算得：7X（1^V2）=7X（1+2）=7X3=7+9=16,

團7派（1※也）的平方根為±片=±4.

【點睛】本題考查新定義的有理數(shù)運算，掌握新定義的運算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式8】任何實數(shù)a,可用⑷表示不超過a的最大整數(shù)，如⑷=4,[6]=L現(xiàn)對72進行如下操作：72

第一次[、阮]=8,第二次[&]=2,第三次這樣對72只需進行3次操作變?yōu)?.

（1）對10進行1次操作后變?yōu)?對200進行3次作后變?yōu)?

（2）對實數(shù)m恰進行2次操作后變成1,則m最小可以取到；

（3）若正整數(shù)m進行3次操作后變?yōu)?,求m的最大值.

【答案】（1）3；1；（2）4Mm<16；（3）機的最大值為255

【詳解】解：（1）032=9<（710）2=10<42=16,

03<V1O<4,

國[啊=3,

團對10進行1次操作后變?yōu)?；

同理可得14<>/555<15,

0[V2OO]=14,

同理可得3<J萬<4，

團[何=3,

同理可得1<6<2,

團[。]=1,

回對200進行3次作后變?yōu)?,

故答案為：3；1；

（2）設(shè)m進行第一次操作后的數(shù)為x,

0[%]=1,

01<x<2.

01<\[m<4■

01<AW<16.

回要經(jīng)過兩次操作.

0Vm>2.

團機，4.

I?l4<m<16.

故答案為：4<m<16.

（3）設(shè)m經(jīng)過第一次操作后的數(shù)為〃，經(jīng)過第二次操作后的數(shù)為x,

0W=1,

即Kx<2.

團1工薪<2.

Ell<n<4.

1<\[m<16.

^\<m<256.

國要經(jīng)過3次操作，故加216.

團16<m<256.

回加是整數(shù).

回機的最大值為255.

【點睛】本題考查取整函數(shù)及無理數(shù)的估計，正確理解取整含義是求解本題的關(guān)鍵.

題型四：實數(shù)運算的實際應(yīng)用

例4.如圖，在紙面上有一數(shù)軸，點A表示的數(shù)為-1,點B表示的數(shù)為3,點C表示的數(shù)為6.若子軒同

學(xué)先將紙面以點B為中心折疊，然后再次折疊紙面使點A和點B重合，則此時數(shù)軸上與點C重合的點所表

示的數(shù)是.

-2-101234567

【答案】4+6或6-6或2-6

【分析】先求出第一次折疊與A重合的點表示的數(shù)，然后再求兩點間的距離即可；同理再求出第二次折疊

與C點重合的點表示的數(shù)即可.

【詳解】解：第一次折疊后與A重合的點表示的數(shù)是：3+(3+1)=7.

與C重合的點表示的數(shù)：3+(3-月)=6-石.

第二次折疊，折疊點表示的數(shù)為：《(3+7)=5或《(-1+3)=1.

此時與數(shù)軸上的點C重合的點表示的數(shù)為：

5+(5-6+6)=4+6或：1-(百-1)=2-君.

故答案為：4+6或6-后或2-

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上的點和折疊問題，掌握折疊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

【變式1】設(shè)x,y是有理數(shù)，且x,y滿足等式x+2y-0y=17+4四，則6+y的平方根是.

【答案】±1

【分析】因為x、y為有理數(shù)，所以x+2y也是有理數(shù)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，只有同類二次根式才能合

并，所以x、2y都不能與血進行合并，根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)系式，分別求出x、y的值再代入計算即可

求解.

【詳解】解：取、y為有理數(shù)，

0x+2y為有理數(shù)，

0x+2y-y^=17+472

卜+2y=17

,,3=4

=5-4=1,1的平方根是士1.

故答案為±1.

【點睛】本題考查了實數(shù)的運算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，熟悉合并同類項的法則，求出相應(yīng)的x、y

的值.

【變式2】某高速公路規(guī)定汽車的行駛速度不得超過100千米/時，當(dāng)發(fā)生交通事故時，交通警察通常根據(jù)

剎車后車輪滑過的距離估計車輛的行駛速度，所用的經(jīng)驗公式是v=16眄，其中”表示車速（單位：千

米/時，d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：米），/表示摩擦系數(shù).在一次交通事故中，經(jīng)測量d=32

米，/=2,請你判斷一下，肇事汽車當(dāng)時是否超速了.

【答案】肇事汽車當(dāng)時的速度超出了規(guī)定的速度.

【分析】先把“32米，f=2分別代入v=16強,求出當(dāng)時汽車的速度再和100千米/時比較即可解答.

【詳解】解：把“32,「2代入v=16強，

v=16732x2=128（km/h）,

0128>100,

團肇事汽車當(dāng)時的速度超出了規(guī)定的速度.

【點睛】本題考查了實數(shù)運算的應(yīng)用，讀懂題意是解題的關(guān)鍵，另外要熟悉實數(shù)的相關(guān)運算.

【變式3】已知小正方形的邊長為1,在4x4的正方形網(wǎng)中.

（1）求與=.

（2）在5x5的正方形網(wǎng)中作一個邊長為舊的正方形.

【答案】(1)10；(2)見解析

【分析】(1)用大正方形的面積減去四個小三角形的面積即可得出陰影部分面積；

(2)邊長為舊的正方形，則面積為(ai)2=13,則每個三角形的面積為:(5X5T3)=3,據(jù)此作圖即

可.

【詳解】解：(1)S陰=4x4-gxlx3x4=10,

故答案為：10；

(2)邊長為屈的正方形，則面積為(JB)2=13,

則每個三角形的面積為。(5X5-13)=3,

4

則作圖如下：

【點睛】本題主要考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，解決本題的關(guān)鍵是利用網(wǎng)格求出周圍四個小三角形的邊

長.

【變式4】數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起對應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點之間的

內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合"的基礎(chǔ).小白在草稿紙上畫了一條數(shù)軸進行操作探究：

操作一：

（1）折疊紙面，若使表示的點1與-1表示的點重合，則-2表示的點與表示的點重合；

操作二：

（2）折疊紙面，若使1表示的點與-3表示的點重合，回答以下問題：

①百表示的點與數(shù)表示的點重合；

②若數(shù)軸上A、B兩點之間距離為8（A在B的左側(cè)），且A、B兩點經(jīng)折疊后重合，則A、B兩點表示的數(shù)

分別是;

操作三：

（3）在數(shù)軸上剪下9個單位長度（從-1到8）的一條線段，并把這條線段沿某點折疊，然后在重疊部分

某處剪一刀得到三條線段（如圖）.若這三條線段的長度之比為1：1：2,則折痕處對應(yīng)的點所表示的數(shù)

可能是.

剪斷處

71o37

【答案】⑴2（2）①-2-指②53（3）

2oo

【分析】（1）根據(jù)對稱性找到折痕的點為原點。，可以得出-2與2重合；

（2）根據(jù)對稱性找到折痕的點為-1,

①設(shè)6表示的點與數(shù)a表示的點重合，根據(jù)對稱性列式求出a的值；

②因為AB=8,所以A到折痕的點距離為4,因為折痕對應(yīng)的點為-1,由此得出A、B兩點表示的數(shù)；

（3）分三種情況進行討論：設(shè)折痕處對應(yīng)的點所表示的數(shù)是X,如圖1,當(dāng)AB：BC：CD=1：1：2時，所

9

以設(shè)AB=a,BC=a,CD=2a,得a+a+2a=9,a=-,得出AB、BC、CD的值，計算也x的值，同理可得出如圖

2、3對應(yīng)的x的值.

【詳解】操作一,

（1）團表示的點1與-1表示的點重合,

團折痕為原點0,

則-2表示的點與2表示的點重合,

操作二:

（2）團折疊紙面，若使1表示的點與-3表示的點重合,

則折痕表示的點為-1,

①設(shè)質(zhì)表示的點與數(shù)a表示的點重合，

則后（-1）=-l-a,

a=26；

②團數(shù)軸上A、B兩點之間距離為8,

歷數(shù)軸上A、B兩點到折痕-1的距離為4,

EIA在B的左側(cè)，

則A、B兩點表示的數(shù)分別是-5和3；

操作三：

（3）設(shè)折痕處對應(yīng)的點所表示的數(shù)是X,

如圖1,當(dāng)AB：BC：CD=1：1：2時,

I

AB：CD

II_______I______I______________]

-1:8

折痕圖1

設(shè)AB=a,BC=a,CD=2a,

a+a+2a=9,

9

a

999

回AB二一，BC=-,CD=-,

442

如圖2,當(dāng)AB：BC：CD=1：2：1時，

AB：CD

I____?________|______1_______i

-1：8

折痕圖2

設(shè)AB=a,BC=2a,CD=a,

a+a+2a=9,

9

a二“

999

團AB二一，BC二一，CD=-,

424

如圖3,當(dāng)AB：BC：CD=2：1：1時,

A5：CD

?1111

-18

病痕圖3

設(shè)AB=2a,BC=a,CD=a,

a+a+2a=9,

9

99

團AB二一，BC=CD=—,

24

9937

x=-l+-+-=—,

288

19737

綜上所述：則折痕處對應(yīng)的點所表示的數(shù)可能是9或;或2.

O2O

題型五：與實數(shù)運算相關(guān)的規(guī)律題

例5.如圖將1、0、出、而按下列方式排列.若規(guī)定(抽”)表示第加排從左向右第〃個數(shù)，貝1(5,4)與

(15,8)表示的兩數(shù)之積是().

1第1排

JlJi第2排

Ji1iSi第3樗

JiJi\J2私排

J3J611J2J3第5排

A.1B.0C.73D.而

【答案】B

【分析】首先從排列圖中可知：第1排有1個數(shù)，第2排有2個數(shù)，第3排有3個數(shù)，然后抽象出第5排

第4個數(shù)，第15排第8個數(shù)，然后可以得到答案.

【詳解】解：(5,4)表示第5排從左往右第4個數(shù)是夜，(15,8)表示第15排第8個數(shù)，從上面排列圖中

可以看出奇數(shù)行1排在最中間，所以第15行最中間是1,且為第8個，所以1和血的積是0.

故本題選B.

【點睛】本題是規(guī)律題的呈現(xiàn)，考查學(xué)生的從具體情境中抽象出一般規(guī)律，考查學(xué)生觀察與歸納能力.

【變式1】將實數(shù)1,0,6,而按如圖所示的方式排列，若用舊，")表示第m排從左向右數(shù)第n個數(shù)，則

(5,4)與(11,7)表示的兩數(shù)之積是

1(第1排)

0V3(第2排)

A/61V2(第3排)

6A/61V2(第4排)

6761726(第5排)

【答案】2

【分析】所給一系列數(shù)是4個數(shù)一循環(huán)，看(5,4)與(11,7)是第幾個數(shù)，除以4,根據(jù)余數(shù)得到相應(yīng)

循環(huán)的數(shù)即可.

【詳解】解：團第4排最后一個數(shù)為第10個數(shù)(1+2+3+4=10),

0(5,4)表示第14個數(shù)(10+4=14),

014+4=3...2,

團(5,4)表示的數(shù)為0,

團第10排最后一個數(shù)為第55個數(shù)1+2+3+4+...+10=丑如=55,

2

0(11,7)表示第62個數(shù)(55+7=62),

062+4=15...2,

0(11,7)表示的數(shù)為0,

則(5,4)與(11,7)表示的兩數(shù)之積是后x0=2.

故答案為：2.

【點睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律與二次根式的運算，找出數(shù)字循環(huán)的特點，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問題.

【變式2】若|a-l|+(ab-2)2=0,則益+而工麗石+…+再1而西=-----'

【答案*

【分析】先由|a-l|+(ab-2)2=0,利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a、b的值，代入原式后，再利用

1=--一二裂項求和可得.

n〃+1

【詳解】解：0|a-l|+(ab-2)2=O,

團a-1=0且ab-2=0,

解得a=l,b=2,

則原式小1

+---+H------------

2x311x12

11

-5

故答案為：—?

12

【點睛】本題主要考查了絕對值和平方的非負(fù)性，分式的化簡求值，觀察式子特征用裂項的方法，相抵消

是解題的關(guān)鍵.

【變式3】借助計算器計算下列各題：

⑴/=；

(2)#77=；

(3)Vl3+23+33=；

(4)713+23+33+43=；

⑸根據(jù)上面計算的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)JF+23+...+/=.(用含n的式子表示)

【答案】(1)1;(2)3；(3)6；(4)10；(5)里詈

【分析】由計算器計算得：

⑴"=1；

⑵后聲=3可看做被開方數(shù)中每個加數(shù)底數(shù)的和，即1+2;

⑶+23+33=6可看做被開方數(shù)中每個加數(shù)底數(shù)的和,即1+2+3；

⑷JF+23+33+43=10可看做被開方數(shù)中每個加數(shù)底數(shù)的和,即1+2+3+4

所以由以上規(guī)律可得(5)&3+23+…+=i+2+3+...+n=

【詳解】解：(1)#=1；

(2)713+23=3

(3)在+23+33=6

(4)>/13+23+33+43=10

/-----------------n(n+l]

(5)JF+23+…+>=i+2+3+...+n='2

上心生田口n(n+l]

故答案是：1,3,6,10,-----------

2

【點睛】此題主要考查了算術(shù)平方根的一般規(guī)律性問題，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真觀察給出的算式總結(jié)規(guī)律.

、111

【變式4]已知：|-a-l|+(Z?-2)=0,求g_i)僅+i)+(a_2)僅+2)+…+(._]00)e+]00)的值。

25

【答案】

【分析】先根據(jù)絕對值的非負(fù)性、偶次方的非負(fù)性求出a、b的值，再代入分解，加減抵消即可得.

—<2—1=0

【詳解】由絕對值的非負(fù)性、偶次方的非負(fù)性得:

b-2=0

a=-1

解得

b=2

則原式一(-l-l)x(2+l)+(-l-2)x(2+2)+…+(-1-100)x(2+100)

111

2^33^4101x102

111111

———I———————...-----|----

2334101102

11

=---1----

2102

_25

一一彳

【點睛】本題考查了絕對值的非負(fù)性、偶次方的非負(fù)性、與實數(shù)運算有關(guān)的規(guī)律型問題，將所求式子進行

分解，結(jié)合加減抵消法是解題關(guān)鍵.

【過關(guān)檢測】

選擇題(共6小題)

1.(2022秋?鄲州區(qū)校級月考)若〃/?=雜1，貝!]〃-/?=()

A.4B.-4C.6D.-6

【分析】利用平方根及立方根定義求出〃與人的值，代入〃-匕計算即可求出值.

【解答】解：-5,6=雜7^=-1,

.'.a-b—-5-（-1）—-5+1=-4.

故選：B.

【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?杭州期中）下列說法中：①立方根等于本身的是-1,0,1；②平方根等于本身的數(shù)是0,1；

③兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù)；④實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的；⑤。與b兩數(shù)的平方和表示為

次+房.其中錯誤的是（）

A.①②B.②③C.②③④D.③④⑤

【分析】根據(jù)立方根，平方根，無理數(shù)的意義，實數(shù)與數(shù)軸，逐一判斷即可解答.

【解答】解：①立方根等于本身的是-1,0,1,故①正確；

②平方根等于本身的數(shù)是0,故②不正確；

③兩個無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)，故③不正確；

④實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，故④正確；

⑤。與方兩數(shù)的平方和表示為/+后,故⑤正確；

所以，上列說法中，錯誤的是②③，

故選：B.

【點評】本題考查了實數(shù)的運算，立方根，平方根，實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?西湖區(qū)校級期中）如果a,。是2022的兩個平方根，那么a+2ab+b的值是（）

A.0B.2022C.4044D.-4044

【分析】根據(jù)a,b是2022的兩個平方根，可得：a+b=0,ab=-2022,據(jù)此求出a+2ab+b的值即可.

【解答】解：b是2022的兩個平方根，

0,ab=-2022,

a+2ab+b

=

=0+2X（-2022）

=0+（-4044）

=-4044.

故選：D.

【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，以及平方根的含義和求法，解答此題的關(guān)鍵是要明確：一個正數(shù)

有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平方根.

4.（2022秋?吳興區(qū)期中）下列說法中：①立方根等于本身的是-1,0,1；②平方根等于本身的數(shù)是0,1；

③兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù)；④實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的；⑤ZL是負(fù)分?jǐn)?shù)；⑥兩個有理

3

數(shù)之間有無數(shù)個無理數(shù)，同樣兩個無理數(shù)之間有無數(shù)個有理數(shù).其中正確的個數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據(jù)立方根的定義判斷①；根據(jù)平方根的定義判斷②；根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0判斷

③；根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)判斷④；根據(jù)無理數(shù)的定義判斷⑤；通過舉例子判斷⑥.

【解答】解：立方根等于本身的數(shù)是±1,0,故①符合題意；

平方根等于本身的數(shù)是0,故②不符合題意；

&+（-/2）=0,故③不符合題意；

實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，故④符合題意；

-空是無理數(shù)，不是負(fù)分?jǐn)?shù)，故⑤不符合題意；

3

兩個有理數(shù)之間有無數(shù)個無理數(shù)，同樣兩個無理數(shù)之間有無數(shù)個有理數(shù)，例如1和2之間有百,

VTE，U55等無數(shù)個,泥和F之間有1.51,1.511等無數(shù)個，故⑥符合題意；

...正確的個數(shù)有3個，

故選：A.

【點評】本題考查了立方根，平方根，數(shù)軸與實數(shù)，無理數(shù)，實數(shù)的運算，注意-空是無理數(shù)，而負(fù)

3

分?jǐn)?shù)是有理數(shù).

5.（2021秋?西湖區(qū)校級月考）按如圖所示的運算程序，能使輸出的結(jié)果為3的是（）

A.。=0,b=3B.。=1,b=2C.〃=4,b=lD.。=9,b=0

【分析】對于每個選項，先判斷mb的大小，若a（b,結(jié)果=企；若a>b,結(jié)果=-企.

【解答】解：A選項，,?,0<3,

?,.而+M=如,故該選項不符合題意；

B選項，Vl<2,

:.a+'、n=i+M,故該選項不符合題意;

C選項，V4>1,

-'./i=2-1=1,故該選項不符合題意;

。選項，V9>0,

:.炳-瓜=3,故該選項符合題意;

故選：D.

【點評】本題考查了實數(shù)的運算，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，掌握若a<6,結(jié)果=?+企；若a>b,

結(jié)果=遍-而是解題的關(guān)鍵.

6.（2021秋?余姚市校級期中）對于實數(shù)x,我們規(guī)定印表示不大于x的最大整數(shù)，如

[4]=4,[V3]=1,[-2.5]=-3,現(xiàn)對82進行如下操作

對100只需進行多少次操作后變?yōu)?（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】按照例題的思路，進行計算即可解答.

【解答】解：io。第一次［也&］=10第二次［_￡3=（第二次［一￥-］=兀

10V10V3

.?.對100只需進行3次操作后變?yōu)?,

故選：c.

【點評】本題考查了實數(shù)的運算，理解例題的思路是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共12小題）

7.（2022秋?濱江區(qū)校級期中）已知x,y是兩個不相等的有理數(shù)，且滿足等式；（3-1）尤=3-

貝！Jx=-3,y=9.

【分析】直接利用x,y是兩個不相等的有理數(shù)，根據(jù)已知等式得出x的值，進而得出y的值.

【解答】解：???（3&-l）x=3-&y,

-x=3-&y,

.*.x=-3,

則3&X（-3）=-

解得：y=9.

故答案為：-3,9.

【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確得出x的值是解題關(guān)鍵.

8.（2022秋?東陽市期中）如圖，是一個計算程序，若輸入的數(shù)為則輸出的結(jié)果應(yīng)為1.

輸入數(shù)一?平方一?-5——AX0.5——>輸出

【分析】直接把已知數(shù)據(jù)代入，進而計算得出答案.

【解答】解：由題意可得：[（J7）2-5]X0.5

=（7-5）X0.5

=2X0.5

=1.

故答案為：L

【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確代入數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

9.（2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期中）計算：7I.44X^/125=6-

【分析】先根據(jù)算術(shù)平方根和立方根化簡，然后再計算即可.

【解答】解：V1.44XV125=l.2X5=6-

故答案為：6.

【點評】本題主要考查了算術(shù)平方根、立方根等知識點，正確求得算術(shù)平方根和立方根是解答本題的關(guān)

鍵.

10.（2022秋?上城區(qū)校級期中）用“*”表示一種新運算：對于任意正實數(shù)a*b=4a2+b，例如10*2]=

V102+21=lb則W5*（J7*2）的運算結(jié)果為4.

【分析】根據(jù)題意給出的新定義運算法則即可求出答案.

【解答】解：VV*2={）2+2=>/^=3,

V13*3=iy）2+3=Vl6=4,

故答案為：4.

【點評】本題考查實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用新定義運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

11.（2021秋?柯橋區(qū)期末）根據(jù)圖示的對話，則代數(shù)式3a+36-2c+2〃z的值是19.

我不小心把茗師留的作業(yè)題弄丟我告訴你："a與?；橄喾磾?shù),

了，只記得式子是3a+3fr-2r+2m。的倒數(shù)為-2,m的算術(shù)平方根

是3”

【分析】直接利用互為相反數(shù)以及算術(shù)平方根、倒數(shù)的定義得出a+b=。,c=-l,m=9,進而計算得

2

出答案.

【解答】解：由題意可得：a+b=O,c=--,m=9,

2

故原式=3(a+b)-2c+2m

=3X0-2X(--1)+2X9

2

=0+1+18

=19.

故答案為：19.

【點評】此題主要考查了互為相反數(shù)以及算術(shù)平方根、倒數(shù)的定義，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

12.(2021秋?浙江期末)計算：北函+'△=-1.

【分析】先化簡各數(shù)，然后再進行計算即可.

［解答］解：1_27+也

=-3+2

=-1,

故答案為：-1.

【點評】本題考查了實數(shù)的運算，準(zhǔn)確熟練地化簡各數(shù)是解題的關(guān)鍵.

13.(2021秋?東陽市期末)若a與b互為相反數(shù)，相與n互為倒數(shù)，k的算術(shù)平方根為亞，則

2022。+20216+7”油+M的值為4.

【分析】根據(jù)題意得a+b=0,山〃=1,左=2,整體代入求值即可.

【解答】解：與6互為相反數(shù)，相與”互為倒數(shù)，上的算術(shù)平方根為血,

??4+Z?=0,inn~-1,4=2,

???原式=2021(〃+/?)+〃+。+4

=0+0+

=4.

故答案為：4.

【點評】本題考查了實數(shù)的運算，考查了整體思想，整體代入求值是解題的關(guān)鍵.

14.(2022秋?寧波期中)任意寫出兩個無理數(shù)，使它們的和為2：岳.+2與-亞.

【分析】寫出兩個無理數(shù)，使其之和為2即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：V2+2+(-V2)=2,

故答案為：&+2與-料

【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

15.(2022秋?溫州期末)按如圖所示的程序計算，若輸入的。=3,6=4,則輸出的結(jié)果為5

【分析】把a、b的值代入計算即可求出值.

【解答】解：當(dāng)。=3,6=4時，

Va2+b2=V32+42=,^25=5,

所以輸出的結(jié)果為5.

故答案為：5.

【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

16.(2022秋?瑞安市期中)對于任意實數(shù)對(a,b)和(c,d),規(guī)定運算“兇”為(a,b)0(c,d)=

(ac,bd)；運算“十”為(a,b)?(c,d)=(a+c,b+d).例如(2,3)(g)(4,5)=(8,15)；(2,

3)0(4,5)=(6,8).若(2,3)0(p,q)=(-4,9),貝I(1,-5)十(p,q)=(-1,-

2).

【分析】讀懂題意，利用新定義計算，先根據(jù)新定義列等式，求出p、q的值，再代入新定義計算.

【解答】解：(2,3)0(p,q)=(-4,9),

.*.2/7=-4,p=-2,

3q=9,q=3,

：.(1,-5)十(p,夕)=(1,-5)十(一2,3)=(-1,-2).

故答案為：(-1,-2).

【點評】本題考查了實數(shù)運算的新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能利用新定義正確的進行計算.

17.(2022秋?青田縣期中)計算：V16-^27=—!—?

【分析】原式利用算術(shù)平方根及立方根定義計算即可得到結(jié)果.

【解答】解：原式=4-3=1,

故答案為：1

【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

18.（2022秋?新昌縣期中）已知:“與〃互為相反數(shù),c與1互為倒數(shù)，。是右的整數(shù)部分，則、后+2（m-Hi）-a

的值是-1.

【分析】首先根據(jù)有理數(shù)的加法可得〃計〃=0,根據(jù)倒數(shù)定義可得cd=l,然后代入代數(shù)式求值即可.

【解答】解：...根與”互為相反數(shù)，

??Z71+Z20,

與1互為倒數(shù)，

??cd=1,

Ya是通的整數(shù)部分，

??a—2,

?"-Vcd+2（m+n）-a=1+2X0-2--1.

故答案為：-L

【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，關(guān)鍵是掌握相反數(shù)和為0,倒數(shù)積為L

三.解答題（共7小題）

19.（2022秋?堇B州區(qū)期中）初中階段，目前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了多種計算技巧，例如裂項相消法，錯位相減法

等等，請計算下列各式：

⑴1.1.1-1—4040

1X33X55X7-2019X2021—2021一

小111…16066

1X44X77X10-2020X2023—2023-

(3)|1W2|+|V2-V3|+IV3-V4|++IV2021-V2022|=V2022-1

【分析】(1)裂項后乘以2,將各項相加，消掉和互為相反數(shù)的項；

（2）裂項后乘以3,將各項相加，消掉和互為相反數(shù)的項;

（3）根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值，即可消掉.

【解答】解：(1)原式=2X(1-1+1-1+1-!+?+.1L）

3355720192021

=2X(1-—

2021

—4040

2021

(2)原式=3X(1-—+—